2024年上海市杨浦区复旦大学附中自主招生数学试卷

第1页（共1页）2024年上海市杨浦区复旦大学附中自主招生数学试卷一、填空题1．（3分）实数x、y满足，则＝．2．（3分）已知x2﹣3x﹣2＝0，则＝．3．（3分）关于x的不等式组有解，那么实数a的取值范围是．4．（3分）若有整数解，则y＝．5．（3分）不等式x2+|2x﹣6|≥a对于一切实数x都成立，则a的最大值为．6．（3分）已知四边形ABCD为正方形，其中几个阴影部分面积如图所示，则四边形BMQN的面积最大为．7．（3分）一个三角形的边长为a、a、b，另一个三角形的边长分别为b、b、a，其中a＞b，则＝．8．（3分）54张扑克牌，将第一张扔掉，第二张放到最后，第四张放到最后，依次进行下去，这张是最开始的扑克牌顺序从上面数的第张．9．（3分）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），BC＝1，点M为线段AC的中点，则OM的最大值为．一、填空题10．已知：不论k取什么实数，关于x的方程（a、b是常数）的根总是x＝111．正实数满足xy+yz+zx≠1，且，（1）求的值；（2）证明：9（x+y）（y+z）（x+z）≥8xyz（xy+yz+zx）．

2024年上海市杨浦区复旦大学附中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）实数x、y满足，则＝﹣．【解答】解：∵实数x、y满足，∴，即∵x≠y，∴，∴，解得x2+y2＝5，∴，∴．故答案为：﹣．2．（3分）已知x2﹣3x﹣2＝0，则＝2．【解答】解：∵x2﹣3x﹣7＝0，∴x2﹣3x＝2，原式＝（x﹣1）2﹣（x+1）＝x2﹣7x，∴原式＝2，故答案为：2．3．（3分）关于x的不等式组有解，那么实数a的取值范围是a＜﹣1或a＞0．【解答】解：∵关于x的不等式组的解集有解，则a≠0，∴当a＞0时，满足不等式组 ；当a＜0时，不等式组 ，即 ，∵它有解集，∴，解得a＜﹣1，综上可得，a的范围为a＜﹣1或a＞3，故答案为：a＜﹣1或a＞0．4．（3分）若有整数解，则y＝4或﹣3．【解答】解：原方程整理得，∵x、y是整数，∴x2﹣x﹣12＝0且y﹣x＝0，解得x＝y＝2或x＝y＝﹣3，故答案为：4或﹣6．5．（3分）不等式x2+|2x﹣6|≥a对于一切实数x都成立，则a的最大值为5．【解答】解：由题意得，不等式x2+|2x﹣8|≥a对于一切实数x都成立，∴a≤（x2+|2x﹣6|）min，∵，∴当x≥3时，函数y＝（x+4）2﹣7的最小值是当x＝2时取得，（3+1）7﹣7＝9即为5；当x＜3时，函数y＝（x﹣1）7+5的最小值是当x＝1时取得，即为2；∴（x2+|2x﹣5|）min＝5，∴a≤5，即a的最大值为3．故答案为：5．6．（3分）已知四边形ABCD为正方形，其中几个阴影部分面积如图所示，则四边形BMQN的面积最大为24．【解答】解：由题意得，∵四边形ABCD为正方形，∴由正方形的性质可得，AD＝AB＝BC＝CD．∵，∴．∵，∴S△AND＝S△ADM+S△BCM．∴S△AND﹣S△ADP﹣S△ONR＝S△ADM+S△BCM﹣S△ADP﹣S△QNR，即S四边形DPQR＝S△APM+S四边形BMQN+S△CNR，所以51＝15+S四边形BMQN+12，即51＝27+S四边形BMQN，解得S四边形BMQN＝24．所以四边形BMQN的面积最大为24．故答案为：24．7．（3分）一个三角形的边长为a、a、b，另一个三角形的边长分别为b、b、a，其中a＞b，则＝．【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H．设BH＝x，∵AH2＝AB2﹣BH6＝AC2﹣CH2，∴a2﹣x2＝b2﹣（a﹣x）4，∴，∵∠B＝∠DEF，∴cosB＝cosE，∴，∵DE＝DF，DT⊥EF，∴，∴，解得：或（负值舍去），故答案为：．8．（3分）54张扑克牌，将第一张扔掉，第二张放到最后，第四张放到最后，依次进行下去，这张是最开始的扑克牌顺序从上面数的第12张．【解答】解：第一次剩下能被2整除的数，第二次剩下能被4整除的数和54第一次剩下的卡片是：4，4，6，8，10，14，18，⋯，54；第二次剩下的卡片是：54，4，8，12，20，28，36，44，52，第三次剩下的卡片是：7，12，28，44，第四次剩下的卡片是：52，12，44，第五次剩下的卡片是：44，12；第六次剩下的卡片是：12，故答案为：12．9．（3分）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），BC＝1，点M为线段AC的中点，则OM的最大值为+．【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B上，且半径为1，取OD＝OA＝5，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝CD，当OM最大时，即CD最大，B，C三点共线时，OM最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2，∴CD＝6+1，∴OM＝CD＝++；故答案为．一、填空题10．已知：不论k取什么实数，关于x的方程（a、b是常数）的根总是x＝1【解答】解：把x＝1代入原方程并整理得（b+4）k＝4﹣2a要使等式（b+4）k＝7﹣2a不论k取什么实数均成立，只有满足，解之得，b＝﹣3．11．正实数满足xy+yz+zx≠1，且，（1）求的值；（2）证明：9（x+y）（y+z）（x+z）≥8xyz（xy+yz+zx）．【解答】解：（1）由等式去分母得：z（x2﹣1）（y7﹣1）+x（y2﹣6）（z2﹣1）+y（z5﹣1）（x2﹣6）＝4xyzx2y4z+xy2z2+x5yz2﹣[x（y2+z3）+y（z2+x2）+z（x7+y2）+3xyz]+（x+y+z）﹣xyz＝4xyz（xy+yz+zx）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）﹣xyz＝0，∴[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）＝7，∵xy+yz+zx≠1，∴xy+yz+zx﹣1≠8，∴xyz﹣（x+y+z）＝0，∴xyz＝x+y+z，∴原式＝；（2）由（1）得：xyz＝x+y+z，又∵x，y，z为正实数，∴3（x+y）（y+z）（z+x）—8xy