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专题第十三章全等三角形等腰三角形“三线合一”的七种常见题型典例剖析例

解题秘方：等腰三角形“三线合一”的性质是证线段或角的倍分关系或相等关系常用的性质之一，解答含等腰三角形的题型时，常常要考虑构造等腰三角形“三线合一”的基本图形．本例通过作垂线，根据等腰三角形“三线合一”的性质证角的倍分关系．如图，房屋屋架的顶角∠BAC＝100°，立柱AD⊥BC，斜梁AB＝AC.求∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度数．分类训练1．解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠C＝40°.∵AB＝AC，∠BAC＝100°，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD＝50°.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E.若BC＝10，且△BDC的周长为24.求AE的长．2．

【点方法】先根据△BDC的周长求出AB的长，再根据等腰三角形“三线合一”的性质求出AE的长．3．

4．如图，AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E，AM⊥CD，垂足为M.求证：CM＝MD.证明：如图，连结AC，AD.在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，∴△ABC≌△AED(S.A.S.)．∴AC＝AD.又∵AM⊥CD，∴CM＝MD.已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边的中点．5．(1)如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，试判断△DEF的形状，并说明理由；解：△DEF为等腰直角三角形．理由：连结AD，易证△BDE≌△ADF.∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF.∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠ADB＝90°.∴△DEF为等腰直角三角形．(2)如图②，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，且BE＝AF.请判断△DEF是否仍具有(1)中的形状，并说明理由．解：是．理由略．如图，已知在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BF交BF的延长线于点D.求证：BF＝2CD.6．证明：如图，延长BA，CD交于点E.∵BF平分∠ABC，CD⊥BD，∴∠EBD＝∠CBD，∠BDE＝∠BDC＝90°.又∵BD＝BD，∴△BDC≌△BDE(A.S.A.)．∴BC＝BE.又∵BD⊥CE，∴CE＝2CD.∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∠AFB＝∠DFC，∴∠ABF＝∠ACE.又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°，∴△ABF≌△ACE(A.S.A.)．∴BF＝CE.∴BF＝2CD.【点方法】由角平分线与高线重合，构造等腰三角形，利用等腰三角形“三线合一”证明线段的倍分关系．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC＝2∠C.求证：CD＝AB＋BD.7．证明：如图，以点A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，连结AE，则AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABC.∵AD⊥BC，∴DE＝BD.∵∠ABC＝2∠C，∴∠

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