专题 解答题培优教案-高三数学二轮复习讲义

高考数学培优微专题讲义

解答题篇

数学培优微专题《等差等比的证明》...............................................2

数学培优微专题《明确等差等比求通项》..........................................5

数学培优微专题《给和式求通项》.................................................7

数学培优微专题《裂项相消法求和》...............................................10

数学培优微专题《错位相减法求和》...............................................14

数学培优微专题《数列中多规律求和》.............................................18

数学培优微专题《数列的和与不等式》.............................................22

数学培优微专题《边角互化》.....................................................26

数学培优微专题《知三解三角形》.................................................30

数学培优微专题《爪型三角形》...................................................34

数学培优微专题《多边多角问题》.................................................38

数学培优微专题《解三角形中的最值问题》........................................41

数学培优微专题《平行的证明》...................................................45

数学培优微专题《垂直的证明》...................................................48

数学培优微专题《度量角度》.....................................................51

数学培优微传题《度量体积和距离》...............................................56

数学培优微专题《探索点的位置及边长的大小》....................................60

数学培优微专题《求标准方程》...................................................66

数学培优微专题《建设限代化处理轨迹方程》.......................................68

数学培优微专题《圆锥曲线中的三定问题》.........................................70

数学培优微专题《圆锥曲线中的静态求值》.........................................75

数学培优微专题《圆锥曲线中的动态最值》.........................................80

数学培优微专题《回归分析与独立性检验》.........................................84

数学培优微专题《概率分布列》...................................................92

数学培优微专题《确定函数处理切线单调极值》.....................................98

数学培优微专题《已知单调性求参数范围》.......................................101

数学培优微专题《单调性由一个因式决定》.......................................103

数学培优微专题《单调性由两个因式决定》.......................................105

数学培优微专题《零点极值点个数问题》.........................................107

数学培优微专题《不等式恒成立与分离》.........................................110

数学培优微专题《不等式恒成立与端点相关》.....................................113

数学培优微专题《指对与隐零点问题》............................................117

数学培优微专题《极值点偏移》..................................................120

数学培优微专题《双变量问题》..................................................125

数学培优微专题《等差等比的证明》

L数列｛an｝的前n项和为Sn,5n=2an-3n(nGN•).

2.已知数列an中，ai=1,02=4,5*2-4O/HI+33=0,nGN

3.数列｛an｝满足CFI=I，ch+0(〃£N*)

(1)求证｛5｝为等差数列，并求｛an｝的通项公式；

4已知数列｛⑦｝满足ai=0,a^i=2on+n-lznGN*,｛an｝的前n项和为Sn,

⑴求证：数列｛on+n｝是等比数列，并求

(2)求Sio.

5.已知数列｛an｝的首项。尸"丽户£N•

52Efa+1

(1)求证：数列今一1｝为等比数列；

⑵记Sn=止+1+…4若5K100,求正整数k的最大值；

laiIo?Eb

(3)是否存在互不相等的正整数m,s,n,使m,s,〃成等差数列，且am-l,s-1,an-1

成等比数列？如果存在，请给予证明；如果不存在，请说明理由.

6.己知数列｛①｝的前n项和为Sn,ai=3,nSn+i=(n+l)Sn+2(a2+n-1)

(1)证明数列—乐一2是等差数列，并求数列｛an｝的通项公式；

13

⑵若bc=2〃*an,求数列｛bn｝的前n项和Tn

数学培优微专题《明确等差等比求通项》

1.已知等差数列｛。内的公差d为整数，且G+03+04=18,是。2和Q5-1的等比中

项.

2.已知数列或是递增的等比数列，满足。1=4且%3是。2、内的等差中项，数列仍〃满足

bn*l=bn+1»其前n项和为Sn»且S2+56=04.

3.在①53=12,②2a2-6=3,③加24这三个条件中任选一•个，补充在下面问题中并

作答.

已知｛an｝是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn,且5,G,04成等比数

列.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)设数列｛bn｝是各项均为正数的等比数列，且b2=ai,

儿=。4,求数列｛an+bn｝的前〃项和〃

4.已知等差数列｛an｝与正项等比数列｛6｝满足ai=bi=3,且切-6，20,以+6既是

等差数列，又是等比数列.

