北师大版初中《数学》七年级下册第四章教学课件

初中《数学》北师大版七年级下册

目录第四章三角形认识三角形图形的全等探索三角形全等的条件用尺规作三角形利用三角形4.1认识三角形（第1课时）北师大版数学七年级下册我的形状最小，那我的内角和最小.我的形状最大，那我的内角和最大.不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.

一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.导入新知1.认识三角形的概念及基本要素，掌握三角形内角和等于180°.2.会把三角形按角分类，熟记直角三角形的性质.素养目标3.会运用三角形内角和定理进行计算.观察下面的屋顶框架图：（1）你能从图中找出4个不同的三角形吗？（2）这些三角形有什么共同的特点？知识点1三角形的有关概念探究新知由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．三角形有三条边、三个内角和三个顶点.“三角形”可以用符号“△”表示，如图，顶点是A，B，C

的三角形，记作“△ABC

”．探究新知

△ABC

的三边，有时也用a，b，c来表示．如图，顶点A所对的边BC用a表示，边AC,边

AB

分别用b，c来表示．探究新知边：三角形中三边：AB，BC，AC.

如果我说三角形有三要素,你能猜出是哪三要素吗?ABCbac角：三角形中有三个角：∠A，∠B，∠C.顶点：三角形中有三个顶点，顶点A，顶点B，顶点C.探究新知例

如图所示，图中有几个三角形？请分别表示出来.∠AEC,∠ABD分别是哪些三角形的内角？以BD为边的三角形有哪些?素养考点1数三角形的个数解：(1)①图中较小的三角形有△BEF，△CDF，△BFC.②两个图形组合为一个三角形的有：△BEC,△BDC,△ABD,△AEC,还有最大的一个三角形是：△ABC.所以，图中有8个三角形.(2)以∠AEC为内角的三角形有△AEC.以∠ABD为内角的三角形有△BEF,△ABD.(3)以BD

为边的三角形有△BDC,△ABD.探究新知复杂图形中确定三角形个数的三个要求(1)按一定方向数：按从上到下或从左到右等一定的方向数.(2)按从小到大的顺序数：先数单一的三角形，再数组合的三角形.(3)不重不漏：边数边记，要做到不重复、不遗漏.探究新知

如图三角形ABC

记作：

∠B

的对边:

邻边是:

小强用三根木棒组成的图形，其中符合三角形概念是（）B此图中还有几个三角形？你能表示出来吗?AC

ABCAC.AB,BC.ABCDEC还有5个三角形，分别是：△ABD,△ADE,△AEC,△ABE,△ADC,巩固练习变式训练

我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关.思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?折叠还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？知识点2三角形的内角和探究新知剪拼ABC21（小组合作，讨论剪拼方法.各小组代表板演剪拼过程）探究新知三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.探究新知验证结论三角形三个内角的和等于180°.试说明：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.方法1：过点A作l∥BC，所以∠B=∠1.(两直线平行,内错角相等)

∠C=∠2.(两直线平行,内错角相等)因为∠2+∠1+∠BAC=180°，所以∠B+∠C+∠BAC=180°.12探究新知方法2:延长BC到D，过点C作CE∥BA，所以∠A=∠1.(两直线平行，内错角相等)

∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)又因为∠1+∠2+∠ACB=180°，

所以∠A+∠B+∠ACB=180°.CBAED12探究新知CBAEDF方法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.所以∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.(两直线平行，同位角相等)∠A+∠AED=180°,∠AED+∠EDF=180°，(两直线平行，同旁内角相补)所以∠A=∠EDF.因为∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，所以∠A+∠B+∠C=180°.探究新知思考：多种方法说明三角形内角和等于180°的核心是什么？借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.CAB12345lACB12345lP6mABCDE探究新知例

如图，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°,∠BAD=∠CAD，求∠ADB的度数.ABCD解：由∠BAD=∠CAD，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°.利用三角形的内角和定理求角的度数素养考点1探究新知如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．解：因为∠A＝50°，∠B＝70°，所以∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.因为CD是∠ACB的平分线，所以∠BCD＝∠ACB＝30°.因为DE∥BC，所以∠EDC＝∠BCD＝30°，在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°.巩固练习变式训练

