苏科版九年级数学上册常见几何模型解读与提分训练：圆中的重要模型-圆中的翻折模型（解析版）

专题04圆中的重要模型-圆中的翻折模型

知识储备：

1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分；

2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等；同弧或等弧所对的圆周角

相等；

3、等圆相交：如图，圆。和圆G为两个相等的圆，圆。和圆G相交，相交形成的弦为48,则弦为整

个图形的对称轴，圆心。和圆心G关于A8对称，弧AC8和弧ADB为等弧，且关于对称；

4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦2C为对称轴，将弧翻折后交弦于点。，那么弧88所在的

圆圆G与圆。是相等的圆，且两个圆关于8C对称，故圆心。、G也关于8C对称。

模型L圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰）

如图，以圆。的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D,则CD=CA

例L（2023春•浙江金华・九年级校联考阶段练习）如图，镭。是＜。的内接三角形，将劣弧AC沿AC折

叠后刚好经过弦的中点D若AC=6,ZC=60°,贝!］。的半径长为（）

[2]2

A.—V?B.—A/7C.—V2TD.—V2T

3333

【答案】D

【分析】设折叠后的AC所在的圆心是。，连接O'A，O'D,进而得出=设（。的半径是r,作

OGLAB,根据勾股定理得出AB=^r,在另一个图中作AM_L8C,

设即l=ZW=x,表示BD,MC,然后根据直角三角形的性质得出MC=3,即可求出x的值，进而得出AM

和BM,再根据勾股定理求出48,结合AB=gr可得答案.

【详解】如图，设折叠后的4c所在的圆心是。，连接O'A，O'D,

^AAO'D=2AACB=120°,连接OA,OB,同理，ZAOB=120°,BZAOB=AAO'D.

回。和。'是等圆，SAB=AD.设（。的半径是r,过点。作于点G.

SOA=OB,ZAOB=120°,SZOAB=ZOBA=30°,AB=2AG,

^OG=-04=-rSAB=2AG=2Jr2-(1r)2=器r.过点A作于点M,

22

^AB^AD,T^BM=DM=x,贝!]8£>=2x.

国。是BC的中点，©CD=BD=2x,^MC=DMCD=3x.

SAM±BC,ZAC3=60°,E)ZM4C=30°.在RtZ\3C中，MC=-AC=3,

2

03x=3,解得X=l,=JAC?-MC?=373，BM=x=\.

在Rt一中，AB=4AM1+BM2=2近•回AB=指厂，回r=冬g.故选：D-

【点睛】本题是一道关于圆的综合问题，难度较大，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含30。直角三角

形的性质等，勾股定理是求线段长的常用方法.

例2.（2022秋•江苏•九年级校考专题练习）如图，以为直径的半圆沿弦BC折叠后，AB与弧C8相交于

点。，若弧。=；弧贝崛8=

4

【答案】15。/15度

【分析】如图，连接oc,首先证明AC=!ACB,得出乙4。。=：X180。=30。，根据圆周角定理即可求解.

56

SAC=-ACB,

6

0ZAOC=-xl8O°=3O°,EZABC=-ZAOC=15°,故答案为：15°.

62

【点睛】本题考查了圆周角定理，翻折变换等知识，正确的作出辅助线是解题的关键.

例3.（2023,河北保定•统考一模）如图，已知A3是。的直径，且AB=4,C是；。上一点，将弧AC沿

直线AC翻折，使翻折后的圆弧恰好经过圆心。，则（1）AC的长是—.（2）劣弧8C的长是

【分析】(1)首先利用垂径定理以及“30。角所对的直角边等于斜边的一半”得出回EAO为30。，由此进一步利

用三角函数即可得出AC；(2)由(1)进一步得出国COB=60。，然后进一步结合题意直接计算出劣弧BC的长

即可.

【详解】如图，作OE1AC交。。于尸，交AC于E,连接OC,BC,贝U：OA=OF=OC=OB,

(1)由折叠的性质可知，EF=OE=-OF,

2

0OE=-OA,回在RtlSAOE中，NE4O=30°,EIAB=4,EIAB为直径，00ACB=9O°

2

团在RtlSCAB中，cos0CAB=—=—,IBAC=2jL故答案为：2指；

AB2

(2)由(1)可得回CBO=90°-I3CAB=60°,

60x7X4,2

又E1CO=OB,E0COB=6O°,团劣弧BC的长=-------=一万，故答案为：二万.

