抛物线方程及其性质-2025年高中数学一轮复习

第06讲抛物线方程及其性质

（5类核心考点精讲精练）

考情探究・

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

切线长

2023年新II卷，第10题,6分根据抛物线方程求焦点或准线

直线与抛物线交点相关问题

由导数求函数的最值

抛物线标准方程（不含参）

2023年新I卷，第22题,12分

求直线与抛物线相交所得弦的弦长基本（均值）不等式的应用

求平面轨迹方程

抛物线定义的理解

根据焦点或准线写出抛物线的标准方程

2023年新H卷，第10题,5分无

求直线与抛物线的交点坐标与地物线焦

点弦有关的几何性质

根据抛物线方程求焦点或准线求直线与抛物线相交所得弦

2022年新I卷，第11题,5分

判断直线与抛物线的位置关系的弦长

抛物线定义的理解数量积的坐标表示

2022年新n卷，第10题,5分

求直线与抛物线的交点坐标已知两点求斜率

根据抛物线方程求焦点或准线

2021年新I卷，第14题,5分无

根据抛物线上的点求标准方程

2021年新II卷，第3题,5分根据抛物线方程求焦点或准线已知点到直线距离求参教

2020年新I卷，第13题,5分求抛物线焦点弦长无

2020年新H卷,第14题,5分求抛物线焦点弦长无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-17分

【备考策略】1.熟练掌握抛物线的定义及其标准方程，会基本量的求解

2.熟练掌握抛物线的几何性质，并会相关计算

3.会求抛物线的标准方程，会抛物线方程简单的实际应用

1

5.会求抛物线的相关最值

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容,常常考查标准方程的求解、基本量的计算及最值的求解,

需重点强化训练

Ir.考点梳理。

考点4抛物线中的最值问题

考点5抛物线的简单应用

知识讲解

1.抛物线的定义

平面上一动点P(x,y)到定点E(：,0)的距离与到定直线/：x=-f的点的轨迹叫做抛物线

2.抛物线的图形

3.数学表达式

\PF\=\PPi

4.标准方程的推导

设p(x,y),由定义可知：

|PF|=|P^|.-J(x-^)2+/=x+g,等式两边同时平方得:

.,.(x-^)2+y2=(x+^)2=4>x2-px+^+y1=x2+Px+~~=>/=2px

2

5.抛物线的标准方程及其几何性质

焦点

X轴正半轴X轴负半轴y轴正半轴y轴负半轴

位置

5.

Pl\5J/

(

4,

图形0

-5VTH

-5

标准

y2=2Pxy2=-2pxX2=2pyX2=-2py

方程

焦点

g，。）(-f,o)（吟

坐标

准线p

x=-PX_Py=——

方程222

6.通径

通径长：2p,半通径长：p

7.焦半径（抛物线上的点到焦点的距离）

横轴尸司=闻+]

焦半径

纵轴：|尸刊=阅+]

8.焦点弦的性质

(1)%=-P?,%%=7

PP

(2)AB\^+x+p^^-（5）｛/尸,8尸｝*=

Xl21+COS01-COS0

sin6min

（6）NCFD=90°

（7以N8为直径的圆必与准线相切

=2（焦点弦中垂线问题）

考点一、抛物线的定义

3

典例引领

1.（2024•上海•高考真题）已知抛物线/=4x上有一点P到准线的距离为9,那么点P到无轴的距离为.

【答案】4亚

【分析】根据抛物线的定义知物=8,将其再代入抛物线方程即可.

【详解】由/=4x知抛物线的准线方程为％=-1,设点PQoJo），由题意得％+1=9,解得％=8,

代入抛物线方程必=4无，得诉=32,解得％=±4后，

则点尸到x轴的距离为4夜.

故答案为：4c.

2.（2023•北京・高考真题）已知抛物线C:/=8x的焦点为尸，点”在C上.若M到直线x=-3的距离为5,

则|〃F|=（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】D

【分析】利用抛物线的定义求解即可.

【详解】因为抛物线C:/=8x的焦点尸（2,0）,准线方程为了=-2,点M在C上，

所以M到准线x=-2的距离为|"F|,

又M到直线x=-3的距离为5,

所以|吹|+1=5,故|MF|=4.

