中考高频压轴题突破-二次函数与面积

中考高频压轴题突破一二次函数与面积

1.如图，直线1：y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2-2ax+a+4

(a<0)经过点B.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM,设

点M的横坐标为m,AABM的面积为S,求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；

(3)在(2)的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M：

①写出点M，的坐标；

②将直线1绕点A按顺时针方向旋转得到直线匕当直线匕与直线AM，重合时停止旋转，

在旋转过程中，直线1'与线段BM咬于点C,设点B、到直线『的距离分别为由、d>,

当di+ch最大时，求直线/旋转的角度(即NBAC的度数).

2.如图1,抛物线y=加与x轴交于点4-5,0)、5(-1,0),与>轴交于点C(0,-5),

点P是抛物线上的动点，连接24、PC,PC与x轴交于点O.

⑴求该抛物线所对应的函数解析式；

⑵若点尸的坐标为(-2,3),请求出此时AAPC的面积；

⑶过点尸作)'轴的平行线交x轴于点，，交直线AC于点E,如图2.

AP3

①若NAPE-Z.CPE,求证：——=—；

EC7

②A4PE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点夕的坐标；若不能，请说明理由.

3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x?+bx+c与y轴交于点A（0,3）,且经过

（2）把^AOB以每秒1个单位的速度向右平移，得到^PDE,PE交OB于点F,PD

交BC于点M,设向右平移运动的时间为I（s）.设平移过程中与aOBC重叠部分的面

积为S,试探求S与I的函数关系式，并求当I为何值时，S最大？

（3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻I,使AOCE为等腰三角形？若存在，求出

t：若不存在，请说明理由.

4.综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、

C两点的坐标分别为（4,0）,（-2,3）,抛物线W经过0、A、C三点，D是抛物线W

的顶点.

（2）将抛物线W和口OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0<m<3）

个单位，得到抛物线W利口CTABC,在向下平移的过程中，设口与uOABC的

重叠部分的面积为S,试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；

（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W，的顶点为F,若点M是x

轴上的动点，点N是抛物线W，上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N,使得以

D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在.请直接写出点M的坐标；若不

试卷第2页，共9页

存在，请说明理由.

5.如图，抛物线y=-x?+bx+c的顶点为D,与x轴交于A(-1,())、B(3,0),与y轴

交于点C.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点P为线段BC上的一点(不与B、C重合)，PM〃y轴，且PM交抛物线于点

M,交x轴于点N,当四边形OBMC的面积最大时，求△BPN的周长；

(3)在(2)的条件下.当四边形OBMC的面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存

在点Q，使得ACNQ为直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标.

6.如图，抛物线产ax?+bx+c为x轴的一交点为A(-6,0),与y轴的交点为C(0,

(I)求抛物线的表达式.

(2)点P是线段OA上一动点，过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q,设△CPQ的

面积为S,求S的最大值.

(3)若点B是抛物线与x轴的另一定点，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上，

ZDCB=ZCDB,CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标.

7.如图，在平面直角坐标系中，。人与乂轴相交于C(-2,0),D(-8,0)两点,

与y轴相切于点B(0,4).

(1)求经过B,C,D三点的抛物线的函数表达式；

(2)设抛物线的顶点为E,求证：直线CE与。A相切；

(3)在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F,使4BDF面积最大，最大值是多少？

并求出点F的坐标.

8.如图，关于x的二次函数y=x?+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B与y轴

交于点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.

(I)求二次函数的表达式；

(2)在y轴上是否存在一点P,使aPBC为等腰三角形？若存在.请求出点P的坐标；

(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点

N从点D与点M同时四发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M

到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，aMNB面积最大，

试求出最大面积.

9.如图1,抛物线y=-K2+2X+3与x轴交于A,B,与y轴交于C,抛物线的顶点为D,

直线1过C交x轴于E(4,0).

