山东省东营市2023-2024学年高二期末考试数学试题（含解析）

试卷类型：A

2023-2024学年度第一学期期末质量监测

局一数学

2024.01

本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟，

注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个

选项是正确的.

I.已知直线4：旷=》-2,£y=kx若O%,则实数左=（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】D

【解析】

【分析】两直线平行，则斜率相等求解.

【详解】已知直线4：y=x-2,l2：y=kx,

因为〃〃2，

所以上=1

故选：D

【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，属于基础题.

2.若平面a〃平面尸，直线aua,直线那么a/的位置关系是（）

A.无公共点B.平行

C.既不平行也不相交D,相交

【答案】A

【解析】

【分析】由两线的位置关系的定义判断即可

【详解】由题，直线a,b分别含于两个平行的平面，可能平行，可能异面，但不可能相交.

故选：A

3.若双曲线片-工=1的焦点与椭圆工+匕=1的焦点重合，则加的值为（）

2m49

A.2B.3C.6D.7

【答案】B

【解析】

【分析】先求出椭圆的焦点，再由两曲线的焦点重合，列方程可求出加的值.

故2+加=5,解得m=3.

故选：B.

4.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直

角三角形的直棱柱.如图，在堑堵4844G中，分别是4G，54的中点，G是VN的中点，若

AG=xAB+yAA{+zAC,贝！|x+V+z=(

33

A.1BC.一D.-

-I24

【答案】C

【解析】

—■1/-—•\1—•3—■1—■

【分析】连接由ZG=—ZM+ZN=—48+—Z4+—NC，即可求出答案.

2、>244

【详解】连接如下图:

由于G是上W的中点,

；丘；“十万+；

=-AB+-AA+-AC.

2414

根据题意知AG=xAB+yAA{+zAC.

3

x+y+z=-.

故选：C.

5.抛物线C:r=2°x(p>0)的焦点为尸，且抛物线。与椭圆土+必=i在第一象限的交点为/,若⑷刀

2-

轴，贝|JP=()

2V2

【答案】C

【解析】

【分析】根据题设可得/(日,P),再由点在椭圆上，代入求参数即可.

【详解】由题设尸(^,0),且A在第一象限，轴，则2(日,。)，

又A在椭圆上，故匹+/=10〃2=§，而。〉o,故p=2也.

893

故选：C

6.甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行校园厨艺总决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回

答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你和甲的名次相邻.”从这两个回答分析，5人的名次排

列情况种数为（

A.54B.48C.42D.36

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，分两种情况讨论：乙是冠军，乙不是冠军，再安排其他人，由加法计数原理可得答案.

【详解】由题意，第一种情况：乙是冠军，则甲在第二位，剩下的三人安排在其他三个名次，有A；=6种

情况；

第二种情况：先从丙、丁、戊中选1人为冠军，再排甲，乙两人，再把甲和乙捆绑与其他人排列，共有

A；xA：xA；=36种；

综上可得共有6+36=42种不同的情况.

故选：C.

22

7.若片，鸟是双曲线C:土-匕=1的两个焦点，尸，。为。上关于坐标原点对称的两点，且忸。|=|月闾，

416

5,

设四边形对。鸟的面积为百，四边形WQK的外接圆的面积为$2,则（）

678

A.nB.——C.—D.—

5兀5兀5兀

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，探求四边形尸片。鸟的形状，结合双曲线的定义及勾股定理求出E，再求出$2作

答.

【详解】依题意，点尸与Q,片与鸟都关于原点0对称，且忸。|=阳闾，因此四边形即。鸟是矩形，

如图，

由双曲线C：工一三=1得：|PQ|=闺S=2|陷|=2而记=4百，\\PF.\-\PF,||=4,

416

于是S|=附「+附「；(附H*匕*2「-("卜质『=(4*42=32

|P^|.|PF2|=

显然四边形PFQF2的外接圆半径为OF],因此邑=兀|。与『=兀x(2右了=207r,

5,328

所以77=7^—=「.

S220TI5TI

Q

故答案为：--

5兀

8.已知。(0,0),4(—3,0),直线/:y=Ax上存在点尸，且点尸关于直线/'：歹=工的对称点P满足

尸。|=2尸4|,则实数人的取值范围是()

A.(-oo,-V3]u[V3,+oo)B.[-V3,V3]

【答案】A

【解析】

【分析】设尸(x,Ax),则尸'(Ax,x),由两点间的距离公式可得尤的一元二次方程，由AN0解不等式即可.