议一议：（1）图1中小明所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？小颖的呢？试着说明理由.（2）图2中三角形被遮住的两个内角可能是什么角？将所得结果与（1）的结果进行比较.探究新知知识点3三角形按角分类图1图2小明所拿三角形被遮住的两个内角是锐角，小颖的也是锐角，因为三角形的内角和是180°，所以一个三角形内不能有两个直角或钝角.三角形被遮住的两个内角可能是锐角，也可能一个直角和一个锐角，或一个钝角和一个锐角.三角形的分类锐角三角形三个内角都是锐角钝角三角形有一个内角是钝角直角三角形有一个内角是直角按三角形内角的大小把三角形分为三类探究新知例

在△ABC中，∠C=65°，∠B=25°，则这个三角形是_______.解析:∠A=180°-∠C-∠B=180°-65°-25°=90°.故为直角三角形.探究新知素养考点1三角形分类的应用提示：要确定三角形的类型，至少需要知道两个角的度数或两个角的和.直角三角形

观察下面的三角形，并把它们的标号填入相应图内：锐角三角形直角三角形钝角三角形③⑤①④⑥②⑦巩固练习变式训练锐角三角形直角三角形钝角三角形直角边直角边斜边常用符号“Rt∆ABC”来表示直角三角形ABC.思考：

直角三角形的两个锐角之间有什么关系？直角三角形的两个锐角互余.直角三角形知识点4直角三角形的性质探究新知例

若一直角三角形的两个锐角的差是20°，则其较大锐角的度数是

．解：设较大的锐角度数是x°，则较小的锐角为（90﹣x）°，由题意得，x﹣（90﹣x）=20，解得x=55，即较大锐角的度数是55°．55°探究新知素养考点1直角三角形性质的应用直角三角形的一锐角为60°，则另一锐角为

．解：因为直角三角形的一锐角为60°，所以另一锐角为90°﹣60°=30°．故答案为30°．30°巩固练习变式训练（2020•吉林）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（

）A．85° B．75° C．65° D．60°连接中考B1.求出下列各图中的x值．x=70x=60x=30x=50课堂检测基础巩固题2.如图，共有三角形的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6D课堂检测基础巩固题3．在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形

D．钝角三角形4．一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形5．在△ABC中，∠A=45°，∠B比∠C大15°，则∠B=（）A．125° B．100° C．75° D．50°DDC课堂检测基础巩固题6.如图所示，已知DF⊥AB于F，∠A=40°，∠D=50°，求∠ACB的度数.解:在△BDF中，∠B=180°-∠BFD-∠D=180°-90°-50°=40°，在△ACB中，∠A=40°，故∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-40°=100°.课堂检测基础巩固题如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．解：因为∠A+∠ADE=180°，所以AB∥DE，所以∠CED=∠B=78°.又因为∠C=60°，所以∠EDC=180°-（∠CED+∠C）=180°-（78°+60°）=42°.课堂检测能力提升题如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数．解：因为△ABC中,∠A=60°.所以∠ABC+∠ACB=120°.因为BP平分∠ABC，CP平分∠ACB,所以∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=60°.因为∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°,所以∠BPC=180°-60°=120°.课堂检测拓广探索题1.三角形三个内角的和等于180˚

.2.三角形按角的大小分类：⑴锐角三角形：三个内角都是锐角；⑵直角三角形：有一个内角为直角；⑶钝角三角形：有一个内角为钝角

.3.直角三角形的两个锐角互余.课堂小结课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习4.1认识三角形（第2课时）北师大版数学七年级下册在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A—B路线，而不选择A—C—B路线，难道小狗也懂数学？CBA导入新知1.记住等腰三角形、等边三角形的有关概念，会对三角形按边进行分类.2.知道“三角形中任意两边的和大于第三边”，运用关系解决简单的实际问题.素养目标3.培养学生的观察、分析、比较、操作能力，进一步发展空间观念，提高学生的探索能力.观察图中的三角形，你能发现它们各自的边长之间有什么关系吗？知识点1三角形按边分类探究新知有两边相等的三角形叫做等腰三角形，如图.三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形.腰腰底边顶角底角底角探究新知

我们知道，三角形按角可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．你能按照边的关系对三角形进行分类吗？三边都不相等的三角形三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形探究新知下列说法正确的有(

)①等腰三角形是等边三角形;②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形;③等腰三角形至少有两边相等;④三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.A.①②B.①③④C.③④D.①②④巩固练习C

（1）元宵节的晚上，房梁上亮起了彩灯，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由．

（2）在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系？为什么？三角形任意两边之和大于第三边知识点2三角形三边的关系探究新知想一想：

计算三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论？ACB探究新知三角形任意两边之差小于第三边

如图三角形中，假设小狗要从点B出发沿着三角形的边跑到点C，它有几条路线可以选择？各条路线的长一样吗？ABC路线1:由点B到点C.路线2:由点B到点A，再由点A到点C.两条路线长分别是BC,AB+AC.由“两点之间，线段最短”可以得到AB+AC>BC.

