苏科版九年级数学上册常见几何模型解读与提分训练：圆中的重要模型-圆中的外接圆和内切圆模型（原卷版）

专题06圆中的重要模型-圆中的外接圆和内切圆模型

模型1、内切圆模型

【模型解读】

内切圆：平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切，该圆就是该多边形的内切圆，这时称这

个多边形为圆外切多边形。它亦是该多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心。

三角形内切圆圆心：在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线

段相等。正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。

【常见模型及结论】

1）三角形的内切圆模型

条件:如图1,。。为三角形ABC的内切圆（即。为三角形ABC的内心），。。的半径为八

条件：如图2,。。为放AABC的内切圆（即。为三角形ABC的内心）,。。的半径为八

结论：①点。到三角形ABC的三边距离相等；@ZBOC=90°+-ZBAC；③片处土生二竺；

22

3）四边形的内切圆模型

条件：如图3,。。是四边形ABC。的内切圆。结论：AB+CD=AD+BCo

例1.（2023秋•江苏•九年级专题练习）如图，已知圆。是AABC的内切圆，且NA=70。，则/30C的度数

是（）

A

O

BC

A.140°B.135°C.125°D.110°

例2.（2023春・上海•九年级专题练习）如图，在0ABe中，她=50。，团。截a48c的三边所得的弦长相等,

则OBOC=（）

例3.（2023秋•江苏•九年级专题练习）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：

"今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？"其意思是"今有直角三角形，勾（短直角边）长为八步，股

（长直角边）长为十五步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？"此问题中，该内切圆的

例4.（2023•湖北武汉•九年级期中）《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已

知三角形三边a,b,c求面积的公式S=.若三角形的三边°,。分别为7,6,

3,则这个三角形内切圆的半径是（）

A逐R6「MnTio

4224

例5.（2023•江苏南京•九年级校考阶段练习）如图，AB.BC、CD、都是回。的切线，已知AO=2,BC

=5,则A5+CD的值是

A

•O

B

A.14B.12C.9D.7

例6.（2023春・江苏宿迁•九年级校联考期中）如图O。是的内切圆，切点分别是。，E,F,其中

AB=6,BC=9,AC=11,若MN与。O相切与G点，与AC,相交于M,N点,贝LCVW的周长等

例7.（2023•黑龙江鸡西•校考三模）如图，在直角坐标系中，一直线/经过点M（6,1）,与x轴、y轴分别

交于A、B两点，且=若。。1是AABO的内切圆，0Q与。。1、/、V轴分别相切，。。3与。。?、

I、》轴分别相切，……按此规律，贝1」。。2023的半径3=

例8.（2023•江苏无锡・统考模拟预测）如图，AABC中，AB=8,AC=6,ZA=90°,点。在AABC内,

且DB平分/ABC,0c平分NACB,过点O作直线「2,分别交A3、AC于点P、Q,若AAPQ与AABC

相似，则线段P。的长为（）

-35

C.5或7-D.6

6

模型2、多边形的外接圆模型

【模型解读】

外接圆：与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆，通常是针对一个凸多边形来说的，如三角形,

若一个圆恰好过三个顶点，这个圆就叫作三角形的外接圆，此时圆正好把三角形包围。

三角形外接圆圆心：即做三角形三条边的垂直平分线（两条也可，两线相交确定一点）。

【常见模型及结论】

1）三角形的外接圆模型

条件：如图1,。。为三角形ABC的外接圆（即。为三角形ABC的外心）。

结论：®OA=OB=OC；②ZBOC=2ZBAC。

2）等边三角形的外接圆模型

条件：如图2,点P为等边三角形A8C外接圆劣弧上一点。

结论：①/BPC=120。，PM平分NBPC；②M=PB+PC；（3）-=-+—；

PMPBPC

3）四边形的外接圆模型

条件：如图3,四边形ABC。是。。的内接四边形。

结论：①NABC+/4DC=180°；ZS4D+ZDCB=180°；②ZDAB=ZDCE。

例1.（2023春・湖北九年级课时练习）如图，在EL48C中，回BOC=140。，/是内心，。是外心，则副/C=（

度

A.70B.135C.55D.125

例2.（2023・山东聊城・统考中考真题）如图，点。是AABC外接圆的圆心，点/是AABC的内心，连接。8,

IA.若/C47=35。，则NO3C的度数为（）

A.15°B.17.5°C.20°D.25°

例3.（2023•江苏无锡•九年级校考阶段练习）已知等腰0ABe中，AB=AC=W,BC=16,则它的外接圆半

径R=，内切圆半径厂=.

例4.（2023•江苏泰州•九年级统考期中）如图，在Rt^ABC中,NC=90。，AC=8,BC=6,点M,N分

别是AABC的内心和外心，则=

例5.（2022秋,吉林白山•九年级统考期末）如图，在AABC中,AB=AC,以AB为直径的半圆。分别交

BC,AC于点。，E,连接EB,OD,DE.⑴求证：OD±EB.(2)若=AB=10,求AE的长.