【详解】设尸(x,乙)，则尸'(丘,x),

由尸。|=2|PZ|,得尸=4尸2『,

由两点间的距离公式可得：^2x2+x2=4[(fcc+3)2+x2],

整理可得(3/+3)/+24kx+36=0,

由题意A=(24k)2—4(3后2+3)x3620,得左2—320,

解得k<-V3或kN也,即实数左的取值范围是(-oo,-V3]<J[V3,+co).

故选：A.

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是()

A.若加_La,n//a9则加_L〃

B.若an//y.mla,则加_L/

C.若加〃见〃〃&,则加〃〃

D.若a_L/,尸_L/,则tz_1_齐

【答案】AB

【解析】

【分析】利用线面平行的性质及线面垂直的性质可判断A选项；利用线面垂直的性质可判断B选项；利用

线面平行的性质可判断C选项；利用面面的位置关系判断D选项.

【详解】对于A,因为〃〃a,过直线〃作平面尸，使得ac夕=a,

因为〃〃a,nuB,ac/3=a,则”〃a,因为加_La,aua,则掰_1_。，故m_L〃，正确;

对于B,若a//月，mla,则加，尸，又尸///,则加正确；

对于C,若加〃〃a,则加〃〃或冽与“相交或加与〃异面，错误；

对于D,若&_1/,尸_1/,则a//月或&与£相交，错误.

故选：AB

10.现有带有编号1、2、3、4、5的五个球及四个不同的盒子，则下列表述正确的有（）

A.全部投入4个不同的盒子里，共有45种放法

B.全部投入2个不同的盒子里，每盒至少一个，共有CbAj种放法

C.将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法

D.全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有C〔A：种不同的放法

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A,利用分步乘法计数原理计算可判断A正确；对于B,先将5个球分为2组，再全排，计

算可判断B不正确；对于C,利用分步乘法计数原理计算可判断C正确；对于D,先将5个球分为4组，

再全排，计算可判断D正确；

【详解】对于A,带有编号1、2、3、4、5的五个球，全部投入4个不同的盒子里，共有4x4x4x4x4=45

种放法，故A正确；

对于B,带有编号1、2、3、4、5的五个球全部投入2个不同的盒子里，第一步选2个盒子有C：种选法，

第二步将5个球分为两组，若两组球个数之比为1：4有C；种分法；若两组球个数之比为2：3有C；种分

法，第三步将两组排给两个盒子有A：种排法，因此共有Cj(C；+C；)A；=180,故B不正确；

对于C,带有编号1、2、3、4、5的五个球，将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)，

第一步选4个球有C：种选法，第二步选一个盒子有种C；选法，共有C〉C：种放法，故C正确；

对于D,带有编号1、2、3、4、5的五个球，全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，第一步将5球分成2：

1：1：1的四组共有C；种分法，第二步分给四个盒子有A：种排法，故共有C[A：=240种放法，故D正

确；

故选：ACD.

11.经过抛物线C：/=2"(,〉0)的焦点厂的直线/交。于48两点，。为坐标原点，设/包,%),

5(%,%)(%>%)」/用的最小值是4,则下列说法正确的是()

A.04-08=3

B.\AF\+\BF\=\AF\^F\

C.若点是线段N2的中点，则直线/的方程为2x—>—2=0

D.若在=4而，则直线/的倾斜角为60°或120°

【答案】BC

【解析】

【分析】设出直线/的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，根据H同求得〃，由此对选项逐

一分析，从而确定正确答案.

