甘肃省武威八中2024年高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

甘肃省武威八中2024年高三第二次诊断性检测数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将木试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

/\r10"

1.已知函数/(x)=4sin2x--,XG0,—H,若函数/。)=/(x)-3的所有零点依次记为彳有刍，…，与，且

)

<x2<xy<...<,贝！|%+2X2+24+...+2工“_]+xn=

50)100乃

B.21万D.42万

3

2.某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)440,60),[60,80),[80,100],

若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是()

3.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，q=l,生=2且对于任意满足5〃+]+£1=2(5〃+1),则()

A./=7B.$6=240C.q°=19D.Szo=381

4.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”产礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是

体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数力数学,某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排

六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排

课顺序共有()种.

A.408B.120C.156D.240

5.已知圆G：3-1)2+()，+1)2=1,圆g：*-4)2+()，—5)2=9,点M、N分别是圆圆g上的动点，p

为X轴上的动点，贝|J|8V|一|尸M的最大值是（）

A.26+4B.9C.7D.275+2

6.数列M”｝的通项公式为%二|〃—d（〃eN"）,贝代c<2”是“｛可｝为递增数歹!）”的（）条件.

A.必要而不充分B.充要C.充分而不必要D,即不充分也不必要

7.已知点A（%,y）,8（9,%）是函数/（x）=a&+法2的函数图像上的任意两点，且y=在点

（笠处的切线与直线48平行，贝lj（）

A.。=0,b为任意非零实数B.b=0,。为任意非零实数

C.。、b均为任意实数D.不存在满足条件的实数。，b

8.已知边长为4的菱形A3CQ,ZZMB=60°,M为CD的中点，N为平面ABCD内一点,若AN=NM,则

AM•AN=（）

A.16B.14C.12D.8

9.一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为"的正方形及正方形内一段圆弧组成,

则这个几何体的表面积是（）

10.在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工

作，则不同的选法共有（）

A.6。种B.70种C.75种D.150种

11.函数y=的部分图象如图所示，贝ij（0A+03）-A8=（）

4x

A.6B.5C.4I).3

12.抛物线)，2=2后(〃>0)的准线与工轴的交点为点。，过点。作直线/与抛物线交于4、B两点,使得A是BC的

中点，如直线/的斜率为()

।2

A.±-B.±-l—C.±1D.±73

33

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在，ABC中，角4,B,C的对边分别为b,c.若cos3+Jisin3—2=0;且〃=1,则周长的

范围为__________•

14.已知双曲线二-£=1(〃>0⑦>0)的渐近线与准线的一个交点坐标为(1,6),则双曲线的焦距为____.

a~b~

15.如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为/?的水，再放入一个半径为1的不锈钢制的实心半球后,

半球的大圆面、水面均与容器口相平，则〃的值为.

16.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/

盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付工

元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.

①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则，的最大值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)选修4・2：矩阵与变换(本小题满分10分)

akk

已知矩阵人=(导0)的一个特征向量为a=,

01—I

A的逆矩阵A-।对应的变换将点(3,1)变为点(1,1).求实数a,k的道.

18.(12分)在边长为的正方形力8cO,E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AA。尸的中点，现

沿A从A”、"折叠，使从C\。三点重合，构成一个三棱锥.

1、c

【解析】

7r万/13

兀的对称轴，由三角函数的对称性可得

^-2x--^=—+k7r^keZ)f求出在0,-^-

兀c5兀c

N+无，=-x2,x,+x=—x2,...,x_+x„=2,将式子相加并整理即可求得占+2々+2占+-+2茗1+%的

363n16

值.

【详解】

令2工-7=]+%乃(AeZ),得x=gAjT+](%£Z),即对称轴为工=兀+](AwZ).

函数周期丁=万，令3%兀+]=々兀，可得%二8.则函数在0,1y37l上有8条对称轴.

3

根据正弦函数的性质可知玉+%=£x2,羽+为二.'2,...,七1+%也2,

366

2兀5兀8兀23吟r兀(2+23)x8_100大

将以上各式相加得：2x_,

Xj+2X2+2X3+...+fl+x„=+-----x2=—X——

6666)323

故选:C.