36033

【点睛】本题主要考查了圆的性质和弧的长度计算与三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

例4.(2023春•广西•九年级专题练习)如图，CO是，。的直径，A2是0的弦，AB1CD,垂足为G,

OG:OC=3:5,AB=8,点E为圆上一点，ZECD=15°,将CE沿弦CE翻折，交CD于点、F,图中阴影部

分的面积=.

【分析】如图，连接A0,将阴影部分沿CE翻折，点尸的对应点为过点M作脑VLCD于点N,可求

出，:)0的半径，由对称性可知，ZDCM=30°,S阴影=S弓形CBM，连接。河，根据特殊角的三角函数值即可求

解.

【详解】解：如图，连接40,将阴影部分沿CE翻折，点尸的对应点为过点M作MNLCD于点N,

CD为。的直径，ABLCD,AB=8,/.AG=|AB=4,

0OG:OC=3:5,ABLCD,垂足为G,•・・设i。的半径为53则0G=33

团（34）2+42=（5Q2,解得：上=1或%=—1（舍去）,

:.5k=5,即：。的半径是5,连接OM,则/MOD=60。，：.ZMOC=120°,

过点M作肱V_LCD于点N,S\MN=MO.sin60°=5x,

2

（3rli20%x2525百25万2573

UJ阴影—J弓形QMC_J.OMC，及—―------：-=----------7-，

360434

即图中阴影部分的面积是：—故答案为：—

3434

【点睛】本题主要考查直角三角形的，圆，扇形面积的计算，折叠知识的综合，理解圆的基础知识，直角

三角形的勾股定理，扇形面积的计算方法，折叠的性质是解题的关键.

例5.（2023•山东潍坊•昌邑市校考二模）如图，将扇形A08翻折，使点A与圆心。重合，展开后折痕所在

直线/与弧交于点C,连接AC.若。4=3,则图中阴影部分的面积是（）

9若3万34

D.

"12

【答案】A

【分析】连接OC,根据垂直平分线的性质得到△ACO为等边三角形，即可求出扇形AOC的面积，再算出

AOC的面积，即可解答.

【详解】解：如图，连接0C,

；将扇形A03翻折，使点4与圆心O重合，

.-.AC=OC=OA,ZADC=ZODC=90°,；..AOC为等边三角形，.\ZAOC=60°,

..•扇形AOC的面积为32><"*黑=当，.•.OD=』AO=3,.•.«?=迪，

36002222

■■■^AOC=3X—x-=^,；.阴影部分的面积为红一生叵，故选：A.

△a"22424

【点睛】本题考查了扇形面积的计算，翻折变化，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

例6.（2023•吉林长春•统考模拟预测）如图，在回。中，点C在优弧AB上，将BC沿BC折叠后刚好经过AB

的中点D,连接AC,CD.则下列结论中错误的是（）

①AC=CD；②AD=BD；®AC+BD=BC;④CD平分团ACB

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根据折叠的性质可得AD=CD；根据线段中点的定义可得AD=BD；根据垂径定理可作判断③；延

长OD交回。于E,连接CE,根据垂径定理可作判断④.

【详解】过D作DD'EIBC,交回0于D',连接CD'、BD',

由折叠得：CD=CD',0ABC=0CBD',I3AC=CD'=CD,故①正确;

El点D是AB的中点，0AD=BD,0AC=CD',故②正确；

团才C=a）'，由折叠得：BD=BD，回注C+M=8C；故③正确；

延长0D交回。于E,连接CE,0OD0AB,

00ACE=0BCE,EICD不平分E1ACB,故④错误；故选：A.

【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，

位置变化，对应边和对应角相等.也考查了圆周角定理和垂径定理.

例7.（2022春・福建福州•九年级校考阶段练习）如图，A2是回。的直径，BC是回。的弦，先将8c沿翻

折交A8于点。，再将BO沿A8翻折交8c于点E.若BE=DE，贝崛88）的度数是（）

A.22.5°B.30°C.45°D.60°

【答案】C

【分析】连接AC,CD,DE,设NABC=a,证明/C钻=3a,利用三角形内角和定理求出a,可得结论;

【详解】解：如图，连接AC,CD,DE,设NABC=cn

ED=EB，..ED=EB,ZEDB=ZEBD=a,

AC=CD=DE，**-AC=CD=DE,/DCE=/DEC=/EDB+/EBD=2a,

/CAD=/CDA=/DCE+/EBD=3a,团A3是直径，..ZACB=90°,ZCAB-^-ZABC=90°,

.•.4a=90。，/.a=22.5。，/.ZBCD=ZDCE=2a=45°,故选：C.

