2025年新高考数学一轮复习：导数与函数的极值、最值（七大题型）（讲义）（学生版+解析）

第03讲导数与函数的极值、最值

目录

01考情透视目标导航.............................................................2

02知识导图思维引航.............................................................3

03考点突破•题型探究.............................................................4

知识点1：函数的极值...........................................................................4

知识点2:函数的最大（小）值...................................................................5

解题方法总结...................................................................................5

题型一：求函数的极值与极值焉..................................................................6

题型二：根据极值、极值点求参数................................................................7

题型三：求函数的最值（不含参）................................................................8

题型四：求函数的最值（含参）..................................................................9

题型五：根据最值求参数.......................................................................10

题型六：函数单调性、极值、最值的综合应用.....................................................10

题型七：不等式恒成立与存在性问题.............................................................12

04真题练习•命题洞见............................................................12

05课本典例高考素材............................................................13

06易错分析答题模板............................................................14

易错点：对/（X0）为极值的充要条件理解不清......................................................14

答题模板：求可导函数/（x）的极值...............................................................15

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

2024年I卷第10题，6分

2024年n卷第16题，15分高考对最值、极值的考查相对稳定，属于重

2024年n卷第11题,6分点考查的内容.高考在本节内容上无论试题怎样

2024年甲卷第21题，12分变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力

(1)函数的极值

2023年乙卷第21题，12分工具这一点，将函数的单调性、极值、最值等本

(2)函数的最值

2023年n卷第22题，12分质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就

2022年乙卷第16题，5分是具体问题的转化了.最终的落脚点一定是函数

2022年I卷第10题，5分的单调性与最值，因为它们是导数永恒的主题.

2022年甲卷第6题，5分

复习目标：

(1)借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.

(2)会用导数求函数的极大值、极小值.

(3)会求闭区间上函数的最大值、最小值.

考点突确.题理辉宝

「知识育亲

知识点1:函数的极值

(1)函数的极小值

如果对飞附近的所有点都有力>)>/(%),而且在点x=x0附近的左侧广(x)<0,右侧r(x)>0,则称

/(X。)是函数的一个极小值，记作y极小值=/(x0).

(2)函数的极大值

函数/(%)在点x0附近有定义，如果对尤。附近的所有点都有f(x)</(不)，而且在点尤=/附近的左侧

r(x)>0,右侧广(x)<0,则称/(X。)是函数的一个极大值，记作y极大值=/(%).

(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

(4)求/(>)极值的步骤

①先确定函数/(%)的定义域；

②求导数f'(x);

③求方程尸(x)=0的解；

④检验了'(X)在方程((幻=0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，

那么函数y=/(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数

y=/(x)在这个根处取得极小值.

②((无。)=0是尤。为极值点的既不充分也不必要条件，如/(x)=V,尸(0)=0,但%=0不是极值

点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数/(x)=W，在极小值点无。=0是不可导的，于是有如下结论:

%为可导函数/(X)的极值点=>/'(不)=0；但/'(Xo)=o£xo为了(尤)的极值点.

【诊断自测】(2024•辽宁•三模)下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是()

A./(x)=:vsinxB.〃x)=x+—

c.”x)=e*+，D./(x)=|x+l|-|x-l|

知识点2：函数的最大(小)值

(1)函数/(%)在区间［a,b］上有最值的条件：

如果在区间3,切上函数y=/(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

(2)求函数y=/(x)在区间侬,田上的最大(小)值的步骤：

①求y=/(x)在(〃z,〃)内的极值(极大值或极小值)；

②将y=/(©的各极值与/(㈤和/(〃)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

【诊断自测】函数/(幼=/—%彳«—2,2］的最小值为一.

解题方法总结

(1)若函数/⑺在区间。上存在最小值"XL和最大值"矶1贝U

不等式/(尤)>4在区间。上恒成立u>“X)1mli>a；

不等式2a在区间Z)上恒成立o/(x)m,n>a；

不等式/(x)<6在区间。上恒成立o/(%)_<&；

不等式〃x)。在区间。上恒成立o<b；

(2)若函数“力在区间。上不存在最大(小)值，且值域为(加，”)，则

不等式〃x)>a(或f(x)2a)在区间D上恒成立omNa.

不等式/(x)〈“或/(x)/)在区间。上恒成立OWIV/P.