有“三角形任意两边之差小于第三边”可得：AB>BC-AC.同理可得：AC+BC>AB,AB+BC>AC（AC>AB-BC，BC>AC-AB）三角形的三边有这样的关系：（1）三角形两边的和大于第三边;（2）三角形两边的差小于第三边.结论探究新知有两根长度分别为

5cm和

8cm的木棒，用长度为

2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？例解：取长度为2cm的木棒时，由于2+5=7＜8，出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形．

取长度为13cm的木棒时，由于5+8=13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形．提示：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形.探究新知下列长度的各组线段能否组成一个三角形？(1)15cm、10cm、7cm(2)4cm、5cm、10cm(3)3cm、8cm、5cm(4)4cm、5cm、6cm(2)

因为4cm+5cm<10cm，所以这三条线段不能组成一个三角形.(3)因为3cm+5cm=8cm，所以这三条线段不能组成一个三角形.

(1)

因为10cm+7cm>15cm，所以这三条线段能组成一个三角形.解：(4)

因为4cm+5cm>6cm，所以这三条线段能组成一个三角形.巩固练习例

用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形.（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？为什么？解：(1)设底边长为x厘米，则腰长为2x厘米

x+2x+2x=18.

解得x=3.6所以三边长分别为3.6厘米，7.2厘米，7.2厘米.(2)因为长为4厘米的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.(a)如果4厘米长为底边，设腰长为x厘米，则4+2x=18，解得x=7.(b)如果4厘米长为腰，设底边长为x厘米，则2×4+x=18,解得x=10.因为4+4＜10，出现两边和小于第三边的情况，所以不能围成腰长为4厘米的等腰三角形.由以上结论可知，可以围成底边长是4厘米的等腰三角形.探究新知素养考点1三角形三边的关系解答实际问题（1）如果等腰三角形的一边长是4cm,另一边长是9cm,则这个等腰三角形的周长=___________.（2）如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是8cm,则这个等腰三角形的周长=______________.5,5,85,8,818cm或21cm4,4,94,9,9×√4+9+922cm三边长三边长巩固练习变式训练1.（2020•绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（

）A．4

B．5

C．6

D．72.（2020•济宁）已知三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边长可以是_______（写出一个即可）．连接中考4B基础巩固题1.下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（

）A．1，1，2

B．1，2，4

C．2，3，4

D．2，3，52.已知等腰三角形的两边长分别为8cm，3cm，则这三角形的周长为（）

A.

14cm

B.19cm

C.

14cm或19cm

D.

不确定

CB课堂检测基础巩固题3.下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形；③三角形的两边之差大于第三边；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.其中正确的有（）A.1个

B.2个

C.3个

D.4个B4.一个等腰三角形的周长为24cm，只知其中一边的长为7cm，则这个等腰三角形的腰长为_________cm.7或8.5课堂检测基础巩固题（3）以长为3cm、5cm、7cm、10cm的四条线段中的三条线段为边，可构成_____个三角形．（1）任何三条线段都能组成一个三角形()（2）因为a+b>c,所以a，b，c三边可以构成三角形（）××25.完成下列各题：课堂检测基础巩固题等腰三角形的周长为20厘米.（1）若已知腰长是底长的2倍，求各边的长；（2）若已知一边长为6厘米，求其他两边的长.

解：（1）设底边长为x厘米，则腰长为2x

厘米.

x+2x+2x=20,

解得

x=4.所以三边长分别为4cm，8cm，8cm.（2）如果6厘米长的边为底边，设腰长为x厘米，则6+2x=20，解得x=7；如果6厘米长的边为腰，设底边长为x

厘米，则2×6+x=20，解得x=8.由以上讨论可知，其他两边的长分别为7厘米，7厘米或6厘米，8厘米.课堂检测能力提升题如图，有四个村庄(点)A，B，C，D，要建一所学校O，使OA+OB+OC+OD最小，画图说明O在哪里，并说出你的理由.课堂检测拓广探索题解:要使OA+OB+OC+OD最小，则点O是线段AC，BD的交点.理由如下：如果存在不同于点O的交点P，连接PA，PB，PC，PD，那么PA+PC＞AC，即PA+PC＞OA+OC，同理，PB+PD＞OB+OD，则PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，即点O是线段AC，BD的交点时，OA+OB+OC+OD最小.课堂检测三角形概念分类性质三角形两边的和大于第三边．三角形两边的差小于第三边．ABCabc课堂小结课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习4.1认识三角形（第3课时）北师大版数学七年级下册复习导入