⑴求数列｛an｝和数列｛bn｝的通项公式；

5.已知等比数列｛a.｝的首项Gi=3>前〃项和为Sn,公比不为1,459是53和756的等差

中项.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

6,给出以下三个条件：①46,3俗，2必成等差数列;②对于•，点(。5)均在函

数y=2仁。的图像上，其中a为常数;③S3=7.请从这三个条件中任选一个将下面

的题目补充完整，并求解.

设｛an｝是一个公比为q(q>0,qxl)的等比数列，且它的首项a1=1,.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

数学培优微专题《数列求通项之给S求外》

1.己知数列｛法｝的前n项和为Sn,且满足Sn=20n-2f)+1.

(1)求□和Sn

2.已知数列｛a.｝的前n项和为Sc,且满足ai=-,以+2562=0("N2).

(1)问：数列J是否为等差数列？并证明你的结论；

⑵求Sc和On

3.己知数列如的前n项和为Sn,且扇=一一

2

(I)若数列｛。"+6是等比数列，求t的取值；

(2)求数列｛①｝的通项公式;

2

4.在①限7丁=痘+1,②V4a-1是2n+l与⑦的等比中项，③4Sn=(l+^)(an

>0)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.

问题：已知数列｛an｝的前n项和为S”，6=1,且满足，若bn=/.求使不

式bi+£)2+成立的最小正整数n.

5.设数列｛①｝的前。项和为S,已知01=1,Sn*i-25n=1,n£N,.

(1)证明：｛5-1｝为等比数列，求出｛①｝的通项公式；

6.在①4Sn+1,(2)3Sn=a^i-2,③35.=22桢+A(AGR)三个条件中选择符合

题意的一个条件，补充在下面问题中，并加以解答.

设等比数列｛an｝的前n项和为%,01=2,如与Sc满足,

(1)求数列｛a.｝的通项公式；

(2)记数列b户(匹+1)嬴+1),数列｛6｝的前n项和%,求证：鹏

数学培优微专题《裂项相消法求和》

1.已知数列｛2匹｝是等比数列，且6=3,。3=7

(1)证明：数列⑦等差数列，并求出其通项公式；

(2)求数列｛m，+]｝的前n项和S

OB-1)1

2.设数列｛an｝满足01+3a2+...+(2n-l)an=In.

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)求数列况%的前，项和.

氏+0

3.已知数列｛⑦的前0项和为5”，且的

(1)若数列｛必+6是等比数列，求t的取值；

(2)求数列｛5｝的通项公式；

11

⑶记bn=~一+——,求数列他/))的前。项和Tn.

ECH-I0003+1

4.已知数列｛4｝的前n项和为n,数列｛6｝满足bi=l,bn・i-b产①,nGN

0a-1

(I)求数列｛*,｛求｝的通项公式;

[320.、十n

(H)若数列｛Cn｝满足Cn=声川£N・，证明n：ci+C2+--•4

0+1

5.已知数列｛an｝的前〃项和为Sn,且01=-,Gn>l=-----On

20

(1)求｛an｝的通项公式;

,区3

⑵设Cn=日佃+,/1£A/*»Tn是数列｛Cn｝的前0项和，证明~Tn<1.

6.已知数列｛5｝的前。项和为Sn,且6=1,0^1=25n+1"£N+,数列仇满足61=1,

bn"=bn+Cln.

(1)求数列｛词和｛6｝的通项公式；

⑵若数列匕｝满足Cn=国为嬴且C1+C2+...+。之(2bn-1M+1对任意n£N.恒成立,实数

A的取值范围.

数学培优微专题《错位相减法求和》

1.已知数歹!]｛。”｝的前"项和为5c,且Sn=2/+〃，。£N•，数列｛6｝满足CM=4log2bc+3,"W*.

(I)求。八b/»；

(n)求数列｛⑦•6｝的前“项和Tn

2.已知等比数列｛an｝的前〃项和为Sn,满足53=14,且2(71,02,夕3依次构成等差数列.

⑴求数列｛an｝的通项公式；

(2)请从①bn=an+n；②bn=nan；③bn=—-----------这三个条件选择一个，求数列｛bn｝

loh2an・2og2an+i

的前n项和Tn.

3.已知｛an｝为等差数列，前.〃项和为Sn(n^N-),｛bn｝是首项2的等比数列，且公比大0,

bi+bi=12,bi=O-J-2ai,Sn=llbi.

(I)求｛an｝和｛bn｝的通项公式；

(II)求数列｛a2nb241｝的前n项和(nGN•).

4.已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且满足2Sn=3an-3.

