《简单几何体的再认识》教学设计三

高中数学精选资源1/6《简单几何体的再认识》教学设计三教学设计教学环节教学内容师生互动设计意图复习回顾复习柱体、椎体、台体的表面积和体积.教师设问，学生回答.师：今天我们继续来学习球的表面积和体积.复习旧知，为学习新知做好准备.探究新知1.球的截面特征、切线的概念与性质.用一个平面去截平面为的球,若平面经过球心,则平面与球面的公共点显然都是共面的且到球心的距离都为,这说明过球心的平面截球面所得截线是以球心为圆心的圆.当平面不经过球心时(如图),不妨于点,记,对于平面与球面的任意一个公共点,都满足,所以.此时截线是以点为圆心、以为半径的圆.球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆,被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆.与圆和直线相切类似,当直线与球有唯一交点时,称直线与球相切,这一交点称为直线与球的切点.思考交流:过球外一点作球的切线,这点和切点之间的线段长称为这点到球的切线长,过球外一点,可以作球的无数条切线,那么所有切线的切线长相等吗?所有切点组成什么图形?设过点的直线与球相切于点,则平面与球面的交线是球的大圆(如图(1)),由直线与圆相切的性质可得,所以.设点在上的垂足为,则长度恒定不变.这说明,过球外一点的所有切线的切线长都相等,这些切点的集合是以点为半径的圆,圆面及所有切线围成了一个圆锥(如图(2)).2.球的表面积与体积公式.根据球的结构特征,可以推导出球的表面积和体积的计算公式.,,其中为球的半径.教师讲解球的截面特征、切线的概念，学生理解并掌握.教师提出切线的有关问题，学生先独立思考，再讨论交流，得出共同结论后回答，教师总结球的切线的性质，学生理解并记忆.师:设球的半径为,那么它的表面积为,它的体积为,现在请大家观察这两个公式,思考它们都有什么特点.生:这两个公式说明球的表面积和体积都由球的半径唯一确定.其中球的表面积是半径的二次函数,球的体积是半径的三次函数.师:球的体积公式和球的表面积公式以后可以证明,这节课我们主要来学习它们的应用.通过了解球的截面特征，培养学生的数学抽象与直观想象核心素养.通过了解球的切线的概念和性质，培养学生的数学抽象与直观想象核心素养.加强对球的表面积和体积公式的认识，培养学生的理解能力.利用球和圆锥的体积公式解决问题，培养学生的知识应用能力和数学运算核心素养.根据体积不变列方程求解，培养学生的转化思想，提升学生的直观想象和数学运算核心素养.典例分析例1如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌，如果冰激凌分析解融化了，会溢出杯子吗？（假设冰激凌融化前后体积不变）解因为，，，所以冰激凌融化了,不会溢出杯子.例2一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为,瓶里所装的水深为,将一个钢球完全浸入水中,瓶中水的高度上升到.求钢球的半径.解如图,设钢球半径为,根据题意,得.解得.所以钢球的半径为.例3球与圆台的上、下底面及侧面都相切,且球面面积与圆台的侧面积之比为,则球的体积与圆台的体积之比为（）A.6:13B.5:14C.3:4 D.解析如图所示,作圆台的轴截面等腰梯形ABCD,球的大圆O内切于梯形ABCD.设球的半径为,圆台的上、下底面半径分别为,由平面几何知识知,圆台的高为,母线长为.因为为切点),所以，得.故.答案A例4在球面上有四个点,C,如果两两垂直,且,求这个球的体积.解因为两两垂直,且,所以以为相邻三条棱可以构造一个正方体.又因为是球面上四点,所以球是正方体的外接球,正方体的对角线是球的直径,所以,所以.教师投影例1并读题，引导学生分析解题思路，学生独立完成.学生完成后教师投影答案并点评讲解.教师投影例2并读题，引导学生画出图形，分析解题思路，学生讨论交流后完成解答过程学生完成后教师评价讲解，规范解答过程.教师投影例3并读题.师：请大家思考一下这道题中组合体的结构特征.生：球内切于圆台.师：你准备怎样研究这个组合体？生：画出球和圆台的轴截面师：圆台的高与球的哪一个量相等？生：球的直径.师：根据球和圆台的体积公式，你认为解题的关键是什么？生：求出球的半径与圆台的上、下底面半径之间的关系教师投影轴截面图，边分析边板书有关过程.师：简单几何体的切接问题，包括简单几何体的内外切和内外接，在解决这类问题时要准确画出它们的图形，一般要通过一些特殊点，如切点，某些顶点，或一些特殊的线，如轴线或高线等，作出几何体的截面，在截面上运用平面几何的知识，研究有关元素的位置关系和数量关系，进而把问题解决.教师投影例4并读题，学生先思考、讨论，教师视情况控制时间，给予引导，然后由学生分析，教师板书有关过程.师：计算球的体积，首先要求出球的半径.由于PA，PB，PC两两垂直且相等，所以PA，PB，PC可以看成一个正方体的相邻三条棱.又因为P，A，B，C都在球面上，所以此球可以视为以PA，PB，PC为相邻三条棱的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线.根据体积不变列方程求解，培养学生的转化思想，提升学生的直观想象和数学运算核心素养.根据体积不变列方程求解，培养学生的转化思想，提升学生的直观想象和数学运算核心素养.通过师生讨论交流，突破问题解决的关键，培养学生的空间想象能力和解决问题能力.通过采用构造法解题，培养学生的直观想象与数学运算核心素养.课堂小结1.球的截面特征，切线的概念与性质.2.球的表面积和体积公式.学生回顾所学知识，归纳总结，然后师生共同交流、完善.归纳知识，提高学生自我整合知识的能力.布置作业教材第244页练习第3题.学生独立完成，教师批阅.巩固知识，提升能力.板书设计第3课时球的表面积和体积一、复习回顾柱体、锥体、台体的表面积和体积二、探究新知1.球的截面特征，切线的概念和性质球面被经过球心的平面截得的圆称为球的