【点睛】

本题考查了三角函数的对称性，考查了三角函数的周期性，考查了等差数列求和.本题的难点是将所求的式子拆分为

*//+乙++%+…+Xn-l+Z的形式.

2、D

【解析】

频数

根据频率分布直方图中频率=小矩形的高x组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量二方求出班级人数.

频率

【详解】

根据频率分布直方图，得：低于60分的频率是（0.005+0.010）x20=0.30,

1Q

・,•样本容量（即该班的学生人数）是高二60（人）.

故选：D.

【点睛】

本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率二*频u数的应用问题，属于基础题

样本谷量

3、D

【解析】

利用数死的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可.

【详解】

当儿.2时，+S.T=2⑸+1）ns-Z+2=＞4a2.

n=

所以数列&｝从第2项起为等差数列，an=rl.，

2〃一2,.2

所以，4=6,《0=18.

S,=q+（%+'4）（〃_D=〃5_l）+l,$6=16X15+1=241,

$0=20x19+1=381.

故选：

【点睛】

本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

4、A

【解析】

利用间接法求解，首先对6门课程全排列，减去“乐”排在第一节的情况，再减去“射”和“御”两门课程相邻的情况，最

后还需加上“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻的情况；

【详解】

解：根据题意，首先不做任何考虑直接全排列则有＜=720（种），

当“乐”排在第一节有封=120（种），

当“射”和“御”两门课程相邻时有用＜=240（种），

当“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻时有用A：=48（种），

则满足“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻的排法有720-120-24（）+48=408（种），

故选：4.

【点睛】

本题考查排列、组合的应用，注意“乐”的排列对“射”和“御”两门课程相邻的影响，属于中档题.

5、B

【解析】

试题分析：圆^：（工-1『+（），+1『二1的圆心石（1，一1）,半径为1,圆。2：（工-4『+（丁-5『=9的圆心厂（4,5）,半径

是3.要使|/W|T尸M最大，需|尸N|最大，且归M最小，俨M最大值为卢尸|+3,|尸M的最小值为|产耳一1,故

|尸'|一|加|最大值是（|尸耳+3）—（归£|—1）=|户目一归国+4/（4,5）关于工轴的对称点尸（4,-5）,

|PF|-1PE\=|PFf\-1PE|<|EF'\=7（4-I）2+（-5+1）2=5,故归百一归目+4的最大值为5+4=9,故选B.

考点：圆与圆的位置关系及其判定.

【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使归训-|加|最大，需|PN|最大，且归根最小，|「照最大值

为|P可+3,|PM|的最小值为户目—建故最大值是（|叩+3）-（归同一1）=|尸同一|尸耳+4,再利用对称

性，求出所求式子的最大值.

6、A

【解析】

根据递增数列的特点可知见解得cv〃+g,由此得到若｛4｝是递增数列，则eV,，根据推出关系可确

定结果.

【详解】

若“｛q｝是递增数列”，则4出一4=卜+1-4一|〃-d>o,

即（〃+1-C）2>（〃一，化简得：

133

又〃EN'，•••〃+二之二，,»

222

则c<2$｛4｝是递增数列，｛4｝是递增数列=cv2,

"c<2”是“｛an｝为递增数列”的必要不充分条件.

故选：4

【点睛】

本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.

7、A

【解析】

求得/（力的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化简可得。=0,〃为任意非零实数.

【详解】

y=/（A）在点（五白,/f上9]]处的切线与直线AB平行，即有

依题意/‘（X）=+2bx

2GI2\2））

+bx\--bx；

---."+Z?(%+X2)=

2,空

所以屈（x+/］不五由于对任意区,看上式都成立，可得。=（），〃为非

出一3

零实数.

故选：A

【点睛】

本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力，属于中档题.

8、B

【解析】

取AM中点。，可确定AM•ON=0；根据平面向量线性运算和数量积的运算法则可求得AM2,利用

AM•AN=AM•（A。+ON）可求得结果.