(1)证明数列｛a.｝是等比数列；

13

⑵若数列｛bn｝满足bn=log3an,记数列｛嚣｝的前n项和为〃，证明丁47；〈二

534

5.已知数列｛an)的前n项和为Sn»且a^i-a«+2(nG/V*),as+a^=12,数列

比数列，且从=。2,b2=S3.

(I)求｛an｝和｛bn｝的通项公式；

(II)设a=(-1)%”.bn,求数列｛Cn)的前n项和Tn.

6.己知数列｛5｝满足01=2,an>i=2(Sn+n+1)(nGA/*)

(1)求证：On+1是等比数列；并写出｛⑦｝的通项公式

⑵求数列｛nan)的前n项和5n

数学培优微专题《数列中多规律求和》

0

1.已知数列｛an｝满足。1=1,=m+l［的+1'?警

lan+2,G3为偶数

(1)记bn=am,写出bi,bi,并求数列｛bn｝的通项公式；

⑵求｛an｝的前20项和.

2.已知等差数列｛an｝和等比数列｛bn｝满足s=5,bi=2,ai-2bi+1,as=bi+5.

(1)求｛an｝和｛bn｝的通项公式;

(2)数列｛an｝和｛bn｝中的所有项分别构成集合八、8,将集合4UB中的所有元素按从小

到大依次排列构成一个新数列｛cj,求数列｛Cn｝的前50项和Sso

3.已知数列｛a。｝的前n项和为£,且。八5”成等差数列，bn=2log2(l+a«)-1.

(1)证明数列｛必+1｝是等比数列，并求数列｛或｝的通项公式；

(2)若数列｛6｝中去掉数列｛m｝的项后余下的项按原顺序组成数列｛C.｝.求G+C2+TG00的值

4.己知数列｛⑦｝的前〃项和为S”,且满足01=1,25n=nanu,neN

(1)求｛如｝的通项公式；

(2)设数列｛6｝满足口=1,儿儿.1=2。5£花・，按照如下规律构造新数列a：6""辰,

求｛。｝的前2。项.

6.已知数列｛an｝是公差为2的等差数列，且ai,as+1,a^l成等比数列.数列｛6｝满

足：bl+bi+t•+bn=2n»l-2.

(I)求数列｛叫｛求｝的通项公式；

1［，0为奇数

(n＞令数列｛Cn)的前Tn项和为In,且Cn=1而7+2，若对"£N・，

——阿团为偶数

1bn

方启加恒成立，求正整数k的值.

数学培优微专题《数列的和与不等式》

1.已知数列｛%｝是公差为正的等差数列，6是2和03+1的等比中项，04=4.

(I)求｛m｝的通项公式；

(II)若d=2皿S是数列几｝的前n项和，求使得S<2020成立的最大整数n.

2.己知数列｛。小｛6｝满足：ai=3,当n>2时，an.i+an=4n；对于任意的正整数

bl+2^2+--+2n-lbn=nan.设｛bn｝的前n项和为Sn.

(1)求数列｛an｝及｛bn｝的通项公式；

⑵求满足13<Sn<14的n的集合.

3.已知正项数列｛a.｝的前n项和为5n,。椁2店・1.

(1)求6的值，并求数列｛5｝的通项5：

2n

(2)设bn=an+2期，数列｛bn｝的前n项和为养，求使不等式Tn<n+6x2-6成立的所正

整数〃的取值组成的集合.

4.已知数列｛g｝的前〃项和为4,且满足5n=2an-2n+l.

⑴求如和S；

n

⑵设数列｛5.｝的前，项和为Tn,若不等式Tn-f2>0对于，恒成立，求t的取值

范围.

5.已知等差数列｛5｝的前n项和为S,6=7,54=22,数列｛6｝是各项均为正数的等比数列,

bi=4,b3=64.

(/)求数列｛或｝和｛6｝的通项公式；

3o

(//)令Pn=------数列｛pcPc.2｝的前/?项和An,求证：An<~.

2+034

6.已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且ai=限an.

⑴求｛On｝的通项公式；

⑵设bn=n(2-Sn)tnG/V•,若力区入对•恒成立，求实数A的取值范围.

