7.3 定义、命题、定理（第二课时）-教案 七年级数学下册（人教版2024）

分课时教学设计第九课时《7.3定义、命题、定理（第二课时）》教学设计课型新授课☑复习课口试卷讲评课口其他课口教学内容分析本节课的主要教学内容是理解定理、证明的概念，理解通过反例判断假命题的方法。命题是数学教学的基本依据，经过推理证实的命题如定理可以作为继续推理的依据，进而会用逻辑推理进行简单地证明，这是几何证明中的演绎推理的入门，是把握推理论证的基础，因此，本节内容具有承上启下的作用。学习者分析学生已经学习了定义和命题的相关知识，对命题已经有了一定的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于进行简单的推理，并做到步步有据，学生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明白，深入浅出的分析，课堂上一方面要运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。教学目标1．了解定理与证明的概念，理解定理可以作为继续推理的依据。2．初步接触逻辑推理的形式，知道逻辑推理的根据主要有已知、定义、定理、基本事实等，理解证明中的每一步都要有根据。3．掌握利用反例来判断一个命题是假命题的方法。教学重点理解证明的必要性和证明的过程步步有根据。教学难点理解什么是证明，填写一些证明的关键步骤和根据。学习活动设计教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1：师出示学习目标：1．了解定理与证明的概念，理解定理可以作为继续推理的依据。2．初步接触逻辑推理的形式，知道逻辑推理的根据主要有已知、定义、定理、基本事实等，理解证明中的每一步都要有根据。3．掌握利用反例来判断一个命题是假命题的方法。学生活动1：学生齐声读本课的学习目标活动意图说明：明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2：问题：1.可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作________。被判断为正确（或真）的命题叫作_________。被判断为错误（或假）的命题叫作________。答案：命题，真命题，假命题2.数学中的命题常可以写成“________________”的形式，这时“如果”后接的部分是_______，“那么”后接的部分是_______。答案：如果……那么……，题设，结论3.判断一个命题真命题还是假命题，首先找出此命题的题设和结论，然后看题设成立时结论是否一定成立，如果结论一定_______，此命题就是真命题，否则，就是_________．答案：成立，假命题学生活动2：学生积极回答问题活动意图说明：从学生已知的命题知识出发，为下文探究定理的概念做好准备环节三：新知讲解教师活动3：一、定理问题1：说出两个我们学过的基本事实．预设：如：“两点确定一条直线”、“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”等．问题2：说出两个经过推理得到的真命题．预设：（1）“对顶角相等”推理过程如下：因为∠2与∠3互补，（邻补角的定义），∠4与∠3互补所以∠2＝∠4（同角的补角相等）．（2）“内错角相等，两直线平行”推理过程如下：因为∠2＝∠3，而∠3＝∠1，所以∠1＝∠2，即同位角相等，从而a//b．归纳：有一些命题，如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理．定理也可以作为继续推理的依据．二、证明指出：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明．证明：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.已知：如图所示，直线a⊥b，b//c．求证：a⊥c．证明：∵a⊥b（已知），∴∠1＝90º（垂直的定义）．∵b//c（已知），∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）.∴∠2＝90º（等式的基本事实）．∴a⊥c（垂直的定义）．归纳：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等。推理和证明是有区别的，推理是证明过程中的组成部分．例1：在下面的括号内，填上推理的依据.如图，AB//CD，CB//DE,求证：∠B+∠D=180°.证明：∵AB//CD,∴∠B=∠C().∵CB//DE，∴∠C+∠D=180°().∴∠B+∠D=180°().答案：两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补等量代换归纳：注明的理由主要是依据的性质、定理、基本事实等，“已知”式的理由可以不注明．三、举反例判断假命题指出：判断一个命题是错误的，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.举反例说明：“相等的角是对顶角”是错误的。解：如图所示，∵OC是∠AOB的平分线∴∠1＝∠2但∠1和∠2不是对顶角∴“相等的角是对顶角”是错误的。例2：命题“同位角相等”是真命题吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例．解：不是，反例如图所示，∠1和∠2是同位角，但∠1≠∠2．归纳：举反例是判断一个命题是假命题的常用方法，举反例的方法在生活中也常用到．学生活动3：学生积极思考、讨论交流，在了解定理、证明和举反例判断假命题后，先独立完成例题，然后组内交流，班内汇报活动意图说明：通过问题，让学生了解定理、证明等相关概念，并通过例题，提高学生的综合应用能力，掌握综合法进行证明，并会用举反例说明一个命题是假命题。环节四：课堂小结教师活动4：问题：本节课你都学习到了哪些知识？教师通过学生的回答，进行归纳学生活动4：学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明：通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。板书设计课题：7.3定义、命题、定理（第二课时）一、定理二、证明三、举反例判断假命题教师板演区学生展示区课堂练习【知识技能类作业】必做题：1．下列选项中，能说明命题“对于任何实数a，都有a2>0”是假命题的a的值是（A．a=-3 B．a=-1 C．a=0 D．a=2答案：C2．下列可以作为定理的有（