【详解】

取AM中点。，连接OV,

AN=NM,ON±AM,即AMON=(h

•rZDAB=60，ZADM=12(),

/.AM2=（DM-DA）2=DM2+DA2-21DM|•|DA|cosZADA/=4+16+8=28,

则AM•AN=AM•(AO+ON)=AM-AO+AMON=-AM2=14.

2

故选：B.

【点睛】

本题考查平面向量数量积的求解问题，涉及到平面向量的线性运算，关键是能够将所求向量进行拆解，进而利用平面

向量数量积的运算性质进行求解.

9、C

【解析】

画出直观图，由球的表面积公式求解即可

【详解】

这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉!个球而形成的，所以它的表面积为

O

S=3a?+3/一空-+1x4〃。?=6--a2.

Ia8I4）

故选：C

【点睛】

本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力.

10、C

【解析】

根据题意，分别计算“从6名男干部中选出2名男干部”和“从5名女干部中选出1名女干部”的取法数，由分步计数原

理计算可得答案.

【详解】

解：根据题意，从6名男干部中选出2名男干部，有=15种取法,

从5名女干部中选出1名女干部，有C；=5种取法，

则有15x5=75种不同的选法；

故选：C.

【点睛】

本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理问题，属于基础题.

11、A

【解析】

根据正切函数的图象求出A、8两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果.

【详解】

由图象得，令y=lan（1一1）=0,即；工一］=〃冗，keZ

攵=0时解得x=2,

令)，=tan卜1,即工x—g=£,解得产3,

(42J424

，A(2,O)0(3,1),

・・・OA=(2,0),OB=(3,1),48=(1,1),

・・・(OA+O孙43=(5,1)(1,1)=5+1=6.

故选：4

【点睛】

本题考查正切函数的图象，平面向量数量积的运算，属于综合题，但是难度不大，解题关键是利用国象与正切函数图

象求出坐标，再根据向量数量积的坐标运算可得结果，属于简单题.

12、B

【解析】

设点4(%yj、3(%％)，设直线A6的方程为“=〃?)」三，由题意得出必=与，将直线/的方程与抛物线的方

程联立，列出韦达定理，结合y=/可求得〃?的值，由此可得出直线/的斜率.

【详解】

由题意可知点C1一多0),设点A(XQJ、*玉,％)，设直线的方程为尤=，〃》，—],

由于点4是8。的中点，则y=方，

x=rny——

将直线/的方程与抛物线的方程联立得.-2,整理得y2—2〃w)，+p2=0,

V=2px

2

由韦达定理得>1+必=3))=2mp,得y=2T,y]y2=2y；="=p,解得m=±±叵，

因此，直线/的斜率为_L=±42.

m3

故选：B.

【点睛】

本题考查直线斜率的求解，考查直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属

于中等题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、(2,3]

【解析】

先求A角，再用余弦定理找到边小。的关系，再用基本不等式求a+c•的范围即可.

【详解】

解：cosB+>/3sin^-2=0

2sin(B+r)=2,sin(B+3)=l,B=q

b1=a2+c2-laccos—

3

r=Q-+(r-2accos—

3

/\2[〃十C

[a+c)-1=o3ac<3A-----

l<a+c<2

所以三角形周长。+c+〃w(2,3]

故答案为：(2,3]

【点睛】

考查正余弦定理、基本不等式的应用以及三条线段构成三角形的条件；基础题.

14、1

【解析】

由双曲线叱。…)的渐近线.展1’以及求得,的值即可得答案.

【详解】

由于双曲线=-与=1(4>0力>0)的渐近线与准线的一个交点坐标为(1,6),

crZr

2

所以X=2=l，即C=〃2①，

C

把(1,6)代入y=得6=2,即〃=6〃②

aa

又。2+加=/③

联立①②③，得。=2.

所以2。=4.

故答案是：1.

【点睛】

本题考查双曲线的性质，注意题目“双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为(1,6)”这一条件的运用，另外注意题目

中要求的焦距即2c,容易只计算到就得到结论.

