2025年中考数学专项复习：特殊三角形（13类重点考向）（原卷版）

专题15特殊三角形

目录一览

知识目标（新课程标准提炼）

中考解密（分析考察方向，精准把握重难点）

重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）

A考向一等腰三角形的性质与判定

A考向二三角形的内角和

A考向三全等三角形的判定与性质

A考向四含30。角的直角三角形

A考向五直角三角形斜边上的中线

A考向六勾股定理

A考向七勾股定理的证明

A考向八勾股数

A考向九勾股定理的应用

A考向十勾股定理一最短路径问题

A考向十一等腰直角三角形

A考向十二三角形中位线定理

A考向十三三角形的综合题

最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）

H知识目标

i,了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、

中线及顶角平分线互相重合；探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形；

2,探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60。，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的

三角形（或有一个角是60。的等腰三角形）是等边三角形.

3,了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余；直角三角形

斜边上的中线等于斜边的一半；掌握有两个角互余的三角形是直角三角形;

4.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.

中考解密

该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10分左右，预计

2024年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查等腰（等边）三角形和勾股定理与中位线性质、三

角形全等、三角形内外角性质、尺规作图等知识点结合考察，这部分知识需要学生扎实地掌握基础，并且

会灵活运用.在解答题中会出现等腰三角形与直角三角形的性质和判定,这部分知识主要考查基础。

生重点考向

A考向一等腰三角形的性质与判定

1.等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴.

2.等腰直角三角形的两个底角相等且等于45。.

3.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.

4.等腰三角形的三边关系：设腰长为a,底边长为b,则2<a.

2

]80°—//

5.等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为NA,底角为NB、NC,则/A=180O-2/B,NB=/C=-------------.

2

6.等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等

关系的重要依据.

7.底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形.

河北5一西遗形7万三的预正如囱厮示「对鬲分7万的飞度施国造形布获曲西奏而斐花厂ifim

为等腰三角形时，对角线的长为（）

2.（2023•大庆）某建筑物的窗户如图所示，上半部分△48C是等腰三角形，AB^AC,AF：BF=3：4,点

G、H、尸分别是边/2、AC.3c的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE//IJ//MN//CD,制造窗户

框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，3E=y米.

（1）求夕与X之间的函数关系式，并求出自变量X的取值范围；

（2）当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积.

3.（2023•潍坊）如图，在及42。中，CD平分AELCD,垂足为点E,过点£作E尸〃BC,交/C

于点RG为的中点，连接尸G.求证：FG=^AB.

A考向二三角形的内角和

廨题技I句易错易意一一

1.等边三角形具有等腰三角形的一切性质.

2.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴.

3.等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合.

4.在等腰三角形中，只要有一个角是60。，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形.

5.等腰（等边）三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底

边上的高重合.

4.（2023•细雨）而鼠舌写扬△/23吊,而莫55面王拓市瓯随哀Bd至舌、E,硬不二CD,香D足二福;

贝口2=（

A

5.（2023•凉山州）如图，边长为2的等边A/BC的两个顶点N、5分别在两条射线。河、ON上滑动，若

OMLON,则OC的最大值是______________

"fIaC

°AM

6.（2023•雅安）如图，四边形/BCD中，4B=AD,BC=DC,ZC=60°,AE〃CD交BC于点、E,BC=8,

AE1=6,则AB的长为_______________.

A

c

A考向三全等三角形的判定与性质

7.（2023•衢州）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角/O的大小，需将/。转化

为与它相等的角，则图中与N。相等的角是（）

凸面凹面

宽+普当cobb>10°为脊柱侧弯

宽言味。鹤>0

A.ZBEAB.ZDEBC.NECAD.ZADO

8.（2023•攀枝花）如图，在A/BC中，//=40。，ZC=90°,线段43的垂直平分线交于点。，交AC

于点£,则/即C=

A考向四含30。角的直角三角形

解题技巧/易错易混

在直角三角形中，30。的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明

一边（30。角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据.当题目中已知的条件或结论倾向于该

性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题.

5.…一，56西•贾丽）一二百万6一百厂与6方用国国际夭及施产亚薄宽今”茬贯而弁落「茬'“百动花豆库库;洋宥许塞

几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120。，腰长为12加，则底边上

的高是（）

10.（2022•十堰）【阅读材料】如图①，四边形4BCD中，AB=AD,N3+ND=180。，点E,歹分别在8C,

CDh,若NBAD=2/EAF,则EF=BE+DF.

【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形/BCD.已知CD=CB=100〃?，

ZD=60°,ZABC=120°,ZBCD=150°,道路ND,N5上分别有景点M,N,且。河=100根，BN=5Q

1）加，若在四，N之间修一条直路，则路线V—N的长比路线N的长少m

（结果取整数，参考数据：Vs«i.7）.

A考向五直角三角形斜边上的中线

11.（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：c〃?）测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知

90。，点。为边48的中点，点/、3对应的刻度为1、7,则CD=（）

A.3.5cmB.3cmC.4.5cmD.6cm

12.（2022•杭州）如图，在Rt/UCB中，/NCB=90。，点M为边N3的中点，点£在线段上，EFA.