定义

图示垂线线段中点角平分线OBAAB当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线把一条线段分成两条相等的线段的点一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线导入新知1.了解三角形的中线、角平分线等有关概念.2.掌握任意三角形的中线、角平分线的画法，通过观察认识到三角形的三条中线、三条角平分线分别交于一点.素养目标3.提高学生动手操作及解决问题的能力.在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线．如图，AE是△ABC

的BC

边上的中线．BE=ECBACEA知识点1三角形的中线的概念探究新知议一议：（1）在纸上画出一个锐角三角形，并画出它的三条中线，它们有怎样的位置关系？与同伴进行交流．（2）钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗？折一折，画一画，并与同伴进行交流．探究新知画一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，再分别画出这三个三角形的三条中线.

三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心．三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形.探究新知例如图所示,AD是△ABC的中线,已知△ABD的周长为25

cm,AB比AC长6

cm,则△ACD的周长为(

)

A.19cmB.22

cm

C.25

cm

D.31

cm解析：因为AD是BC边上的中线,所以BD=CD,所以△ABD和△ACD周长的差=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC.因为△ABD的周长为25

cm,AB比AC长6

cm,所以△ACD的周长为25-6=19(cm).点拨：根据三角形中线的定义,把三角形周长的差转化为已知两边AB,AC的长度的差是解题的关键.探究新知

利用三角形的中线求线段的值素养考点1A如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线．（1）AC=

AE=

EC；

CD=

；

AF=

AB；（2）若S△ABC

=12cm2，

则S△ABD=

．22BD6cm²ABCDEFG巩固练习变式训练在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图，AD

是△ABC的一条角平分线．BACD∠1=∠212探究新知知识点2三角形的角平分线注意：“三角形的角平分线”是一条线段.做一做：每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个．（1）你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗？（2）你能用折纸的办法得到它们吗？（3）在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流．探究新知三角形的三条角平分线交于同一点.探究新知∟解：因为AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°，所以∠DAC＝∠BAD＝34°.在△ABD中，

∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－36°－34°＝110°.例

如图,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.ABDC利用三角形的角平分线求角的度数素养考点1探究新知∠2如图，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则：

∠1=

；∠3=

；

∠ACB=2

.∠ABC∠4ABCDEF1234变式训练巩固练习1234如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B=_____.巩固练习解析：因为AE平分∠BAC，所以∠1=∠EAD+∠2，所以∠EAD=∠1-∠2=30°-20°=10°.Rt△ABD中，∠B=90°-∠BAD=90°-30°-10°=50°.50°变式训练（2020•营口）如图，AB∥CD，∠EFD=64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为（）A．66° B．56° C．68° D．58°D连接中考1.如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（）A．线段DE

B．线段BE

C．线段EFD．线段FGB课堂检测基础巩固题2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是（）A．①② B．③④ C．①④

D．②③D课堂检测基础巩固题3.如图所示，在△ABC中，D，E，F是BC边上的三点，且∠1=∠2=∠3=∠4，AE是哪个三角形的角平分线()A.△ABE B.△ADFC.△ABC D.△ABC，△ADFD课堂检测基础巩固题在△ABC中,CD是中线,已知BC－AC=5cm,△DBC的周长为25cm,求△ADC的周长.ADBC解：因为CD是△ABC的中线，所以BD＝AD，所以△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm，则BD+CD＝25－BC.所以△ADC的周长＝AD＋CD＋AC＝BD＋CD＋AC

＝25-BC＋AC＝25－(BC－AC)

＝25－5＝20cm.课堂检测能力提升题如图，在△ABC中，BP,CP分别是∠B,

∠C的平分线，试说明：∠BPC=90˚+∠A.BACP解：因为BP，CP分别是∠B，∠C的平分线，(已知)所以∠1=1∠ABC,∠2=2∠ACB.因为∠BPC+∠1+∠2=180˚,∠A+∠ABC+∠ACB=180˚,所以∠BPC=180˚−(∠1+∠2)=180˚−(

+

)∠ABC∠ACB=180˚−(∠ABC+∠ACB)=180˚−(180˚

−∠A)=90˚+∠A.课堂检测拓广探索题三角形的重要线段概念图形表示法三角形的中线三角形中,连结一个顶点和它对边中点的

因为AD是△ABC的BC上的中线.所以BD=CD=

BC.

