2025高考数学一轮复习-几何法求距离及线面角、二面角【课件】

第七章立体几何与空间向量补上一课几何法求距离及线面角、二面角利用几何法求线面角、二面角、距离的难点在于找到所求的角或距离，相对于向量法，几何法运算简单、不易出错.题型一求距离A解析如图，取PA的中点M，连接BM，CM，因为PB⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以PB⊥BC，又因为AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以BC⊥PA，BC⊥PB，因为M是PA的中点，PB＝AB，所以BM⊥PA，又BC⊥PA，BM∩BC＝B，BM，BC⊂平面BCM，所以PA⊥平面BCM，又CM⊂平面BCM，所以CM⊥PA，即CM为点C到直线PA的距离.(2)(2024·安庆模拟)一底面半径为1的圆柱，被一个与底面成45°角的平面所截(如图)，O为底面圆的中心，O1为截面的中心，A为截面上距离底面最小的点，A到圆柱底面的距离为1，B为截面图形弧上的一点，且∠AO1B＝60°，则点B到底面的距离是________.解析圆柱半径为1，截面与底边所成角为45°，作BC⊥AO1于C，感悟提升1.求点线距一般要作出这个距离，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求解.2.求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个距离，可根据条件求解，若不易作出点面距，可借助于等体积法求解.D解析如图，连接CB1，设AC的中点为D，连接B1D，则B1D⊥AC，设点C到直线AB1的距离为h，(2)(2024·威海模拟)已知圆柱的高和底面半径均为4，AB为上底面圆周的直径，点P是上底面圆周上的一点且AP＝BP，PC是圆柱的一条母线，则点P到平面ABC的距离为________.解析由题可得AB＝8，因为AP＝BP，题型二求线面角B解析因为O，D分别是AB，BC的中点，所以OD∥AC，又OD⊂平面O1OD，AC

平面O1OD，所以AC∥平面O1OD，AC⊂平面O1AC，平面O1AC∩平面O1OD＝l，所以AC∥l，OD∥AC，所以OD∥l，所以直线l与平面O1BC所成角即直线OD与平面O1BC所成角，因为AB为直径，所以AC⊥BC，因为OD∥AC，所以OD⊥BC，又因为OO1⊥平面ACB，BC⊂平面ACB，所以OO1⊥BC，OO1∩OD＝O，OO1，OD⊂平面O1OD，所以BC⊥平面O1OD，过点O作OH⊥O1D交O1D于点H，因为OH⊂平面O1OD，所以BC⊥OH，OH⊥O1D，BC∩O1D＝D，BC，O1D⊂平面O1BC，所以OH⊥平面O1BC，所以∠ODH为OD与平面O1BC所成角，感悟提升求线面角的三个步骤：一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解.C解析取BC的中点E，连接DE，AE，如图.依题意三棱柱ABC－A1B1C1为正三棱柱，因为D，E分别是BC1和BC的中点，所以DE∥CC1，所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥AE，因为AE⊥BC，AE⊥DE，BC∩DE＝E，BC，DE⊂平面BB1C1C，所以AE⊥平面BB1C1C，所以∠ADE是AD与平面BB1C1C所成的角，题型三求二面角B解析取MN的中点E，连OE，PE，因为OM＝ON，所以OE⊥MN，因为PM＝PN，所以PE⊥MN，所以∠PEO是二面角P－MN－O的平面角，因为PO⊥平面OMN，OE⊂平面OMN，所以PO⊥OE，感悟提升作二面角的平面角的方法作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.训练3

我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”中，AC＝CB＝CC1，则二面角C1－AB－C的正切值为(

)D解析由AC＝CB知，AC⊥CB，取AB的中点M，连接C1M，CM，由条件，可知∠C1MC即为二面角C1－AB－C的平面角，课时分层精练KESHIFENCENGJINGLIANA解析根据长方体性质知：AA1⊥平面ABCD，故∠ACA1为直线A1C与平面ABCD所成的角，且AA1＝1，B解析如图，连接B1H，由题可知B1C1∥BC，又∵B1C1