(1)写出D的坐标和直线1的解析式；

(2)P(x,y)是线段BD上的动点(不与B,D重合i,PFJ_x轴于F,设四边形OFPC

的面积为S,求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；

(3)点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线1于M,交抛物线于

试卷第4页，共9页

N,连接CN,将ACMN沿CN翻转，M的对应点为在图2中探究：是否存在点Q,

使得M，恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由.

10.如图，抛物线y=ax?+bx+c关于直线x=l对称，与坐标轴交于A、C三点，

且AB=4,点口12,外在抛物线上，直线1是一次函数产kx-2(k工0)的图象，点O是坐

X乙)

标原点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若直线1平分四边形OBDC的面积，求k的值.

(3)把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线1交于M、

N两点，问在y轴正半釉上是否存在一定点P,使得不论k取何值，直线PM与PN总

是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

11.己知抛物线y=ax2+zx+c的图象与x轴交于点4(3.0)和点C与y轴交于点B(0.

3).

⑴求抛物线的解析式；

⑵在抛物线的对称轴上找一点。，使得点。到点B、C的距离之和最小，并求出点。

的坐标；

⑶在第一象限的抛物线上，是否存在一点P,使得AABP的面积最大？若存在，求出点

尸的坐标；若不存在，请说明理由.

12.如图，二次函数y=；x2-x+c的图象与x轴分别交于A、B两点，顶点M关于x

一

轴的对称点是M—

（1）若人（-4,0）,求二次函数的关系式:

（2）在（1）的条件下.求四边形AMBM，的面积;

（3）是否存在抛物线产;x2・x+c,使得四边形AMBM，为正方形？若存在，请求出此

抛物线的函数关系式；若不存在，请说明理由.

13.如图，在平面宜角坐标系中，直线y=与抛物线），=ad+/7x-3交于A,B两

点，点八在x轴上，点B的纵坐标为3,点P是直线/IB下方的抛物线上一动点（不与

A,B重合），过点P作x轴的垂线交直线与点C,作尸。于点。

试卷第6页，共9页

⑴求。力及sinZACP的值

⑵设点尸的横坐标为阳

①用含2的代数式表示线段PD的长，并求出线段P。长的最大值；

②连接P从线段PC把用分成两个三角形，是否存在适合的，〃值，使这两个三带

形的面积之比为9：10?若存在，直接写出/〃值；若不存在，说明理由.

14.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a#0)与x轴交于点A(-I,0),B(3,0)两点，与

y轴交于点C(0,-3).

(1)求该抛物线的解析式及顶点M坐标；

(2)求ABCM面枳与AABC面积的比：

(3)若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ〃AC交抛物线丁点Q,随着P点的运动，

在抛物线上是否存在这样的点Q,使以A,P,Q,C为顶点的四边形为平行四边形？若

存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由.

15.已知：如图，抛物线＞=k-2^+，("0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、

B，点A的坐标为(4,0).

c

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE/7AC,交BC于点E,连接CQ.当^CQE

的面积最大时，求点Q的坐标；

（3）若平行于x轴的动直线7与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标

为（2,0）.问：是否存在这样的直线1,使得40DF是等腰三角形.若存在，请求出

点P的坐标；若不存在，请说明理由.

16.如图，抛物线yugx^+bx+c与y轴交于点C（0,—4）,与x轴交于点A,B,且

（1）求该抛物线的解析式;

（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE〃AC,交BC于E,连接CP,求△PCE

面积的最大值；

（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且AOMD为等腰三角形，求M

点的坐标.

17.如图,抛物线y=ax?+bx+3与x轴相交于点A（-1,0）、B（3,0）,与y轴相交于

点C,点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物

线及线段BC分别交于点E、F,点D在y轴正半轴上，OD=2,连接DE、OF.

试卷第8页，共9页

（1）求抛物线的解析式：

（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；

（3）过点A的直线将（2）中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分，求这条直

线的解析式.（不必说明平分平行四边形面积的理由）

18.已知：直线），=-21+4交x轴于点A,交y轴于点B,点C为x轴上一点，AC=1,

且OCVOA.抛物线y=M+法+c(awO)经过点A、B、C.