(3)若函数〃x)在区间。上存在最小值/(x)1nhi和最大值"Mm—即〃尤)则对不等式有

解问题有以下结论：

不等式a</(x)在区间。上有解oa</⑺鹏；

不等式a<〃无)在区间。上有解oaV/⑺1mx；

不等式a>/(x)在区间。上有解0。>/(力同；

不等式a2在区间。上有解血口；

(4)若函数/(x)在区间O上不存在最大(小)值，如值域为(加，”)，则对不等式有解问题有以下结

论:

不等式a</(彳)(或@4/(训在区间。上有解

不等式)〉/(x)(或b2/(X))在区间£)上有解0匕>7"

(5)对于任意的％e[a,可，总存在々e[m,n],使得了(xjVg(%)o/(xj1mx<；

(6)对于任意的国e[a,可，总存在々ejm,n],使得/■(%)2g(%)O〃%)1nto2g(尤2)1nhi;

⑺若存在石e[a,b],对于任意的々©[m,n],使得/(xj<g(%)o/(々L(g(%)而口；

(8)若存在玉e[a,b],对于任意的々ejm,n\,使得了(xj2g(%)o"xj1mx2g(尤2)1n；

(9)对于任意的百句。，b],x2e[m,可使得“xjWg(x?)o"%)1mxWg(%L；

(10)对于任意的尤je[a,b],x2e[m,)使得2g^)o“占)皿潼；

(11)若存在存e[a,可,总存在尤2©[m,n\,使得Vg(%)o〃%)1nhiVg(%)111ax

(12)若存在％e[a,b],总存在％e[m,n],使得2g(%)o〃%)111ax2g(%)血》•

(题甄察J]

题型一：求函数的极值与极值点

【典例1-1]“％是函数”X)的一个极值点”是“〃尤)在看处导数为0”的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【典例1-2】如图，可导函数>=/(尤)在点P(Xo，“％))处的切线为/：y=g。)，设6(元)=〃尤)-g(x),则

下列说法正确的是()

B.VXGR,hr(x)<0

C.//(%)=0,工=%是/z(x)的极大值点D."(5)=。,犬=不是，(X)的极小值点

【方法技巧】

1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程尸(x)=0根左右的符号，更要注意变号后极大值与

极小值是否与已知有矛盾.

2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零.这个零点必须穿越x轴，否

则不是极值点.判断口诀：从左往右找穿越（导函数与x轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大.

【变式1-1］（2024.辽宁鞍山二模）〃%）=公b的极大值为—.

【变式1-2］（2024.河南.三模）已知函数/（x）=ox-lnx,且/（刈在x=l处的切线方程是x-y+6=0.

⑴求实数。，人的值；

（2）求函数/（元）的单调区间和极值.

【变式1-3］（2024•北京东城・二模）已知函数/'（尤）=xsin2尤+cos2尤.

⑴求曲线y=在卜：,4-3）处的切线方程；

27rSjr

（2）求函数/（x）在区间-y,不上的极值点个数.

【变式1-4】已知函数/（x）=a*-elog“x-e,其中a>l.讨论/O）的极值点的个数.

题型二：根据极值、极值点求参数

【典例2-1］（2024.广西.模拟预测）设用工0,若x为函数〃*）=4（彳°）2（厂6）的极大值点，则（

A.a<bB.a>bC.ab<b2D.ab>b2

【典例2-2】（2024•高三・陕西咸阳•期中）若函数/（元）=alnx」+3（aw0）既有极大值也有极小值，贝心的

XX

取值范围是（）

A.（-川B.C.（。,力D.（0,1］

【方法技巧】

根据函数的极值（点）求参数的两个要领

（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；

（2）验证：求解后验证根的合理性.

【变式2-1］已知函数/。）=6111尤+1/+2以+/-34在x=l处取得极小值则2的值为一.

22a

【变式2-2］（2024.全国.模拟预测）已知函数〃到=幽吧誉型+x在（0,兀）上恰有两个极值点，则实数

e

。的取值范围是（）

（5口（5三、

A.0,^-e4B.（一叫匕兀）C.（0僧兀）D.（e'+oo

V2JI2）

【变式2-3］（2024.四川.模拟预测）已知函数/⑺的导函数（（x）=（x+D（尤2+4x+a）,若-1不是了⑺的

极值点，则实数。=.