故选：D.

即时检测

■一

1.（2023高三•全国•专题练习）动点P到直线x+4=0的距离减去它到点M（2,0）的距离等于2,则点尸的

轨迹是（）

A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线

【答案】D

【分析】根据题意可知，动点尸到直线的距离与到定点的距离相等，由抛物线的定义可知，点尸的轨迹为

抛物线.

【详解】如图所示，由于动点P到直线x+4=0的距离减去它到点M（2,0）的距离等于2,

于是动点P在直线x=T的右边，且动点P到直线x+4=0的距离大于2,

因此动点P到直线》=-2的距离等于它到点“（2,0）的距离，

进而根据抛物线的定义，可知点尸的轨迹是抛物线.

故选：D

2.（2024・陕西西安・一模）平面上动点M到定点尸（3,0）的距离比M到N轴的距离大3,则动点M满足的方

4

程为.

【答案】或y=0(x<0)

【分析】考虑x'O和x<0两种情况，xWO时确定轨迹为抛物线，根据题意得到‘=3,得到答案.

2

【详解】动点河到定点厂(3,0)的距离比河到y轴的距离大3,

当尤20时，动点/到定点尸(3,0)的距离等于到了=-3的距离，轨迹为抛物线，

设抛物线方程为/=2.，则］=3,即。=6,所以/=12x；

当x<0时，P=0满足条件.

综上所述：动点刊的轨迹方程为：xNO时，y2=12x；x<0时，y=0,(x<0).

故答案为：/=⑵或y=0(x<0)

考点二、抛物线的标准方程

典例引领

1.(2024高三下•江西新余•专题练习)请写出一个以(0,1)为焦点且以坐标轴为对称轴的抛物线方

程：.

【答案】，=勺(答案不唯一)

【分析】举例尤2=4了，再验证即可.

【详解】不妨取顶点为原点，设f=2»，则勺1,解得。=2,则尤2=仅

故可举例—=4y.

故答案为：x2=4y.

2.(2024•贵州毕节三模)已知点(1,2)在抛物线C:y=2/“p>0)上，则抛物线C的准线方程为()

1111

A.x=——B.x=——C.y=——D.y=——

2828

【答案】D

【分析】将点(1,2)代入抛物线方程求出0,再将抛物线方程化为标准方程，即可得出准线方程.

【详解】因为点(1,2)在抛物线C:y=2.2(p>o)上,

所以2=2p,解得。=1,

所以抛物线C的标准方程为/=；>,

所以抛物线。的准线方程为了=-1

O

故选：D.

3.(2024•宁夏石嘴山•三模)如图，过抛物线/=2px(p>0)的焦点尸的直线/交抛物线于两点/、B,交其

5

准线于C,NE与准线垂直且垂足为E,若忸c|=2忸刊,|NE|=3,则此抛物线的方程为（）

23x,

A.y=—B.y=9x

C.y2=D.y2=3x

2

【答案】D

【分析】过点42作准线的垂线，设忸司=。，得到|/c|=3+3*结合抛物线的定义,求得。=1,再由助//%,

列出方程求得。的值，即可求解.

【详解】如图所示，分别过点8作准线的垂线，垂足为。，

设忸用=a,则忸C|=2忸刊=2a,

由抛物线的定义得\BD\=\BF\=a,

\BD\1

在直角△BCO中,可得sin/BCD=J----\,所以N8CD=30°,

\BC\2

在直角中，因为|/目=3,可得|4C|=3+3a,

由|/C|=2|/E|,所以3+3a=6,解得a=l,

因为BD//FG,所以；*，解得所以抛物线方程为V=3x.

即时检测

I_______________________

1.（2024・北京•高考真题）抛物线r=16尤的焦点坐标为.

【答案】（4,0）

6

【分析】形如V=2px,（°N0）的抛物线的焦点坐标为由此即可得解.

【详解】由题意抛物线的标准方程为r=16x,所以其焦点坐标为（4,0）.

故答案为：（4,0）.

2.（2024・陕西安康•模拟预测）过点（2,-3）,且焦点在V轴上的抛物线的标准方程是（）

9_2422n

A.x2=—3yB.x=~~^yC.x=~~yD.x2=—4y

【答案】B

【分析】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可.