三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的

因为AD是△ABC的∠BAC的平分线所以∠1=∠2=__∠BAC

课堂小结线段线段课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习4.1认识三角形（第4课时）

北师大版数学七年级下册你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?012345012345678910012345678910012345678910012345012345放、靠、过、012345678910012345012345012345678910012345012345画.思考：过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?导入新知BAC1.了解三角形的高的有关概念.2.掌握任意三角形的高的画法，通过观察认识到三角形的三条高所在的直线交于一点.素养目标3.培养学生动手操作的能力.如图1所示，下面三角形房梁中，立柱与横梁有什么特殊的位置关系？从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．如图2，线段AF是△ABC的BC边上的高．探究新知图1图2知识点

三角形的高的概念做一做:

每人准备一个锐角三角形纸片．（1）你能画出这个三角形的三条高吗？O（2）这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流．锐角三角形的三条高交于同一点.探究新知议一议：在纸上画出一个直角三角形和一个钝角三角形．（1）画出直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关系？ABCD直角三角形的三条高交于直角顶点.探究新知（2）你能折出钝角三角形的三条高吗？你能画出它们吗？ACBBAAAABCDFCCABCDFCABCDFE探究新知（3）钝角三角形的三条高交于一点吗？它们所在的直线交于一点吗？将你的结果与同伴进行交流．钝角三角形的三条高不相交于一点.钝角三角形的三条高所在直线交于一点.ABCDEF归纳：三角形的三条高所在的直线交于一点．探究新知小结:从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段

叫做三角形的高.三角形的三条高的特性：高所在的直线是否相交高之间是否相交高在三角形内部的数量钝角三角形直角三角形锐角三角形311相交相交不相交相交相交相交三角形的三条高所在直线交于一点.三条高所在直线的交点的位置三角形内部直角顶点三角形外部探究新知例1

作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(

)小结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．D探究新知识别三角形的高素养考点1在下图中，正确画出△ABC中边BC上高的是（

）

A.

B.

C.

D.ADCBADCBADCBADCB巩固练习C变式训练例2

如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为___．小结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”．解析：当BP⊥AC时，BP的值最小.因为S△ABC=BC·AD，S△ABC=AC·BP，所以

BC·AD=AC·BP.所以BC·AD=AC·BP.因为AD=4，所以6×4=5BP,BP=.探究新知利用三角形的高求线段的长度素养考点2解：(1)△ABE，△ABD，△ABC，△AED，△AEC，△ADC.(2)设AB边上的高为x，因为S△ABC=BC·AE=AB·x所以BC·AE=AB·x，解得x=4.如图，（1）写出以AE为高的三角形，（2）当BC=8，AE=3，AB=6时，求AB边上的高的长度.变式训练巩固练习（2020•眉山）一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为（）A．∠α+∠β＝180°

B．∠α+∠β＝225°C．∠α+∠β＝270° D．∠α＝∠βB连接中考1．下列说法正确的是（）A．三角形三条高都在三角形内B．三角形三条中线相交于一点C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外D．三角形的角平分线是射线B课堂检测基础巩固题2.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有（）A．2条

B．3条

C．4条

D．5条3.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC的BC边上的高()ADCBABCDABCDABCDA.B.C.D.BD课堂检测基础巩固题4.如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（）A．75° B．80° C．85° D．90°A课堂检测基础巩固题已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B

两点在小方格的顶点上，位置如图，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（）个A.3

B.4

C.5

D.6

D课堂检测能力提升题如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小.解：

因为

AD是△ABC的高，所以∠ADC=90°.因为∠ADC+∠C+∠DAC=180°，所以∠DAC=180°－(∠ADC+∠C)

=180°－90°－40°=50°.因为AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°，所以∠CAE=41°

.所以∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°=9°.BACDE课堂检测拓广探索题三角形的三条高的关系：如图，画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条高.①锐角三角形的三条高相交于三角形___部的___个点.②直角三角形的三条高相交于三角形的_________.③钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形___部的___个点.提示:三角形的三条高所在的直线相交于一点.内一直角顶点外一课堂小结课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习4.2图形的全等北师大版数学七年级下册观察这些图片，你能找出形状、大小完全一样的几何图形吗？导入新知你能再举出生活中的一些类似例子吗？导入新知1.熟记全等形及全等三角形的概念.2.能够准确找出全等三角形的对应元素.