DO

【点睛】本题考查翻折变换，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的

关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

例8.(2023•湖北黄石•校考模拟预测)如图，在半圆。中，直径AB=4,C是半圆上一点，将弧AC沿弦AC

折叠交A3于。，点E是弧AD的中点.连接OE,则OE的最小值为()

A.72-1B.4-忘C.72+1D.2A/2-2

【答案】D

【分析】把弧AEC的圆补全为回F,可知点F与点。关于AC对称，求出回F=90。，CE长，OE的最小值为EC-OC.

【详解】解：把弧AEC的圆补全为回F,可知点F与点。关于AC对称，半径为2,

00FCA=0ACO,0OA=OC,0[?]ACO=0CAO,0EFCA=0CAO,ECF0AB,

(BE是弧AD的中点，0FE0AB,EEF=IBBGE=90。，

I3FC=FE=2,0EC=2V2,回OE2EC-OC即OE22&-2,OE的最小值为20-2,故选：D.

【点睛】本题考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题关键是通过作辅助线，根据三角形

三边关系确定OE的取值范围.

例9.(2023,浙江杭州•统考二模)如图回O中直径A8=2,点E是A8的中点，点C是AE上的一个动点，将

C2沿线段BC折叠交A8于点D.(1)如图1,当BABC=20。时，求此时AC的长.

(2)如图2,连结AC,当点。与点。重合时，求此时AC的长.

(3)设AC=x,DO=y,请直接写出y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围.

2

IK/、l-x(0<x<l)

【答案】（1）;1；(3)y=

v⑵X-12(1<X<^2')

【分析】（1）连接oc,求出NAOC=40。，进而用弧长公式即可求解结果;

（2）作点。关于3C的对称点尸，连接CF,BF,DF,DC,先判断出BD=£>C=CF=8F,进而得出ABDF

是等边三角形，求出NABR=60。，再判断出AAOC是等边三角形，即可得出结论;

（3）作点。关于8C的对称点G,连接8,CG,BG,由折叠判断出AC=CD,过点C作。〃，45于”,

进而得出AO=2A”,再求出=得出AD=2AH=V,再判断出O<xW0，最后分两种情况，利用

线段的差，即可得出结论.

【详解】解：（1）如图1,连接。C,

图1

ZABC=20°,ZAOC=2ZABC=40°,

_,.,,t/..40TT,127r

中直径4B=2,.-.04=1,.1AC的长为=77；

（2）如图2,作点。关于8C的对称点尸，连接C尸，BF,DF,DC,

由折叠知，BD=BF,CD=CF,:点、D与点0重合，：.BD=DC,;.BD=DC=CF=BF,

DF=BD,:.BD=DF=BF,.1ABD厂是等边三角形，:.ZABF=60°,

BD=DC=CF=BF,，四边形3DCF是菱形，ZAOC=ZABC=60°,

OA=OC,；.AAOC是等边三角形，.-.AC=OA=1；

(3)如图3,作点。关于BC的对称点G,连接8,CG,BG,

由折叠知，CD=CG,NCBG=NCBA,:.CG=AC,AC=CD,

1

ACx

过点C作C〃_LAB于a,:.AD=2AH,AB是C。的直径，ZACB=90°,cosZBAC=,

AB2

入fAA-TT*./nsAHAH.XAH.127

在RtAACH中，cosABAC==,••—=,ATTH=~x,/.AD=2AH=x2,

ACx2x2

由（2）知，当点。与点。重合时，AC=1,即x=l,

当点C与点C重合时，连接OE,AE,

点Er是A8的中点，为直径，:.ZAOE=90。，：.AEmOA=血,

点C是AE上的一个动点，：.0<xV夜，

当点。在半径OA（包括点。）上时，0cxWl,y=DO=OA-AD=l-x2,

当点。在半径。3（不包括。）上时，y=DO=AD-OA=x2-l,

即丫=Jr-

【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了折叠的性质，弧长公式，菱形的判定和性质，等边三角形的判定

和性质，锐角三角函数，解（2）的关键是判断出四边形8DC尸是菱形，解（3）的关键是构造出直角三角

形求出AH.