【详解】设抛物线的标准方程为苫2=即仅力0）,

4

将点点⑵-3）代入，得22=-3°,解得.=-§,

所以抛物线的标准方程是/=-］小

故选：B

3.（23-24高三下•湖北•开学考试）已知抛物线C的顶点在原点，焦点尸在坐标轴上，点尸关于其准线的对

称点为（6,0）,则C的方程为（）

A.y2=-8xB.y2——4xC./=8xD.y1=4x

【答案】A

【分析】设抛物线的方程为必=-2/5>0）,设焦点厂关于准线/的对称点为2%,0）,求得毛=学，得到

”=6,进而得抛物线的方程.

【详解】由题意，设抛物线的方程为必=一2川（p>0）,

可得焦点坐标厂（-0）,准线方程为/：x=5,

设焦点厂关于准线/的对称点为次％,0）,可得x0+（_g=2xg解得/=当，

因为点厂关于其准线的对称点为（6,0）,可得当=6,解得p=4,

所以抛物线的方程为V=_8x.

故选：A.

考点三、抛物线的几何性质

典例引领

7

1.（24-25高三上•重庆沙坪坝•开学考试）已知点在抛物线C:/=2px上，则A到C的准线的距离

为.

【答案】4

4

【分析】利用给定条件求出抛物线方程，进而求出准线方程，计算距离即可.

【详解】因为点/0,6）在抛物线C:r=2/上，

代入抛物线中得3=2p,解得p=所以C:/=3x

2/

故抛物线的准线方程为％=―3-，

4

所以A到。的准线的距离为1+：3=-7.

44

7

故答案为：—

4

2.（24-25高三上•黑龙江•阶段练习）已知抛物线。:/=2.（P〉0）的焦点为方，若抛物线上一点M满足

\MF\=2,ZOFM=60°,则P=（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】A

【分析】根据抛物线定义及焦点与准线距离列方程求参数即可.

【详解】

过M分别向1轴和准线做垂线，垂足分别为4N,

根据抛物线定义，有|"F|=WW|=2,

所以夕=|7W|+|MF|-cos60o=3.

故选：A

3.（24-25高三上・河南焦作•开学考试）已知点420+1,30+：在抛物线C:/=2pyS>0）上，则C的焦

点与点。,2）之间的距离为（）

A.4B.VsC.2D.y/2

【答案】D

【分析】根据A在抛物线上可求0的值，求出焦点坐标后结合距离公式可得正确的选项.

8

【详解】因为A在抛物线上，故（2p+l『=2p（3p+；］,

整理得到：4/+"+1=6/+］即202-?-1=0,

解得。=2或〃=-；（舍），故焦点坐标为（0,1）,

故所求距离为^12+（2-1）2=41，

故选：D.

4.（2024•山西晋中•模拟预测）己知抛物线X?=2即（。>2）的焦点为RP为抛物线上一点，且满足忸尸|=5,

4

设直线尸尸的倾斜角为6,若cos6=］，则点尸的坐标为.

【答案】（-4,1）

4

【分析】活用抛物线定义，将户尸|=5转化成到准线距离，由cos0=］得出sin。，将倾斜角6和sing结合焦

点坐标用几何图形表示出来即可找到关系式求解。的值，进而得力和抛物线的方程，从而得与得解.

【详解】由题可知尸（0段），准线方程为y=~|,

如图，过尸作尸G，/交/于点G,则尸G=P尸=5,

过下作FE_LPG交尸G于点E,则£G=2OR=a,APFE=0,PE=5-a或PE=a-5,

4I------------§

又由cos6=1以及倾斜角范围得sin®=Jl-cos20,

由I、I公尸£_5_Q_3_a-5_3

所以有--------=-=＞。=2或---=----=—n。=8,

PF55PF55

又Q>2,故。=8,此时x?=2砂=16y,yP=5--1-=1,

将%=1代入x2=16y得今=4（舍去）或今=-4,故P（T,1）.

故答案为:P（-4,l）.

即时检测

I___________________

1.（2024•江西・一模）已知点尸。,比）是抛物线C:/=2pxS>0）上一点，且点尸到。的焦点距离为2,则

P=.

【答案】2

9

【分析】求出准线方程，由抛物线定义列方程求解即可.

