2024-2025学年高中数学课时达标训练七等差数列的概念及通项公式含解析新人教A版必修5

PAGEPAGE1课时达标训练(七)等差数列的概念及通项公式[即时达标对点练]题组1等差数列的推断1．给出下列数列：(1)0，0，0，0，0，…；(2)1，11，111，1111，…；(3)2，22，23，24，…；(4)－5，－3，－1，1，3，…；(5)1，2，3，5，8，….其中等差数列有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B依据等差数列的定义可知(1)、(4)是等差数列，故选B.2．数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{dan}是()A．公差为d的等差数列B．公差为2d的等差数列C．公差为d2的等差数列D．公差为4d的等差数列解析：选C由于dan－dan－1＝d(an－an－1)＝d2，故选C.3．已知数列{an}满意a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否为等差数列？说明理由．解：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，理由如下：因为a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋2,2an)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,an)，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2)为首项，eq\f(1,2)为公差的等差数列．题组2等差中项的应用4．等差数列的前3项依次是x－1，x＋1，2x＋3，则其通项公式为()A．an＝2n－5B．an＝2n－3C．an＝2n－1D．an＝2n＋1解析：选B∵x－1，x＋1，2x＋3是等差数列的前3项，∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，∴d＝2，∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3.5．已知1，x，y，10构成等差数列，则x，y的值分别为________．解析：由已知，x是1和y的等差中项，即2x＝1＋y，①y是x和10的等差中项，即2y＝x＋10，②由①②可解得x＝4，y＝7.答案：4，76．若eq\f(1,b＋c)，eq\f(1,c＋a)，eq\f(1,a＋b)是等差数列，求证：a2，b2，c2成等差数列．证明：∵eq\f(1,b＋c)，eq\f(1,c＋a)，eq\f(1,a＋b)是等差数列，∴eq\f(1,b＋c)＋eq\f(1,a＋b)＝eq\f(2,c＋a).整理得(a＋b)(c＋a)＋(b＋c)(c＋a)＝2(a＋b)(b＋c)，即(c＋a)(a＋c＋2b)＝2(a＋b)(b＋c)，即2ac＋2ab＋2bc＋a2＋c2＝2ab＋2ac＋2bc＋2b有a2＋c2＝2b2.∴a2，b2，c2成等差数列．题组3等差数列的通项公式7．在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝()A．12B．14C．16D．解析：选D由题意知，d＝a3－a2＝4－2＝2，a1＝a2－d＝2－2＝0.所以a10＝a1＋9d＝18.8．在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则a1等于()A．－9B．－8C．－7D解析：选B由an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，得d＝eq\f(an－am,n－m).∴d＝eq\f(a6－a4,6－4)＝eq\f(6,6－4)＝3.∴a1＝a2－d＝－8.9．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是()A．45B．46C．47D．92解析：选B由题意知，等差数列的首项a1＝1，公差d＝－2，且an＝－89.由an＝a1＋(n－1)d，解得n＝46.故选B.10．已知等差数列{an}满意a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{a解：在等差数列{an}中，∵a2＋a3＋a4＝18，∴3a3＝18，a3＝6.故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋a4＝12，,a2·a4＝11，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝11，,a4＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,a4＝11.))当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝11，,a4＝1))时，a1＝16，d＝－5.an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)·(－5)＝－5n＋21.当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,a4＝11))时，a1＝－4，d＝5.an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)·5＝5n－9.[实力提升综合练]1．在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a10，则k＝()A．45B．46C．47D．解析：选B因为ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a10，所以a1＋(k－1)d＝10a1＋45d.因为a1＝0，公差d≠0所以(k－1)d＝45d.解得k＝46.2．一个首项为23，公差为整数的等差数列，若前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差是()A．－2B．－3C．－4D解析：选C设公差为d，则an＝23＋(n－1)d.由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a6>0，,a7<0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(23＋5d>0，,23＋6d<0，))解得－eq\f(23,5)<d<－eq\f(23,6).又因为d为整数，故d＝－4.3．已知数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，且a1＝1，a4＝4，则a10＝()A．－eq\f(4,5)B．－eq\f(5,4)C.eq\f(4,13)D.eq\f(13,4)解析：选A设等差数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的公差为d，则eq\f(1,a4)－eq\f(1,a1)＝3d＝－eq\f(3,4)，d＝－eq\f(1,4)，∴eq\f(1,a10)＝eq\f(1,a1)＋9d＝1－eq\f(9,4)＝－eq\f(5,4)，a10＝－eq\f(4,5).故选A.4．已知x≠y，且两个数列x，a1，a2，…，am，y与x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差数列，则eq\f(a2－a1,b2－b1)等于()A.eq\f(m,n)B.eq\f(m＋1,n＋1)C.eq\f(n,m)D.eq\f(n＋1,m＋1)解析：选D设这两个等差数列的公差分别是d1，d2，则a2－a1＝d1，b2－b1＝d2，第一个数列共(m＋2)项，∴d1＝eq\f(y－x,m＋1)；其次个数列共(n＋2)项，∴d2＝eq\f(y－x,n＋1).这样可求出eq\f(a2－a1,b2－b1)＝eq\f(d1,d2)＝eq\f(n＋1,m＋1).5．在数列{an}中，a1＝3，且对于随意大于1的正整数n，点(eq\r(an)，eq\r(an－1))都在直线x－y－eq\r(3)＝0上，则an＝________．解析：由题意得eq\r(an)－eq\r(an－1)＝eq\r(3)，所以数列{eq\r(an)}是首项为eq\r(3)，公差为eq\r(3)的等差数列，所以eq\r(an)＝eq\r(3)n，an＝3n2.答案：3n26．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．解析：由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x－4，x，x＋4.由一个内角为120°，知其必是最长边x＋4所对的角．由余弦定理得，(x＋4)2＝x2＋(x－4)2－2x(x－4)·cos120°，∴2x2－20x＝0，∴x＝0(舍去)或x＝10，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×(10－4)×10×sin120°＝15eq\r(3).答案：15eq\r(3)7．已知等差数列{an}：3，7，11，15，….(1)135，4m＋19(m∈N*)是数列{an}(2)若ap，aq(p，q∈N*)是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是数列{an}中的项吗？并说明你的理由．解：∵a1＝3，d＝4，∴an＝a1＋(n－1)d＝4n－1.(1)令an＝4n－1＝135，∴n＝34，∴135是数列{an}中的第34项．令an＝4n－1＝4m＋19则n＝m＋5∈N*.∴4m＋19是{an}中的第m(2)∵ap，aq是{an}中的项，∴ap＝4p－1，aq＝4q－1.∴2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1)＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1，∵2p＋3q－1∈N*，∴2ap＋3aq是{an}中的第2p＋3q－1项．8．数列{an}满意a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，λ是常数．(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．解：(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，且a1＝1.所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3.从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－