【变式2-4］若函数/（尤）=疣，-（〃7-%2，存在唯一极值点，则实数m的取值范围是.

【变式2-5］（2024•四川绵阳•模拟预测）若小三是函数=；办2-/+1（℃2的两个极值点且无2、2占，

则实数”的取值范围为一.

【变式2-6】已知函数/（可二任+力期X，若x=0是的极大值点，则a的取值范围是.

【变式2-7】已知七和巧分别是函数/（尤）=2优-ed（a>0且中1）的极大值点和极小值点.若再<多，

则实数。的取值范围是—.

题型三：求函数的最值（不含参）

【典例3-1］函数/（x）=；x2-（e-l）x-elnx的最小值为

【典例3-2】函数/（x）=2d—6f+=（优为常数）在-2,3］上有最大值3,则/⑺在［-2,3］上的最小值

为一

【方法技巧】

求函数“X）在闭区间匕,句上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值/（a）,f（b）

与/（%）的各极值进行比较得到函数的最值.

一炉+3x+2

【变式3-1］（2024•浙江杭州.二模）函数〃尤）=的最大值为一.

Jx+1

【变式3-2］当％=2时，函数〃力=X3+加_12］取得极值，则/⑴在区间［T4］上的最大值为

einy64

【变式3-3］（2024・高三.山东青岛•开学考试）已知0<x<兀，则―匚+—^的最小值为_______.

1-COSX1+cosX

题型四：求函数的最值(含参)

【典例4-1】已知函数/(x)=eX-ox-l.

(1)当。=1时,求/(X)的单调区间与极值;

(2)求/(%)在［1,+8)上的最小值.

【典例4-2】(2024・四川南充・二模)设函数八x)=±|e，，g(x)=至上竿二丝.

(1)求函数/(X)的单调性区间；

2

⑵设04根＜2,证明函数g(x)在区间(0,+e)上存在最小值A,且IvAW?

【方法技巧】

若所给的闭区间团，句含参数，则需对函数〃无)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从

而得到函数的最值.

【变式4-1］(2024・四川自贡.一模)函数〃x)=e'-Inx的最小值为机.

⑴判断机与2的大小，并说明理由：

⑵求函数g(x)=hu:-J的最大值.

【变式4-2］已知函数/(x)=(x—%—1)如=eR).

⑴当左=1时，求/⑺在(0,-2)处的切线方程;

⑵讨论了(%)在区间［0,3］上的最小值.

【变式4-3］已知函数/'(乃=2/_办2+2,当0＜。＜3时，记/(X)在区间［0』的最大值为M,最小值为加,

求以一利的取值范围.

【变式4-4】已知函数/(同=；d+等/+2办.

⑴当a=0时，求函数/⑺在点(1,/⑴)处的切线方程;

(2)求函数/⑺的单调区间和极值；

⑶当ae(1,2)时，求函数/(x)在［-2a,可上的最大值.

题型五：根据最值求参数

【典例5-1］(2024.河南南阳.一模)已知函数“力=31-211«+(4-1)尤+3在区间。,2)上有最小值，则整

数。的一个取值可以是—.

【典例5-2］已知awO,若函数〃x)=,।有最小值，则实数”的最大值为一.

【方法技巧】

已知函数最值，求参数的范围，列出有关参数的方程或不等式，然后求其参数值或范围.

【变式5-1］(2024・广西南宁.一模)已知函数/(力=(%-1卢+加的最小值为-1,则实数“的取值范围

为一

【变式5-2］(2024•广东・二模)已知函数“x)=x(e'i-2a)-lnx的最小值为0,则a的值为.

【变式5-3】已知函数/(x)=/ex+alnx的最小值为1,则。的取值范围为.

【变式5-4］若函数〃x)=ar+xe-"-lnx-1的最小值为0,则实数。的最大值为一.

题型六：函数单调性、极值、最值的综合应用

【典例6-1】已知/(x)=«(2-lnx),g(x)=/(x)+ax-3,其中aG(0,+oo).

(1)判断了(无)的单调性并求其最值；

(2)若g(无)存在极大值，求。的取值范围，并证明此时g(x)的极大值小于0.

【典例6-2】(2024・高三.湖南.期末)已知函数〃元)=1内+1-247+0有两个不同的极值点为三.

