2025年中考数学总复习：正方形 学案（含答案）

微专题27正方形

考点精讲

构建知识体系

rdZ)

「边

d平行四边形殊化［正方形卜干电困——黑纯

----------------K'J/flSXi

I对称性

［四边形卜

「边

「概念［判定)——角

L中点四边形一

I形状I对角线

4®^

考点梳理

1.正方形的性质与判定(6年8考)

(1)定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形

(2)正方形的性质

边四条边都相等，对边平行

角四个角都是直角

对角线相等且互相①_______;二

对角线

每一条对角线平分一组对角

Aa.D

既是轴对称图形，又是中心对称图形，有4条对称轴，对

对称性

称中心是两条②_______的交点

(3)正方形的判定

有一组邻边相等，并且有一个角是③_______的平行四边形是正方形(定

边义)；

有一组邻边④_______的矩形是正方形

角有一个角是⑤_______的菱形是正方形

对角线⑥_______的矩形是正方形；

对角线

对角线⑦_______的菱形是正方形；

对角线互相⑧_________的四边形是正方形

2.正方形面积

面积计算公式：S="=于（Q表示边长，/表示对角线长）

3.平行四边形与四边形、特殊四边形之间的关系

4.中点四边形

概念依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形

任意四对角线相等的对角线垂直的对角线垂直且

原图形矩形菱形正方形

边形四边形四边形相等的四边形

中点四平行四

菱形矩形正方形菱形矩形正方形

边形形状边形

【温馨提示】连接任意四边形各边中点得到的四边形面积是原图形面积的一半

练考点

1.如图，在正方形A5CZ）中，对角线AC与5。交于点0,且4vLE是

对角线4C上一点，连接5E.

第1题图

（l）ZACB的度数为

(2)40的长为；

(3)正方形A5CZ)的周长为,面积为；

(4)若NA5E=15°,则5E的长为.

2.下列说法中，正确的是()

A.有一个角是直角的平行四边形是正方形

B.对角线相等的四边形是矩形

C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

D.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

3.如图，E,F,G,”分别是四边形A5CD四条边的中点，则四边形及G”

定是.(填“平行四边形”“矩形”“菱形”或“正方形”)

第3题图

高频考点

考点1与正方形有关的证明及计算(6年8考)

例1已知四边形ABC。为正方形，边长为4,点又为5。上一点，连接AM.

⑴如图①，过点M分别作455C的垂线，垂足分别为E,F,求证：四边形

5EM尸是正方形；

例1题图①

(2)如图②，若BM=3DM,求AM的长;

AD

BC

例1题图②

(3)如图③，连接AC交5。于点0,若AM平分NZMC,延长交。于点N,

例1题图③

(4)如图④，过点5作于点E,分别延长5EAM交A。于点下，交CD

于点N,连接。E,若N是CD的中点，求NDEN的度数.

例1题图④

考点2中点四边形

例2如图，在四边形45CD中，E,F,G,”分别是边45,BC,CD,D4的

中点.请你添加一个条件，使四边形MG”为菱形，应添加的条件是()

HD

A

G

例2题图

A.AB=CDB.AC±BDC.CD^BCD.AC=BD

变式1（2024山西）在四边形A5C。中，点石，F,G,4分别是边A5,BC,CD,

DA的中点，EG,FH交于点O.若四边形的对角线相等，则线段EG与尸”

一定满足的关系为（）

A.互相垂直平分B.互相平分且相等

C.互相垂直且相等D.互相垂直平分且相等

真题及变式

命题点与正方形性质有关的计算（6年8考）

1.（2024广东7题3分）完全相同的4个正方形面积之和是100,则正方形的边长

是（）

A.2B.5C.10D.20

2.（2019广东10题3分）如图，正方形45。的边长为4,延长。5至点石使也

=2,以防为边在上方作正方形MG5,延长尸G交。。于点连接AM,AF,

”为4。的中点，连接下”分别与A5,AM交于点N,K.则下列结论：

①△ANHZ/kGNB②/AFN=/HFG；③FN=2NK；®S^AFN：S^ADM=1：4.

其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

第2题图

变式

2.1变条件——增加线段DF

如图，正方形A5CZ）的边长为4,延长C5至点E使团=2,以防为边在上方

作正方形及‘G5,连接。尸，”是。尸的中点，连接5“，则5”的长为.

3.（2023广东15题3分）边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起，它们的

底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为.

变式

3.1变条件一一增加线段改变阴影区域的位置

如图，边长分别为5,3,2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上,

图中阴影部分的面积分别为Si，S2,则令的值为.

新考法

4.［数学文化］（人教八下习题改编）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽

取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正

方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13,小正方形的面积为

1,直角三角形的较短直角边长为a,较长直角边长为b,那么（a+6）2的值为（）

第4题图

A.13B.19C.25D.169

考点精讲

①垂直平分②对角线③直角(90°)④相等

⑤直角(90。)⑥互相垂直⑦相等⑧垂直平分且相等

练考点

1.(1)45°；(2)272；(3)16,16；(4)竽

2.C

3.平行四边形

高频考点

例1(1)证明：•••四边形A5CD是正方形，

AZABC=90°,ZABD=ZCBD=45°.

