高中数学讲义（人教B版2019必修二）第31讲63平面向量线性运算的应用

6.3平面向量线性运算的应用TOC\o"13"\h\z\u题型1向量在平面几何中的应用 1题型2向量在功力问题中的应用 6题型3向量在速度问题中的应用 10知识点一.用向量运算解决平面几何问题的“三步法”1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系.3.把运算结果“翻译”成几何关系.知识点二.平面向量在物理中的应用1.物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．2.向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解.3.动量mv是向量的数乘运算.题型1向量在平面几何中的应用【方法总结】用向量证明平面几何问题的两种基本思路（1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化.（2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化.【例题1】（2022下·辽宁锦州·高一统考期末）已知△ABC，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，点D在BC边上且BD=13BCA．3 B．32 C．33 【答案】D【分析】利用向量数量积去求AD长度即可.【详解】△ABC中，点D在BC边上且BD=1则AD又AB=1，AC=2，则AD=19×4+4故选：D【变式11】1．（2023下·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期中）在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，|ABA．72 B．4 C．92【答案】D【分析】以B为原点，BC为x轴正方向，BA为y轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.【详解】如图示，以B为原点，BC为x轴正方向，BA为y轴正方向建立平面直角坐标系.则B0,0,A0,2,C2d,0所以PC=2d−p,0，所以PC+3所以|PC+3PD所以|PC故选：D【变式11】2．（2023下·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为6,E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M．

(1)求∠EMF的余弦值．(2)若点P自A点逆时针沿正方形的边运动到C点，在这个过程中，是否存在这样的点P，使得EF⊥MP？若存在，求出MP的长度，若不存在，请说明理由．【答案】(1)2(2)存在MP=【分析】（1）如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系，由于∠EMF就是DE,（2）根据向量的共线表示联立方程组可求解M187,67，分点P在AB【详解】（1）如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系．则D0,6由于∠EMF就是DE,

∴cos∠EMF=DE（2）设M∵AM∴x=18由题得EF=①当点P在AB上时，设Px,0∴3x−54②当点P在BC上时，设P6,y∴72综上，存在P22【变式11】3．（2023下·江西上饶·高一校联考阶段练习）在菱形ABCD中，O为菱形ABCD内一点.(1)用OA，OB，OC，表示OD；(2)若AB=2，∠DAB=60∘，求AB+【答案】(1)OD(2)AB+AD【分析】（1）根据菱形对边所在向量相等，利用向量的线性运算即可求解；（2）根据菱形的性质求出AB与AD的数量积，然后求模的平方再开方即可求解.【详解】（1）因为四边形ABCD为菱形，所以BC=则OC−OB=（2）因为AB=2，∠DAB=60所以AB⋅则AB+AB−【变式11】4．（2023下·河北沧州·高一校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=4,AC=6,BD(1)求BC的长；(2)求AD的长.【答案】(1)2(2)2【分析】（1）确定DE=−13AC，DF=−（2）AD=23【详解】（1）DE=DF=DE⋅DF=BC=（2）AD=AD=4题型2向量在功力问题中的应用【例题2】（2023下·河南新乡·高一统考期末）若平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态．已知F1=1N，F3=2NA．1N B．3N C．7N【答案】C【分析】根据三力平衡得到F1+F【详解】根据三力平衡得F1+F两边同时平方得F1即F1即12解得F2故选：C.【变式21】1．（2023下·湖南长沙·高一长郡中学校考期中）如图，某人用1.5m长的绳索，施力25N，把重物沿着坡度为30°的斜面向上拖了6mA．13J B．3013J C．125【答案】B【分析】利用正弦定理得出cos∠BAC=【详解】在△ABC中，由正弦定理，ABsin∴W=F故选：B【变式21】2．（2023·高一课时练习）已知力F的大小为50N，与水平方向的夹角为30°（斜向上），使物体沿水平方向运动20m，则力【答案】500【分析】由数量积的定义即可求解.【详解】由题意可知力F所做的功为F⋅故答案为：500【变式21】3．（2023·全国·高一随堂练习）如图，质量m=2.0kg的木块，在平行于斜面大小为10N向上的拉力F的作用下，沿倾角θ=30°的光滑斜面向上滑行2.0m的距离．

(1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功；(2)求在这一过程中物体所受各力对物体做的功的代数和；(3)求物体所受合外力对物体所做的功，它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系？【答案】(1)拉力20J，支持力不做功，重力−19.6(2)0.4J(3)物体所受合外力对物体做的功与物体所受各力对物体做功的代数和相等.【分析】（1）分析物体受力，按功的定义式求解每个力做的功；（2）将（1）中各值累加即可;（3）计算物体所受合外力对物体所做的功，与物体所受各力对物体做功的代数和比较即可.【详解】（1）木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力N，如图所示.

拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为WF支持力N与位移方向垂直，不做功，所以WN重力G对物体所做的功为WG（2）物体所受各力对物体做功的代数和为W=20+0−19.6=0.4(J（3）设物体所受合外力的大小为F1则F1故合外力做功为W=0.2×2=0.4.故物体所受合外力对物体做的功与物体所受各力对物体做功的代数和相等.【变式21】4．（2023·高一课时练习）已知两个力F1=5i+4j，F2=−2i+j，F1，F2作用于同一质点，使该质点从点(1)F1，F(2)F1，F2的合力【答案】(1)120；9(2)111【分析】（1）由已知可得两个力F1，F2和位移（2）先计算F1，F【详解】（1）依题意有F1=5,4，F则F1做的功为WF2做的功为W（2）由F=所以F做的功为W=F题型3向量在速度问题中的应用【方法总结】向量在物理中的应用主要解题思路分四步：（1）转化问题：将物理问题转化为数学问题；（2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型；（3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等；（4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题。【例题3】（2023下·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）已知船在静水中的速度大小为5m/s，且知船在静水中的速度大小大于水流的速度大小，河宽为20m，船垂直到达对岸用的时间为【答案】3【分析】根据向量的加法运算，确定船行驶的方向与水流方向和船实际的方向之间的关系，进而解三角形可得.【详解】设船在静水中的速度为a，船的实际速度为b，水流速度为c，如图所示c⊥

∵a=5m∴c→=a故答案为：3.【变式31】1．（2023·全国·高一随堂练习）雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0m/s．现在有风，风使雨滴以3.0m/s的速度水平向东移动，那么雨滴将以多大的速度着地？这个速度的方向怎样？【答案】与地面成53.1°的方向，以5m/s的速度着地【分析】根据平面向量的平行四边形法则分析即可.【详解】如图所示，AB为雨滴无风时的下落速度，AD为雨滴有风时的水平速度，由平行四边形法则，雨滴实际下落的速度为：AC=AB+AD，

即雨滴将沿向下偏东，与地面成53.1°的方向，以5m/s的速度着地．【变式31】2．（2023·全国·高一随堂练习）如图，在一场足球比赛中，中场队员在点A位置得球，将球传给位于点B的左边锋，随即快速直向插上．边锋得球后看到对方后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门前，球到达点C时前插的中场队员正好赶到，直接射门得分．设BC=30m，∠ABC=37°．（取sin

(1)求中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移；(2)这一过程中中场队员的位移与球的位移是否相等？【答案】(1)位移大小为22.5m(2)相等【分析】（1）解直角三角形ABC求出AC，再根据AB+（2）根据向量加法得几何意义即可得解.【详解】（1）由题意，△ABC为直角三角形，由BC=30m，∠ABC=37°得AC=BC⋅tan又AB+所以中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移大小为22.5m（2）因为AB+所以中场队员的位移与球的位移相等.【变式31】3．（2023·全国·高一随堂练习）如图，一艘船从长江南岸点A出发，以23

(1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度；(2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）．【答案】(1)答案见解析(2)船实际航行速度的大小为4km/h，方向与江水速度间的夹角为【分析】（1）直接利用向量加法的平行四边形法则作图即可；（2）利用勾股定理求解船速的实际大小，在求解直角三角形即可得方向.【详解】（1）如图所示，AD表示船速，AB表示水速，以AB,AD为邻边作平行四边形ABCD，则AC表示该船实际航行的速度；

（2）由题意AB⊥AD，在Rt△ABC中，AB则AC=22+2所以船实际航行速度的大小为4km/h，方向与江水速度间的夹角为60°【变式31】4．（2023·全国·高一随堂练习）飞机从A地向西北飞行200km到达B地后，又从B地向东飞行1002km到达C地，再从C地向南偏东60°飞