/C于点/，连接CM,CE.已知/N=50。，/ACE=30。.

（I）求证：CE=CM.

（2）若NB=4,求线段/C的长.

A考向六勾股定理

解题技巧/易错易混

1.应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是C.若b为斜边，则关系

式是a2+c2=b2；若a为斜边,则关系式是b?+c2=a2.

2.如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解

时必须进行分类讨论，以免漏解.

而话.亨夏一）-蒋二前直箱三鬲板和二把货度为-2cl的直穴接如西方式至放「先把%6嘀fza鬲的顶点友

它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜

边分别交直尺上沿于4,3两点，则的长是（）

14.（2023•淮安）在四边形/5CD中，AB=BC=2,//BC=120。，比7为内部的任一条射线（N

CB8不等于60。），点。关于3H的对称点为C,直线NC与瓦/交于点尸，连接CC、CF,则ACCE

面积的最大值是.

A考向七勾股定理的证明

15.（2023•湖北）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是

由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.设图中DF=b,连接NE,BE,

,22

若△/£>£与A3昉■的面积相等，则且_:_=

2,2

16.（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股

定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图图②由弦图变化得到，它是由八个全

等的直角三角形拼接而成.记图中正方形/BCD、正方形EFGH、正方形的面积分别为Si、$2、

A考向八勾股数

17.（2023•南通）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的

是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数a,b,c,其中a,6均小于c,。=工"-工，

2222

m是大于1的奇数，则b=（用含m的式子表示）.

18.（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”.观察下列勾股

数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；....这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1.柏拉图

研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6,8,10；8,15,17；…，若此类勾股数的勾为

2m（m>3,加为正整数），则其弦是（结果用含加的式子表示）.

A考向九勾股定理的应用

19.（2023•恩施州）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”.书中记载：“今有户不知高、

广，竿不知长短.横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，

不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门

对角线恰好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是

尺.

DC

高龙/'

A广B

20.（2023•东营）——艘船由/港沿北偏东60。方向航行30的z至3港，然后再沿北偏西30。方向航行40初?

至C港，则/,C两港之间的距离为km.

21.（2022•常州）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形/BCD,

对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36c〃?时才会断裂.若/34D=60。，则橡皮筋/C断

裂（填“会”或“不会”,参考数据：V3=1.732）.

A考向十勾股定理一最短路径问题

22.（2022•金华）如图，圆柱的底面直径为48,高为NC,一只蚂蚁在。处，沿圆柱的侧面爬到3处，现

将圆柱侧面沿NC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（）

23.（2023•广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9c加，底面周长为16c冽，在杯内壁离杯底4c冽的点4处

有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1c冽，且与蜂蜜相对的点5处，则蚂蚁从

外壁B处到内壁A处所走的最短路程为cm.（杯壁厚度不计）

B

A考向H—等腰直角三角形

24.（2023•丽水）如图，在四边形/BCD中，AD//BC,NC=45。，以AB为腰作等腰直角三角形2/E,

顶点£恰好落在CD边上，若/。=1,则CE的长是（）

C.2D.1

25.（2023•苏州）如图，NB4c=90。,/8=/C=3衣，过点。作CD_L3C,延长C8到£,使

3

连接ED.若ED=2AE,则2E=.（结果保留根号）

A考向十二三角形中位线定理

26.（2023•陕西）如图，是A/BC的中位线，点尸在。5上，DF=2BF.连接EF并延长，与C3的延

长线相交于点若BC=6,则线段CN的长为（）

「15D.8

22

27.（2023•湖州）如图，在ZUBC中，AB=AC,/D_L3C于点D,点£为48的中点，连结已知

10,40=12,求BD,DE的长.

A

E

BDC

A考向十三三角形的综合题

28.（2023•大庆）如图，在ZUBC中，将绕点/顺时针旋转a至/将NC绕点/逆时针旋转0至

（00<a<180°,0°<p<180°）,得到△/夕C,使NB4C+乙BNC=180。,我们称△期C是ZUBC的“旋

补三角形"，△/9C的中线ND叫做A/BC的“旋补中线”，点/叫做“旋补中心”.下列结论正确的

有.

①△NBC与△/夕。面积相同；

②BC=2AD；

③若N3=/C,连接82'和CC',则N93C+/CC®=180°；

④若A8=/C,4B=4,BC=6,则3'C'=10.

29.（2023•重庆）如图，△A8C是边长为4的等边三角形，动点E,尸均以每秒1个单位长度的速度同时

从点/出发，£沿折线/一2-C方向运动，下沿折线方向运动，当两点相遇时停止运动.设运

动的时间为f秒，点E,歹的距离为y.

（1）请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量/的取值范围；

（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；

（3）结合函数图象，直接写出点£,尸相距3个单位长度时/的值.