【详解】由题意可知直线/的斜率存在且不为0,可设直线/的方程为》=叩+§,

/=2px

联立<",得,2—2夕加V_22=0,

x-my+

A=4P2m2+422〉0,

2

乃歹2=_夕2，乂+）2=2pm,xl+x2=m（yl+y2）+p=2pm+p,

222

丫丫一

122p2p4

所以|48|=匹+々+P=20（加2+1"2夕，当加=0时等号成立，

所以22=4,2=2,所以抛物线方程为/=4x,

所以再吃=1，%%=一4,

所以。4・03=%々+%％=一3，A选项错误；

|^4F|=jq+1,|5F|=x2+1,

所以|/司+忸厂|=xx+x2+l-4m2+4,

2

|T4F|X|SF|=+l）（x2+1）=XjX2+%j+x2+1=4m+4,

所以|4F|+忸川=|4F||3尸I，B正确;

因为点是线段N5的中点，所以必+%=2,即4加=2,加=g,

所以直线/的方程为2x—y—2=0,C正确；

AB=4FB»所以司=3|FS|,即％+1=3（超+1）,所以项—3%—2=。,

3

因为%］、2=1，所以占2=0,即X；—2再—3=0,解得玉=3（再二—1舍去），

xi

又%〉为，故%>0>必，所以/（3,26），

所以直线/的斜率为28a=G，直线/的倾斜角为6o。，D错误.

3-1

故选：BC

【点睛】求解直线和抛物线/=28相交所得弦长，如果直线过焦点，此时直线的斜率存在且不为0,故

可设直线的方程为》=叩+",这样的设法可以避免讨论直线的斜率是否存在，减少一定的运算量.

2

12.如图甲，在矩形45co中，=2/£>=2,£为的中点，将△C8E沿直线BE翻折至△。出£的

位置，R为/G的中点，如图乙所示，则（）

A.翻折过程中，四棱锥G-ABED不存在外接球

B.翻折过程中，存在某个位置的G，使得8ELZG

C.当二面角G-8E-/为120。时，点E到平面G8E的距离为逅

4

7T

D.当四棱锥G-48助体积最大时，以ZG为直径的球面被平面G8E截得交线长为3

【答案】AC

【解析】

【分析】A项，通过证明四边形ABED不存在外接圆即可得出结论;B项,通过证明ZBEQ=ZBEC=45°,

即可得出结论；C项，求出G到平面/BCD的距离，利用等体积法即可求出点尸到平面qBE的距离；D

项，求出点/到平面QBE的距离ZE,进而得出以AC,为直径的球的半径和球心F到平面QBE

的距离，即可得到球面与被平面QBE截得交线为圆的半径，进而得出交线长.

【详解】由题意，

对于A,由已知，直角三角形4DE存在以/£为直径的唯一外接圆，

/ABE丰90°>

...点5不在该圆上，所以四边形不存在外接圆，

•••四棱锥G-ABED不存在外接球，故A正确；

对于B,由已知，AD=DE=CE^BC=\,ZADE=ZBCE=90°,

ZAED=ZBEC=45°，

NAEB=90°,BE±AE,

假设在翻折过程中，存在位置G,使得BE±AC,,

则/EnZG=4NEu平面AEC[,ZC]U平面AECX,

BEI平面AEC1,

又C\Eu平面AECA,

BE±CAE,

•••△CBE在翻折至△G8E的位置的过程中=NB£C=45°,

BE±GE显然不成立，故假设错误，

翻折过程中，不存在任何位置的G,使得BE±AC,,故B错误；

对于C,取3E中点H,由已知，BC=CE,

CH±BE,CXH±BE

NGHC是二面角CX-BE-C的平面角，

当二面角C.-BE-A为120°吐二面角C.-BE-C为60°,即ZqHC=60°,

1

又-：CH=CH=-BE=—,

122

，G到平面/BCD的距离为心=Ylxsin60°=",

G24

设点/到平面CiBE的距离为hA,

则^C-ABE=^A-CXBE，

,一Qh——Vh

…3口—33CIBE"A，

11…痣11-7

/.—x—x2xlx---=—x—xlxlxn

32432A4

hA=—,即点A到平面CXBE的距离为国,

A22

•・•点,F为AC,中点，

..•点E到平面GBE的距离是点/到平面G8E距离的1

二点/到平面GBE的距离为逅，故C正确；

4

对于D,四棱锥G-ABED底面梯形ABED的面积为定值，

当四棱锥G-的体积最大时，平面G8EL平面48ED,

平面。]8£门平面48£。=8£,2£<=平面45££）,

由B选项有AE±BE,AE±平面CXBE,

•；C、Eu平面C]BE,

AE1C】E,

222

ACA=^AE-+CXE=7（A/2）+I=V3,

又Q/E”平面G8E,..•点/到平面C[BE的距离/£=0,

■:点、F为AC,中点，

以zq为直径的球的半径R=K=@，球心/到平面GBE的距离]=4£=正，易知，球面与被

2222

平面C、BE截得交线为圆，其半径r=yjR2-d2=-,

2

，该交线周长为271r=兀，故D不正确.

