专题跟踪检测(十三)-直线与圆

专题跟踪检测（十三）直线与圆1．已知直线l1：x－2y－2＝0，l2：x－2y－1＝0，则直线l1，l2之间的距离为()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(\r(5),2) D.eq\r(5)解析：选A由两平行直线间的距离公式可得其距离为：d＝eq\f(|－2－－1|,\r(12＋－22))＝eq\f(\r(5),5).2．已知圆(x－1)2＋y2＝4内一点P(2,1)，则过P点的直径所在的直线方程是()A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0C．x＋y＋3＝0 D．x＝2解析：选A由题意，圆心C(1,0)，过P(2,1)点的直径所在的直线方程是eq\f(y－1,0－1)＝eq\f(x－2,1－2)，即x－y－1＝0.3．(2021·北京丰台区高三二模)“a＝1”是“直线x＋ay－1＝0与直线ax－y＋1＝0相互垂直”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A因为直线x＋ay－1＝0与直线ax－y＋1＝0相互垂直，所以1×a＋a×(－1)＝0，所以a∈R.而当a＝1时，直线x＋ay－1＝0与直线ax－y＋1＝0相互垂直，所以“a＝1”是“直线x＋ay－1＝0与直线ax－y＋1＝0相互垂直”的充分不必要条件．4．(2021·大连期末)已知圆x2＋y2＝25，则过圆上一点A(3,4)的切线方程为()A．3x＋4y－25＝0 B．4x＋3y－24＝0C．3x－4y＋7＝0 D．4x－3y＝0解析：选A圆x2＋y2＝25的圆心为O(0,0)，则直线AO的斜率kOA＝eq\f(4,3)，故切线的斜率k＝－eq\f(1,kOA)＝－eq\f(3,4)，所以切线方程为y－4＝－eq\f(3,4)(x－3)，化简得：3x＋4y－25＝0.5．(多选)已知直线l：kx＋y＝0与圆M：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，则下列说法中正确的是()A．直线l与圆M一定相交B．若k＝0，则直线l与圆M相切C．当k＝－1时，直线l与圆M的相交弦最长D．圆心M到直线l的距离的最大值为eq\r(2)解析：选BCDM：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝1，是以(1,1)为圆心，以1为半径的圆，因为直线l：kx＋y＝0，所以直线l过原点，又02＋02－2×0－2×0＋1>0，原点在圆外，所以直线l与圆M不一定相交，故A错误；若k＝0，则直线l：y＝0，直线l与圆M相切，故B正确；当k＝－1时，直线l的方程为y＝x，过圆M的圆心，故C正确；由点到直线距离公式，知d＝eq\f(|k＋1|,\r(k2＋1))＝eq\r(\f(k2＋1＋2k,k2＋1))＝eq\r(1＋\f(2,k＋\f(1,k)))≤eq\r(2)(当k＝1时，等号成立)，故D正确．故选B、C、D.6．在平面直角坐标系中，直线l为双曲线x2－y2＝1的一条渐近线，则()A．直线l与圆(x－2)2＋y2＝1相交B．直线l与圆(x－2)2＋y2＝1相切C．直线l与圆(x－2)2＋y2＝2相离D．直线l与圆(x－2)2＋y2＝2相切解析：选D双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，圆(x－2)2＋y2＝1的圆心为(2,0)，半径r＝1，圆心到直线l：x±y＝0的距离d1＝eq\f(|2±0|,\r(12＋±12))＝eq\r(2)＞1，∴直线l与圆(x－2)2＋y2＝1相离，故选项A、B不正确；圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为(2,0)，半径R＝eq\r(2)，圆心到直线l：x±y＝0的距离d2＝eq\f(|2±0|,\r(12＋±12))＝eq\r(2)，∴直线l与圆(x－2)2＋y2＝2的位置关系为相切．故选D.7．已知圆C的圆心是直线x＋y＋1＝0和直线x－y－1＝0的交点，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交的弦长为6，则圆C的方程为()A．x2＋(y＋1)2＝18 B．x2＋(y－1)2＝3eq\r(2)C．(x－1)2＋y2＝18 D．(x－1)2＋y2＝3eq\r(2)解析：选A由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋1＝0，,x－y－1＝0))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－1，))所以直线x＋y＋1＝0与直线x－y－1＝0的交点为(0，－1)，所以圆C的圆心为C(0，－1)，设半径为r，由题意可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|0－4－11|,\r(32＋42))))2＋32＝r2，解得r2＝18，故圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18.8．