课后专项训练

1.（2023・福建龙岩・统考模拟预测）如图，AB.AC为。的两条弦，AB=3旧AC=4,将A3折叠后

C.5D.币

【答案】B

【分析】连接8D,作于E,连接A。、BO、DO、BC,过点。作OF,BE于凡可由=NC4fi

推出跳＞=3C,进而利用勾股定理求得/定，BE,然后证明四边形OD跖是矩形，可得OF=DE=1,

EF=OD,再利用勾股定理构建方程求出跖，然后可求半径OA.

【详解】解：如图，连接8D,作BELAC于E,连接A。、BO、DO、BC,

ZDAB=ZCAB,:-BD=BC，：.BC=BD,:.DE=CE=^-CD=-AC=l,

24

在RtAABE1中，AB=372,AE=AD+DE=3,BE=小五丫一3?=3，

过点。作上，班于R团点。是AC中点，ZODIAC,

0ZODE=ZDEF=ZEFO=90°,回四边形ODE尸是矩形，回。尸=DE=1,EF=OD,

X0OF2+BF2=OB2-OD2+AD2=0^,S.OA=OB,

^OF2+BF2=OD2+AD2,012+（3-EF）2=EF2+22,解得：EF=1,

SOD=EF=1,0（M=A/AD2+OD2=722+12=yf5>故选：B.

【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等

知识，解决问题的关键是作辅助线，求出DE,BE.

2.（2023・河北唐山•统考二模）如图，已知A8的半径为5,所对的弦长为8,点P是Ag的中点，将A8

绕点A逆时针旋转90。后得到AB，三位同学提出了相关结论：

嘉嘉：点尸到的距离为2淇淇：AP的长为2百嘉淇：线段AP扫过的面积为2君万

A.嘉嘉对，淇淇错B.淇淇对，嘉淇错C.嘉嘉错，嘉淇错D.淇淇错，嘉淇对

【答案】A

【分析】根据垂径定理得出=利用勾股定理求得ON,继而即可求得点尸到A3的距离

为2,故即可判断嘉嘉对；利用勾股定理求得AP的长为2石，即可判断淇淇错；根据线段AP扫过的面积=

扇形W的面积求得即可判断嘉淇错.

【详解】解：设所在圆的圆心为。，连接OP、OA,

；点尸是A8的中点，AM=BM=^AB=4,

OM=yJo^-AM2=3＞，「河=5-3=2，.•.点尸到AB的距离为2,故嘉嘉对,

PA=y/AM2+PM2=722+42=2#＞，故淇淇错；

，线段AP扫过的面积.S一%寸国故嘉淇错，故选：A.

一°扇形APP一公久八一°兀

【点睛】本题考查了扇形的面积、垂径定理，勾股定理，明确线段钻扫过的面积=扇形APP的面积是解题

的关键.

3.（2023・河北唐山・统考二模）如图，。的直径AB=4,C是。上一点，将AC沿直线AC翻折，若翻折

后的圆弧恰好经过点。，则图中阴影部分的面积为（）

C.y-2^

32

【答案】B

【分析】连接。C,BC,可证得42=2,NCO3=60°,ZOAC=30°,再过点。作OC_LAC

2

于点。，可求得02）、AD,最后根据S阴影—S扇形AOC—S/KAOC,即可求得.

【详解】解：连接。C,BC,

ZCAO=ZCAB,.oc=BC''OC=BC,

...OC=BC=OB^-AB^-x4=2,403=60。，ZOAC=30°,

22

ZA6>C=180°-60o=120°,过点。作OC，AC于点D,

.-.OZ）=|AO=1X2=1,AC=2AD,AD=Uo2-OD2=4^^=yf3>

阴影二扇形

AC=2^SSAOC-SZNOC=120£X2_lx2^xl="-技故选：B.

36023

【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，扇形的面积公式，作

出辅助线是解决本题的关键.

4.（2023•湖北武汉•模拟预测）如图，在扇形AOB中，点C,。在弧AB上，将弧CO沿弦C。折叠后恰好与

。4,。3相切于点瓦F.已知ZAOB=120。，OA=6,则CD的长为（）

A.9B.3MC.4■屈D.673

【答案】C

【分析】设翻折后的弧的圆心为O',连接O'E,O'F,OO',O'C,OO交CD于点H,可得

OO'LCD,O'H=OH=]-OO',O'C=04=6,根据切线的性质可证明ZO'OF=60°,根据30°直角三角形和勾

2

股定理即可解决问题.