平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴B1C1∥平面ABCD，∴点C1到平面ABCD的距离与点B1到平面ABCD的距离B1H相等.B解析如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，取AB的中点为H，底面正方形的中心为O，连接OH，PH，因为PH⊥AB，OH⊥AB，所以∠PHO为侧面与底面所成的角，因为PO为高，所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OH.B解析取BC的中点M，连接AM，A1M，由正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长都相等，可得AM⊥BC，A1M⊥BC，所以二面角A1－BC－A的平面角为∠AMA1，BA解析由图所示，易知三棱锥D－ABC的外接球球心为AC的中点O，易得OB=OC=OD=1，且OC⊥OB，DO⊥平面OBC，D解析在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，所以∠A1CA是A1C与平面ABCD所成的角，连接AC，且AC⊂平面ABCD，则AA1⊥AC，又AB＝1，BC＝2，AA1＝5，8.如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥平面⊙O，C为圆周上一点，AB＝5cm，AC＝2cm，则B到平面PAC的距离为________.解析由PA⊥平面⊙O，可得PA⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又由AB是⊙O的直径，C为圆周上一点，可得AC⊥BC，又PA∩AC＝A且AC，PA⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，所以BC为点B到平面PAC的距离，在直角△ABC中，AB＝5cm，AC＝2cm，9.如图，三棱锥P－ABC中，已知PA⊥平面ABC，PA＝3，PB＝PC＝BC＝6，则二面角P－BC－A的正弦值为

________.解析取BC的中点D，连接PD，AD，因为PB＝PC，所以PD⊥BC，因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，因为PD，PA⊂平面PAD，PA∩PD＝P，所以BC⊥平面PAD，因为AD⊂平面PAD，所以BC⊥AD，所以∠PDA即为二面角P－BC－A的平面角，因为PB＝PC＝BC＝6，10.直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，已知∠ABC＝120°，四边形ABCD是边长为2的

菱形，且AA1＝4，E为线段BC上动点，当BE＝________时，A1E与底面ABCD所成角为60°.解析如图所示，连接AE，因为AA1⊥底面ABCD，所以∠A1EA为A1E与底面ABCD所成角，即∠A1EA＝60°.又因为AA1＝4，11.如图所示，已知菱形ABCD和矩形BDEF所在平面互相垂直，AB＝2，∠BAD＝120°，DE＝3. (1)证明：平面ACF⊥平面BDEF；证明因为平面ABCD⊥平面BDEF，且平面ABCD∩平面BDEF＝BD，因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥平面BDEF，因为AC⊂平面ACF，所以平面ACF⊥平面BDEF.(2)设AD中点为G，求直线FG与底面ABCD所成角的余弦值.解连接BG，因为平面ABCD⊥平面BDEF，平面ABCD∩平面BDEF＝BD，BF⊂平面BDEF，且四边形BDEF是矩形，所以BF⊥BD，所以BF⊥底面ABCD，∠FGB即为直线FG与平面ABCD所成角，在△BAG中，BG2＝22＋12－2×2×1×cos120°＝5＋2＝7，12.如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△PBC为正三角形，M，N分别为PD，BC的中点，PN⊥AB. (1)求三棱锥P－AMN的体积；解∵PB＝PC，∴PN⊥BC，又∵PN⊥AB，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABCD，∴PN⊥平面ABCD.(2)求二面角M－AN－D的正切值.解如图，取DN的中点E，连接ME，∵M，E分别为PD，DN的中点，∴ME∥PN.∵PN⊥平面ABCD，∴ME⊥平面ABCD.过E作EQ⊥AN，连接MQ，又ME⊥AN，EQ∩ME＝E，ME，EQ⊂平面MEQ，∴AN⊥平面MEQ，∴AN⊥MQ，∠MQE即为二面角M－AN－D的平面角，AC解析将该几何体还原为原正四面体Q－MNS，棱长为a，设△MNS中心为O，连接OQ，ON，ABD解析由题意得：正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，连接B1C，设B1C，BC1交于O点，∵B1C⊥BC1，B1C⊥AB，∴B1C⊥平面ABC1D1，连接B1C，∵CO⊥BC1，B1C⊥AB，∴CO⊥平面ABC1D1，连接D1C，AD1，由正方体性质可知AD1∥BC1，故异面直线D1C和BC1所成的角即为D1C和AD1所成的角∠AD1C，又∵AD1＝AC＝CD1，∴△AD1C为等边三角形，过P作P