BDC

例6.（2023湖北武汉九年级上期中）如图，点A、P、B、C为回。上四点，0APC=ECPB=60°.

（1）判断EA5C形状并证明；（2）将EAPB绕点8顺时针旋转60。至团CM2,请画出图形，直接写出B4,P8,

PC三者之间的数量关系

例7.（2023重庆九年级上期中）如图，A,P,B,C是回。上的四个点，0APC=0BPC=6O°,过点A作回。的切

线交BP的延长线于点D.（1）求证：0ADP00BDA；（2）试探究线段PA,PB,PC之间的数量关系，并证明

你的结论；（3）若AD=2,PD=1,求线段BC的长.

课后专项训练

1.（2023秋•河北保定•九年级统考期末）如图，在AABC中，点/为三角形的内心，若/A为50。，则NB/C

的度数为（）

A.65°B.70°C.115°D.125°

2.（2023春•广东九年级期中）圆。内切于三角形ABC,在斜边AB上的切点为。，AD=6,BD=4,则

内切圆的半径为（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2023秋•绵阳市九年级期中）如图，在RtZVLBC中，ZC=90°,AABC的内切圆。。与AB、BC、CA分

别相切于点£＞、E、F,若。。的半径为2,ADDB=24,贝UA3的长（）

A.11B.10C.9D.8

4.（2023春•江苏九年级期中）如图，AABC的内切圆回。与8C,CA,A8分别相切于点。，E,F,已知融。

的周长为36.AB=9,3C=14,则4尸的长为（）

A.4B.5C.9D.13

5.（2023•江苏•九年级假期作业）如图，不等边AABC内接于。。，/是其内心，BILOI,AC=14,BC=13,

△ABC内切圆半径为（）

75

A.4B.-72C.-A/3D.373

6.（2023・江苏•九年级专题练习）图，是0ABe的外接圆，点/是0ABe内心，连接A/并延长交回。于点

AT

D,若A8=9,BC=14,CA=13,则一的值是（）

AD

7.（2023•黑龙江•校联考模拟预测）中，她=80。，点M是AA8C的外心，点N是AA8C的内心，连接

BM,CM,BN,CN,则国BMC与I3BNC的差为（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

8.（2023•山东聊城•九年级校联考期中）等边三角形的内切圆半径、外接圆半径的比是（）

A.1：0B.2：1C.1：73D.102

9.（2023•山东枣庄•九年级校考自主招生）如图，AABC中，内切圆。和边BC、C4、A3分别相切于点。、

E、F,则以下四个结论中，错误的结论是（）

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A.点。是ADEF的外心B.ZAFE=-(ZB+ZC)C.ZBOC=90°+-ZAD.ZDFE=90°--ZB

10.（2023•江苏九年级课时练习）如图，点E是0A8C的内心，AE的延长线和0ABe的外接圆相交于点，

连接8D,CE,若回CBD=32。，则aBEC的大小为（）

A.64°B.120°C.122°D.128°

11.（2022秋•山东潍坊•九年级统考期末）如图，点/为AABC的内切圆的圆心，连接也并延长交"RC的

外接圆于点。，连接AD,AI,若BD=7,AD=5,则&的长为（）.

A.1B.2C.2.5D.3.5

12.（2023春•江苏九年级课时练习）用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：如图，①在。。上任取一点

A,连接40并延长交。。于点&②以点8为圆心，80为半径作圆弧分别交。。于C,。两点；③连接CO,

。。并延长分别交。。于点E,F；④顺次连接8C,CF,FA,AE,ED,DB,得到六边形AFCSDE.连

接AD,EF,交于点G,则下列结论错误的是（）

A."OE的内心与外心都是点GB.ZFGA=ZFOA

C.点G是线段收的三等分点D.EF=42AF

13.（2023・广东广州•校考二模）如图，AB是O。的弦，点C是A8上一点，与点。关于A3对称，直线AO

交O。于点E,BD交于点F,直线8交。。于点G,且连接EE给出下面四个结论：①CDLAB；

②C。平分A3；③CG平分/FCE；④点。为△CEF的内心.其中，所有正确结论的序号是

C

14.（2023•贵州遵义•统考二模）已知AABC内接于。。，它的内心为点。，连接AD交弦8C于点E,交。O

于点E已知3E=5,CE=4,EF=3,则线段DE的长为.

F

15.（2023•湖北武汉•九年级校考阶段练习）如图，点B的坐标为（4,0）,以。点为圆心，以。2为半径的

圆交y轴于点4点C为第一象限内圆上一动点,8取轴于。点，点/为回。C。的内心，则A/的最小值为.