【详解】抛物线准线方程为X=-5,则点P到C的焦点距离为1+5=2,所以。=2.

故答案为：2.

2.（2024•山东聊城•二模）点尸在抛物线/=8尤上，若点尸到点（2,0）的距离为6,则点尸到P轴的距离为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】由抛物线的定义知，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，结合点P和准线的位置，求点P到

y轴的距离.

【详解】抛物线/=8无开口向右，准线方程为》=-2,

点尸到焦点的距离为6,则点尸到准线的距离为6,

点尸在y轴右边，所以点尸到y轴的距离为4.

故选：A.

3.（23-24高三下•全国•开学考试）抛物线C:必=2px（p>0）的焦点为尸,C上的点到尸的距离等于到直线

x=-l的距离，则P=（）

11

A.2B.1C.-D.-

24

【答案】A

【分析】利用抛物线的定义建立方程，求解参数即可.

【详解】因为抛物线上的点到尸的距离等于到直线x=T的距离，

所以x=T是抛物线的准线，故-^=-1,解得。=2,故A正确.

故选：A

4.（23-24高二上•江苏南通•阶段练习）已知M是抛物线/=8x上一点，/是抛物线的焦点，。为坐标原点.若

NMFO=120°,则线段MF的长为.

【答案】8

【分析】设出线段期的长度，再由已知条件表达出M的坐标，代入抛物线即可得出结果.

设=易求尸（2,0）,作轴于点E,

因为ZMFO=120°,所以AMFE=60°

10

所以在RMME/,ME=MF^sm60°=—a,EF=MF-cos60°=-,

22

(h、

}

所以M2H—a,—a,

(22)

又因为〃■是抛物线V=8x上一点，所以—a=8x〔2+La),即3/—16〃-64=0

、2JV2)

Q

解得a=8或a=--(舍去).

所以线段九牛的长为8.

故答案为：8

考点四、抛物线中的最值问题

.典例引领

1.（2024・陕西•二模）已知抛物线C:/=2px（p>0）上的点P到定点。（2,0）的最小距离为2,贝U

P=.

【答案】巫亡拒

33

【分析】设出点尸的坐标，利用两点间距离公式建立关系，再借助二次函数求出最小值即可得解.

【详解】依题意,设尸（20产,2pf）（〃R）,于是|尸。『=（2p产-2p）2+（2pf）2=4炉（〃_产+1）,

则当时，产。1nlm=&=2,所以夕=孚・

故答案为：空

3

2.（2024・福建莆田•二模）已知抛物线j?=4x的焦点为尸，点M在抛物线上.若点。在圆（x-3）?+/=1上,

则|儿庐|+|九0|的最小值为（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【分析】画出图形结合抛物线定义、三角形三边关系以及圆上点到定值线距离的最值即可求解.

【详解】如图所示：

11

由题意抛物线必=4x的准线为尤=-1,它与x轴的交点为（-1,0）,焦点为F（1,O）,

过点M向抛物线的准线引垂线，垂足为点N,

设圆（X-3）2+/=I的圆心为尸（3,0）,已知圆与x轴的交点为点E,

\MF\+\MQ\^\MN\+\MQ\>\NQ\>\NP\-\PQ\^\NP\-r^\NP\-l>\DP\-1^4-l=3,

且\MF\+|九0|=3成立的条件是O重合且QE重合，

综上所述，|儿田|+|〃。|的最小值为3.

故选：C.

3.（2024•江西鹰潭•一模）已知抛物线Y=16y的焦点为尸，P是C上的动点，过点尸作直线了=左@-4）+4

的垂线，垂足为。，则|尸。|+忸尸|的最小值为.

【答案】6

【分析】先分析得。的轨迹，再利用抛物线的定义，结合圆的性质数形结合即可得解.

【详解】如图所示，易知尸（0,4）,直线y=k（x-4）+4过定点。（4,4）,

因为尸。，纱，所以。在以尸。为直径的圆上,

不妨设其圆心为£（2,4）,显然半径忸=2,

分别过作准线>=-4的垂线EM,PG,垂足为M,G,|EM|=8

结合抛物线定义有|尸+附=\PQ\+\PG\>\PE\-\EQ\+|PG|>\EM\-\EQ\^6,

当且仅当。、尸均在线段瓦0上时取得等号.

