2024-2025学年上海市普陀区八年级（上）期末数学试卷 （含解析）

2024-2025学年上海市普陀区八年级（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）1．（2分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是A． B． C． D．2．（2分）在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是A． B． C． D．3．（2分）已知正比例函数（其中为常数，且，如果的值随的值增大而增大，那么下列的值中，不可能的是A． B． C．0 D．24．（2分）下列关于反比例函数的说法中，正确的是A．图象在第一、三象限 B．比例系数为 C．当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 D．如果点和点在该函数的图象上，那么5．（2分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、、、、、均在格点上，那么和线段两个端点距离相等的点的轨迹是A．直线 B．直线 C．直线 D．直线6．（2分）如图，在△中，，点在边上且到边和边的距离相等．以点为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，联结．下列结论中，不一定正确的是A． B． C． D．二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．（3分）化简：．8．（3分）方程的根是．9．（3分）函数的定义域是．10．（3分）已知函数，那么．11．（3分）在实数范围内分解因式：．12．（3分）已知点的坐标为，点的坐标为，那么．13．（3分）某新能源汽车品牌2022年在国内的销量为10万辆，2024年销量达到了19.6万辆，如果该品牌汽车销量的年增长率均为，那么可列方程为．14．（3分）命题“底边及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等”是命题．（填“真”或“假”15．（3分）如图，在△中，，平分，若，，则．16．（3分）如图，已知在△和△中，，，，如果，那么的大小为．17．（3分）定义：如果函数图象上的一个点向左平移个单位，再向上平移个单位后仍在这个函数图象上，我们称这个函数是“可回旋”函数，称为这个函数的“可回旋单位”．如果是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是．18．（3分）如图，已知等腰△中，，将△绕点逆时针旋转得到△，点、的对应点分别为点、．如果直线与直线的夹角为，那么△面积的值等于．三、筒答題（本大题共4題，每道6分，满分52分）19．（6分）计算：．20．（6分）解方程：．21．（6分）居住同一小区的甲、乙两位好友，某日他们相约去广场游玩．甲认为开小轿车快，乙认为城市路况复杂，开电动自行车灵活，可能更快．于是他们决定同时出发，采用各自的方式前往广场，假设两种通行方式的路程一样，乙全程匀速前行，并约定先到者拍照发给对方．已知甲相距广场的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数关系，如图所示；如表记录了乙相距小区的距离（千米）与所用时间（小时）之间的部分数据．时间（时0.10.3距离（千米）269根据提供的信息，回答下列问题：（1）由表可知，关于的函数解析式为；的值为；（2）由图可知，的值为；在的时段内，甲的速度为千米时；（3）先到达广场并拍照的人是，且比另一位早到分钟．22．（6分）如图，已知为的一边上一点，．（1）如果点在射线上（不与点重合），点在射线上，且点、点到点的距离等于线段的长，试用直尺和圆规作出满足上述条件的点、点（不写作法和结论，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注点、点；（2）在第（1）题的条件下，联结、，如果，求点到直线的距离．23．（8分）如图，已知△的三边满足，，，其中、都是正整数，且．是过点的一条直线，过点作直线的垂线，垂足为点，是线段上一点，且．（1）求证：；（2）取边的中点，求证：．24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点．（1）求双曲线的表达式；（2）已知是双曲线上一点，且到轴的距离是12，直线与直线交于点，与双曲线交于点．如果，求的值．25．（12分）【例题回顾】本学期我们学习了角平分线定理及其逆定理，数学课本的例题1同时运用了角平分线定理及其逆定理完成了该几何问题的证明．例题1．已知：如图，、分别是、的平分线，，，垂足分别为点、．求证：点在的平分线上．证明过点作，垂足为点．、分别是、的平分线（已知）．，（已知），（所作），，（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）．（等量代换）．点在的平分线上（在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）．【研究老图形】在例题1的图中，分别联结、、．（1）点为△三条的交点，点为△三条的交点（填写序号）；①边的垂直平分线②角平分线③高④中线（2）小普发现△和△的内角之间存在一定的数量关系，如果，那么．（用含的代数式表示）【解决新问题】为了方便研究，小普同学把满足例1条件的△叫做△的“内三角形”，点叫做“共心”．（3）已知△是△的“内三角形”，点是“共心”，点、、分别在边、、上，且．先画出符合条件的示意图，再过点作于点，求证：点在直线上．

参考答案题号123456答案CBADCB一、单项选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）1．（2分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是A． B． C． D．解：、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；、，与是同类二次根式，故此选项符合题意；、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；故选：．2．（2分）在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是A． B． C． D．解：、解方程，得，有两个相等的实数根，不符合题意．、△，一定有两个不相等的实数根，符合题意；、△，无实数根，不符合题意；、△，有两个相等的实数根，不符合题意．故选：．3．（2分）已知正比例函数（其中为常数，且，如果的值随的值增大而增大，那么下列的值中，不可能的是A． B． C．0 D．2解：正比例函数（其中为常数，且中，的值随的值增大而增大，，解得，，不可能是．故选：．4．（2分）下列关于反比例函数的说法中，正确的是A．图象在第一、三象限 B．比例系数为 C．