16.（2022秋•江苏泰州•九年级统考期中）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=8,3c=6,点M,N

分别是AABC的内心和外心，则MN=.

17.（2023,北京•九年级校考阶段练习）在0ABe中，0BAC=8O°,0C=6O°,若点。为0ABe的外心，则0Aoe

的度数是;若点P为0ABe的内心，则助尸C的度数是.

18.（2023•山东泰安•九年级统考期末）如图，点/和。分别是a48c的内心和外心，若&4力=125。，则0AO8

的度数为.

19.（2023•山东潍坊•统考二模）如图，点N为"RC的内心，连接BN,CN.分别以A,C为圆心，，以大

于;AC的长为半径画弧，两弧交于点02,作直线002,交BC的垂直平分线于点连接CM,

若/BMC=152。，则N7V=°.

20.（2023•江苏南通•九年级统考期中）直角三角形的外接圆半径是3,内切圆半径是1,则该直角三角形的

周长为.

21.（2023浙江年级上期中）在AABC中，EIC=90。,AC=12cm,BC=5cm,则它的外接圆半径R=cm,

内切圆半径r=cm.

22.（2023•江苏南京•统考二模）如图，正方形A3CD的边长是4cm,E是CO边的中点.将该正方形沿BE折

叠，点C落在点C'处.。。分别与AB,AD,3C'相切，切点分别为尸，G,H,则。。的半径为cm.

23.（2023•江苏•九年级假期作业）如图AABC内接于OO,—3=60。，。是O。的直径，点P是CZ）延长线

上一点，且AP=AC,PD=3.⑴求证：是。。的切线；（2）求。。的直径；⑶当点8在CD下方运动时，

直接写出AABC内心的运动路线长是

24.（2023•全国•九年级专题练习）如图，点E是AABC的内心，AE的延长线和AA8C的外接圆相交于点。,

连接BE,（1）若回C8£）=34。,求SBEC的度数；（2）求证：DE=DB.

25.（2023・北京•校考三模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

莱昂哈德•欧拉（LeonhardEider）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定

理，下面是欧拉发现的一个定理：在AABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外

下面是该定理的证明过程（借助了第（2）问的结论）：

延长AI交回0于点D,过点I作回O的直径MN,连接DM,AN.

00D=0N,00DMI=0NAI（同弧所对的圆周角相等），

00MDI00ANI.0™=—,0IA-ID=1MIN®

IAINJ

如图②，在图1（隐去MD,AN）的基础上作团0的直径DE,连接BE,BD,Bl,IF

0DE是回0的直径，00DBE=9O°.

ffll与AB相切于点F,00AFI=9O°,

00DBE=0IFA.

EBBAD=EIE（同弧所对圆周角相等），

00AIF00EDB.

0—=—,@IA-BD=DETF②,

DEBD

由（2）知：BD=ID,

©IATD=DETF

龙DE」F=IM」N,

02Rr=（R+d）（R-d）,

^\R2-d2=2Rr

Eld2=R2-2Rr

任务：（1）观察发现：lM=R+d,W=_（用含R,d的代数式表示）；

（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由.（请利用图1证明）.（3）应用：若AABC的外接圆的半

径为6cm,内切圆的半径为2cm,则AABC的外心与内心之间的距离为cm.

26.（2023江苏九年级上期末）如图，EIABC中，A、B,C三点的坐标分别为A（0,8）,B（-6,0）,C（15,

0）.若回ABC内心为D,求点D的坐标.

27.（2023春・福建泉州•九年级校考期中）如图，己知在AABC中.

（1）请用圆规和直尺作出AABC的内切圆团尸：（保留作图痕迹，不写作法）

（2）若回产与AB、BC、AC分别相切于点。、E、F,且AD=1,AABC的周长为12,求BC的长.

28.（2023春・安徽・九年级阶段练习）如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径的国O分别交BC,AC于点D,

E,连结EB,交OD于点F.（1）求证：ODI3BE；（2）若DE=Ji。，AB=10,求AE的长；

（3）若ACDE的面积是AOBF面积的，，求的值.

6AC

29.（2023江苏盐城九年级期中）（1）如图1所示，等边三角形43c内接于圆。，点尸是劣弧BC上任意一

点（不与C重合），连接上4、PB、PC,求证：PB+PC^PA.

⑵［初步探索］小明同学思考如下：将绕点A顺时针旋转60。到AAQB,使点C与点8重合，可得尸、

5、。三点在同一直线上，进而可以证明△APQ为等边三角形，根据提示，解答下列问题：根据小明的思

路，请你完成证明.若圆的半径为4,则P3+PC的最大值为.

（3）类比迁移：如图2所示，等腰Rt^ABC内接于圆。，/A4C=90。，点尸是弧BC上任一点（不与8、

C重合），连接丛、PB、PC,若圆的半径为4,试求APBC周长的最大