03相似三角形题型之三线段比值问题

相似三角形线段比值问题例1a：b=c：d型，常通过相似比、平行线分线段成比例定理，三角形内角、外角平分线分线段成比例定理来实现。如图2-76所示．△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证：AB∶AC=BD∶DC．分析设法通过添辅助线构造相似三角形，这里应注意利用角平分线产生等角的条件．证明：过B引BE∥AC，且与AD的延长线交于E．因为AD平分∠BAC，所以∠1=∠2．又因为BE∥AC，所以∠2=∠3．从而∠1=∠3，AB=BE．显然△BDE∽△CDA，所以BE∶AC=BD∶DC，所以AB∶AC=BD∶DC．说明这个例题在解决相似三角形有关问题中，常起重要作用，可当作一个定理使用．类似的还有一个关于三角形外角分三角形的边成比例的命题，这个命题将在练习中出现，请同学们自己试证．例2：型，常通过比例法和通分法来实现比例法：将原等式变形为、，故构造以a＋b、b为边且与a、c所在三角形相似的三角形；通分法：先将原等式变形为。利用相关定理将两个比通分，即证出、，且，则原式成立。①如图2-78所示．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．即可，为此若能设法利用长度分别为AB，BC，CA及l=AB＋AC这4条线段，构造一对相似三角形，问题可能解决．注意到，原△ABC中，已含上述4条线段中的三条，因此，不妨以原三角形ABC为基础添加辅助线，构造一个三角形，使它与△ABC相似，期望能解决问题．证明：延长AB至D，使BD=AC(此时，AD=AB＋AC)，又延长BC至E，使AE=AC，连结ED．下面证明，△ADE∽△ABC．设∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，则∠A+∠B+∠C=7α=180°．由作图知，∠ACB是等腰三角形ACE的外角，所以∠ACE=180°-4α＝3α，所以∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α．从而∠EAB=2α＝∠EBA，AE＝BE．又由作图AE=AC，AE=BD，所以BE=BD，△BDE是等腰三角形，所以∠D＝∠BED＝α＝∠CAB，所以△ABC∽△DAE，所以②如图2-67所示．ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：分析与上例类似，求证中诸线段的位置过于“分散”，因此，应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证．证延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB．在△EIH中，由于DF∥IH，所以在△OED与△OBH中，∠DOE=∠BOH，∠OED=∠OHB，OD=OB，所以△OED≌△OBH(AAS)．从而DE=BH=AI，例3.型，常用以下方法：利用提公因式或平方差公式，将原式转化为等积式，再利用三角形相似加以证明；（2）要证，可在线段b所在的直线上取一点，则，则，再证、即可。①如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CFBF②在△ABC中，∠ACB＝2∠ABC。求证：。（按图示辅助线以两种方法证明）例4a2+b2，a2：b2型，常用勾股定理、射影定理、比例中项、线段的等量代换、比例相乘等途径来实现①如图2-80所示．P，Q分别是Rt△ABC两直角边AB，AC上两点，M为斜边BC的中点，且PM⊥QM．求证：PB2＋QC2=PM2＋QM2．分析与证明若作MD⊥AB于D，ME⊥AC于E，并连接PQ，则PM2＋QM2=PQ2=AP2＋AQ2．于是求证式等价于PB2+QC2=PA2+QA2，①等价于PB2-PA2=QA2-QC2．②因为M是BC中点，且MD∥AC，ME∥AB，所以D，E分别是AB，AC的中点，即有AD=BD，AE=CE，②等价于(AD＋PD)2-(AD-PD)2=(AE＋EQ)2-(AE-EQ)2，③③等价于AD·PD=AE·EQ．④因为ADME是矩形，所以AD=ME，AE=MD，故④等价于ME·PD=MD·EQ．⑤为此，只要证明△MPD∽△MEQ即可．下面我们来证明这一点．事实上，这两个三角形都是直角三角形，因此，只要再证明有一对锐角相等即可．由于ADME为矩形，所以∠DME=90°=∠PMQ(已知)．⑥在⑥的两边都减去一个公共角∠PME，所得差角相等，即∠PMD=∠QME．⑦由⑥，⑦，所以△MPD∽△MEQ．由此⑤成立，自⑤逆上，步步均可逆推，从而①成立，则原命题获证．②如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线AD交BC边于D，求证：．分析：可过C作CE⊥AD于E，可得AC2=AE•AD，又有平分线可得CE=EF，再过E作EG∥BC交AB于G，得出对应线段成比例，进而通过化简转化即可得出结论．解答：证明：过C作CE⊥AD于E，CE的延长线交AB于F，AC2=AE•AD，由∠CAD=∠FAE，AE⊥CF，得CE=EF，过E作EG∥BC交AB于G，则BC=2EG。例5比例连乘型与比例连加型，常用梅氏定理、塞瓦定理或相似比的积与和的形式实现。梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1。①一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB(或其延长线)分别交于D，E，F(如图2-68所示)．求分析设法引辅助线(平行线)将求证中所述诸线段“集中”到同一直线上进行求证．证明一：过B引BG∥EF，交AC于G．由平行线截线段成比例性质知证明二：过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。证明三：过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'，所以AD：DB=AA'：BB'，BE：EC=BB'：CC'，CF：FA=CC'：AA'所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1证明四：连接BF。（AD：DB）•（BE：EC）•（CF:FA)=（S△ADF：S△BDF）•（S△BEF：S△CEF）•（S△BCF：S△BAF）=（S△ADF：S△BDF）•（S△BDF：S△CDF）•（S△CDF：S△ADF）=1此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆：在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是L、M、N三点共线的充要条件是λμν=1。第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E，F，D三点共线，则(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin∠ABE)=1即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积，该形式的梅涅劳斯定理也很实用。第二角元形式的梅涅劳斯定理在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COA/sin∠AOE)=1。(O不与点A、B、C重合)②塞瓦定理在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》塞瓦定理是塞瓦重新发现。