故选：AC.

【点睛】关键点睛：1.根据垂直关系分析可知NG^C是二面角C.-BE-C的平面角；

AP

2.根据球的性质分析可知球心F到平面QBE的距离d=—.

第II卷（非选择题，共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）

13.若C「=C：「6,则!„=.

【答案】3或6

【解析】

【分析】直接利用组合数的性质得到x+3x-6=18或x=3x-6,解之即得x的值.

【详解】因为所以x+3x-6=18或x=3x-6,所以x=3或6.

故答案为3或6

【点睛】（1）本题主要考查组合数的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平.（2）如果

则加=左或加+左=”.

14.已知直线x—y+l=O与圆。：》2+/-4%一2^+掰=0交于48两点，若48=2后，则加的值为

【答案】1

【解析】

【分析】求出圆心到直线的距离，由垂径定理得到方程，求出加=1,验证后得到答案.

【详解】。：/+72—4x—2y+加=0变形为（x—2y+（y—1）2=5—加，

故5-加>0,解得m<5,

故圆心为C（2,1）,半径为J5-加，

设圆心。（2,1）到直线x—歹+1=0的距离为"，

R-1+1

贝!Jd==V2,

VT+T

由垂径定理得255—加—Q2=2J2，解得加=1，满足要求.

故答案为：1

15.如图，在正方体48CD—4与。1。中，AM=2MB,N为。〃的中点，记平面与平面力。24

的交线为/,则直线/与直线/G所成角的余弦值为

［答案］V1TT

111in

【解析】

【分析】根据题意可利用空间向量求解直线与直线之间夹角，从而求解.

【详解】设/口44］=尸，连接NP,九。如下图所示，则直线NP即为直线/.

因为平面AA^B平行于DgCD,且平面CMNc平面AA^B=MP,

平面CWc平面DACQ=NC,板MP〃CN,

由N为的中点，得：AP=-AA.

31

以。为坐标原点，DA,DC,所在直线分别为x,乃z轴建立空间直角坐标系,

设：AB=6,则得：N（0,0,3）,尸（6,0,2）,^（6,0,0）,Q（0,6,6）,

NP=(6,0,-1),AC,=(-6,6,6),

।——.,NPACX|-42|7V1T1

所以得：cos<NP,AC,>=__.

11V37X6A/3-111

NP\ACA

故直线l与直线AC,所成角的余弦值为MH.

Ill

故答案为：z^H

in

22

16.已知双曲线A-2=l（a>0,6>0）的左右焦点分别为片、鸟，过点片作圆必+/=”的切线，交双曲

ab

线的右支于点若二月"区=45°,则该双曲线的离心率为.

【答案】也

【解析】

【分析】设切点为/,连接04,作心作垂足为3,运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线

的定义，即可得到。，6的关系，即可求解.

【详解】如图，作。4，£河于点4于点区

•••月旦与圆/+「=。2相切，/大班=45。,

22

/.\OA\=a,\F2B\^\BM\=2a,则优叫=2缶，出国=2y1c-a=2b.

又点M在双曲线上，|-|F,M|=2a+2b-lyfla=2a,

整理得b=缶，即廿=2/=02—得《2=3,由e>l解得e=JL

双曲线的离心率为

故答案为：y/3-

四、解答题(本大题共6小题，共计70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)

17.已知(x—的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和分别为。和且a+6=32.

(1)求正整数〃的值;

(2)求其展开式中所有的有理项.

【答案】17.418.答案见解析

【解析】

【分析】(1)先利用题给条件列出关于〃的方程，解之即可求得〃的值;

(2)利用二项展开式的通项公式即可求得其展开式中所有的有理项.

【小问1详解】

因为a=(―2)",6=2",所以(—2)"+2"=32,

当〃为奇数时，此方程无解，

当〃为偶数时，方程可化为2x2"=32,解得〃=4；

【小问2详解】

由通项公式Tr+1=［子］=(―3丫•C；「一5"

3

当4一万厂为整数时，ZE是有理项，则r=0,2,4,

所以有理项为7；=(-3)℃%4=(-3)2C^=54x,q=(—3>=81一.