素养目标3.熟练掌握全等三角形的性质，并能灵活运用全等三角形的性质解决相应的几何问题.观察下面两组图形：形状与大小有什么特点？探究新知知识点1全等图形的定义及性质（1）探究新知（2）问题1：观察思考：每组中的两个图形有什么特点？①②③问题2：观察思考：每组中的两个图形有什么特点？

④⑤

探究新知这些图形中，有些是完全一样的，如果把它们叠在一起，它们就能重合．能够完全重合的两个图形称为全等图形．全等图形的形状和大小都相同形状相同大小相同观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？探究新知归纳总结全等图形定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形.全等形性质：如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相等.探究新知下面哪些图形是全等图形？（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）大小、形状完全相同巩固练习能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．例如，图中△ABC

与△DEF

能够完全重合，它们是全等的．其中，顶点A，D重合，它们是对应顶点；

AB边与DE

边重合，它们是对应边；∠ A与∠ D

重合，它们是对应角.探究新知知识点2全等三角形的定义及性质AACBDEABDCABCDBCNMFE思考：把一个三角形平移、旋转、翻折，变换前后的两个三角形全等吗？探究新知全等三角形的对应边相等，对应角相等.全等三角形的性质：一个图形经过平移、翻折、旋转后,___变化了,但＿＿＿和＿＿＿都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的两个图形＿_＿.形状大小全等位置

归纳小结全等变化：探究新知△ABC≌△FDEA

BCEDF注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.全等的表示方法“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.探究新知请你利用自制的一对全等三角形拼出有公共顶点或公共边或公共角的图形.试用全等符号表示它们，分析每个图形，找准对应边、对应角.ABCDABCDABCD1.有公共边.寻找对应边、对应角有什么规律?探究新知1.有公共边，则公共边为对应边；2.有公共角（对顶角），则公共角(对顶角)为对应角；3.最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；

最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角；4.对应角的对边为对应边；对应边的对角为对应角.ABCDOABCDOABCDEABDCE2.有公共点.小结探究新知例1

如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角.解：△BOD与△COE的对应边为：BO与CO，OD与OE，BD与CE；△ADO与△AEO的对应角为：∠DAO与∠EAO，∠ADO与∠AEO，∠AOD与∠AOE.探究新知识别全等三角形的对应元素素养考点1ADFCEB12ABDC1423EABCF1234

找一找下列全等图形的对应元素？ABCDF巩固练习变式训练A

BCEDF因为△ABC≌△DEF(已知），所以AB=DE,AC=DF,BC=EF(全等三角形对应边相等），∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F(全等三角形对应角相等）.全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.全等三角形的性质：探究新知如图，△ABC与△ADC全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角.解：△ABC≌△ADC;相等的边为：AB=AD，AC=AC，BC=DC；相等的角为：∠BAC=∠DAC，∠B=∠D，∠ACB=∠ACD.探究新知做一做例2

如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．解：因为△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，所以∠DEF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，所以CF＝BC–BF＝7–4＝3.探究新知利用全等三角形的性质求角或线段的值素养考点2如右图，已知△ABD≌△ACE，∠C=45°，AC=8，AE=5，则∠B=

，DC=

.AEBCD85545°3巩固练习变式训练1.(2020·厦门模拟)如图所示,点E,F在线段BC上,△ABF与△DCE全等,点A与点D,点B与点C是对应顶点,AF与DE交于点M,则∠DCE=(

)A.∠B

B.∠A

C.∠EMF

D.∠AFB2.(2020·浙江模拟)如图所示,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A'B'C,使点A'落在BC的延长线上.已知∠A=27°,∠B=40°,则∠ACB'为_______度.

连接中考A461.能够

的两个图形叫做全等形.两个三角形重合时，互相

的顶点叫做对应顶点.记两个全等三角形时，通常把表示

顶点的字母写在

的位置上.完全重合重合重合相对应2.如图，△ABC≌△ADE,若∠D=∠B，∠C=∠AED，则∠DAE=

；∠DAB=

.∠BAC∠EACABCDE课堂检测基础巩固题3.如图，△ABC≌△CDA，AB与CD，BC与DA是对应边，则下列结论错误的是（）

A.∠

BAC

=∠

DCA

B.AB∥DC

C.∠BCA=∠DCAD.BC∥DACABCD课堂检测基础巩固题4.如图，△ABC≌△BAD，如果AB=5cm,BD=4cm，AD=6cm，那么BC的长是（）A.6cmB.5cmC.4cmD.无法确定5.在上题中，∠CAB的对应角是（）A.∠DAB

B.∠DBAC.∠DBCD.∠CADAOCDBAB课堂检测基础巩固题如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（