X

(1)求。的取值范围.

(2)求/(幻的极大值与极小值之和的取值范围.

(3)若me,,：)则/(附-/(九)是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由.

【方法技巧】

函数单调性、极值、最值的综合应用通常会用到分类讨论、数形结合的数学思想方法.

【变式6-1】设/⑺=劲”-

X

⑴若。=0,讨论“X)的单调性；

(2)若a20,求的最大值(用。表示)；

(3)若〃x)恰有三个极值点，直接写出。的取值范围.

【变式6-2](2024.海南.模拟预测)己知函数〃x)==-eX+MaeR).

(1)若函数/(x)在区间(T»,ln2)上单调递增，求实数”的取值范围.

(2)设函数/(x)有一个极大值为一个极小值为N,试问：N-朋■是否存在最小值？若存在最小值，求

出最小值；若不存在最小值，请说明理由.

题型七：不等式恒成立与存在性问题

【典例7-1】已知函数〃x）=xlnx-依+1,若存在而e（o,+8）,使得了小）<0成立，则实数。的取值范

围___.

【典例7-2】已知函数/（x）=（x-1）-+mx2,g（x）=x3---/7ZX,（XG（0,2],0</W<6）.若

^£（0,2],使/GJvgG）成立，则实数机的取值范围为.

【方法技巧】

在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最

值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数.

【变式7-1】函数/（x）=e*—26-e+匕20对任意xeR成立，则1的最小值为（）

A.4B.3C.-D.2

2

【变式7-2]（2024•山东泰安・二模）己知函数无）=（。>0）.

⑴若“X）的极大值为1」，求。的值；

e

⑵当时,若我e[l,”o）,切«F,0]使得/&）+『（马）=0,求〃的取值范围.

【变式7-3]（2024•高三•陕西商洛•期中）已知函数7'（x）=l+lnx,g（x）=e\若/&）=g（/）成立,则

%的最小值为（）

A.1B.2C.eD.In2

1.（2024年新课标全国H卷数学真题）（多选题）设函数F（x）=2x3-3a/+l,则（）

A.当a>l时，/⑴有三个零点

B.当。＜0时，x=0是/(x)的极大值点

C.存在。，6,使得x=b为曲线y=/(x)的对称轴

D.存在a,使得点为曲线y=/(x)的对称中心

2.(多选题)(2024年新课标全国I卷数学真题)设函数/(乃=。-1)2。-4),则(

A.x=3是/(X)的极小值点B.当0。<1时，f(x)<f(x2)

C.当l<x<2时，-4</(2x-l)<0D.当-l<x<0时，/(2-%)>/(%)

3.(2022年高考全国乙卷数学(文)真题)函数/(x)=cosx+(x+l)sinx+l在区间［0,2兀］的最小值、最大

值分别为()

,兀兀-3兀兀e3兀兀小

A.—，一B.-----,一Y+2D.-----,—F2

222222

b

4.(2022年高考全国甲卷数学(理)真题)当X=1时，函数/(x)=alnx+—取得最大值—2,贝U-⑵=

X

)

A.-1B-4D.1

5.(多选题)(2023年新课标全国H卷数学真题)若函数/(x)=alnx+g+5(aw0)既有极大值也有极小

值，贝I().

A.bc>0B.ab>0C.b2+Sac>0D.ac<0

1.将一个边长为。的正方形铁片的四角截去四个边长均为尤的小正方形，做成一个无盖方盒.

(1)试把方盒的容积V表示为尤的函数；

(2)x多大时，方盒的容积V最大？

2.用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得w个数据%,出，

1〃

证明：用九个数据的平均值x=表示这个物体的长度，能使这"个数据的方差

几;=1

1〃

〃X)=*(f)2最小.

4

3.已知某商品进价为。元/件，根据以往经验，当售价是＞32元/件时，可卖出c件.市场调查表明,

当售价下降10%时，销量可增加40%.现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？

4.已知函数/（犬）=/+必+4，试确定〃，4的值，使得当x=l时，f（尤）有最小值4.

5.已知函数/（x）=x（x-c）2在x=2处有极大值，求c的值.