【详解】如图，设翻折后的弧的圆心为O',连接O'E,O'F,OO',O'C,OO'交CO于点H,

团将弧CD沿弦CO折叠回OO'LCD,O'H=OH=；OO',O'C=O'/=OA=6,回CD=2CH

回恰好与OA,02相切于点E,F,fflZ.OEO=NOFO=90°,O'C=OK=Q4=6,

0ZAOB=120°,ElAO'OF=-ZAOB=60°,

2

ElOO'=———=---=64--=45/3,国O'H=-OO'=2g,

sinZO'OFsin60022

0CH=y/O'C2-O'H2=2>/6>0CD=2CH=4A/6.故选：C.

【点睛】本题考查了翻折变换，切线的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质.

5.（2023秋•浙江宁波・九年级统考期末）如图，将沿弦A3折叠，点C,。分别是两条弧的中点，AC与

AB的度数之比为3：4,则上4DB的度数是（）

c

A.108°B.120°C.144°D.150°

【答案】A

【分析】根据AC与AB的度数之比为3:4,点C,。分别是两条弧的中点，可知A8的度数，进一步可知优

弧AB的度数，根据圆周角定理可得24汨的度数.

【详解】解：回AC与的度数之比为3:4,点C,。分别是两条弧的中点，

4

团48的度数为360。x3+3+4=144°，根据折叠，优弧AB的度数为360。-144。=216。，

fflZADB=216°xl=108°,故选：A.

2

【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），圆周角定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

6.（2022・河南商丘•校考一模）如图1所示是一张圆形纸片，直径AB=8,现将点A折叠至圆心。形成折痕

CD,再把C、。折叠至圆心。处，最后将圆形打开铺平（如图2所示），则"的长是（）

BB

图1图2

【答案】A

【分析】如图2,连接AC、AD,OC、OD、OE、OF、CE和DE由折叠及圆的半径相等可得出△AOC、

△COE、△AOO和△。。尸都是等边三角形，从而可求得/E。尸的度数，再由直径求得半径，则可利用弧长

公式求得答案.

【详解】解:如图2,连接AC、AD,OC、OD、OE、OF、CE和。尸，

图2

由折叠及圆的半径相等可知，AC=CO=OA,AD=OD=OA,CE=OE=OC,DF=OF=OD,

：.AAOC△COE、△AO£）和△DO/都是等边三角形，

.".ZEOF=360°-60°X4=120°,二•直径AB=8,半径为4,

,,..„120^x48n,,

..所的长是］。八=二.故选：A.

loUJ

【点睛】本题考查了折叠的性质，求弧长，等边三角形的性质，掌握折叠的性质求得NEOF=120。是解题

的关键.

7.（2022秋・浙江绍兴•九年级校考阶段练习）把一张直径为2的半圆形纸片按如图所示方式折叠一次后展开,

图中的虚线表示折痕，则BC的长度是（）

5

D.—TC

12

【答案】C

【分析】连接30,过点。作于点E,根据折叠的性质得出：EO^BO,ABDC,从而根据含

30。角的直角三角形的性质判定N£BO=30。，得出/3QD=30。，进而可求N3OC=150。，最后根据弧长公

式计算即可.

【详解】如图，连接3。，过点。作于点E,

由折叠的性质可得：E0二BO,ABDC,fflZ£B（9=30°,0ZBOD=30°,

1x12577

0Z.BOC=180°-ZBOD=150°,ElBC的长度是上上一=—.故选C.

1806

【点睛】本题考查折叠的性质，含30。角的直角二角形的性质，平行线的性质，以及弧长公式.解题的关键

是正确作出辅助线.

8.（2022春•九年级课时练习）如图，已知半圆。的直径AB=8,C是半圆上一点，沿AC折叠半圆得到弧ADC,

交直径于点若DA、DB的长均不小于2,则AC的长可能是（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】A

【分析】分如解图①，当点。在圆心。的左侧且AD=2时，如解图②，当点。在圆心。的右侧且加＞=2时,

两种情况求出AC的长，从而确定AC的取值范围即可得到答案.