）A.△ABD和△CDB的面积相等B.△ABD和△CDB的周长相等C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBDD.AD∥BC，且AD=BCC课堂检测能力提升题如图,△ABC≌△AED,AB是△ABC的最长边，AE是△AED的最长边,∠BAC

与∠EAD是对应角,且∠BAC=25°，∠B=35°,AB=3cm,BC=1cm,求出∠E,∠ADE的度数和线段DE,AE的长度.BCEDA解:因为△ABC≌△AED,(已知)所以∠E=∠B=35°,(全等三角形对应角相等)∠ADE=∠ACB=180°-25°-35°=120°,

(全等三角形对应角相等)DE=BC=1cm,AE=AB=3cm.(全等三角形对应边相等)课堂检测拓广探索题全等三角形定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形基本性质对应边相等对应角相等对应元素确定方法对应边对应角长对长，短对短，中对中公共边一定是对应边大角对大角，小角对小角公共角一定是对应角对顶角一定是对应角课堂小结课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习4.3探索三角形全等的条件（第1课时）北师大版数学七年级下册

小华作业本上画的三角形被墨迹污染了，她想画一个与原来完全一样的三角形，她该怎么办？请你帮助小华想一个办法，并说明你的理由？注意：与原来完全一样的三角形，即是与原来三角形全等的三角形.导入新知1.探索三角形全等条件.2.掌握三角形全等的“边边边”条件，并能简单应用.素养目标3.了解三角形的稳定性.

要画一个三角形与小华画的三角形全等.需要几个与边或角的大小有关的条件？只知道一个条件行吗？两个条件呢？三个条件呢？让我们一起来探索三角形全等的条件探究新知知识点1三角形全等的条件——“边边边”1.只给出一个条件（一条边或一个角）画三角形时，画出的三角形一定全等吗？3cm3cm3cm1.只给出一个条件（一条边或一个角）画三角形时，画出的三角形一定全等吗？45◦45◦45◦2.给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？1)三角形的一个内角、一条边分别相等;2)三角形的两个内角分别相等;3)三角形的两条边分别相等.探究新知30◦30◦50◦50◦给出两个条件时,所画的三角形一定全等吗?如果三角形的两个内角分别是30°,50°时.三角形的一个内角为30,一条边为3cm.3cm3cm3cm30◦30◦30◦探究新知如果三角形的两边分别为4cm，6cm时.6cm6cm4cm4cm只给出一个条件或两个条件时,都不能保证所画出的三角形全等.小结：探究新知

若给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能情况?1.都给角：给三个角2.都给边：给三条边3.既给角，又给边：（1）给一条边，两个角（2）给两条边，一个角议一议:探究新知

已知一个三角形的三个内角分别为40°，60°，80°，请画出这个三角形.三个内角对应相等的两个三角形不一定全等.1.给出三个角做一做:探究新知

已知三角形的三条边分别为4cm、5cm和7cm，请画出这个三角形.2.给出三条边做一做:三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.探究新知用法:ABCDEF在△ABC和△DEF中因为AB=DE，BC=EF，AC=DF，所以△ABC≌△DEF.（SSS)三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.探究新知例1如图，有一个三角形钢架，AB=AC

，AD是连接点A

与BC中点D

的支架．试说明：△ABD≌△ACD

．CBDA解题思路：先找隐含条件公共边AD再找现有条件AB=AC最后找准备条件BD=CDD是BC的中点利用“边边边”说明三角形全等素养考点1探究新知解：因为D

是BC中点，

所以BD=DC．

在△ABD

与△ACD

中，所以

△ABD≌△ACD

（SSS）．CBDAAB=AC(已知）BD=CD

（已证）AD=AD

（公共边）准备条件指明范围摆齐根据写出结论探究新知①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②指明范围：写出在哪两个三角形中；③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；④写出结论：写出全等结论.书写步骤：探究新知如图,C是BF的中点，AB=DC,AC=DF.试说明:△ABC≌△DCF.在△ABC

和△DCF中，AB=DC，所以△ABC

≌△DCF(已知)(已证)AC=DF，BC=CF，解：因为C是BF中点，所以BC=CF.(已知)(SSS).巩固练习变式训练解：因为AD=FC，所以AD+DC=FC+DC，即AC=FD，在△ABC和△FED中，AC=FD，