故答案为：6.

4.（2024高三•全国•专题练习）已知P是抛物线/=2x上的点，。是圆（x-5）2+/=1上的点，则|尸。|的最

小值是（）

A.2B.272C.2gD.3

12

【答案】A

【分析】将问题转化为求।尸a的最小值，根据两点之间的距离公式，求得।尸a的最小值再减去半径即可.

【详解】如图，抛物线上点P(x,y)到圆心c(5,o)的距离为|尸4|。尸区2@+|尸。］,

因此|尸0以3-1,当最小时，|尸。|=|。尸|-1最小，

M|CP|2=(x-5)2+y2［。7］+y2=^-(j；2-8)2+9,

当k±2及时，|CP|m,n=3,因此|PQ|的最小值是2.

故选：A.

PB

5.(2023•河南开封•模拟预测)已知抛物线C:/=8x,尸为。上一点，/(-2,0),5(2,0),当不了最小时,

rA

点尸到坐标原点的距离为()

A.2石B.372C.2A/3D.8

【答案】A

【分析】设尸(%,%),由抛物线的定义可得|P2|=|PD=x°+2,|P4|=Jx：+12xo+4,设t=x0+2,化简工

1A

11IDDI

可得当时，W取得最小值，求出P的坐标，即可求解

t4\PA\

【详解】因为抛物线C:/=8x,则焦点为(2,0),准线为x=-2,

又-2,0),8(2,0),则点8(2,0)为抛物线的焦点，

过P作准线的垂线，垂足为。，

设尸值,为)，则尤=8%,故

由抛物线的定义可得|P8HPO1=x°+2,

13

2

|P/|=J(Xo+2)+仇-0)=JM+2f+>(/=&2+4XO+4+8XO=-^0+12^0+4,

又飞NO,则设f=x(,+2,故d2,/="2,

则

|PB|x0+2tt

IPA\&+12xo+4""2)2+12(/2)+4A/2-4?+4+12f-24+4

=__叵__=___!___=______!________=-,1-----(t>2)

…Ff?HRFRTF，

当时，/取得最小值为二="，贝卜=4，々=2，

t4\PA\V22

将x°=2代入抛物线可得乂=16,所以|。尸卜J4+16=26

故选：A

■即_时__检__测___

1.（2024・陕西安康•模拟预测）已知抛物线方程为必=4x,点工（1,0）,8（2,-1）,点尸在抛物线上，则|尸/|+|尸耳

的最小值为.

【答案】3

【分析】利用抛物线定义将所求距离转化为|尸判+|尸同，然后利用三点共线求解最小值即可.

【详解】由题知点A为焦点，由抛物线定义知|04|就是点尸到准线x=T的距离，如图，

贝I]|「/|+|P5|=|PD|+|P5|>\BD\,

此时尸，民。三点共线，即当P点纵坐标为-1时，I尸旬+1尸到的值最小,

最小值为2-(T)=3.

故答案为：3

2.（2024•全国•二模）已知点尸为抛物线丁=8x上一点，过点尸作圆C:（X-5）2+J?=I的两条切线，切点

分别为M,N,贝！IcosNMPN的最小值为（）

A./2911

B.一C.—D.—

231012

【答案】D

14

【分析】设点P(f，s),根据给定条件，结合切线长定理及二倍角的余弦公式将cosNMPN的函数，再求出函

数的最小值即得.

【详解】设点P(f,s),则s2=8,

由尸”，尸N切圆C于点得NMPN=2NCPM,且CM_LEM,

因止匕cosNMPN=l-2sin2NCPM=l-2・(^^j2=l-，

Kff|CP|2=(Z-5)2+s2=t2-2t+25=(t-1)*.JF24>24,当且仅当f=l时取等号,

211

所以当£=1时，cosZMPN取得最小值1-----二一.

3.(2024・四川成都•三模)已知点尸,0分别是抛物线C:j?=4x和直线/:x=:上的动点，若抛物线C的焦点

为万，则|尸。|+|0尸|的最小值为()

A.3B.2+V3C.2A/3D.4

【答案】C

【分析】按点P在直线x=*上及右侧、左侧分类，借助对称的思想及两点间线段最短列式求出并判断得解.