(3)设Cn=*,〃是数列｛Cn｝的前n项和，若不等式m^Tn<k对于任意的

03(0二+1)

•恒成立，求实数m的最大值与整数k的最小值

数学培优微专题《边角互化》

1.在AABC中，角A,8,C的对边分别为a,b,c,已知向量访=(cosA,cosB7»n=(a,2c-b),

且沅〃汇

⑴求角4的大小；

(2)若a=4,b=求A8c面积.

2.在①(a+c)(a-c)=b(b-c),@2sin^'Tsjn3=黑,③2bcosA=acosC+ccosA这三个条件

中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在ABC中，角48,C所对的边分别为a,

b,c,且.

(1)求角4的大小；

3.在①2acosC+c=2b,②cos2H-HcosBcosC=:,③(sin(3+sin0)2=sin2A+

3sinBsinC

这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在△A8c中，角48,C所

对的边分别为。，b，c,且.

⑴求角A的大小；

4.在①2a-b=2ccos8,(2)S=^a2+b2-c2),(3)3sin(4+8)=1+2sin21

这三个条件中任选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题。在MBC中，角4B,

C的对边分别为a,b,c,设hABC的面积为5,已知

⑴求角C的值；

⑵若b=4,点。在边AB上，CO为ZACB的平分线，ACD8的面积竽，求。的值。

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

5.在①-=c°..+i，②2bsiM=atan8,(3)(a-cJsinA+csin(A+B)=bsinB这三个条件中

av3sin0

任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别

是a,b,c,若.

⑴求角B；

(2)若。+。=4,求ABC周长的最小值，并求出此时48c的面积.注：如果选择多个条件

分别解答，按第一个解答计分.

sin闭

6.在①③2s=收或F这三个条件中

sin团―sin0

任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.在△ABC中，角48,C的对边分别

是0,

b,c,S为QABC的面积，若(填条件序号)

(1)求角C的大小；

数学培优微专题《知三解三角形》

1.已知AA8c中，tan4=-，tanfiAB=V17.求：

45

⑴角C的大小；

(2)AABC中最小边的边长.

2.在AABC中，a+b=ll,再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答

下列问题.⑴求a的值；⑵求sinC和△48C的面积.

条件①：c=7,cos4==；条件②：cos4=J,cos8=2

78lo

3.在①ac=g；②csinA=3；③c=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中,

若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在△48C,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin4=V3sinB,

=7，?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

4.在△ABC中，a,b,c分别为角4,8,C的对边，且△48C同时满足下列四个条件

中的三个：①a2+c2=垓-苧oc；②1+cosZA=2sin?*③a=V3：④b=2.

(1)满足AABC有解的序号组合有哪些？

(2)在(1)的组合中任选一组，求AABC的面积.

5.己知AABC中，7b<cos/4.

(1)求证：B是钝角；

⑵若AABC同时满足下列四个条件中的三个：①sinA=圣②"2迨。=V2；(4)sinC

=y.请指出这三个条件，说明理由，并求出b的值.

数学培优微专题《爪型三角形》

1.△ABC中，8c=2述，。为8c的中点，/82D=巳，4D=1,求AC

4

2.已知。是△A8C的边AC上的一点，△48。的面积是△BCD的面积的3倍,NABD=2NCBD

=2。

(1)若ZABC=3求注的值；

2sinH

⑵若BC=V2,48=3,求AC的长

3.如图，已知a,b,c分别为AABC二个内角48,C的对边，且acosC+V3asinC-b-

c=0.

⑴求角4

(2)若4。为8c边上的中线，cosB=AD=等,求△A8c的面积.

4.在AABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，2b2=(b2+c2-a2)(l-tanA).

(1)求角C的大小；

(2)若c=2g,D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度.

条件①：A48C的面积S=4且8>4

条件②：cos8=苧.

5.已知在M8C中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c且满足b=acosC+csinA.

⑴求A的大小；

⑵若cos8=1,BC=5,BD=之瓦5,求CD的长.

6.在①48=2西，②N458=135。，③N84。=NC这三个条件中任选一个，补充在下面

的问题中，使得问题成立，并求BD的长和AABC的面积.

如图，在△A8C中，。为8c边上一点，AD±AC,AD=BAC=等，,

求BD的长和△ABC的面积.

数学培优微专题《多边多角问题》

1.平面四边形ABCD中，边阳=8C=5,CD=8,对角线8。=7.

(1)求内角C的大小；

(2)若A,B,C,D四点共圆，求边AD的长.

2.如图，在△ABC中，点。在8c边上，N40C=60。，AB=2小,80=4.