AB=FE，

BC=ED，所以△ABC≌△FED(SSS).所以∠B=∠E.例2

如图所示，在△ABC和△EFD中，AD=FC，AB=FE，BC=ED.试说明∠B=∠E.探究新知素养考点2利用三角形全等说明线段或角相等

已知：如图，AB=AD，BC=DC，试说明：△ABC≌△ADCABCDACAC,()

≌AB=AD,()BC=DC,()所以△ABC

△ADC（SSS）.解：在△ABC和△ADC中=已知已知

公共边∠B=∠D.所以∠B=∠D.所以

∠BAC=∠DAC.所以AC是∠BAD的角平分线.AC是∠BAD的角平分线.巩固练习变式训练由前面的结论可知，只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了．图1是用三根木条钉成的一个三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．图2是用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的，它不具有稳定性．探究新知知识点2三角形的稳定性图1图2在生活中，我们经常会看到应用三角形稳定性的例子．探究新知例

工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常如图中所示，钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的______性.解析：门框钉上斜拉的木条构成三角形，三角形具有稳定性.稳定探究新知素养考点1三角形稳定性的应用解：四边形不具有稳定性，人们往往通过改造，将其变成三角形从而增强其稳定性.盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常在窗框上斜定一根木条.为什么要这样做呢？巩固练习变式训练（2020•河北模拟）下列图形具有稳定性的是（）

A．

B．

C．

D．连接中考A1.如图，D,F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD

，还需要条件

_(填一个条件即可）.

BF=CDAE==××BDFC2.如图，AB＝CD，AD＝BC,

则下列结论：

①△ABC≌△CDB；②△ABC≌△CDA；③△ABD≌△CDB；④BA∥DC.

正确的个数是()

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个OABCDC==××课堂检测基础巩固题3.已知：如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，试说明：△ABC≌△AED.解：因为BD=CE,所以BD－CD=CE－CD.所以BC=ED.××==在△ABC和△ADE中，AC=AD（已知），AB=AE（已知），BC=ED（已证），所以△ABC≌△AED（SSS）.课堂检测基础巩固题4.已知:如图,点B，E，C，F在同一直线上

,AB=DE,AC=DF,BE=CF.试说明:

（1）△ABC≌△DEF；

（2）∠A=∠D.解:所以△ABC≌△DEF(SSS).在△ABC

和△DEF中，AB=DE，AC=DF，BC=EF，(已知)(已知)(已证)因为BE=CF，所以

BC=EF.所以

BE+EC=CF+CE，（1）（2）因为△ABC≌△DEF（已证），

所以

∠A=∠D（全等三角形对应角相等）.E课堂检测基础巩固题AFBCD如图,AD＝BC,AC＝BD.试说明:∠C＝∠D.(提示:连接AB)解：连接AB两点,所以△ABD≌△BAC(SSS)AD=BC，BD=AC，AB=BA，在△ABD和△BAC中，所以∠D=∠C.课堂检测能力提升题如图，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？HDCBA△ABD≌△ACD(SSS)AB=AC，BD=CD，AD=AD，△ABH≌△ACH(SSS)AB=AC，BH=CH，AH=AH，△BDH≌△CDH(SSS)BH=CH，BD=CD，DH=DH，课堂检测拓广探索题

边边边内容有三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS”)应用思路分析书写步骤结合图形找隐含条件和现有条件，证准备条件注意四步骤1.说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.2.结论中所出现的边必须在所说明的两个三角形中.课堂小结课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习4.3探索三角形全等的条件（第2课时）北师大版数学七年级下册

一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复三角形的原貌吗？怎么办？可以帮帮我吗？导入新知1.探索并正确理解三角形全等的条件“ASA”和“AAS”.2.会用三角形全等的条件“ASA”和“AAS”说明两个三角形全等．素养目标问题：如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？ABCABC图一图二“两角及夹边”“两角和其中一角的对边”它们能判定两个三角形全等吗？探究新知三角形全等的条件（“角边角”）知识点1

做一做:

如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，比如三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2cm，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？2cm全等探究新知

先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，

使A′B′=AB，∠A

′=∠A，∠B′=∠B

(即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？ACB探究新知任意三角形呢？ACBA′B′C′ED作法：（1）画A'B'=AB;（2）在A'B'的同旁画∠DA'B'=∠A，∠EB'A'=∠B，A'D，B'E相交于点C'.想一想：从中你能发现什么规律？探究新知两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”.书写格式：∠A=∠A′（已知），AB=A′B′（已知），∠B=∠B′（已知），在△ABC和△A′B′C′中，所以△ABC≌△A′B′C′（ASA）.ABCA′B′C′探究新知

想一想：

如图所示，