2024-2025学年高中数学课时分层作业19随机数的含义与应用含解析新人教B版必修3

PAGE2-课时分层作业(十九)随机数的含义与应用(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列关于几何概型的说法中，错误的是()A．几何概型是古典概型的一种，基本领件都具有等可能性B．几何概型中事务发生的概率与它的位置或形态无关C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性A[几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A.]2．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,4)D．eq\f(3,4)A[记M＝“射线OC使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”．如图所示，作射线OD，OE使∠AOD＝30°，∠AOE＝60°.当OC在∠DOE内时，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°，此时的测度为度数30°，全部基本领件的测度为直角的度数90°.所以P(M)＝eq\f(30°,90°)＝eq\f(1,3).]3．在半径为1的圆中随机地投一个点，则点落在圆内接正方形中的概率是()A.eq\f(1,π)B.eq\f(2,π)C.eq\f(\r(2),π) D．eq\f(3,π)B[点落在圆内的随意位置是等可能的，而落在圆内接正方形中只与面积有关，与位置无关，符合几何概型特征，圆内接正方形的对角线长等于2，则正方形的边长为eq\r(2).∵圆面积为π，正方形面积为2，∴P＝eq\f(2,π).]4．在半径为2的球O内任取一点P，则|OP|>1的概率为()A.eq\f(7,8)B.eq\f(5,6)C.eq\f(3,4) D．eq\f(1,2)A[把问题转化为与体积有关的几何概型求解，∴|OP|＞1的概率为eq\f(\f(4,3)π×23－\f(4,3)π×13,\f(4,3)π×23)＝eq\f(7,8).]5．令a1＝rand()，则将[0,1]内的匀称随机数转化为[－2,6]内的匀称随机数，需实施的变换为()A．a＝a1*8B.a＝a1*8+2C.a＝a1*8-2D．a＝a1*6C[要产生a～b内的匀称随机数，可用交换rand()*(b－a)＋a得到，a＝a1]二、填空题6．方程x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有实根的概率为________．eq\f(1,4)[由题意Δ＝1－4n≥0，则n≤eq\f(1,4).又n∈(0,1)，故P＝eq\f(\f(1,4),1－0)＝eq\f(1,4).]7．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A­A1BD内的概率为________．eq\f(1,6)[设长、宽、高分别为a，b，c，则此点在三棱锥A­A1BD内运动的概率P＝eq\f(\f(1,6)abc,abc)＝eq\f(1,6).]8．小波通过做嬉戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于eq\f(1,2)，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于eq\f(1,4)，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．eq\f(13,16)[记事务A＝“打篮球”，则P(A)＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2,π×12)＝eq\f(1,16).记事务B＝“在家看书”，则P(B)＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2,π×12)－P(A)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,16)＝eq\f(3,16).故P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).]三、解答题9．如图所示，在单位圆O的某始终径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．[解]弦长不超过1，即|OQ|≥eq\f(\r(3),2)，而Q点在直径AB上是随机的，记事务A＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P(A)＝eq\f(\f(\r(3),2)×2,2)＝eq\f(\r(3),2).∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－eq\f(\r(3),2).10．街道旁边有一嬉戏：在铺满边长为9cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1cm的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在正方形的边上，可重掷一次；若掷在正方形内，需再交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上，可获得一元钱，试问：(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？[解]小圆板中心用O表示，考察O落在正方形ABCD的哪个范围时，能使圆板与塑料板ABCD的边相交接，及O落在哪个范围时能使圆板与塑料板ABCD的顶点相交接．图1图2(1)如图1所示．因为O落在正方形ABCD内任何位置是等可能的，圆板与正方形塑料板ABCD的边相交接是在圆板的中心O到与它靠近的边的距离不超过1时，所以O落在图中阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD的边相交接．因此，区域Ω是边长为9cm的正方形，图中阴影部分表示事务A：“小圆板压在塑料板的边上．”于是μΩ＝9×9＝81(cm2)，μA＝9×9－7×7＝32(cm2)．故所求概率P(A)＝eq\f(32,81).(2)小圆板与正方形的顶点相交接是在中心O与正方形的顶点的距离不超过圆板的半径1时，如图2所示的阴影部分，图中阴影部分表示事务B：“小圆板压在塑料板顶点上”．于是μΩ＝9×9＝81(cm2)，μB＝π·12＝π(cm2)．故所求的概率P(B)＝eq\f(π,81).[等级过关练]1．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于eq\f(S,4)的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D．eq\f(2,3)C[如图所示，在边AB上任取一点P，因为△ABC与△PBC是等高的，所以事务“△PBC的面积大于eq\f(S,4)”等价于事务“eq\f(|BP|,|AB|)＞eq\f(1,4)”．即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(△PBC的面积大于\f(S,4)))＝eq\f(|PA|,|BA|)＝eq\f(3,4).]2．已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，则此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率为()A．1－eq\f(\r(3)π,12) B．1－eq\f(\r(3)π,24)C.eq\f(\r(3)π,12) D．eq\f(\r(3)π,24)B[设正三角形ABC的边长为4，其面积为4eq\r(3).分别以A，B，C为圆心，1为半径在△ABC中作扇形，除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的区域，其面积为4eq\r(3)－3×eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×1＝4eq\r(3)－eq\f(π,2)，故所求概率P＝eq\f(4\r(3)－\f(π,2),4\r(3))＝1－eq\f(\r(3)π,24).]3．假设你在如图所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分(等腰三角形)的概率是________．eq\f(1,π)[设A＝{黄豆落在阴影内}，因为黄豆落在图中每一个位置是等可能的，因此P(A)＝eq\f(S△ABC,S⊙O)，又△ABC为等腰直角三角形，设⊙O的半径为r，则AC＝BC＝eq\r(2)r，所以S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝r2，S⊙O＝πr2，所以P(A)＝eq\f(r2,πr2)＝eq\f(1,π).]4．在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为________．eq\f(1,6)π[点P到点A的距离小于等于a可以看做是随机的，点P到点A的距离小于等于a可视作构成事务的区域，棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1可视做试验的全部结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率．P＝eq\f(\f(1,8)×\f(4,3)πa3,a3)＝eq\f(1,6)π.]5．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的嘉奖方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽视不计)即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球(球除颜色外不加区分)，假如摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？[解]假如顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积πR2(R为圆盘的半径)，阴影区域的面积为eq\f(4×15πR2,360)＝eq\f(πR2,6).∴在甲商场中奖的概率为P1＝eq\f(\f(πR2,6),πR2)＝eq\f(1,6).假如顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a1，a2，a3,3个红球为b1，b2，b3，记(x，y)为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(