2024-2025学年高中数学第二章随机变量及其分布2.4正态分布课后课时精练新人教A版选修2-3

PAGE1-2.4正态分布A级：基础巩固练一、选择题1．设随机变量ξ听从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，则c＝()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析解法一：由P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)可知2＝eq\f(c＋1＋c－1,2)，解得c＝2.解法二：∵P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，∴正态曲线关于x＝c对称，又N(2,9)，∴c＝2.2．已知随机变量X～N(0,1)，则X在区间[－3，＋∞)内取值的概率等于()A．0.8874 B．0.0026C．0.0013 D．0.9987答案D解析P(X≥－3)＝eq\f(1,2)P(－3≤X≤3)＋eq\f(1,2)＝0.9987.3．设X～N(10,0.8)，则D(2X＋1)等于()A．1.6 B．3.2C．6.4 D．12.8答案B解析∵X～N(10,0.8)，∴D(X)＝0.8，∴D(2X＋1)＝4D(X)＝3.2.4．某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成果听从正态分布，相应的正态曲线如图所示，则下列说法中正确的是()A．三科总体的标准差相同B．甲、乙、丙三科的总体的平均数不相同C．丙科总体的平均数最小D．甲科总体的标准差最小答案D解析由图象知甲、乙、丙三科的平均分一样，但标准差不同，σ甲<σ乙<σ丙．故选D.5．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重状况，抽查结果表明他们的体重X(kg)听从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5kg小于等于62.5kg属于正常状况，则这1000名男生中属于正常状况的人数是()A．997 B．954C．819 D．683答案D解析由题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5<X≤62.5)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，从而属于正常状况的人数是1000×0.6826≈683.二、填空题6．某班同学共有48人，数学测验的分数听从正态分布，其平均分是80分，标准差是10分，则该班同学中成果在70～90分的约有________人．答案33解析依题意，得μ＝80，σ＝10，所以P(70<ξ<90)＝P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，所以48×0.6826≈33(人)．即该班约有33人的成果在70～90分．7．设随机变量X～N(1,22)，则Y＝3X－1听从的总体分布可记为________．答案Y～N(2,62)解析因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.又Y＝3X－1，所以E(Y)＝3E(X)－1＝3μ－1＝2，D(Y)＝9D(X)＝62.∴Y～N(2,62)．8．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的运用寿命(单位：小时)均听从正态分布N(1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的运用寿命超过1000小时的概率为______．答案eq\f(3,8)解析设元件1,2,3的运用寿命超过1000小时的事务分别记为A，B，C，明显P(A)＝P(B)＝P(C)＝eq\f(1,2)，∴该部件的运用寿命超过1000小时的事务为(Aeq\o(B,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))B＋AB)C，∴该部件的运用寿命超过1000小时的概率P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,2)×\f(1,2)))×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8).三、解答题9．一建筑工地所须要的钢筋的长度X～N(8,22)，质检员在检查一大批钢筋的质量时，发觉有的钢筋长度小于2米，这时，他是让钢筋工接着用切割机截钢筋呢，还是停下来检修切割机？解由于X～N(8,22)，依据正态分布的性质可知，正态分布在(8－3×2,8＋3×2)之外的取值概率仅为0.26%，长度小于2米的钢筋不在(2,14)内，据此质检员应让钢筋工立刻停止切割，并对切割机进行检修．B级：实力提升练10．某学校的功能室统一运用某品牌的一种灯管，已知这种灯管运用寿命ξ(单位：月)听从正态分布N(μ，σ2)，且运用寿命不少于12个月的概率为0.8，运用寿命不少于24个月的概率为0.2.(1)求这种灯管的平均运用寿命；(2)假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管，运用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下(中途不更换)，求至少两支灯管须要更换的概率．解(1)因为ξ～N(μ，σ2)，P(ξ≥12)＝0.8，P(ξ≥24)＝0.2，所以P(ξ<12)＝0.2，明显P(ξ<12)＝P(ξ≥24)，由正态分布密度函数的对称性可知，μ＝eq\f(12＋24,2)＝18，即每支这种灯管的平均运用寿命是18个月．(2)每支灯管运用12个月时已经损坏的概率为1－0.8＝0.2，假设运用12个月时该功能室须要更换的