4

3

2

1

-4-3-2-1O-Pl~~34:

-1

-2

（1）求该抛物线的表达式;

（2）点D的坐标为（・3,0）,点P为线段AB上一点，当锐角NPDO的正切值为g时,

求点P的坐标：

（3）在（2）的条件下,该抛物线上的一点E在x轴下方，当AADE的面积等于四边

形APCE的面积时，求点E的坐标.

参考答案：

1.(1)y=-x2+2x+3；⑵S=4nr+^-m,最大值为"；(3)①(g②45。.

22824

【解析】(1)令x=0代入y=-3x+3,

Ay=3,

AB(0,3),把B(0,3)代入y=ax2-2ax+a+4,

3=a+4,

:.a=-1,

・••二次函数解析式为：y=-x2+2x+3；

(2)当y=0时，0=-x2+2x+3,

Ax=-1或3,

・••抛物线与x轴的交点横坐标为-1和3,

.\0<m<3,

令y=0代入y=-3x+3,

/.x=1,

AA的坐标为(1,0),

由题意知:M的坐标为(m,-m2+2m+3),

S=S四边形OAMB—SCAOB二SAOBM+S^OAM-SAAOB二;xmx3+Jxlx(-m2+2m+3)-x1x3=-(m—

525

，当m=+时,S取得最大值

2o

57

(3)①由(2)可知：M的坐标为I],-)；

②过点M作直线h〃匕过点B作BF_Lh于点F根据题意知：di+d2=BF,

ZBFMr=90°,

・••点F在以BM，为直径的圆上，设直线AM，与该圆相交于点H,

•・•点C在线段BM，上，

・・・F在优弧BMH上,

•••当F与M，重合时，BF可取得最大值，此时BM」h,

57

VA(I,0),B(0,3),M'(一，-),

24

，由勾股定理可求得：AB=JQ,MB=26,M*A=—,

44

过点2「作M*G±AB于点G,设BG=x,

:,由勾股定理可得；M'R2-BG2-MfA2-AG2,

答案第10页，共36页

-（Vio-x）2=号-X2

1616

._5x/lO

••Xv-,

8

cosZM/BG=—,

2

•.」i〃匕

/.ZBCA=90°,ZBAC=45°.

考点：1二次函数综合题；2一次函数；3勾股定理；4圆.

2.(1)y=-xi-6x-5

⑵15

(3)①见解析②能,(-1,0),(-2,3),(72,-7-672),(-72,6近-7).

【分析】(1)设交点式为y=aQ+5)(x+l),然后把C点坐标代入求出。即可；

(2)先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-x-5,作夕。〃)，轴交AC于Q,如图

1,由P点坐标得到Q(-2,-3),则PQ=6,然后根据三角形面积公式，利用SAW=SW+SSQ

进行计算；

(3)①由NAM=NCPE,可判断MW为等腰三角形，则A"二O〃，设

2

P(x-x-6x-5)t则O/7=-x,OD=-x-DH,通过证明AP〃£MACO£>,利用相似比可表示出

DH=-x-^-,则-7-3=5,则解方程求出工可得到QH和AH的长，然后利用平行

x+6x+6

线分线段成比例定理计算出爸AE=：3；

②设。3--_6»-5),则E(X,T-5),分类讨论：当PA=PE,易得点。与“点重合，此时产

点坐标为(T，。)；当A〃=A£,如图2,利用户"="七得到I-犬一6*-5|=|-『5|,当"A=£?,

答案第11页，共36页

如图2,A£=0E”'=&(x+5),产£=W+5x,则|丁+5小&(x+5),然后分别解方程求出X

可得到对应尸点坐标.