15、啦

【解析】

由已知可得到圆锥的底面半径，再由圆锥的体积等于半球的体积与水的体积之和即可建立方程.

【详解】

设圆锥的底面半径为，体积为V,半球的体积为匕，水(小圆锥)的体积为匕，如图

则OA=，;OC=1,O8=2,BE=〃，所以2xr=V7+4xH解得,=4，

2

所以V=1%/x2=3■4，V.=—7i,K=-^-x(—)xh=-7rh^f

39,3-329

©91

由旷=丫+匕，得乃+§M?3,解得力=蚯.

故答案为：啦

【点睛】

本题考查圆锥的体积、球的体积的计算，考查学生空间想象能力与计算能力，是一道中档题.

16、130.15.

【解析】

由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得工的最大值.

【详解】

⑴x=l(),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付(60+80)-10=130元.

⑵设顾客一次购买水果的促销前总价为)'元，

)，＜120元时，李明得到的金额为yx80%，符合要求.

)，N120元时，有(.y—x)x80%2)，x70%恒成立，即8(yr)之工即=15元.

8I；Zmin

所以工的最大值为15.

【点睛】

本题主要考查不等式的概念与性质、数学的应用意识、数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情

境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

kak-k=Ak

17、解：设特征向量为对应的特征值为入，则即《

2=1

因为k#0,所以a=2.5分

因为A-；=；,所以A1]=[3

即1_|一[1

()1

所以2+k=3,解得k=2.综上，a=2,k=2.20分

【解析】

试题分析：由特征向量求矩阵A,由逆矩阵求k

考点：特征向量，逆矩阵

点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵.

27

18、(1)平行，证明见解析；(2)—.

4

【解析】

(1)由题意及图形的翻折规律可知A/N应是A4Ab的一条中位线，利用线面平行的判定定理即可求证；

(2)利月条件及线面垂直的判定定理可知48_LBE,ABA.BF,则平面AE/L在利用锥体的体积公式即可.

【详解】

(1)证明：因翻折后〃、C、。重合,

・•・MN应是AA6尸的一条中位线，

:.MN//AF,

•；MNq平面AEF,A尸u平面4所,

:.MNII平面AEF；

(2)解：•・•/WJLBE,AB工BF,

・•・AB上面BEF

且A8=6,8七=8卜=3,

・•・V・A-BEF=9)，

V,VE-AFMN_SAFMN_3

又干一■s-

YE-ABF°M8F一

_27

…VE-AFMN~・

【点睛】

本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理及锥体的体积公式，属于基础题.

2

19、(1)x=y+71+/-(2)&ABF的周长为2/(+2〃?一1+2mdm+—1，6=2时，，/的周长为

11+477

【解析】

(1)设/的方程为1=心，+〃7,根据题意由点到直线的距离公式可得再h=L将直线方程与抛物线方程联立可得

)，2-26-2〃?=0,设A、8坐标分别是(斗,凶)、5,为)，利用韦达定理以及中点坐标公式消参即可求解.

(2)根据抛物线的定义可得|Ab|+|B/匕〃+$+%，由(1)可得|Ab|+|B"|=2加2+2加-1,再利用弦长公

式即可求解.

【详解】

(1)设/的设程为“=切十加

于是=\=>k2=m2-1

x=ky+m,

联立=>y~—2ky-2m=0

/7=2x-

设A、4坐标分别是（%,»）、（W，？2）

则口

Xi+x2=2k~+2m

设43的中点坐标为（KV）,则

x=k2+m=m2-}+m

♦

y=k=±Vm2-1

22

消去参数利得：X=y+y]\+y

（2）设8（%,%），由抛物线定义知

\AF\=x.+^f\BF\=x2+^fp=\

/.IAF14-1BF|=p+^+x2

由（1）知％+超=2二+2"?=2（〃一1）+2〃，

：.\AF\^-\BF|=2m2+2m

IAB|=C+（七-%y=J（l+二）（乂-必）、

=\（1+1）［5+丁2）2_今跖］

22

乂+必=2攵，y］•y2=-2m,k=m-}

|AB|=（4〃『+8〃L4）=+2m-i

ABF的周长为2m2+2m-1+2m\lm2+2m-\

〃z=2时，.AW7的周长为11+4不

【点睛】

本题考查了动点的轨迹方程、直线与抛物线的位置关系、抛物线的定义、弦长公式，考查了计算能力，属于中档题.