2

【详解】设P的坐标为(飞,凡)，则只=4%,抛物线C:/=4x的焦点网1,0),准线方程为x=-l,

当点尸在直线X=g上及右侧，即时，\PQ\+\QF\>\PF\,当且仅当。是尸尸与直线/的交点时取等号，

75

此时|尸。|+\QF\>|PF|=X0+1>-,当且仅x0=-时取等号,

当点尸在直线X=g左侧，即04%<g时，点尸(1,0)关于/的对称点是7(4,0),则|。尸|=|。7|,

\PQ\+\QF\=\PQ\+\QT^\PT|=J废-司+m力(印-Q+4年'(印-2j+12>^T],

当且仅当。是P歹与直线/的交点，且々=2时取等号，而26<^,

所以户0|+|0川的最小值为26.

故选：C

15

4.（2023・辽宁抚顺•模拟预测）设。为坐标原点，尸是以尸为焦点的抛物线式=4x上任意一点，M是线段

尸尸上的点，且1PM=可儿间，则直线。M的斜率的最大值为（）

V3

A.V2DR.----

322

【答案】B

m=4x-3

【分析】设/（％,%）,确定比>0,根据向量之间的关系得到0,得到，+;=%,

〃=仪

1

」，利用均值不等式计算得到答案.

/0十/I

4%

【详解】尸。，0）,设/（%,%）,显然当为<0时，kOM<0,当%>0时，kOM>0,

要想求解直线的斜率的最大值，此时为>0.

设尸1PM=3|MF|,y0>0,贝1J两=3赤，BP(x0-m,y0-n)=3(l-x0,-y0),

m=4x—3

解得0

n=4%

3

n2=4m,故16y：=4(4%—3),即呼+^=%,

%_%1-<,V3

%>0，故坛"一

%233一3,

「2

4%

3即『等时，等号成立，故直线加的斜率的最大值为日

当且仅当为=丁

4%

故选：B.

16

考点五、抛物线的简单应用

典例引领

1.（2024•全国•模拟预测）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的

桥面跨度为21.6m,拱顶距水面10.9m,路面厚度约1m.若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，

使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（）

C.5mD.6m

【答案】B

【分析】建立适当的的平面直角坐标系，设出抛物线方程，将点的坐标代入抛物线方程可求得参数0,进

一步即可得解.

【详解】以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为x轴，垂直于x轴，且方向向上，建立平面直角坐标系.

设抛物线的方程为x2=-2py（p>0）.

1八O2

易知抛物线过点（10.8T0.9）,则IO"=21.8°,得°

21.8

所以2=旺。2.7,所以《+1。3.7.

210.92

故选：B.

2.（2023•河南•模拟预测）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有〃温润〃〃淡远〃〃清新〃的特征.如

图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为3cm,碗盖口直径为8cm,碗体口直径为10cm,

碗体深6.25cm,则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（）

A.5cmB.6cmC.7cmD.8.25cm

【答案】C

17

【分析】如图建立平面直角坐标系，设碗体的抛物线方程为/=2处（p>0）,将点（5,6.25）代入求出

即可得到抛物线方程，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为人（cm）,则两抛物线在第一象

限的交点为（4,力-3）,代入方程计算可得.

【详解】以碗体的最低点为原点，向上方向为>轴，建立直角坐标系，如图所示.

设碗体的抛物线方程为x2=2抄（p>0）,将点（5,6.25）代入，得52=2px6.25,

解得P=2,则f=4y,

设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为/z（cm）,

则两抛物线在第一象限的交点为（4,八3）,代入到无2=4%解得42=4色-3）,解得〃=7.

故选：C

3.（23-24高三上•湖南长沙•阶段练习）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为

2m,渠深0c为L5m,水面E尸距为0.5m,则截面图中水面宽£尸的长度约为（）（收=1.414，

由“732,"a2.449）

【答案】D

【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线方程并将水面宽度坐标化即可求得结果.

【详解】以。为原点，oc为>轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

设抛物线的标准方程为/=2h（p>0）,

1o

由题意可得41,1.5）,代入/=2抄得l=3p,得P=；，故抛物线的标准方程为x2=：y,

18

2?