18.如图所示，某中心。接到其正西、正东、正北方向三个观测点48,C的报告：4c两个观测点同时听到

了一声巨响，3观测点听到的时间比A观测点晚4秒，假定当时声音传播的速度为v米/秒，各观测点到该

中心的距离都是3V米，设发出巨响的位置为点尸，且4民均在同一平面内.请你确定该巨响发生的

点P的位置.

C

AOB

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】以接报中心为原点。，正东、正北方向为X轴、y轴正向，建立直角坐标系；写出/、8、。点

的坐标，设P（X"）为巨响生成点，由双曲线定义知P点在以/、8为焦点的双曲线上，依题意求出双曲线

方程，从而确定该巨响发生的位置.

【详解】如图，以接报中心为原点。，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.

则/（—3%0）,S（3v,0）,C（0,3v）,

设P（x,y）为巨响为生点，由/、。同时听到巨响声，得|/训=归。|,

故尸在/C的垂直平分线OP上，OP的方程为'=-%,因8点比N点晚4s听到爆炸声,

故户a一|R4|=4v,由双曲线定义知尸点在以/、8为焦点的双曲线二一三=1上,

ab

222222

依题意得Q=2v,c=3vfb=c—a=(3v)—(2v)=5v，

故双曲线方程为二1，将'=一'代入上式,得x=±2，

■.■\PB\>\P^\,,-.x=-2V5v.y=20,即尸卜2氐,2底)

故尸O=2jldv.

故巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心2Ji正米处.

19.如图所示，，平面ABCD，四边形AEFB为矩形，BC\\AD,BALAD,

AE=AD=2AB=2BC=4.

(1)求证：CE〃平面4DE；

(2)求平面CD厂与平面ZEE5所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵t

【解析】

【分析】(1)由面面平行判断定理证平面3FC〃平面/£>£,再证CR〃平面/£>£即可;

(2)建立空间直角坐标系如图，由向量法即可求

【小问1详解】

证明：四边形AEFB为矩形，BF\\AE,又BC//AD,AE、ADu平面ADE,BF、BC<2平面ADE,

故AF〃平面ADE,BCH平面ADE,

又BFC\BC=B,BF、5Cu平面瓦(，.•.平面2FC〃平面

•/CF<z平面BFC,：.CF//平面ADE；

【小问2详解】

建立空间直角坐标系如图，则C(2,2,0),£»(0,4,0),尸(2,0,4),万户=(2,工4),配=(2,与,0),

m-DF=2x-4y+4z=0

设平面CDb的法向量为加二(x,y,z),贝卜,取x=i得冽

m-DC=2x-2y=0

平面4EFB的法向量为〃=(0,1,0),设平面厂与平面4EE5所成锐二面角为。，则

\m'n\i7

cosf)--------....-—

-鹏「『，

2

故平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值为§

20.已知抛物线C:/=2/(°>0)的焦点为2)为抛物线上一点，|阪|=2.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)过点尸作互相垂直的两条直线交抛物线。于G,〃，&S四点，求四边形GRHS的面积最小值

【答案】(1)y2=4x

(2)32

【解析】

【分析】(1)利用抛物线的定义直接求抛物线。的方程；

(2)过焦点E作两条相互垂直的直线，设RS:x=my+l,GH-.x=--y+Km^0),联立直线与抛物线方

m

程组成方程组，利用抛物线焦半径公式可得弦长，进而可得推出四边形AGM的面积的表达式，利用基本

不等式求四边形RGSW面积的最小值.

【小问1详解】

由|人因=2,可得.|=加+5=2,

又M的,-2)在抛物线上，所以4=2口加，

联立解得m=l,p=2,

故抛物线方程为C:y2=4x

设RS:x=my+l,GH:x=—y+l(mw0),

m

x=my-1-1.

由<2/得：V-4my-4=0,

y=4x

•••A=16m2+16=16(m2+1)>0,

设R(%,必),S(、2,%),所以必+歹2=4加/咫=一4，

2

/.\RS\=|7?F|+|5F|=xx+\+x2+\=m^yx+y2)+4=4(m+1),

同理：|G77|=4(4~+1),

m

四边形RGSH的面积：S=-|^||GH|=8(m2+1)(3+1)=8(m2+2+2)232,

2mm

.1

(当且仅当加2=;即：优=±1时等号成立)

m~

四边形RGSH的面积的最小值为32.