【解析】(I)解：设抛物线解析式为y=a(x+5)(x+l),

把。(0,-5)代入得〃51=-5,解得。二一1,

所以抛物线解析式为y=Tx+5)(x+l),

即y=-x2-6x-5；

(2)解；设直线八。的解析式为y=〃•+〃，

把4-5,0),C(0「5)代入得<<，解得｛,

「•直线AC的解析式为A-5,

作。。〃)，轴交AC于2,如图1,

..PQ=3—(-3)=6,

・•・Sgy=5：巾+=；・P@5=；x6x5=15；

(3)①证明：ZAPE=/CPE,

而777J.4),

.•・/VW)为等腰三角形，

.\AH=DH,

设P(X,-F-6X-5),则OH=T,OD=-X-DH,

PHHOC,

:.APHD^ACOD,

PH:OC=DH:OD,即(-V-6.V-5):5=DH:(-x-DH),

:.DH=-x--—,

x+6

而O〃+A〃=5,SROH+DH=5,

答案第12页，共36页

7

整理得2』+17X+35=0，解得％二・彳，£=一5（舍去）,

IIE//OC,

3

,-A-E-=-A--H-=2

"ECOH77,

2

②能.设Pd-6x-5),贝IJE(x,*5),

当PA=PE,因为/烟=45。，所以NPAE=45。，则点。与3点重合，此时尸点坐标为(TO)；

当”=AE,如图2,

则PH=HE,即|一/一6..5|=|-.”5],解一J-6x-5=-x-5得X=-5（舍去），x2=（）（舍

去）；解一/一61—5=x+5得％=-5（舍去），々=-2,此时，点坐标为（-2,3）；

当£A=EP,如图2,AE=^EH=®x+5）,产£=|一入一5-（一工2-6刀一5）|=|/+5.，若

X2+5X=42（X+5）,解得再=-5（舍去），&=曰此时P点坐标为（五,-7-6x/2）；若

A2+5X=-V2（X+5）,解得&=-5（舍去），%=-^,此时P点坐标为（-6，672-7）.

综上所述，满足条件的〃点坐标为（TO）,（-2.3）,（无：-7-672）,（-72,6V2-7）.

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和等腰三角

形的判定；会运用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，能运用相似比计算线段

的长；会运用方程的思想和分类讨论的思想解决问题.

答案第13页，共36页

3

3.(I)y=-x2+4x+3,B(4,3)；(2)s=--t2+3t,当t=2时，S有最大值，最大值是3；(3)

t=2或t=>/7或t=4—y/1.

【解析】试题分析：(1)将点(0,3)和(5,-2)代入即可求出b、c的值，进而得解，

再由点A与点B对称可以求出点B的纵坐标为3,进而得解；

(2)根据平移的性质，以及垂直等条件，可以判断四边形EPCB是矩形，△BEFgAPCM,

进而可以用含有t的式子表示出四边形BFPM的面积，利用配方法可以得解；

(3)从OE=OC,EC=OC,OE=EC三个方面进行解答，即可得到本题的答案.

试题解析：⑴将点(0,3)和(5,-2)代入y=-x2+bx+c得：

―25+5b+c=­2

解得：b=4,c=3,

:.y=-x2+4x+3,

•・•点B与点A关于对称轴对称，

3=-x2+4x+3»

解得：x=0或x=4,

AB(4,3)；

(2)由平移的性质可知，BO/7PD,OA/7PE,

•・・OA_Lx轴，BCJ_x轴,，EP_Lx轴，

乂AB〃OC,I.ZEPC=ZBCP=ZBEP=ZEBC=90°,

・•・四边形EPCB是矩形，

/.BE=PC,

ZABO=ZBOC,ZBOC=ZMPC,

BE=CP

{ZBEP=ZBCP

NABO=NMPC

/.△BEF^APCM(ASA),

当乙AOB向右平移运动的时间为l(s)时，

BE=4—t,EP=3,AE=t,

・•・四边形EPCB的面积为：3(4-t),

设直线OB的解析式为y=kx,将点B(4,3)代入得:

3=4k,

3

解得：k=[,

4

答案第14页，共36页

SABEF=SAPCM=4-(4—t)(3——t),

24

四边形BFPM的面积为：

33

S=3(4-t)-(4-t)(3--t)=--t2+3t

44

3

=-<t-2)2十3,(0<t<4),

4

当t=2时，S有最大值，最大值是3；

(3)①当OE=EC时，AE=OP=yOC=2,

②当0E=0C=4时，AE2+OA2=OE2=OC2,BP：t2+9=16,

解得：或t=-V7(舍)；

③当EC=0C=4时，

BE2+BC2=EC2,即：(4-i)2+9=16,

解得：1=4+5(舍)或t=4—

・・・t=2或下4或t=4一".

考点：二次函数综合题.

133

4.(1)W=-x2-x.顶点D的坐标为(2,-1).(2)当时，S有最大值为(3)存

422

在这样的点M和点N,点M的坐标分别为(0,0),(4,0),(6,0),(14,0).

【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出顶点D的坐标；

(2)由平移性质，可知重叠部分为一平行四边形.如答图2,作辅助线，利用相似比洌式

求出平行四边形的边长和高，从而求得其面积的表达式:然后利用二次函数的性质求出最值;

(3)本问涉及两个动点，解题关键是利用平行四边形的判定与性质，区分点N在x轴上方、

下方两种情况，分类讨论，避免漏解.设M(t,0),利用全等三角形求出点N的坐标“代

入抛物线W，的解析式求出t的值，从而求得点M的坐标.

2

【解析】解：(1)设抛物线W的解析式为W=ax+bx+cs

•・•抛物线W经过0(0,0)、A(4,0)、C(-2,3)三点，

1

a=­

c=04

«16a+4Z?+c=0,解得:b=-\

4。一2人+c=3c=0

・・.抛物线W的解析式为wfx.

答案第15页，共36页

VW=-x2-x=-(x-2)2-l,

44

・•・顶点D的坐标为(2,-1).

(2)由QOABC得，CB//OA,CB=OA=4.

又・・・C点坐标为(-2,3),

点的坐标为(2,3).

如答图2,过点B作BE_Lx轴于点E,由平移可知，点C在BE上，且BC=m.

•••CE〃x轴，

AABCG^ABEA,

.BCCG，即十CG

J2

2

.*.CG-jm.

由平移知，口CTAB'C与。OABC的重叠部分四边形CHAG是平行四边形.

2233

.•・S=C'G・C'E=qm(3-m)=--(m--)2+—,

3322

33

•••当m=7时，S为最大值为；.

22

(3)答：存在.

在(2)的条件卜，抛物线W向右平移4个单位，再向卜平移/个单位，得到抛物线M,

VD(2,-1),AF(6,--)；

2

，抛物线W，的解析式为：y=!(x-6)24.

42

设M(t,0),

以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形,

①若点N在x轴下方，如答图3所示：

答案第16页，共36页

过点D作DP〃y轴，过点F作FP_LDP于点P,

53

VD(2,-1),F(6,/.DP=-,FPM；

22

过点N作NQ±x轴于点Q,

由四边形FDMN为平行四边形，易证4DFP0△NMQ,

，MQ=FP=4,NQ=DP=1,

3

N(4+t>--),

2

将点N坐标代入抛物线W，的解析式y](x-6)2-|,得：5(t-2)2-|=-|»

解得：t=0或t=4,

工点M的坐标为(0,0)或(4,0)；

②若点N在x轴上方，

3

与①同理，得N(t-4,y)

将点N坐标代入抛物线W，的解析式y=；(x-6)2-1,得：1(t-10)=

解得：1=6或1=14,

・••点M的坐标为(6,0)或(14,0).

综上所述，存在这样的点M和点N,点M的坐标分别为(0,0),(4,0),(6,0),(14,

0).