6.已知A,2两地的距离是130km、根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在50〜100km/h,假设油

价是7元/L,以x"的速度行驶时，汽车的耗油率为「总卜h,司机每小时的工资是35元.那么最

经济的车速是多少？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少？

㈤6

/4错分柝二答题模粒v

易错点：对大X0）为极值的充要条件理解不清

易错分析：对/（X）为极值的充要条件理解不清，导致出现多解.

答题模板：求可导函数八X）的极值

1、模板解决思路

解决求可导函数“X）的极值的问题，关键是检验定义域内导数值为。的点左右两侧的导数值是否异号,

若异号，则该点为极值点，否则不为极值点.

2、模板解决步骤

第一步：先确定函数八＞）的定义域；

第二步：求导数/（X）;

第三步：求方程_f（x）=O的解；

第四步：检验尸（x）在方程（（x）=0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近

为负，那么函数y=/（x）在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数

y=f（x）在这个根处取得极小值.

【易错题1】已知函数〃x）=31nx-；ox2+（3a-l）x,其中"0,若x=3是/⑺的极小值点，则实数a

的取值范围为

【易错题2】函数/。）=尤3-3/尤2_3以在户1取得极值，则实数.

第03讲导数与函数的极值、最值

目录

01考情透视目标导航.............................................................2

02知识导图思维引航.............................................................3

03考点突破•题型探究.............................................................4

知识点1：函数的极值...........................................................................4

知识点2:函数的最大（小）值...................................................................5

解题方法总结...................................................................................5

题型一：求函数的极值与极值舄..................................................................6

题型二：根据极值、极值点求参数................................................................7

题型三：求函数的最值（不含参）................................................................8

题型四：求函数的最值（含参）..................................................................9

题型五：根据最值求参数.......................................................................10

题型六：函数单调性、极值、最值的综合应用.....................................................10

题型七：不等式恒成立与存在性问题.............................................................12

04真题练习•命题洞见............................................................12

05课本典例高考素材............................................................13

06易错分析答题模板............................................................14

易错点：对外⑹为极值的充要条件理解不清......................................................14

答题模板：求可导函数/(*)的极值...............................................................15

春情目标导航

考点要求考题统计考情分析

2024年I卷第10题，6分

2024年n卷第16题，15分高考对最值、极值的考查相对稳定，属于重

2024年n卷第11题,6分点考查的内容.高考在本节内容上无论试题怎样

2024年甲卷第21题，12分变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力

(1)函数的极值

2023年乙卷第21题，12分工具这一点，将函数的单调性、极值、最值等本

(2)函数的最值

2023年n卷第22题，12分质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就

2022年乙卷第16题，5分是具体问题的转化了.最终的落脚点一定是函数

2022年I卷第10题，5分的单调性与最值，因为它们是导数永恒的主题.

2022年甲卷第6题，5分

复习目标：

(1)借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.

(2)会用导数求函数的极大值、极小值.

(3)会求闭区间上函数的最大值、最小值.

考点突破■题型探究

知识固本

知识点1:函数的极值

(1)函数的极小值

如果对不附近的所有点都有f(x)>f(x0),而且在点x=X。附近的左侧f'(x)<0,右侧r(x)>0,则称

f(x。)是函数的一■个极小值，记作>极小值=/(%).

(2)函数的极大值

函数/(X)在点与附近有定义，如果对与附近的所有点都有了(无)<y(尤0),而且在点x=x0附近的左侧

f'(x)>o,右侧r(x)<o,则称/(/)是函数的一个极大值，记作y极大值=/(%).

(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

(4)求,(x)极值的步骤

①先确定函数/(%)的定义域；

②求导数广⑺;

③求方程/'(x)=0的解；

④检验尸(x)在方程((x)=0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，

那么函数y=/(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数

y=f(x)在这个根处取得极小值.

注：①可导函数/(无)在点X。处取得极值的充要条件是：X。是导函数的变号零点，即/(尤。)=0,且在

%左侧与右侧，广(尤)的符号导号.

②尸(%)=0是％为极值点的既不充分也不必要条件，如/(x)=V,尸(0)=0,但%=0不是极值

点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数/(x)=|x|,在极小值点x0=0是不可导的，于是有如下结论:

X。为可导函数f(x)的极值点=>f'(xo)=O；但/'(X。)=0幺/为f(x)的极值点.