\'ME±AB,MF±BC,

，四边形5EM尸是矩形.

VZABD=45°,ZMEB=90°,

：.ZEBM=ZEMB=45°,

：.BE=EM,

，四边形5EM尸是正方形；

(2)解：如解图①，连接4C交于点O,

•.•四边形A5CD是正方形，

：.AC=BD,AC±BD,OA=OD.

'：正方形ABCD的边长为4,

Z.OA=OD=—AD=2V2.

2

9：BM=3DM,

•••点〃是0。的中点，

：.OM=V2,

在RtAAOM中，

由勾股定理得OA2+OM2=V10；

例1解图①

(3)解：如解图②，过点N作NGL4C于点G,

例1题解图②

•••四边形A5C。是正方形，

：.ZDAC=45°,

YAM平分ND4C,

：.DN=GN.

设DN=x,则GN=x,CN=4—x.

VZNCG=45°,

△NGC是等腰直角三角形，

：.CN=^2CG,即4—%=缶，解得％=4四一4,

(4)解：如解图③，过点。作。G_L。石交⑷V的延长线于点G,

'：BF±AN,

：.ZABF+ZAFB=ZDAN+ZAFB=90°,即N45方=NZWV.

X'.'AB=DA,ZBAF=ZADN=90°,

:.bABF”8DAN,

：.AF=DN,ZAFB=ZDNA,

：.ZDFE=ZDNG.

是。。的中点，

11

：.DN=-CD=-AD=AF,

22

，尸为A。的中点，

:.DF=DN.

'：DE±DG,

：.ZEDF+/EDN=ZGDN+ZEDN,即ZEDF=ZGDN,

：.ADEFmADGN,

:.DE=DG,

。石G是等腰直角三角形，

.,.ND硒的度数为45。.

R

例1题解图③

例2D【解析】应添加的条件是F,G,H分别为AB,BC,

CD,的中点，且AC=BD,：.EH=-BD,FG=-BD,HG=-AC,EF=-AC,

2222

:.EH=HG=GF=EF,则四边形EFGH为菱形.

变式1A【解析】二•在四边形A5CD中，点E,F,G,"分别是边AbBC,

CD,D4的中点，如解图，连接历，FG,GH,EH,BD,AC,：.EF=^AC,FG

=涉），GH=^AC,即二舞）.,四边形A5CZ）的对角线相等，即4。二助，.•.£：/

=FG=G”=E"，.•.四边形"弓”为菱形，.'.EG与尸”互相垂直平分.

真题及变式

1.B【解析】由题意得每个正方形的面积为100+4=25,...正方形的边长为

5.

2.C【解析】•.•四边形石尸G5是正方形，仍=2,.•.尸G=5E=2,ZFGB=90°,

;四边形A5C。是正方形，”为4。的中点，：.AD=4,AH=2,ZfiAD=90°,

Z.ZHAN=ZFGN,AH=FG,"：ZANH=ZGNF,:.kANH"△GNF(bAS),

故①正确；:./AHN=/HFG,，：AG=FG=2=AH,：.AF=V2FG=V2AH,

：./AFH于/AHF,'：AD//FG,：.ZAHF=ZHFG,：.ZAFN^ZHFG,故②

错误；V△ANH^AGNF,：.AN=-AG=1,\"GM=BC^4,：.—=—=!,

VZHAN=ZAGM=90°,：.AAHN^AGMA,：.ZAHN=ZAMG,ZMAG=

ZHNA,：.AK=NK,\"AD//GM,：.ZHAK=ZAMG,：.ZAHK=ZHAK,：.AK

=HK,：.AK=HK=NK,•:FN=HN,：.FN=2NK；故③正确；易知四边形4DMG

是矩形，***DM=AG=2.?,:S>AFN=3AN,bG=^X1X2=l,5AADM=~AD-DM=

|X4X2=4,：.S^AFN：S^ADM=1：4,故④正确，.•.选C.

变式2.1V10【解析】如解图，连接5。，BF,在正方形A5C。和正方形MG5

中，ZABD=ZGBF=45°,：.ZDBF=90°.由题意，得EB=2,BC=4,：.BF

=V2EB=2V2,5D=V2fiC=4V2,在Ra下中，由勾股定理，得DF=

JBF2+BD2=2VIO,又•.•”是。下的中点，:.BH=WDF=再.

AD

变式2.1题解图

3.15【解析】如解图，•.,四边形A5CZ),ECGF,/G”K均为正方形，

AD=1Q,CE=FG=CG=EF=6,ZCEF=ZF=90°,GH=IK=4,：.CH=CG

+GH=W,：.CH=AD,VZD=ZDCH=90°,ZAJD=ZHJC,

.*.△ADJ^AHCJ(AAS),：.CJ=DJ=5,：.EJ=1,,：GL//CJ,：.AHGL^AHCJ,

：：：阴影梯形

CJCH5.GL=2,.FL=4,.S=S=1，(E7+F£)-EF=，-X(1+4)X6

=15.

10D

第3题解图

变式3.1卷【解析】如解图，设A"分别交CD,FG,BM于息K,I,L,BM

分别交C。，尸G于点尸，Q,AH=m,