1.4 充分条件与必要条件（讲义）原卷版-初升高暑假衔接之高一数学

1.4充分条件与必要条件命题命题的定义在数学中，把用语言、符号、或式子表达的，可以判断真假的陈述语句叫做命题。真命题，假命题判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题命题的一般形式通常用“若，则”的形式来表达，其中称为命题的条件，称为命题的结论。考点1：判断语句是否为命题例1：下列语句中不是命题的是（） B．二次函数的图象不一定关于y轴对称C． D．对任意，总有.考点2：判断命题的真假例2：下列命题是真命题的是（）．A．空集是任何集合的真子集B．等腰三角形是锐角三角形C．函数是二次函数D．若，则变式2-1：如果命题“若m<3,则q”为真命题,那么该命题的结论q可以是()m<2 B．m<4C．m>2 D．m>4变式2-2：下列命题是假命题的是（）．A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则考点3：命题的一般形式例3．判断下列语句是否为命题，若是，请判断真假并改写成“若，则”的形式.（1）垂直于同一条直线的两条直线平行吗？（2）三角形中，大角所对的边大于小角所对的边；（3）当是有理数时，都是有理数；（4）；（5）这盆花长得太好了！变式3-1．判断下列命题的真假并说明理由．（1）某个整数不是偶数，则这个数不能被4整除；（2）若，且，则，且；（3）合数一定是偶数；（4）若，则；（5）两个三角形两边一对角对应相等，则这两个三角形全等；（6）若实系数一元二次方程满足，那么这个方程有两个不相等的实根；（7）若集合，，满足，则；（8）已知集合，，，如果，那么．充分条件与必要条件充分条件与必要条件的定义一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出。由可推出，记作，并且说是的充分条件，是的必要条件。如果“若，则”为假命题，是指由条件不能推出结论，记作，则不是的充分条件，不是的必要条件。考点4：判断充分条件与必要条件例4：已知a,b,c是实数,判断下列命题的真假：(1)“”是“”的充分条件；(2)“”是“”的必要条件；(3)“”是“”的充分条件；(4)“”是“”的必要条件.例5：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（1）若平面内点P在线段的垂直平分线上，则；（2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；（3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.变式5-1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？（1）若直线l与有且仅有一个交点，则l为的一条切线；（2）若x是无理数，则也是无理数.变式5-2判断下列各题中，p是否是q的充分条件，q是否是p的必要条件：（1）；（2）p：x是矩形，q：x是正方形.例6：已知命题：，①②则命题的充分条件是___________，命题的必要条件是______________变式6-1．指出下列各命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．（1）p：x2>0，q：x>0；（2）p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；（3）p：a能被6整除，q：a能被3整除；（4）p：两个角不都是直角，q：两个角不相等．充分性和必要性的关系在“若，则”中，若：，则是的充分条件，是的必要条件若：，则是的充分条件，是的必要条件也就是说：在“若，则”中，条件结论，充分性成立；结论条件，必要性成立充要条件充要条件的定义若有，又有，就记作，则是的充分必要条件，简称充要条件。充分条件、必要条件的四种类型若，，则是的充要条件若，，则是的充分不必要条件若，，则是的必要不充分条件若，，则是的既不充分也不必要条件例7：试用推出关系说明是的什么条件.（1），；（2）是非零自然数，是正整数；（3），；（4），；（5）使得关于的方程有唯一实根的实数，.变式7-1试用推出关系来说明命题是的什么条件．（1）：，，：且；（2）：平行四边形，：四边形的一组对边平行．变式7-2判断下列命题中p是q的什么条件.（充分不必要条件必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件）（1）p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；（2），；（3）有两个角相等，是正三角形；（4）若，，；（5），.例8：求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是集合中的包含关系在判断条件关系中的应用设命题对应集合，命题对应集合若，即，是的充分条件（充分性成立）若，即，是的必要条件（必要性成立）若，即，，是的充分不必要条件若，即，，是的必要不充分条件若，即，，是的充要条件例9设是的充分非必要条件，是的充要条件，是的必要非充分条件，则是的什么条件？例10已知，，.若是的充分非必要条件，求正实数的取值范围.变式10-1已知，，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围.例11已知，，若是的必要非充分条件，求实数的取值范围.变式11-1已知，，且是的必要非充分条件.求实数的取值范围.变式11-2．设，，，.若是的必要非充分条件，求实数，满足的条件.变式11-3