(1)求△ABD的面积.

(2)若Z846=120°,求AC的长.

C

BD

3.已知RABC中，角48,C的对边分别为a,b,c,cosC="D是线段BC上的点,

coszADC=—.

io

(1)若b=5,a=7,求c的大小；

(2)若b=7,BD=1,求△ABC的面积.

4.△ABC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足(2b-V3c)cos^=V3acosC.

⑴求A的大小；

⑵如图，若A8=4,47=3,D为△A8C所在平面内一点，08_LAB,BC=CD,求△BCD

A

的面积

B

D

5.在梯形ABCD中，已知AD//BC,AD=lfBD=2A/10,NCA。=：,cosZACD=当,

⑴求CD的长;

⑵求△BCD的面积.

6.如图，在四边形ABCD中，cosZDAB=-,华=；,8D=4,AB±BC.

4AB3

(1)求sinzABD的值;

⑵若N8CD=N,求CD的长.

4

数学培优微专题《解三角形中的最值问题》

1.已知△48C的内角4B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(c+。，b),n=(c-a,b+

c)»且a=3,mA.n.

(1)求AABC面积的最大值；

⑵求b+c的取值范围.

2.在锐角AABC中，角48,C所对的边分别为a,b,c,已知2bsinBsinA-y/3a=0.

⑴求角B的大小；

⑵求cosA+cosB+cosC的取值范围.

0+0

3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin=bsinA.

(1)求B；

⑵若△48C为锐角三角形，且C=1,求△A8C面积的取值范围.

4.已知A48c中，内角A,B,C的对边分别为o,b,ctC=120°.

⑴若a=2b,求tanA的值；

⑵若NACB的平分线交AB于点D,且CD=1,求△A8C的面积的最小值

5.如图，在四边形ABCD中/。_LA8/68=60。/BCD=120。,AC=2.

(1)若ZABC=1S°,求DC.

(2)记NA8C=B,当a为何值时,△88的面积取得最小值？求出最小值.

6.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,NA8c=120°,BD是ZABC的

平分线，交AC于点D,且8。=1,求4a+c的最小值.

A

D

B

数学培优微专题《平行的证明》

1.已知正四棱柱48C0-A&GD1中，M是0。1的中点.

(I)求证：85〃平面AMC；

2.如图①，在直角梯形ABCD中，AB//CD,AB±AD,且AB=AD=^CD=1.现以AD为

一边向梯形外作正方形ADEF,然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面

ABCD垂直，M为ED的中点，如图②

0求证：AM//平面BEC；

3.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD上平面ABCD,AB//CD,/84)=60°,AB=AD=^CD

=2,E为棱PD上的一点，且DF=2£P=2.

⑴证明：PB〃平面AEC；

4.如图，AE±平面ABCD,CF展、ADAD±AB,48=40=1，AE=BC=2.

(1)求证：8以平面ADEi

5.如图，已知多面体EABCDF的底面是ABCD边长为2的正方形，EA±底面ABCD,FD

//EA,HFD=^EA=1.

(1)记线段BC的中点为K,在平面48CD内过点K作一条直线KM，使得KM〃平面

ECF,并给予证明

6.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA±底面ABCD,£、F分别是AB.

PD的中点.

⑴求证：4?/平面PCE

⑵过点F作四楂锥P-ABCD的一个截面，使得该截面与PB,CD都平行，请在四棱锥中

作出该截面，该截面是什么图形说明理由。

C

数学培优微专题《垂直的证明》

1.如图，在三棱锥P-ABC中，PA工AB,PA±BC,AB±BC,PA=AB=BC=2,D为线

段AC的中点，E为线段PC上一点.

⑴求证：PA±BD；

⑵求证：平面BDE±平面PAJ

⑶当P4〃平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积.

2.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAC1.平面ABCD,PA=PC,AB//CD,AB±AD,

且CD=240=448=4.

⑴求证：BD±PC；

I)

3.如图四面体ABCD中，AA8c是正三角形，AD=CD.

(1)i正明：ACA-BDz

B

4.如图，在长方体ABCD-AiBiCiDi48=40=1,AAi=2,点P为DDi的中点.

⑴求证：平面PAC±平面BDDi：

CB

5.如图，D为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，8c是底面的内接正三角形，P为。。

上一点，ZAPC=90°.

⑴证明：平面PAB±平面PAC；

⑵设。。=或，圆锥的侧面积为3n,求三棱锥P-ABC的体积.