20、（1）不在，证明见详解；（2）病+1

8

【解析】

（D假设直线方程>，=区+〃，并于抛物线方程联立，结合韦达定理，计算必.尸3=7,可得〃=-1,然后验证可

得结果.

（2）分别计算线段PAP4中垂线的方程，然后联立，根据（D的条件可得点M的轨迹方程），=2f,然后可得焦

点,F,结合抛物线定义可得|MN|-日+：,计算可得结果.

O

【详解】

（1）设直线方程、=丘+〃，4（冷/）,3（々,%）

根据题意可知直线斜率一定存在，P（0,-3）

y=kx+b

贝卜|,=>x2-4H-4（3+/?）=0

y=—A--3

L4

毛毛=-4(3+Z?),X]+x2=4k

△二T『+16/2+48

PA=(xi,yl+3),尸8=(/,%+3)

则%•尸3=百占+()1+3)()，2+3)

PAPB=x,x2+y\y2+3{yx+y2)+9

22

y\y2=(br,+b)(kx2=kxlx2-^-kb(<xl+x2)+/7

X+y2=kx]+b+kx2+b=k(%+毛)+2〃

%.08=(公+1卜d2+(3Z+的)(M+々)+〃2+6〃+9

由PAPB=-4

2

所以(公+1)%/+(3Z+必)(x+x2)+Z?+6〃+9=-4

将AZ=T(3+〃),5+x2=4k代入上式

化简可得〃2+〃?+1=。，所以人=一1

则直线方程为)，=6-1,

所以直线过定点(0,-1),A=(^)2+16/7+48>0

所以可知点0(0,1)不在直线上.

(2)设Af(xw,yM)

线段"的中点为

Iz乙)

(％y-3^

Uk2i

线段总的中点为。

v+3

则直线PA的斜率为女「人=二二

直线总的斜率为即8=9

x.

可知线段PA的中垂线的方程为y-匕i

2J

I4v2

由）,卓-3,所以上式化简为尸尸十,1

4x2

即线段PA的中垂线的方程为），=--rX+U--1

%8

同理可得:

4r2

线段心的中垂线的方程为），二一三X十看一।

）——1一，（N+%）

88~32

则=■

尸-2"立_X12+x；+xx-8

1x2

X2832

由（1）可知：%+毛=44,与工2=T（3+3=-8

（X[+X,）

所以

X[+x^~+X|X-）—8加=2K

32

即M（仁2巧，所以点〃轨迹方程为），=2/

焦点为

1

+-

I8）8

当M,N,/三点共线时，|MN|-d有最大

1=V65-H

所以|MN|_d=|MN|-阿尸|+-<|NF|

88-F

【点睛】

本题考查直线于抛物线的综合应用，第（1）问中难点在于计算处〃，第（2）问中关键在于得到点M的轨迹方程，直

线与圆锥曲线的综合常常要联立方程，结合韦达定理，属难题.

113

21、（1）-（2）见解析，一

88

【解析】

（1）根据题意设出事件，列出概率，运用公式求解；（2）由题得，X的所有可能取值为01,2,根据（1）和变量对应

的事件，可得变量对应的概率，即可得分布列和期望值.

【详解】

（1）记2家小店分别为A,5,A店有i人休假记为事件4（z=0,1,2）,5店有i人，休假记为事件g（i=0,

1,2）,发生调剂现象的概率为尸.

则P（4）=尸

『(A)=夕(BJ=G3

P(4)=P(")=C；(；

、七)4

所以尸=尸（4&）+/（&稣）=%卜3；="

答：发生调剂现象的概率为之.

O

（2）依题意，X的所有可能取值为0,1,2.

则P（X=0）=P（A/2）=；X；=4，

尸(X=I)=P(ABJ+P(44)