考点：二次函数综合题

5.(1)抛物线解析式为y=-x2+2x+3；(2)3+孚；(3)、点坐标为(1,,+半)或(1,

入姮)或(1,1)或(1,二).

2224

【解析】试题分析：(1)把A、B两点坐标代入可求得b、c的值，可求得抛物线的解析式；

(2)ABOC面积不变，故当M点离直线BC最远时，四边形OBMC的面积最人，可求得

答案第17页，共36页

直线BC的解析式，则过M且与直线BC平行的直线与抛物线只有一个交点时，M离直线

BC的距离最远，可求得M点的坐标，则可求得BN、PN和PB,可求得答案；

(3)可设出Q点坐标，可分别表示出CQ、NQ和CN,分NCQN=90。、/QCN=90。和/QNC=90。

三种情况，结合勾股定理可得到方程，可求得Q点坐标.

试题解析：(1)把A、B坐标代入抛物线解析式可得：

｛-9+3"C3解得(=3，

，抛物线解析式为y=-x2+2x+3；

(2)Vy=-x2+2x+3,

AC(0,3),且B(3,0),

AABOC面积固定，

:.当M离直线BC最远时，四边形OBMC的面积最大，

b=3〃=_]

设直线BC的解析式为y=kx+b,把B、C坐标代入可得”;八，解得忆Q,

・•・直线BC解析式为y=-x+3,

・•・当过点M与直线平行的直线1与抛物线有一个交点时，M离直线BC最远，如图1,

可设该直线解析式为y=-x+m,联立抛物线解析式可得｛」「

y=-x+in

消去y,整理可得:x2-3x4-m-3=0,

当该方程有两个相等的实数根时，直线1与抛物线有一人交点，

?|

(-3)2-4(m-3)=0,解得m=彳，

4

3

x=—

此时可解得方程组的解为｛，

-V=T

313

•'•M点坐标为(”—),

答案第18页，共36页

又・・，PM〃y轴，

33

AON=-,且OB=3,ABN=-,

22

333

在直线y=-x+3中，当x=1■时，代入可求得y=：,即PN=j,

在RSBPN中，由勾股定理可求得PB=3^,

2

ABN+PN+PB=3+—

2

即当四边形OBMC面积最大时，△BPN的周长为3+述；

2

（3）Vy=-x2+2x+3,

••・抛物线对称轴方程为x=l,

・••设Q点坐标为（1,y）,

3

由（2）可知N点坐标为（彳，0）,

***CN=J（0-；y+（3一0）?=~~~，CQ=J[0-⑴『+（3-y）?=yjy2-6y+10，

若aCNQ为直角三角形，则有三种情况：

I45

①当NCQN=90。时;由勾股定理可得CQ2+NQ2=CN2,g]y2.6y+i0+-+y2=—,整理可得

2y2-6y-l=0,解得y=：±@l,此时Q点坐标为（1,与+姮）或（1,与-包）；

222222

4S17

②当/QCN=90。时，由勾股定理可得CQ2+CN?=NQ2,Ely2-6y+10+y=-+y2,解得产万,

此时Q点坐标为（1,g）;

I45I

③当NQNC=90。时、由勾股定理可得NQ2+CN2=CQ2,g]-2—=2_i（）,解得y二一,

4+y+4y6y+4

此”点坐标为⑷力：

综上可知存在满足条件的Q点，其坐标为（1,孚）或（1，g-理）或（1，；）或

考点：二次函数综合题.

答案第19页，共36页

iia3

6.(1)y=——f——x+3；(2)一；(3)M(-,0).

8442

【解析】试题分析：(I)把A、C、G三点坐标代入可求得抛物线解析式：

(2)先求直线AC的解析式，设P(x,0),可表示出OP、PQ,则可表示出S,再由二次

函数的性质可求得S的最大值；

(3)由已知求得BD=BC=5,从而得到D点坐标，连接DN,可得出DN〃BC,从而DN为

△ABC的中位线，得到DM的长，从而得到OM的长，进-一步求得M点的坐标.