6.如图1,四边形PBCD是等腰梯形，BC//PD,PB=BC=CD=2,PD=4,A为PD的中

点.将&ABP沿AB折起，如图2,点、M是棱PD上的点.

(1)若M为P。的中点，证明：平面PCD±平面ABM；

图।

图2

数学培优微专题《度量角度》

1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，平面PAD±平面A8c。，PA=PD,

E为棱AB的中点.

(1)证明：AC±PE.

⑵若PA=AD,ZBAD=60°,求二面角E-PC-B的余弦值.

2.如图，四棱锥P-48CD中，已知AB//DC,AB=AD=1,BD=V2,CD=2,PB=PC=PD=V6.

⑴证明：平面PAD±平面PCD.

(2)设平面PAD与平面PBC的交线为L,求直线I与平面PAB所成角的正弦值

I)(：

3.如图，在平行六面体ABCD-AiSiCiDi中，AAi±平面ABCD,且AB=AD=2,AAi=V3,

ZBAD=120°.

(1)求异面直线AiB与AG所成角的余弦值;

⑵求二面角B-AiD-A的正弦值

4.在三棱锥A-BCD中，已知CB=CD=遥，8。=2,。为BD的中点，A0±平面BCD,

40=2,E为AC中点.

(1)求直线AB与DE所成角的余弦值；

⑵若点F在8c上，满足BF=；8C,设二面角F-DE-C的大小为我求sin。的值

,目

5.如图⑴所示，在等腰直角三角形ABC中，Z4SC：=90°A8=8C=4,。，E分别为ABt

AC的中点，将△ADE沿DE折起，使4到达4(如图2),且满足48=2,M是AC的中点.

⑴求证：面A18D；

⑵求二面角M-BE-C的正弦值.

KBCBK「

(1)(2)

6.如图，四棱柱A8CD-48iGDi的底面ABCD为矩形，AD=2AB,M为BC中点，平面

AiDiDA_LABCD,AAi±AiD且AA=AiD.

(1)证明：ZBiAiD=90°.

(2)若此四棱柱的体积为2求二面角A-ArB-M的正弦值.

数学培优微传题《度量体积和距离》

1.如图，正方形48C0-A&GD1的棱长为2,E,F分别为48,AC的中点.

(1)证明：E27平面41GD；

⑵求三棱锥F-AiCiD的体积.

2.如图，已知多面体EABCDF的底面是488边长为2的正方形,E4_L底面ABCD,FD//EA,

且FD=共八=1

(1)求点B到平面ECF的距离.

3.已知如图，在正三棱柱48C-481cl中，D为棱AC的中点，43=44=2.

(1)求证：直线48〃平面BCQ：

(2)求点&到平面BDCi的距离

4.如图，在四面体ABCD中，BA=BCtZBAD=ZBCD=90°.

⑵若ZABD=60°,BA=2,四面体ABCD的休积为2,求二面角B-AC-D的余弦值.

5.如图，在正三棱柱A8C-481G中，44=2,28=1,N是CG的中点.

(1)求证：平面AA/fii±平面4A8出；

⑵求三棱锥Bi-ANB的高.

6.如图，四棱锥P-A8co中，底面A8CD是边长为2的正方形，平面PAC_L平面A8CD,且AC±PB.

⑴若二面角A-PC-B的余弦值为孚，求。到平面PBC的距离.

数学培优微专题《探索点的位置及边长的大小》

1.如图，直角梯形48CD中，AD/7BC,AB±BC,48=8C=2,AD>BC,矩形ACEF_L平面

ABCD,CE=2.

⑴证明：平面BCF1.平面ADE；

⑵若二面角A-DE-C等于60%求AD的长.

2.如图，在四棱锥5-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面S3C±底面ABCD.已

知NA8C=45°,AB=2,8c=2a,SC=SB=V5.

(2)在线段AB上是否存在一点P,使5PJL5C?若存在，请求出AP的长：若不存在，清

说明理由.

3.如图1,在边长为2的菱形ABCD中，ZBAD=60°,DE±AB于点E,将△ADE沿DE

折起到A4DE的位置，使AiD,LBE,如图2.

(3)在线段BD上是否存在点P,使平面4EP_L平面48D?若存在，求案的值：若不存

DU

在，说明理由.

图1图2

4.如图，AE±平面ABCD,CF//AE,AD//BC,AD±AB,AB=AD=1,AE=BC=2.