当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 D．如果点和点在该函数的图象上，那么解：，，函数图象在二，四象限，在每个象限随的增大而增大，故选项，，错误，选项正确．故选：．5．（2分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、、、、、均在格点上，那么和线段两个端点距离相等的点的轨迹是A．直线 B．直线 C．直线 D．直线解：连接、、、，由勾股定理得能：，，，和在线段的垂直平分线上，和线段两个端点距离相等的点的轨迹是直线．故选：．6．（2分）如图，在△中，，点在边上且到边和边的距离相等．以点为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，联结．下列结论中，不一定正确的是A． B． C． D．解：，，由作法得，，，，，点在边上且到边和边的距离相等，平分，，，，所以选项不符合题意；，，只有当时，，此时，所以选项符合题意；，而，，所以选项不符合题意；，点到的距离等于点到的距离，，所以选项不符合题意．故选：．二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．（3分）化简：．解：根据二次根式的性质进行化简可得：．故答案为：．8．（3分）方程的根是，．解：，，，．故答案为：，．9．（3分）函数的定义域是且．解：由可得，解得且，故答案为：且．10．（3分）已知函数，那么．解：．故答案为：．11．（3分）在实数范围内分解因式：．．解：，，，．故答案为：．12．（3分）已知点的坐标为，点的坐标为，那么5．解：点的坐标为，点的坐标为，，故答案为：5．13．（3分）某新能源汽车品牌2022年在国内的销量为10万辆，2024年销量达到了19.6万辆，如果该品牌汽车销量的年增长率均为，那么可列方程为．解：该品牌汽车销量的年增长率均为．由题意得，．故答案为：．14．（3分）命题“底边及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等”是真命题．（填“真”或“假”解：，，，同理：，，，在△和△中，，△△，，，，，，△△，则命题“底边及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等”是真命题，故答案为：真．15．（3分）如图，在△中，，平分，若，，则．解：平分，，，△中，．故答案为：．16．（3分）如图，已知在△和△中，，，，如果，那么的大小为．解：，，在△和△中，，△△，，，，，，，故答案为：．17．（3分）定义：如果函数图象上的一个点向左平移个单位，再向上平移个单位后仍在这个函数图象上，我们称这个函数是“可回旋”函数，称为这个函数的“可回旋单位”．如果是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是．解：设图象上一点，向左平移个单位，再向上平移个单位，该点坐标为，是“可回旋”函数，，，，，“可回旋单位”是，故答案为：．18．（3分）如图，已知等腰△中，，将△绕点逆时针旋转得到△，点、的对应点分别为点、．如果直线与直线的夹角为，那么△面积的值等于或．解：设直线与直线交点为，等腰△中，，．，，将△绕点逆时针旋转得到△，，①当时，如图，，过作于点，，；②当时，如图，，过作于点，则，，，；综上，△面积的值等于或，故答案为：或．三、筒答題（本大题共4題，每道6分，满分52分）19．（6分）计算：．解：原式．20．（6分）解方程：．解：，，，，则或，所以，．21．（6分）居住同一小区的甲、乙两位好友，某日他们相约去广场游玩．甲认为开小轿车快，乙认为城市路况复杂，开电动自行车灵活，可能更快．于是他们决定同时出发，采用各自的方式前往广场，假设两种通行方式的路程一样，乙全程匀速前行，并约定先到者拍照发给对方．已知甲相距广场的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数关系，如图所示；如表记录了乙相距小区的距离（千米）与所用时间（小时）之间的部分数据．时间（时0.10.3距离（千米）269根据提供的信息，回答下列问题：（1）由表可知，关于的函数解析式为；的值为；（2）由图可知，的值为；在的时段内，甲的速度为千米时；（3）先到达广场并拍照的人是，且比另一位早到分钟．解：（1）设关于的函数解析式为、为常数，且．将，和，分别代入，得，解得，关于的函数解析式为，将，代入，得，解得．故答案为：，0.45．（2）根据题意，得，解得，在的时段内，甲的速度为（千米时）．故答案为：3，10．（3）由图象可知，小区距广场的距离为12千米．甲到达广场所用时间为（时；当乙到达广场时，得，解得；，（分钟），先到达广场并拍照的人是乙，且比另一位早到3分钟．故答案为：乙，3．22．（6分）如图，已知为的一边上一点，．（1）如果点在射线上（不与点重合），点在射线上，且点、点到点的距离等于线段的长，试用直尺和圆规作出满足上述条件的点、点（不写作法和结论，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注点、点；（2）在第（1）题的条件下，联结、，如果，求点到直线的距离．解：（1）如图，点，点即为所求；（2）过点作于点．由题意，，，，，，点到直线的距离为．23．（8分）如图，已知△的三边满足，，，其中、都是正整数，且．是过点的一条直线，过点作直线的垂线，垂足为点，是线段上一点，且．（1）求证：；（2）取边的中点，求证：．【解答】证明：（1），，，其中、都是正整数，且，，，，△是以为斜边的直角三角形，．（2）．，，即，又，，如图，作，垂足为，，为的中点，点为的中点，，是线段的垂直平分线，．24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点．（1）求双曲线的表达式；（2）已知是双曲线上一点，且到轴的距离是12，直线与直线交于点，与双曲线交于点．如果，求的值．解：（1）直线过点，．，点在双曲线上，，双曲线的表达式为；（2）是双曲线上一点，且到轴的距离是12，，直线与直线交于点，与双曲线交于点，，，，，，解得或舍去），．25．（12分）【例题回顾】本学期我们学习了角平分线定理及其逆定理，数学课本的例题1同时运用了角平分线定理及其逆定理完成了该几何问题的证明．例题1．已知：如图，、分别是、的平分线，，，垂足分别为点、．求证：点在的平分线上．证明过点作，垂足为点．、分别是、的平分线（已知）．，（已知），（所作），，（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）．（等量代换）．点在的平分线上（在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）．【研究老图形】在例题1的图中，分别联结、、．（1）点为△三条②的交点，点为△三条的交点（填写序号）；①边的垂直平分线②角平分线③高④中线（2）小普发现△和△的内角之间存在一定的数量关系，如果，那么．（用含的代数式表示）【解决新问题】为