【诊断自测】(2024.辽宁•三模)下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是()

A.f(^)=xsinxB./(x)=x+—

c.”x)=e*+，D./(x)=|x+l|-|x-l|

【答案】B

【解析】对A,xeR,f(—x)=(-x)sin(—元)=xsinx=f(X),故/(x)为偶函数，不符题意；

对B,xe(-oo,0)o(0,+co),y(_x)=-x-L=-/(x)为奇函数，

X

=1y=0,得％=±1,

当X£(0,l)时尸(芯)<0,%£(1,+00)时/(%)>0,

故了⑴的极小值，故B正确；

对C,〃-尤)=尸+'7=/+，7=/(尤)为偶函数，不符题意；

ee

2,x>1

对D,/(x)=2x—2,—l«x<l无极值，不符题意，

—2,x<一1

故选：B

知识点2：函数的最大(小)值

(1)函数/(x)在区间切上有最值的条件：

如果在区间值切上函数y=/(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

(2)求函数y=/(x)在区间值切上的最大(小)值的步骤：

①求y=/(x)在(〃?，〃)内的极值(极大值或极小值)；

②将y=/(x)的各极值与7'(九)和/(")比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最

值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

【诊断自测】函数/(耳=丁一%工4_2,2］的最小值为一.

【答案】-6

【解析】函数尸(x)=3为2—1,

当尤e-2,-日时，r(x)>0,/(无)单调递增，

当尤e冬2时,f(x)>0,/(x)单调递增,

当时，f(x)<0,“X)单调递减,

所以“X)的最小值为-6.

故答案为：-6.

解题方法总结

(1)若函数八可在区间。上存在最小值"x*和最大值"力厘，贝I

不等式“力>。在区间。上恒成立O/CQmm>。；

不等式“X)2a在区间。上恒成立o/(x)mjn>a；

不等式<6在区间。上恒成立o〃x)2<b；

不等式〃x)。在区间。上恒成立o1mx<b；

(2)若函数“可在区间。上不存在最大(小)值，且值域为(犯”)，则

不等式/(x)>a(或/'⑺2a)在区间£>上恒成立<=>m>a.

不等式/(x)<b(或/(%)<6)在区间D上恒成立<^>m<b.

(3)若函数在区间。上存在最小值“X)1nhi和最大值1n,即”尤)式几句,则对不等式有

解问题有以下结论：

不等式a</(x)在区间。上有解oa〈/⑺鹏；

不等式。</(尤)在区间。上有解尤)a；

不等式a>/(x)在区间。上有解0心/⑴讪；

不等式a2在区间。上有解疝°；

(4)若函数/(x)在区间。上不存在最大(小)值，如值域为(皿〃)，则对不等式有解问题有以下结

论：

不等式”/(x)(^a<在区间。上有解oa<"

不等式>>/(x)(或b2/(x))在区间O上有解加

(5)对于任意的”川,总存在〃],使得〃%)Vg(%)o〃1MxMg(3)1KH;

(6)对于任意的％e[a,可，总存在％e[m,n],使得〃%)2g(%)。/(再).2;

(7)若存在/e[a,b],对于任意的/ejm,n],使得/(%)4g(%)o/(%)1nhi《g^)1nhi;

(8)若存在再e[a,b],对于任意的々©[m,n],使得"%)2g^)u>"xj1mxg(%)1mlx;

⑼对于任意的菁e[a,b],x2G[m,〃]使得〃占)Vg(%)o<gHL；

(10)对于任意的xte[a,b],x2e[m,n]使得“xj2g(%)o2g(%叶;

(11)若存在xe[a,可,总存在々e[m,n],使得Vg(%)oVg(%)1rax

(12)若存在b],总存在々©[m,n],使得g(3)o1mxNg(%)1nto.

[J]

题型一：求函数的极值与极值点

【典例1-1]“%是函数”X）的一个极值点”是“〃尤）在％处导数为0”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】当/（x）=X3时，r（x）=3x2,则/（x）在x=。处导数为0,但0不是它的极值点；

当〃x）=W时，则/'（X）在x=0处导数不存在，但0是它的极值点；

因此题干两条件是既不充分也不必要条件.

故选：D.