设厂(Xo，%)(x0>0,%>0),则为=1.5-0.5=l,则x：=]xl=]

即可得x。=0.816,

所以截面图中水面宽斯的长度约为0.816x2Q1.63m,

故选：D.

即时检测

■一

1.（23-24高三下•陕西安康,阶段练习）在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹

均可近似看作是抛物线的一部分.这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线也是抛物线的一部

分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线.若某次定向爆破中安全抛物线达到的最大高度为30

米,碎片距离爆炸中的最远水平距离为60米,则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为米.

【答案】60

【分析】建立平面直角坐标系，确定抛物线方程形式，确定点的坐标，代入方程求解，即得答案.

【详解】如图，以安全抛物线达到的最大高度点为坐标原点，平行于底面的直线为x轴，

和地面垂直的直线为夕轴，建立平面直角坐标系，

则抛物线方程为V=-2抄,（p>0）,由题意可知460,-30）,

代入x2=-2py,（p>0）可得602=-2p（-30）,p=60,

即安全抛物线的焦点到其准线的距离为60米，

故答案为：60

2.（2023•河北张家口•二模）探照灯、汽车前灯的反光曲面、手电筒的反光镜面,太阳灶的镜面等都是抛物镜面.

灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒

的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是

80cm,灯深40cm,则光源到反射镜顶点的距离为（）

B.10cmC.30cmD.40cm

19

【答案】B

【分析】根据已知条件及设出抛物线的标准方程，结合点在抛物线上即可求解.

【详解】在纵断面内，以反射镜的顶点（即抛物线的顶点）为坐标原点，过顶点垂直于灯口直径的直线为无

轴，建立直角坐标系，如图所示，

由题意可得/（40,40）.

设抛物线的标准方程为V=2px（p>0）,于是4。2=2P40,解得p=20.

所以抛物线的焦点到顶点的距离为£=10,即光源到反射镜顶点的距离为10cm.

2

故选：B.

3.（2024•山西晋城•一模）吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨

江东路.雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该

抛物线的焦点到准线的距离为。米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两

根吊索之间的距离均为。米（将每根吊索视为线段）.已知最中间的吊索的长度（即图中点A到桥面的距离）

为b米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点3到桥面的距离）为（）

A,呼3米49a2+pb

P

_169a2+pb169/+2p6小

C.--------------术D.----------------不

P2。

【答案】A

【分析】建立坐标系，求出点8横坐标，代入抛物线即可求解.

【详解】以A为坐标原点，抛物线的对称轴为V轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的单

位均为米）,

依题意可得抛物线的方程为x2=2眇.

因为同一边的悬索连接着29根吊索，且相邻两根吊索之间的距离均为。米，则点3的横坐标为-14°,

xi(-14a)298a2■“生­3口匚--“98a2+pb

则为=#=.=——，所以点8到桥面的距因为------L米・

2P2Ppp

20

故选：A.

Ml.好题冲关.

，基础过关

一、单选题

1.（2024・福建厦门•模拟预测）若抛物线r=加尤的准线经过双曲线/一/=2的右焦点，则/的值为（）

A.-4B.4C.-8D.8

【答案】C

【分析】根据题意，分别求得双曲线的右焦点以及抛物线的准线方程，代入计算，即可得到结果.

【详解】因为双曲线V-/=2的右焦点为（2,0）,

又抛物线/=机关的准线方程为x=-;，贝|-'=2,即加=-8.

44

故选：C

2.（2024•山东济宁•三模）已知抛物线C:/=2.（p>0）的焦点为尸，过下且斜率为2的直线/交抛物线C于

A,B两点，若[48|=5,则（）

13

A.-B.1C.-D.2

22

【答案】D

【分析】设/：了=21-£|,4（”），B（x2,y2）,联立抛物线方程，利用韦达定理和抛物线的定义建立关

于。的方程，解之即可求解.

【详解】由题意知，下2°）设/：>=2（》-9,/（占,乂）,3（22），

联立直线与抛物线得，I2）,消去V,得4——6/+P2=0,

y2=2Px

3

所以石+工2=5，

由抛物线的定义知|/2|=|/司+忸司=、+。|+[2+£|=七+七+0=|0+0=：0.

而|/4