已知圆C与直线x＋y＝0及x＋y－4＝0都相切，圆心在直线x－y＝0上，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2解析：选C由题意可知直线x＋y＝0与直线x＋y－4＝0平行，且两直线都与直线x－y＝0垂直，由此可得圆C的直径为两直线x＋y＝0与x＋y－4＝0间的距离，题设三条直线的交点组成的线段的中点为圆心，d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(0－－4,\r(2))))＝2eq\r(2)，r＝eq\r(2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋y＝0，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，))即圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0＋2,2)，\f(0＋2,2)))＝(1,1)，即圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.9．(多选)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋m))x＋4y－3＋3m＝0(m∈R)．则下列四个命题正确的是()A．直线l恒过定点(－3,3)B．当m＝0时，圆C上有且仅有三个点到直线l的距离都等于1C．若圆C与曲线M：x2＋y2－6x－8y＋m＝0恰有三条公切线，则m＝16D．当m＝13时，直线l上一个动点P向圆C引两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则直线AB经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,9)，－\f(4,9)))解析：选ACD直线l：(3＋m)x＋4y－3＋3m＝0可化为3x＋4y－3＋m(x＋3)＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－3＝0，,x＋3＝0))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝3，))故直线l恒过定点(－3,3)，故A正确．当m＝0时，直线l：3x＋4y－3＝0，圆心到该直线的距离为d＝eq\f(|0＋0－3|,5)＝eq\f(3,5)，因为R－d＝eq\f(7,5)>1，故圆C上有且仅有四个点到直线l的距离都等于1，故B错误．因为圆C与曲线M：x2＋y2－6x－8y＋m＝0恰有三条公切线，所以两圆外切，故|CM|＝eq\r(0－32＋0－42)＝5＝2＋eq\r(25－m)，故m＝16，故C正确．当m＝13时，直线l：4x＋y＋9＝0，设P(a，－4a－9)，则以OP为直径的圆的方程为x(x－a)＋y(y＋4a＋9)＝0，而圆C：x2＋y2＝4，故AB的直线方程为－ax＋(4a＋9)y＋4＝0，整理得到a(－x＋4y)＋9y＋4＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋4y＝0，,9y＋4＝0))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(16,9)，,y＝－\f(4,9)，))故直线AB经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,9)，－\f(4,9)))，故D正确．10．已知圆O：x2＋y2＝8，点P为直线x＋2y－9＝0上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB过定点()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)，\f(8,9))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,9)，\f(16,9)))C．(2,0) D．(9,0)解析：选B由题意，设P(9－2m，m)，则以OP为直径的圆方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(9－2m,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(m,2)))2＝eq\f(1,4)[m2＋(9－2m)2]，即x2＋y2＋(2m－9)x－my＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2m－9x－my＝0，,x2＋y2＝8，))得(2m－9)x－my＋8＝0，这就是直线AB的方程，直线方程整理为(2x－y)m－9x＋8＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0，,－9x＋8＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,9)，,y＝\f(16,9)，))所以直线AB过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,9)，\f(16,9))).11．