__2

0=36。-6〃+ca~g

试题解析：(1)把A、C、G三点坐标代入抛物线解析式可得：｛3=。，解得：以1,

[b=—

3=4a-2b+c4

c=3

・••抛物线的表达式为

84

(2)VC(0,3),・••可设直线AC解析式为丁=履+3,把A点坐标代入可得0=・6代3,

解得k=；,・••直线AC解析式为y=：x+3,设P点坐标为(x,0)(x<0),则Q点坐标为

-2

(x,-x+3),APQ=-A+3,PO=-X,S=PQ*PO=-(-x+3)(-x)=--x2--x=

2222242

Iao

一;(工+3)~+:，.,•△CPQ的面积S的最大值为了；

444

(3)当y=0时，-，2一%+3=(),解得x=-6或x=4,二B点坐标为(4,0),.・.BC二行百

二5,VZCDB-ZDCB,.*.BD-BC-5,AOD-BD-OB-5-4-1,；・D点坐标为(-1,0),

•••D为AB中点，如图，连接DN,则DN=DM,ZNDC=ZMDC,/.ZNDC=NDCB,；・DN〃BC,

YD是AB中点，・・・N是AC中点，・・・DN是AABC的中位线，XDN=DM=yBC=|,

333

/.OM=DM-OD=一一1=-,・••点M坐标为(-,0).

222

考点：1.二次函数综合题；2.最值问题；3.二次函戮的最值；4.动点型：5.压轴题.

7.(1)k%+|x+4；⑵证明见试题解析；⑶当F(-4,-2)时，ABDF面积最

答案第20页，共36页

大值为16.

【分析】(1)把B,C,D的坐标代入二次函数的解析式即可得到结果；

933

(2)把二次函数配方，得到顶点坐标E(-5,--),求得直线CE的函数解析式y=：x+：,

442

333

由y=一x+—，得至l」G(0,-),如图1,连接AB,AC,AG,得至I]BG=CG,AB=AC,于

22

是有ZkABGgZXACG,得到NACG二NABG,由于。A与y轴相切于点B(0,4),于是得

到NABG-90C,即可求得结论；

(3)如图2,连接BD,BF,DF,设F(t,^z2+|r+4),过F作FN〃y轴交BD于点N,

求得直线BD的解析式为y=夫+4,得到点N的坐标为匕，+4)，于是得到FN二-2,,

推出SADBF=SADNF+SABNF=—r—8,=—(/+4)-+16,即可得到结论.

【解析】解:(1)设抛物线的解析式为：)，=以2+法+。，把B(0,4),C(-2,0),D(-

8,0)代入得：

1

=-

4-C4

{0=4a-2b+c,解得：5,

,p=一

0=64«-8/?+c2

c=4

・•・经过B,C,D三点的抛物线的函数表达式为：)，=；f+[x+4；

9

••・E(・5,-J,

设直线CE的函数解析式为N=，加+〃，直线CE与y轴交于点G,

3

0——2m+nin=—

4

则{9<,解得：(；

——=-5〃？+〃3

4n=—

2

••y=—XH—,

42

3333

在丫=^^^+耳中，令x=0,y=j，，G(。，—)»

35

如图1，连接AB,AC,AG,贝ljBG二OB-OG二4—二二二,

22

CG=VOC2+OG2=J22+(1)2=|,ABG=CG,AB=AC,

答案第21页，共36页

在AABG与4ACG中，VAB=AC,BG=CG,AG=AG,

/.△ABG^AACG,・・・NACG:NABG,

V0A与y轴相切于点B(0,4),ZABG=90°,

.\ZACG=ZABG=90°,

•・•点C在。A上，，直线CE与(DA相切；

(3)存在点F,使ABDF面积最大，

如图2连接BD,BF,DF,设F(I,-l2+-l+4')

42t

过F作FN〃y轴交BD于点N,

4=dk=—

设直线BD的解析式为y=匕+d,则｛八Q/「解得：｛2,

0=-8八dd=4

••・直线BD的解析式为)，=gx+4,・,•点N的坐标为(31/+4),

.”・FN=；T+4-(；T'+-|r+4)=—-2r,

**•SADBF=SDNF+SABNF=OD*FN=-x8x(一■-v—2t)=—r-8/=-(/+4)2+16,

A224

•••当t=-4时，SABDF最大，最大值是16,当t=-4时，—r+^-z+4=-2,

42

AF(-4,-2).