【详解】如解图①，当点。在圆心。的左侧且AD=2时，过C作CE/AS,垂足为E,连接C。、CO、CB,

^AC=ADC⑦NCDB=/CBD,aCD=CB,@DE=BE=3,

团。0=2,回OE=1,团AE=5,CE2=CO2-OE2=15AC=y/CE2AE2=740；

如解图②，当点。在圆心。的右侧且BD=2时，过C作垂足为E,连接CD、CO、CB,

^AC=ADC>0NCDB=NCBD,SCD=CB,SDE=BE=1,

国OE=3,0AE=7,CE=CCP-OE』,^AC=^CE2+AE2=756-

回若D4、DB的长均不小于2,则痴4AC4屈，回AC的长可能是7,故选A.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，无理数的估算等等，利用分

类讨论的思想求解是解题的关键.

9.（2023•北京•统考二模）如图，AB是回。的直径，C是回。上一点，将弧AC沿直线AC翻折，若翻折后的

图形恰好经过点O,贝岫C4B=

【答案】30

【分析】作OE回AC交回。于F,交AC于E,根据折叠的性质得到OE=?OF,根据直角三角形的性质解答.

【详解】解：作OE3AC交回。于F交AC于E,

EIOA=OF,回OE=；O4,在RtEIAOE中，03(X8=30°,故答案为：30.

【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、含30。角的性质，以及圆的知识，折叠是一种对称变换，折叠前后

图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

10.（2023春•北京海淀•九年级校考开学考试）如图，将半径为3cm的圆形纸片折叠后，劣弧中点C恰好与

圆心。距离1cm,则折痕AB的长为cm.

【答案】2石

【分析】取的中点。，根据圆的对称性和折叠的性质可知点。，C,。共线，作直线OC,交A3于点E,

连接80,可知必=3cm,OE=2cm,根据垂径定理可知OELAB,在中，根据勾股定理求出0E,

进而得出答案.

【详解】取的中点。，根据圆的对称性和折叠的性质可知点。，C,。共线，作直线OC,交A3于点E,

连接B。，根据题意可知a?=3cm,OE=2cm,

回点。是AB的中点，0OEXAB.

在RtQBE中，根据勾股定理，得BE^OBjE?=书.

0OE±AB,^AB=2BE=2而(cm).故答案为：2G.

【点睛】本题考查折叠的性质，垂径定理和逆定理等，构造直角三角形是解题的关键.

11.（2023•河南周口•统考二模）如图①，A3为半圆。的直径，点C在A8上从点A向点6运动，将BC沿

弦BC,翻折，翻折后BC的中点为。，设点A,C间的距离为工,点0,。间的距离为了，图②是点C运

动时y随X变化的关系图象，则A3的长为.

y

【答案】8

【分析】由图②可知，当x=4时，y=0,此时，AC=4,。点与。点重合，由此即可解题.

【详解】解：由图②可知，当x=4时，y=0,

此时，AC=4,。点与。点重合，如图，

取BC的中点E，连接OE、EB,

OE=OB,根据对称性，得OB=BE,ZEBC=ZABC,

:.OB=OE=BE,.'。访是等边三角形，:.ZABE=60°,ZABC=ABE=3Q,

AB为直径，.-.ZACB=90°,在八轨方中，ZACB=90°,ZABC=30°,

:.AB=2AC=8,长为8.故答案为：8.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、圆周角定理及含30。角的直角三角形的性质，解答本题的关键是

根据图2得到AC=4时，。点与。点重合，此题难度一般.

12.（2022秋•河南商丘•九年级校联考期末）如图，点A,B,C,D,E是。上5个点，若AB=AO=2,

将弧。沿弦CO翻折，使其恰好经过点。，此时，图中阴影部分恰好形成一个"钻戒型"的轴对称图形，"钻

戒型"（阴影部分）的面积为一.

E

【答案】+-3右

【分析】连CD、0E,如图，利用折叠性质得四边形0cM是菱形，C0D=CED，则S近ECE＞=S展修。CD,

判断回COE为等边三角形则可求得回（%＞。=回。笈＞=120。，根据扇形面积公式，三角形的面积公式进行计算即可.