(2021·邯郸三模)已知点P在直线x＋y＝4上，过点P作圆O：x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则点M(3,2)到直线AB距离的最大值为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)解析：选D设P(a，b)，则a＋b＝4，以OP为直径的圆的方程是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(b,2)))2＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋b2))，与圆O的方程x2＋y2＝4相减，得直线AB的方程为ax＋by＝4，即ax＋by－4＝0，因为a＋b＝4，所以b＝4－a，代入直线AB的方程，得ax＋(4－a)y－4＝0，即a(x－y)＋4y－4＝0，当x＝y且4y－4＝0，即x＝1，y＝1时该方程恒成立，所以直线AB过定点N(1,1)，点M到直线AB距离的最大值即为点M，N之间的距离，|MN|＝eq\r(5)，所以点M(3,2)到直线AB距离的最大值为eq\r(5).12．已知圆M：(x－a)2＋(y－b)2＝3(a，b∈R)与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝eq\r(3)，给出以下结论：①eq\o(MA,\s\up7(→))·eq\o(MB,\s\up7(→))是定值；②四边形OAMB的面积是定值；③a＋b的最小值为－eq\r(2)；④ab的最大值为2，则其中正确结论的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选D根据题意画出示意图，设直线AB与OM交于点C，则点C为AB中点且AB⊥OM，因为|AB|＝|AM|＝|BM|＝eq\r(3)，所以△ABC为等边三角形，故∠AMB＝eq\f(π,3)，所以eq\o(MA,\s\up7(→))·eq\o(MB,\s\up7(→))＝|eq\o(MA,\s\up7(→))||eq\o(MB,\s\up7(→))|cos∠AMB＝eq\r(3)×eq\r(3)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，故①正确；|MC|＝|AM|sineq\f(π,3)＝eq\f(3,2)，而|OC|＝eq\r(OA2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))2)＝eq\r(1－\f(3,4))＝eq\f(1,2)，所以|OM|＝|OC|＋|MC|＝2，SOAMB＝eq\f(1,2)|AB|×|OM|＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×2＝eq\r(3)为定值，故②正确；因为O(0,0)，M(a，b)，所以|OM|＝eq\r(a2＋b2)＝2，所以a2＋b2＝4，利用基本不等式得：(a＋b)2≤2(a2＋b2)＝8，所以－2eq\r(2)≤a＋b≤2eq\r(2)，a＋b最小值为－2eq\r(2)，故③不正确；又a2＋b2≥2ab，所以ab≤2，故④正确．综上，正确的有：①②④.13．(2021·天津和平区高三二模)设m∈R且m≠0，若直线l：2x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0相切，则m＝________.解析：由C：x2＋y2－4x＋2y＝0可得：(x－2)2＋(y＋1)2＝5，则圆心C到直线l的距离d＝eq\f(|2×2＋1＋m|,\r(22＋－12))＝eq\f(|5＋m|,\r(5))＝eq\r(5)，解得m＝－10或m＝0(舍去)．答案：－1014．(2021·南开中学高三模拟)已知两圆的方程分别为x2＋y2－4x＝0和x2＋y2－4y＝0，则这两圆公共弦的长等于________．解析：这两个圆的圆心分别为(2,0)，(0,2)，半径都是2，两圆方程相减可得x－y＝0，这是公共弦所在直线方程，又圆心到公共弦的距离d＝eq\f(|2－0|,\r(2))＝eq\r(2)，所以公共弦长为l＝2eq\r(22－\r(2)2)＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)15．(2021·上海金山区高三一模)已知实数a，b，c成等差数列，则点P(－1,0)到直线ax＋by＋c＝0的最大距离是________．解析：根据题意，过点P作直线ax＋by＋c＝0的垂线，Q为垂足，若a，b，c成等差数列，即2b＝a＋c，则直线ax＋by＋c＝0为2ax＋(a＋c)y＋2c＝0，即a(2x＋y)＋c(y＋2)＝0，恒过定点M(1，－2)，又由PQ垂直于直线ax＋by＋c＝0，故△PQM为直角三角形，则Q的轨迹是以PM为直径的圆，即x2＋(y＋1)2＝2，则点P(－1,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离即|PQ|的长，其最大值为|PM|＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2