2025年中考数学暑假复习讲义：造桥选址问题

造桥选址问题

方法说明

造桥选址问题来源于教材。如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处可使从

A到B的路径AMNB最短?（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）

我们把河的两岸看成两条平行线a和b（如图），N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b,交直线a于点

M,这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时,AM+MN+NB最小?

方法归纳

造桥选址问题主要有两大类型，两个定点位于定长线段运动路线的同侧或异侧。解决此类问题的方法常常是利

用平移（或构造平行四边形）进行解决。

⑴如图,a〃b,N为直线b上的一个动点,MNLb,交直线a于点M,求AM+MN+NB最小值。

如图,过点A作AA/MN,且使得AA'=MN,,则四边形AA'NM为平行四边形,AM=AN。连接AB,与直线

b交于点N：当点N位于点N时,AM+MN+NB最小。

(2)如图，长度不变的线段CD在直线1上运动，在直线1上找到使得AC+BD最小的CD的位置。分别过点

A,D作AA，〃CD,DA，〃AC,AA，与DA，交于点A；再作点B关于直线1的对称点B；连接AB与直线1交于点D；

当点D位于点D，时,CD的位置即为所求。

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典型例题

例4如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A,B在x轴上，抛物线y=x2+bx+c经过B,

D两点,D(—4,5),且与直线DC父于另一点E。

⑴求抛物线的解析式。

(2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q,F,E,B为顶点的四边形是

以BE为边的菱形。若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由。

(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M,连接ME,BP,探究EM+MP+PB是否存在

最小值。若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由。

思路点拨

⑴由点D的坐标得到正方形的边长，进而求出点B的坐标，再代入抛物线的解析式中即可。

(2)本题是两定两动型菱形存在性问题，可以先使得△BEF是以BE为边的等腰三角形，再确定点Q的位置。

(3)本题属于造桥选址问题的一种变式，由于PM长度固定，求EM+MP+PB的最小值可转化为求EM+PB的

最小值，先平移再对称即可。

解题过程

解:⑴：四边形ABCD为正方形,D(-4,5),；.正方形ABCD的边长为5,，OB=AB-AO=5-4=1,；..点B的

坐标为(1,0)。

:抛物线y^x2+bx+c经过B,D两点.•1：+廿：=°’,解得［b=2抛物线的解析式为y=/+2x

(16—4b+c=5(c=—3

—3。

(2)存在，理由如下。

【方法一】

①如图，以点B为圆心，BE为半径画圆，并与抛物线的对称轴交于点F。

分别过点F,E作FQ〃BE,EQ〃BF^FQ与EQ交于点Q,则四边形BFQE为菱形。

VB(l,0),E(2,5)„BE2=(2—I)2+(5-0)2=26。

设抛物线的对称轴与x轴交于点G,则G(-l,0),.\BG=2o

在RtABGF中，FG=yjBF2-BG2=V26-4=V22,F(-1-V22).,

当点F位于x轴下方时，同理可得F(-l«-V22).

Q

A

②如图，以点E为圆心，BE为半径画圆，并与抛物线的对称轴交于点F。

分别过点F,B作FQ〃BE,BQ〃EF^FQ与BQ交于点Q,则四边形BEFQ为菱形。

设抛物线的对称轴与DE交于点H,则H(-1,5),；.EH=3。

在RtAEFH中，FH=VFF2-EH2=V26-9=V17,.-.F(-l-5-VT7)。

当点F位于DE上方时，同理可得F(-l，5+旧)。

综上所述，以点Q,F,E,B为顶点的四边形是以BE为边的菱形时，点F的坐标为

(一1，5+V17),(一1，5-V17),(-1,旧或(-1--V22),

【方法二】

•.•点D,E关于抛物线对称轴对称，，点E的坐标为(2,5),.BE2=(2-I)2+(5-0)2=26。

2

•••抛物线的解析式为y=%+2%-3,.♦.对称轴为直线x=-l0

设点F的坐标为(一l,m),点Q的坐标为(s,t)。

①当四边形BEFQ为菱形时,BE=EF,.•.点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E点Q向右平移1

个单位向上平移5个单位得到点Fo

•S+1=—1m=5+V17__

t+5=m解得-s=—2，，点F的坐标为(―1，5+旧)或(一1,5—g)。

,26=(2+1)2+(m—5)2、t=±V17

②当四边形BEQF为菱形时,BE=QE。

•s-1=-1(s=0

同理可得t—5=m，解得[t=5士属，点F的坐标为.(一1，年)或

26=(s-2/+(t-5)2[m=+V22

(-1--V22).

综上所述，点F的坐标为(一1，5+旧)，(一1，5-717),(-1，凉)或(-1--V22).

⑶存在，理由如下。

【方法一】

如图,连接0M，作点0关于抛物线对称轴的对称点B：连接B'MBE,则B'M=OMo

：P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线,垂足为M,；.PM=1。

,?B(1,0),0(1,0),MP=OB=1,MP//OB,B'(-2,0),四边形OBPM为平行四边形,.,.PB=OM=B，M,；.EM+MP+PB

=EM+1+B'MNl+B'E。

设B'E与抛物线的对称轴交于点M',则点M与M重合时EM+MP+PB最小。

•••点E的坐标为(2,5),.♦.直线B'E的解析式为y=|(%+2).

当x=-l时，y=q(x+2)=•.点的坐标为(-1,|),/.EM+MP+PB的最小值为B"E+1=

，(一2—2万+(0—5万+1=V41+1,.当点M的坐标为(-1，£)时,EM+MP+PB取最小值且最小值

为V41+11,

【方法二】

设抛物线的对称轴交x轴于点次(-1，0),将点B，向左平移1个单位得到点B〃(-2,0)。

连接B"E,交函数的对称轴于点M,过点M作MPJ_y轴厕点P,M为所求的点，此时EM+MP+PB为最小。

B'B"=PM=1,,且B'B'〃PM,...四边形B"B'PM为平行四边形，；.B"M=B'P=BP,EM+MP+PB=EM+1+

MB"N1+B"E,...当点E,M,B”三