由题意可知OC=OD=CE=ED,COD=CED，

0s崩彩ECD=S扇彩OCD,四边形OCEO是菱形，^COD^CED^CEO,

SCO=EO=CE,EHCOE是等边三角形，aacEO=6o°,SBCOD=SCED=12O°,

同理可证团ODE是等边三角形，0A02是等边三角形，

团SMOB=SACOE=SADOE=gx2?=g,0S菱形OCED=SACOE+SADOE=2有

4

团S32s娘/。CO-2s菱/。0£。+5/4。8=2（^^—24）+赤=:万一3.故答案为：［兀-3粗.

36033

【点睛】本题考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面

积.记住扇形面积的计算公式.也考查了折叠的性质.

13.（2023,江苏宿迁•九年级阶段练习）如图①是半径为2的半圆，点C是弧AB的中点，现将半圆如图②

方式翻折，使得点C与圆心。重合，则图中阴影部分的面积是—.

图①图②

27r

【答案】2万-y

【分析】连接0C交MN于点P,连接OM、ON,根据折叠的性质得到OP=；OM,得到回POM=60。，根据勾

股定理求出MN,结合图形计算即可.

【详解】解：连接0C交MN于点P,连接。M、0N,

图②

由题意知，OCEIMN,且OP=PC=1,在RtAMOP中，E0M=2,OP=1,

Qp]________

0cos0POM=—=y,AC=7OM2-OP2=A/3，

fflP0M=60o,MN=2MP=2石，fflA0B=2SA0C=120o,

则图中阴影部分的面积=5芈就2s弓影MCN

=；XHX22-2XJ2；；；一;*2指xl）=26-|"兀，故答案为2括-1_兀

【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、

三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键.

14.（2022秋・山东济宁•九年级校考期末）如图，将半径为rem的。折叠，弧A2恰好经过与AB垂直的半

径OC的中点。，已知弦的长为4而cm,则厂=cm.

【答案】8

【分析】延长CO交AB于E点，交于点尸，连接。3,由OC与A3垂直，根据垂径定理得到E为AB的

中点，然后利用。是OC的中点和对称即可求出ORCD、DE的长，从而求出0E,然后由QB,OE的长,

根据勾股定理求出BE的长，进而得出半径的长.

【详解】解：延长CO交于E点，交I。于点E连接。3,

c

SiCElAB,回E为A3的中点，回48=4屏，=1AB=2y/15,

国。是OC的中点，OC=r,^\CD=OD=-r,OB=r,CF=2OC=2r,

2

根据对称的性质可得：DE=^DF=U2r-^-r]=^r,OE=DE-OD^r-^r=,

22（2）4424

在RtAsOEB中，根据勾股定理可得：OB=JOE。+BE。即r=j+（2jl?『

回r=8（负值舍去）故答案为：8.

【点睛】此题考查了垂径定理，折叠的性质以及勾股定理，在遇到直径与弦垂直时，常常利用垂径定理得

出直径平分弦，进而由圆的半径，弦心距及弦的一半构造直角三角形来解决问题，故延长CO并连接。8作

辅助线是本题的突破点.

14.（2023・广东•九年级专题练习）如图，已知一ABC是回。的内接三角形，回。的半径为2,将劣弧AC（虚

线）沿弦AC折叠后交弦8C于点。，连接AD.若NACB=60。，则线段的长为.

【答案】26

【分析】取折叠后的弧所在圆圆心为。'，贝附。与回。'设等圆，/ACD是公共的圆周角，所以可以证得

AB=AD,设囱0的半径为R,过。作OG_LAB于G,可得钻=NO54=30。，AB=2AG,即OG=1,

根据勾股定理可得AG=/，即可求得.

【详解】设折叠后的AC所在圆的圆心为。，连接O'A，O'D

^AAO'D=2NACB=120°

连接Q4,OB

\Y，。,\：

\/\Z»/\/

同理，ZAOB=120°^\ZAOB=ZAO'D03。与回O'是等圆BIAS=AD

设回。的半径为R过。作OG_L/1B于G

SOA=OB,ZAOB=12000ZOAB=ZOBA=30°,AB=2AG

团OG=-OA=10AG=VOA1-OG2=百回AB=2AG=2旧故答案为：2^/3.

【点睛】本题考查了圆中的折叠变换，垂径定理等，注意等圆中的公共角，公共弦，公共弧，这些都是相

等的，利用这些等量关系，是解决此类题的突破口.

15.（2022春•浙江•九年级专题练习）如图，在。中，AB为。的直径，弦CDLAfi,垂足H在半径OB

上.若劣弧8沿着直线CZ）翻折，点8落在Q4上的点E处（点E不与点A。重合），连结G4,CE,CB.