【典例1-2】如图，可导函数＞=/（尤）在点尸（飞,〃/））处的切线为/:y=g（x）,设人（元）=”尤）-g（x）,则

A.3xeR,h(x)>0B.VXGR,/I'(N)VO

c.〃'(%)=O,x=Xo是〃(X)的极大值点D.〃(%0)=0,%=不是/i(x)的极小值点

【答案】C

【解析】因函数y=/(X)在点P(Xo，〃X。))处的切线为，-/(%)=尸@)57。),

即g(x)=f'(xo)x-xof\xo)+/(x0),则以>)=f(x)-g(x)=f(x)-f'(xo)x+xof'(xo)-f(x0),

于是,"(x)=r(x)--(%)i由图知，当了</时，户》>广(9),此时/i'(x)>0,

当X>/时，f'(x)</'(X。),此时h\x)<0.

对于B项，由上分析，B项显然错误；

对于C,D项，由上分析，当苫<七时，〃(x)单调递增；当X〉/时，力(尤)单调递减，

即当尤=不时，/z(x)取得极大值，且〃(%)=0,故C项正确，D项错误；

对于A项，由上分析x=/时，力(x)取得极大值〃(%)=0,也是最大值，

则有VxeR,〃0)W0,故A项错误.

故选：C.

【方法技巧】

1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程((x)=0根左右的符号，更要注意变号后极大值与

极小值是否与已知有矛盾.

2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零.这个零点必须穿越x轴，否

则不是极值点.判断口诀：从左往右找穿越(导函数与x轴的交点)；上坡低头找极小，下坡抬头找极大.

【变式1-1](2024.辽宁鞍山二模)/(力=/1的极大值为—.

【答案】4

e

【解析】/'(X)=2xe-A+X2^-e~x^=(2x-x2^e^x=-x(%-2)e-1:,

当X«YO,0)(2,+oo)时,/,(x)<0,当x«0,2)时，>0,

故在(-90)、(2,+s)上单调递减，在(0,2)上单调递增，

故有极大值/⑵=2?e-2=*

，――，4

故答案为：—.

e

【变式1-2](2024・河南・三模)已知函数/(%)=依-Inx,且了⑺在％=1处的切线方程是％->+匕=。.

⑴求实数。，人的值；

⑵求函数〃%)的单调区间和极值.

【解析】(1)因为/(x)=ox-lnx,所以尸=

又Ax)在x=l处的切线方程为y=x+6,

所以八=f(y)=a=\+b,

解得a=2,b=l.

1Or_1

(2)由(1)可得/(%)=2x—In%定义域为(O,+8),则广(%)=2——=——,

XX

当时，尸(x)<0,此时函数单调递减，

当xe(g,+co1时，f\x)>0,此时函数/(无)单调递增，

则〃幻在x=；处取得极小值，

所以fM的单调递减区间为,单调递增区间为J,

因此极小值为7[g]=l+ln2,无极大值.

【变式1・3】(2024.北京东城.二模)已知函数/(x)=xsin2x+cos2x.

⑴求曲线y=在修"TJ处的切线方程；

2冗57r

(2)求函数/(x)在区间-y,不上的极值点个数.

【解析】(1)因为/(%)=xsin2x+cos2%

则/'(%)=sin2x+2%cos2x—2sin2x=2%cos2x-sin2x,

可知切点坐标为切线斜率左=1,

所以曲线y=/(x)在卜处的切线方程为了一>+：，即x-y+]=o.

(2)令r=2x,则无=:1,令g«)=，sinf+cosr,

因为g(r)的定义域为R,且g(T)=:(T)sin(V)+cos(V)=sinf+cosf=g⑺,

可知g⑺为偶函数,

tcost-

2兀5兀4兀5兀

若贝Ijfe

xeT，-6"

取d吟

,构建M0=£cosT-sin.,贝!J(Z)=cost-tsint-cost=-tsint,

当fe（O,兀）时，〃⑺<0；当时，〃⑺>0；

私g）内单调递增,

可知咐）在（0,兀）内单调递减，在

4兀2兀73571

则/?(7t)</?(0)=Q,h---1---

32-3

故碎）在（o，g

内存在唯一零点办

当f«Ojo)时，h(t)<0,即g'«)<0；当re,,g)时，/z(r)>0,即g'«)>0；

可知g⑺在（。区）内单调递减，在，,内单调递增,

对于fe--,y,结合偶函数对称性可知：

g⑺在（。,/°）内单调递减，在内