21.如图，三棱台。跖—48C中，平面4D尸平面£归。，AC=CD=2,△DSC的面积为1,

AD1BC且AD与底面ABC所成角为60°.

(1)求点A到平面的距离；

(2)求直线3与平面ZD3所成角的正弦值.

【答案】(1)6

(2)

4

【解析】

【分析】（1）作出辅助线，得到N到平面。5c的距离即为的长，证明线面垂直，进而得到面面垂直,

进而得到线面垂直，故ND4C为2。与底面48C所成角，根据与底面45。所成角为60°，得到

△。/。为等边三角形，从而得到2笈的长，得到答案；

（2）在（1）的基础上得到根据△Q8C的面积为1,求出3c=1,建立空间直角坐标系，求

出平面ZD8的法向量，利用线面角的向量公式求出其正弦值.

【小问1详解】

因为ZC=CD=2,作_LDC交DC于H,

因为平面ADFC1平面BDC,而平面ADFCA平面BDC=DC,u平面ADFC,

所以AH，平面BDC,则A到平面DBC的距离即为2笈的长，

而BCu平面BDC,故因为4D1BC,AD^AH=A,4D,u平面4D9。，

所以1平面9C,因为BCu平面所以平面Z5C1平面/。-。，

作。/1ZC交/C于

因为£>/u平面4DRS,平面NDPCn平面45C=/C,所以平面48C,

故ND4C即为与底面48C所成角，因为2。与底面48c所成角为60°，所以ND4C=60°，

因为/C=CD=2,所以△D4C为等边三角形，故H为3中点，且ZZ/=2sin60°=行，

故N到平面£石。的距离为百；

【小问2详解】

由（1）可知1平面4D9C,因为CDu平面4D尸C,所以5C1C。，

因为△D8C的面积为1,所以'C2cp=L又8=2,所以8C=1,

取N5中点为N,连接MN,则跖V平行BC,

因为5c1平面4D9C,所以■平面4DFC,

以M为坐标原点，以MN,MC,地＞所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则/(0,—1,0),C(0,l,0),5(1,1,0),£>(0,0,V3),AS=(1,2,0),石=(0,1,百卜

丽=(0,-1词,设平面4D3的法向量为=(x,y,z),

ri-AB=(x,y,z),(1,2,。)=%+2y=0

，令y=-V3,则x=2>/3,z=1J

ri'AD=(%//).(0,l,g)=y+J§z=0

所以为=(2百,-JI,1),设直线S与平面所成角为，,

,—,\CD-n\

贝!1sin。=卜osCZ),司=T=^|~~

11\CD[\n\712+3+1x73+1—4

故直线CD与平面ADB所成角的正弦值为二二.

4

45

22.在平面直角坐标系xQy中，动圆。与圆G：x2+y2+2x—^=0内切，且与圆

3

。2：/+/_2》+4=0外切，记动圆C的圆心的轨迹为〃.

(1)求轨迹〃的方程；

(2)设。为坐标原点，过点G且与坐标轴不垂直的直线与轨迹〃交于尸，。两点•线段0G上是否存在点

N(n,0),使得苏.而=网.而？若存在，求出〃的取值范围；若不存在，说明理由；

(3)过点4(4,0)且不垂直于x轴的直线与轨迹〃交43两点，点3关于x轴的对称点为E,证明：直线

AE过定点.

22

【答案】(1)土+匕=1

43

(2)存在，〃e(0,—)

4

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据圆的位置关系可得圆心距与半径的关系，即可结合椭圆的定义判断轨迹符合椭圆定义，

即可利用椭圆的性质求解.

(2)联立直线与椭圆方程得(3+4公)》2一8左2》+8左2—12=0,由已知条件推导出直线NR的方程为：

3k14左2一►一►一►——»

y+-----7=——(%--------),由此能求出线段。尸上存在点N(〃,0),使得QP•NP=PQ•NQ，其中

3+4kk3+4k

〃e(0,；).

(3)联立直线N5方程与椭圆方程得(3+4左2)/一32左2%+64左2-12=0,得韦达定理，进而根据点斜式

求解直线NE的方程为=为产(X-X3)，代入化简运算即可求解直线NE过定点(1,0).

“3—“4

【小问1详解】

设动