）①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为180°．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案：A3．要说明命题“若a+b>0，则a>0，b>0”是假命题，则a=，b=．答案：2-1（答案不唯一）选做题：4．指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出个反例．(1)两个角的和等于直角时，这两个角互为余角；(2)同旁内角互补．解：（1）题设：两个角的和等于直角时，结论：这两个角互为余角．这个命题是真命题．（2）题设：两个角是同旁内角，结论：这两个角互补，这个命题是假命题．反例：如图中∠1与∠2是同旁内角，∠1+∠2≠180°，【综合拓展类作业】5．补全下列推理过程：如图，已知AB//CE，∠A=∠E，试说明：∠CGD=∠FHB，解：∵AB//CE（已知）∴∠A=∠ADC（______）∵∠A=∠E（已知）∴∠E=∠ADC（______）∴AD//EF（______）∴∠CGD=∠GHE（______）∵∠FHB=∠GHE（______）∴∠CGD=∠FHB解：∵AB//CE（已知），∴∠A=∠ADC（两直线平行，内错角相等），∵∠A=∠E（已知），∴∠E=∠ADC（等量代换），∴AD//EF（同位角相等，两直线平行），∴∠CGD=∠GHE（两直线平行，同位角相等），∵∠FHB=∠GHE（对顶角相等），∴∠CGD=∠FHB．作业设计【知识技能类作业】必做题：1．能说明命题“若|a|>1，则a>1．”是假命题的反例可以是（

）A．a=-2 B．a=1 C．a=2 D．a=π答案：A2．以下四个例子中，不能说明“一个角的余角大于这个角”是假命题的是（

）A．设这个角是30°，它的余角是60°，但30°<60°B．设这个角是45°，它的余角是45°，但45°=45°C．设这个角是60°，它的余角是30°，但30°<60°D．设这个角是50°，它的余角是40°，但40°<50°答案：A3．下列命题可以作定理的有个．①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程12x+7=9x+26的根；④三角形的内角和是答案：2选做题：4．如图，现有以下3个论断：①AB//CD；②∠B＝∠C

(1)请写出所有的真命题；(2)请选择其中一个命题加以证明．解：（1）命题1：由①②得到③；命题2：由①③得到②；命题3：由②③得到①；（2）命题1证明如下：∵AB//∴∠B＝∵∠B＝∴∠C＝∴CE//∴∠E＝命题2证明如下：∵AB//∴∠B＝∵∠E＝∴CE//∴∠C＝∴∠B＝命题3证明如下：∵∠E＝∴CE//∴∠C＝∵∠B＝∴∠B＝∴AB//【综合拓展类作业】5．如图，从①∠1=∠2，②∠C=∠D，③∠A=∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．

(1)这三个命题中，真命题有______个；(2)选择一个真命题，并且完成证明过程．解：（1）3；（2）已知∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F．证明：∵∠1=∠2,∠2=∠AGC，∴∠1=∠AGC，∴DB//EC，∴∠C=∠ABD，∵∠D=∠C，∴∠D=∠ABD，∴DF//AC，∴∠A=∠F．已知∠1=∠2，∠A=∠F，求证：∠C=∠D．证明：∵∠1=∠2,∠2=∠AGC，∴∠1=∠AGC，∴DB//EC，∴∠C=∠ABD，∵∠A=∠F，∴DF//AC，∴∠D=∠ABD，∴∠D=∠C．已知∠C=∠D，∠A=∠F，求证：∠1=∠2．证明：∵∠A=∠F，∴DF//AC，∴∠D=∠ABD，∵∠D=∠C，∴∠C=∠ABD，∴DB//EC，∴∠1=∠AGC，∵∠2=∠AGC，∴∠1=∠2．教学反思从教学目标达成情况来看，基本目标已实现，学生对定理、证明的概念有了初步认知，也能举反例判断假命题。然