9

8

7

6

5

4

3

2

1

O

1.（2023•衢州）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出C。防角的大小，需将/。转化

A.ZBEAB.ZDEBC.ZECAD./ADO

2.（2022•岳阳）如图，已知/〃/£CDLZ于点D,若NC=40。，则N1的度数是（）

C

3.（2022•绍兴）如图，把一块三角板N2C的直角顶点3放在直线斯上，NC=30。，AC//EF,则Nl=

4.（2021•黑龙江）如图，矩形4BCD的边CD上有一点£,/DAE=225。,EFLAB,垂足为R将

绕着点尸顺时针旋转，使得点/的对应点〃r落在M上，点£恰好落在点3处，连接下列结论：

①3AU/E；②四边形EEBC是正方形；③NEBM=30。；®S^BCEM-S^BFM=（2%年+1）：1.其中结

论正确的序号是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.③④

5.（2022•大连）如图，在A/BC中，ZACB=90°.分别以点/和点C为圆心，大于工/C的长为半径作弧,

2

两弧相交于M,N两点，作直线直线"N与48相交于点。，连接CD,若AB=3,则CD的长是

6.（2023•日照）已知直角三角形的三边a,b,c满足c>°>6,分别以a,b,c为边作三个正方形，把两

个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为Si,均重叠部分的面积

为S2,则（）

A.Si>S2B.Si<&

C.Si=s2D.S1,S2大小无法确定

7.（2023•乐山）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等

的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形面积为25,小正方形面积为1,则

8.（2022•湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如

图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积

均为1,a为直角三角形中的一个锐角，则tana=（）

a

A.2B.3C.工D.恒

225

9.（2023•泸州）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a,b,c的计算公式：

a=—（m2-n2），b=mn,c=—（/+/）,其中加>">0,m,〃是互质的奇数.下列四组勾股数中，

22

不能由该勾股数计算公式直接得出的是（）

A.3,4,5B.5,12,13C.6,8,10D.7,24,25

10.（2021•常德）阅读理解：如果一个正整数加能表示为两个正整数a,6的平方和，即〃?=4+62,那么

称加为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数

的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数.依次正确的是（）

A.②④B.①②④C.①②D.①④

11.（2022•长沙）如图，在△NBC中，按以下步骤作图：

①分别以点/、3为圆心，大于LB的长为半径画弧，两弧交于尸、。两点；

2

②作直线PQ交AB于点D；

③以点。为圆心，4D长为半径画弧交于点连接/"、BM.

A.4B.2C.V3D.我

12.（2023•西宁）在A/BC中，AB=AC,/R4c=100。，点D在边上，连接4D,若2UAD为直角三

角形，则N4D8的度数是.

13.（2023•吉林）如图，在A/BC中，AB=AC.分别以点8和点C为圆心，大于的长为半径作弧，

两弧交于点D,作直线交8C于点E.若NR4C=110。，则NA4E的大小为度.

14.（2023•山西）如图，在四边形48CD中，NBCD=9Q°,对角线NC,8。相交于点。.若4B=4C=5,

BC=6,ZADB=2ZCBD,则的长为

15.（2023•武汉）如图，平分等边△/2C的面积，折叠AADE得到AFDE,/C分别与。尸，即相交于G,

女两点.若DG=m,EH—n,用含加，”的式子表示G/Z的长是.

16.（2023•江西）将含30。角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知/a=60。，点8,C表示的

刻度分别为lc%，3cm,则线段48的长为cm.

17.（2023•攀枝花）如图，在A/BC中，ZA=4Q°,ZC=90°,线段N3的垂直平分线交于点。，交

/C于点£,则/MC=

C

E

ADB

18.（2021•陕西）如图，在R34BC中，ZC=90°,/B=30。,4B=8.若£、尸是BC边上的两个动点,

以EF为边的等边4EFP的顶点P在MBC内部或边上，则等边P的周长的最大值为.

19.（2023•荆州）如图，CD为RtA/BC斜边上的中线，£为/C的中点.若/C=8,CD=5,贝（IDE

20.（2023•泰州）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正

南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达

城堡边，再往前走6里到达树下.则该城堡的外围直径为_______里.

21.（2023•无锡）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从

之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其

长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等.问门高、

宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是.

22.（2022•泰州）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复

23.（2023•德阳）如图，在底面为正三角形的直三棱柱中，48=2«,44尸2,点M为/C

的中点，一只小虫从囱沿三棱柱/BC-NiBiG的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于—.

24.（2023•沈阳）如图，在R3/BC中，ZACB=90°,AC=BC=3,点。在直线/C上，/。=1,过点。

作DE//AB交直线BC于点E,连接BD,点、O是线段8。的中点，连接OE,则OE的长为.

25.（2022•黔西南州）如图，在△ABC和中，ZBAC^ZDAE=90°,ZB=60°,ZD=45°,4c与

DE相交于点F.若BC//AE,则AAFE的度数为.

26.（2023•广州）如图，在R348C中，ZACB=90°,AB=10,/C=6,点M是边/C上一动点，点

£分别是/瓦”5的中点，当/〃=2.4时，OE的长是.若点N在边3c上，且CN=4W,点

F,G分别是MN,/N的中点，当NM>2.4时，四边形。EFG面积S的取值范围是.

27.（2023•金华）如图，把两根钢条0区,的一个端点连在一起，点C,。分别是0/,03的中点，若

CD=4cm,则该工件内槽宽48的长为cm.

28.