（1）求证：ZACE=ZDCO.

（2）延长CE交。于点连结AM,若4W=10,OE=3,求—ACE的正弦值.

【答案】（1）见解析；（2）：

【分析】（1）由折叠的性质可得MCH=aBCH,由圆周角定理可得0ACB=9O。，BPHBCH+EACH=90°,利用垂

径定理易得C00A8,即团CAO+a4cH=90。，等量代换可得结果；

（2）由折叠的性质可得&8=回。匹，EH=BH,利用圆周角定理可得回2=fflAMC,定量代换可得0AMe=EAEM,

易得AE=AM=10,又因为OC=OA,可得3+0%13-0H,可得。8,利用边角关系可得结果.

【详解】解：（1）证明：连接CO,

由翻折可知回ECH二团8c回。4二。。,团团CA。二团AC。，

财8为回。的直径，配L4C8=90。，回团BCH+朋CH=90°,

0CZM4B,团团CAO+0AC〃=9O°,

团团5CH二团CAO二团ACO,^\ECH=^ACO,

即0ACE+团ECO=团OCO+团ECO,团财CE■二团0co.

(2)连接CO,

B

由翻折可知团5二团CEB,EH=BH,

幽3二财MC,^CEB=^\AEMf^\AMC=^\AEM,

[?L4E=AM=10,0OC=OA=13,回3+0〃=13-0",回0H=5,

5

回sinMC氏sin回。CO二一.

13

【点睛】本题主要考查了折叠的性质，圆周角定理，解直角三角形等，综合运用定理是解答此题的关键.

16.(2023•江西•九年级统考阶段练习)如图1,在AABC中，AB=AC,以3C为弦的。与A3相切于点心

(1)求证：AC是O的切线；(2)将。中3c以下部分沿直线向上翻折.

①如图2,若翻折后的弧过A3中点。，并交AC于点E,请判断DE与BC的关系，并说明理由.

②如图3,若AB=2代，且翻折后的弧恰好过点A,贝U，。的半径为.

【答案】（1）见解析；（2）©DE//BC,DE=^BC,见解析，②2

【分析】（1）连接OB,0C,根据等腰三角形的性质，得I3ABC=EIACB,®OBC=EIOCB,结合E]ABO=90°,即可得

到结论；（2）①连接DE,BE,由圆周角定理得DC=BE，从而得BD=CE，进而得DE回BC,由点D是AB

的中点，可得DE是AABC的中位线，进而即可得到结论；②连接AO,BO,CO,设A。交BC于点。，易得

是BAC所在圆的直径，记交弧8C于点O',两圆半径相等，那么点O'就是BAC所在的圆的圆心，

可得△OBO是等边三角形，再利用解直角三角形，即可得到答案.

【详解】（1）连接OB,OC,0AB=AC,OB=OC,

fflABC=0ACB,0OBC=0OCB,EEABO=EIACO,

EIAB是C。的切线，EBABO=90°,00ACO=9O°,E1AC是（。的切线；

（2）@DE//BC,DE=；BC,理由如下：连接DE,BE,

团AB二AC,团团ABC二团ACB,[3DC=BE，

⑦DC-DE=BE-DE，即：BD=CE，回回BED二团CBE,团DE团BC,

团团ADE二团ABC二团ACB二团AED,回AD=AE,

回点D是AB的中点，0AD=|AB,0AE=|AC,

回点E是AC的中点，EIDE是AABC的中位线，0DE=|BC.

综上所述：DEEIBC,DE=1-BC；

②连接AO,BO,CO,设AO交BC于点。'，

团翻折后的弧恰好过点A,0ABO=9O°,回AO是BAC所在圆的直径，

团BAC所在圆与BC所在圆是等圆，回0。既是BC所在圆的半径，也是BAC所在圆的半径，

回点。'是8AC所在圆的圆心，0O,B=O,O=OB,EIACTB。是等边三角形，即I3AOB=60。，

团在RtAAOB中，AO=AB4-sin60°=273=4,0OOZ=2,即：,。的半径为2.

2

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，圆的切线的判定定理，圆周角定理及其推论以及解直角三角形，

添加合适的辅助线，构造直角三角形和等边三角形，是解题的关键.

17.(2023•江苏无锡,九年级校联考期中)如图1