8.(1)二次函数的表达式为：y=x2-4x+3；(2)点P的坐标为：(0,3+30)或(0,3・

3&)或(0,-3)或(0,0)；(3)当点M出发1秒到达D点时，aMNB面积最大，最大

面积是1.此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位

处.

【分析】(1)把A(1,0)和C(0,3)代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函

数的表达式；

答案第22页，共36页

(2)先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当aPBC为等腰三角形时分三种

情况进行讨论：①CP二CB；②PB=PC；③BP=BC；分别根据这三种情况求出点P的坐标：

(3)设AM=t则DN=2t,由AB=2,得BM=2-t,SAMNB=yX(2-t)x2t=-t2+2t,把解

析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得AIVINB最大面积；此时点M在D点，点N

在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处.

【解析】解：⑴把A(1,0)和C(0,3)代入y=x2+bx+c,

l+Z?+c=0

c=3

解得：b=-4,c=3,

・••二次函数的表达式为：y=x?-4x+3；

(2)令y=0,则X2-4X+3=0,

解得：x=l或x=3,

AB(3,0),

，BC=3应，

点P在y轴上，当aPBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1,

①当CP=CB时,PC=3O，・二OP=OC+PC=3+3应或OP=PC-OC=3&-3

APi(0,3+3&),P2(0,3・3&)；

②当PB二PC时，OP=OB=3,

JP3(0,-3)；

③当BP=BC时，

VOC=OB=3

，此时P与O重合，

.*.P4(0,0)；

综上所述，点P的坐标为：(0,3+3&)或(0,3-3及)或(-3,0)或(0,0)；

答案第23页，共36页

(3)如图2,设AM=t,由AB=2,得BM=2-3则DN=2l,

ASAMNB=1X(2-t)x2t=-t2+2t=-(t-1)2+l,

当点M出发1秒到达D点时，aMNB面积最大，最大面积是1.此时点N在对称轴上x

轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处.

【分析】(1)先把抛物线解析式配成顶点式即可得到。点坐标，再求出C点坐标，然后利

用待定系数法求直线/的脩析式；

(2)先根据抛物线与x轴的交点问题求出A(3,0),再利用待定系数法求出直线的解

答案第24页，共36页

9

析式为产・2计6,则尸(乂・2叶6),然后根据梯形的面积公式可得(1SE3),再

利

用而此函数的性质求S的最大值；

3

(3)如图2,设Q(/,0)(/>()),则可表示出M(6--Z+3),N(/,-a+2什3),利用两

4

点间的距离公式得到MN=|於-4J|,然后证明NM=CM得到产-二小：3/,再解绝对

4444

值方程求满足条件的/的值，从而得到点Q的坐标.

【解析】解：(1)・・j--/+2x+3=(x-1)2+4,

:,D(1,4),

当下()时，产-f+2x+3=3,则C(0,3),

设直线/的解析式为产依〜，

b=3k=——

把C(0,3),E(4,0)分别代入得，八，解得〈4,

4k+b=0,_

b=3

3

・・・直线/的解析式为尸一尸3；

,0),

设直线BD的解析式为尸内+〃,

+〃=0〃?=-2

把B(3,0),D(1,4)分别代入得)，解得

m+n=4〃二6

•••直线BD的解析式为.y=-2x+6,

则P(x,办+6),

1Q

S=—•(-2.r+6+3),x=-^+-x(1