(1)若二面角E-BD-F的余弦值为以求线段CF的长.

5.已知在六面体PABCDE中，P4J.平面ABCD,E。JL平面4BCD,且PA=2ED,

底面ABCD为菱形，且N48c=60。.

⑴求证：平面PAC±平面PBD：

(2)若直线PC与平面ABCD所成角为45。，试问：在线段PE上是否存在点M,使二面

角P-AC-M为60°?若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由.

6.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD±底面ABCD,AB//CD,AB=2,8=3,

M为PC上一点，且PM=2MC.

(1)求证：8M〃平面PAD；

⑵若PD=3zZBAD=”三棱锥P-ADM的体积为3,求AD的长

数学培优微专题《求标准方程》

1.已知椭圆c：g=l(a>b>0)的离心率为争两焦点与短轴的一个端点的

连线构成的三角形面积为近.

(I)求椭圆C的方程；

2.已知椭圆C:W=l(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi,F2,点P(2,近)在椭

圆C上，且满足007•02=新.

⑴求椭圆C的标准方程；

3.已知椭圆C：《+'=l(o>^>0)的离心率为-,以原点。为圆心，椭圆的短半轴

长为半径的圆与直线x-y+V6=0相切.

(1)求椭圆C的标准方程

4.已知椭圆C：4+77=l(a>h>0)离心率为终.四个顶点围成的四边形的内切

圆半径为V.

2

⑴求椭圆C的标准方程；

+

5.已知椭圆C:477=l(a>b>0)的离心率为f,椭圆C和抛物线y?=x交于

M,N两点，且直线MN恰好通过椭圆C的右焦点.

⑴求椭圆C的标准方程；

y>2丫2、反

6.已知双曲线巳-l(a>0,6>0)的一条渐近线方程为y=3，点(2但1)在

a，3

双曲线上，抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线的右焦点重合.

(1)求双曲线和抛物线的标准方程；

数学培优微专题《建设限代化处理轨迹方程》

1.在平面直角坐标系中，若d=(x+V3,y),b=(x-V3,y),且|a|+|b|=4.

⑴求动点M(xfy)的轨迹C的方程；

2.已知在平面直角坐标系中，圆4:Q4y2+2V7x-57=0的圆心为4过点8(77,0)

任作直线L交圆A于点C、D,过点B作与AD平行的直线交4C于点E.

⑴求动点E的轨迹方程；

1

3.点M(x,y)与定点F(l,0)的距离和它到直线x=4的距离的比是常数-.

⑴求点M的轨迹C的方程；

4.已知动点P到点A(-2,0)与点8(2,0)的斜率之积为-；，点P的轨迹为曲线C.

4

(1)求曲线C的方程；

4.已知圆F1：(04-1)2+、2可2与圆p2.(0_i)2+y2=(4-团)20<r<4的公共

点的

轨迹为曲线E,且曲线E与v轴的正半轴相交于点M.若曲线E上相异的两点4B

满足直线MA,MB的斜率之积为工.

4

⑴求曲线E的方程;

6.已知动圆P与圆M：(团+2)2+y2=64相内切，且与圆/V：(0-2)2+y2=4相

内切，记圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

7.己知点Fi(-l,O),同F2：(0-1)2+y2=8,点Q是圆F2上一动点，线段FiQ的中垂

线与线段FzQ交于点P.

⑴求动点P的轨迹E的方程；

8.已知动圆P过点12(2,0)并且与圆Fi：(0+2)2+y2=4相外切，动圆圆心P的轨迹为

C.

⑴求曲线C的轨迹方程:

9.已知动圆£过定点且在x轴上截得的弦长为4,设该动圆圆心的轨迹为曲C。

(1)求曲线C的方程；

10.在圆x2+y2=3上任取一动点P,过P作x轴的垂线而，D为垂足，PD=V3MD,

动M的轨迹为曲线C.

(I)求C的方程及其离心率；

数学培优微专题《圆锥曲线中的三定问题》

1.已知椭圆C~+77=l(a>fe>0)的离心率为半，以M(1,O)为圆心，椭圆的短半

轴长为半径的圆与直线x-y+V2-1=0相切.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知点N(3t2),过点M任作直线/与椭圆C相交于A,B两点：设直线AN,BN

的斜率分别为A】，七求证：的+%为定值•

2.已知F(3,0)是椭圆C：4+