（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：∵△ADC被直线BOE所截，∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1①而由△ABD被直线COF所截，∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1（Ⅱ）也可以利用面积关系证明∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC③同理CE/EA=S△BOC/S△AOB④AF/FB=S△AOC/S△BOC⑤③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1塞瓦定理的应用：A：利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。B：可用塞瓦定理证明的其他定理三角形三条中线交于一点（重心）D,E分别为BC,AC中点所以BD=DCAE=EC所以BD/DC=1CE/EA=1且因为AF=BF所以AF/FB必等于1，所以三角形三条中线交于一点，即为内心。用赛瓦定理还可以证明三条角平分线交于一点用定比分点来定义塞瓦定理：在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=1。（注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是λμν=-1）塞瓦定理推论：1.设E是△ABD内任意一点，AE、BE、DE分别交对边于C、G、F，则(BD/BC)•(CE/AE)•(GA/DG)=1因为(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）所以(BD/CD)•(CE/AE)•(AF/FB)=K（K为未知参数）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K为未知参数）又由梅涅劳斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=12.塞瓦定理角元形式AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1由正弦定理及三角形面积公式易证3.如图，对于圆周上顺次6点A，B，C，D，E，F，直线AD，BE，CF交于一点的充分必要条件是：(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。A组：1.如图，在中，，，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）其中正确的个数是（）。A.4个B.3个C.2个D.1个2.如图梯形ABCD中，AB//CD，AB=3CD，E是对角线AC的中点，直线BE交AD于F，则的值是________。3.如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB<CD，一直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I，已知EF=FG=GH=HI=IJ，则=________。4.如图，EFGH是矩形ABCD的内接矩形，且EF:FG=3:1,AB:BC=2:1,则AH:AE=________。5.如图，AD是Rt斜边BC上的高，P是AD的中点，连接BP并延长交AC于E，已知AC:AB=k,求AE:EC的值。6．在△ABC中，AD是∠BAC的外角∠CAE的平分线．求证：AB∶AC=BD∶DC．7．如图2-84所示．在△ABC内有一点P，满足∠APB=∠BPC=∠CPA．若2∠B=∠A+∠C，求证：PB2＝PA·PC．提示：设法证明△PAB∽△PBC．)8．如图2-86所示．Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，P为AD的中点，延长BP交AC于E，过E作EF⊥BC于F．求证：EF2=AE·EC．9．在△ABC中，E，F是BC边上的两个三等分点，BM是AC边上的中线，AE，AF分别与BM交于D，G．求：BD∶DG∶GM．10.如图，设P是等边的一边BC上的任意一点，连接AP，它的垂直平分线交AB、AC于M、N两点，求证：。11.如图，D为的BC边的中点，E为AC边上的点，且AC=3CE，BE与AD交于O点。求的值。12.如图，AB是Rt的斜边，AE是的平分线，CDAB于D，交AE于F，FM//AB交CB于M。求证：（1）；（2）；（3）。13．如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：14．如图，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB·DF=AC·EF。分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。方法一：过E作EM//AB，交BC于点M，则△EMC∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）。方法二：如图，过D作DN//EC交BC于N，15．如图从ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：。证明：过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥AC于N∴∽∴∴（1）又∽∴∴（2）（1）+（2）又∴AN=CM∴16．在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。求证：EF×BC=AC×DF过D作DG∥BC交AB于G，则△DFG和△EFB相似，∴∵BE＝AD,∴①由DG∥BC可得△ADG和△ACB相似，∴∴②由①②得，∴EF×BC＝AC×DF17．中，，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：。过P作PE⊥AC于E，PF⊥CB于F，则CEPF为矩形∴PFEC∵∴∽∴∵EC=PF∴（1）在和中：CP⊥MN于Q∴又∵∴∴∽∴即（2）由（1）（2）得18．理由？（用三种解法）图（1）图（2）图(3)3、方法一：如图（1），设BC中点为E，连接AE。方法二：如图（2），在DA上截取DE=DC。在△BED与△BCD中，方法三：如图（3），过B作BE⊥BC于B，交CA的延长线于E。B组：点P为ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，2．如图，P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA．求证：3.如图，在正方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD上的一点，且，于G，求证：。4．在△ABC中，AB=AC,AD是中线，P是AD上一点，过点C作AB的平行线CF,延长BP交AC于E，交CF于F,求证：BP2=PE·PF。证明:连PC,由AB=AC,AD是中线可证△ABP≌△ACP,所以BP=CP∠ABP=∠ACP又AB‖CF,所以∠ABP=∠F所以∠ACP=∠F,且∠FPC是公共角,所以△PCE∽△PFC,所以PC/PF=PE/PC,所以PC^2=PE*PF,即BP^=PE*PF5．在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D,M为AD中点，BM的延长线交AC于P，PQ⊥BC于Q.求证:PQ2=PA·PC。证明：延长BA和QP,相交于点N.∵AD⊥BC于D,PQ⊥BC于Q.∴AD//NQ.∴BM/BP