第23章图形的相似23.3　相似三角形 2.相似三角形的判定 教学设计2024-2025学年华东师大版数学九年级上学期

第23章图形的相似23.3相似三角形2.相似三角形的判定教学设计2024-2025学年华东师大版数学九年级上学期学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容教材章节：华东师大版数学九年级上学期第23章图形的相似23.3相似三角形2.相似三角形的判定

内容：本节课将学习相似三角形的判定方法，包括AAA、SAS、SSS、AAS、HL五种判定定理，通过实际操作和举例讲解，让学生掌握相似三角形的判定方法，并能够灵活运用到实际问题中。核心素养目标培养学生逻辑推理能力，通过探究相似三角形的判定方法，提升学生运用数学语言表达数学思维的能力。同时，发展学生的空间观念，增强学生对几何图形关系的直观感知和抽象思维能力，提高学生解决实际问题的能力。学习者分析1.学生已经掌握的相关知识：在进入本节课之前，学生已经学习了三角形的基本性质、全等三角形的判定和性质，以及相似三角形的初步概念。他们对三角形的边角关系、角度和边长比例有一定的理解。

2.学习兴趣、能力和学习风格：九年级学生对几何图形具有较强的兴趣，他们喜欢通过直观图形来理解抽象概念。学生们的数学能力参差不齐，部分学生具备较强的逻辑推理能力，能够快速掌握新的判定方法；而部分学生可能在理解几何关系和推导过程中遇到困难。学习风格上，有的学生偏好通过观察和实验来学习，有的则更倾向于通过逻辑推理和公式推导来学习。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在理解相似三角形的判定方法时，学生可能会遇到以下困难：一是对相似三角形定义的理解不够深入，导致无法准确判断两个三角形是否相似；二是对于不同判定定理的应用不够熟练，容易混淆各种判定条件；三是将相似三角形的判定方法应用于解决实际问题时的能力不足。此外，学生可能在空间想象能力和逻辑推理能力上存在差异，这些都会影响他们对相似三角形判定方法的掌握和应用。教学资源-软硬件资源：多媒体教学设备（投影仪、计算机）、三角板、直尺、量角器等教具。

-课程平台：学校网络教学平台，用于上传教学课件、作业和互动讨论。

-信息化资源：在线几何图形软件，如GeoGebra，用于动态展示相似三角形的性质和判定。

-教学手段：实物教具演示、多媒体课件展示、小组讨论、课堂练习等。教学过程设计一、导入环节（5分钟）

1.情境创设：展示一组生活中常见的相似图形，如建筑物的立面图、地图上的比例尺等，引导学生观察并提问：“你们能找出这些图形之间的相似之处吗？”

2.提出问题：引导学生思考相似图形的判定方法，提出问题：“如何判断两个三角形是否相似？”

3.学生回答：邀请学生回答问题，并简要总结已有知识。

二、讲授新课（20分钟）

1.相似三角形的定义：讲解相似三角形的定义，强调三角形对应角相等、对应边成比例的性质。

2.相似三角形的判定定理：介绍AAA、SAS、SSS、AAS、HL五种判定定理，结合图形进行讲解。

-AAA判定定理：讲解AAA判定定理，通过举例说明如何判断两个三角形是否相似。

-SAS判定定理：讲解SAS判定定理，通过几何图形和公式推导，让学生理解定理的成立条件。

-SSS判定定理：讲解SSS判定定理，通过举例说明如何判断两个三角形是否相似。

-AAS判定定理：讲解AAS判定定理，通过几何图形和公式推导，让学生理解定理的成立条件。

-HL判定定理：讲解HL判定定理，通过几何图形和公式推导，让学生理解定理的成立条件。

3.案例分析：选取生活中的实例，引导学生运用相似三角形的判定定理解决问题。

三、巩固练习（15分钟）

1.课堂练习：布置课堂练习题，让学生运用所学知识判断两个三角形是否相似。

2.小组讨论：将学生分成小组，让他们讨论如何运用相似三角形的判定定理解决实际问题。

3.学生展示：邀请小组代表展示解题过程，全班共同讨论和评价。

四、课堂提问（5分钟）

1.提问环节：教师针对课堂练习和案例分析环节，提问学生关于相似三角形判定定理的理解和应用。

2.学生回答：邀请学生回答问题，并给予点评和指导。

五、师生互动环节（5分钟）

1.教师提问：教师针对课堂内容提出问题，引导学生思考并回答。

2.学生提问：学生就课堂内容提出疑问，教师给予解答和指导。

六、核心素养能力的拓展要求（5分钟）

1.空间观念：引导学生观察生活中的相似图形，培养他们的空间观念。

2.逻辑推理：通过相似三角形的判定定理，培养学生的逻辑推理能力。

3.解决问题：让学生运用所学知识解决实际问题，提高他们的解决问题的能力。

七、总结与布置作业（5分钟）

1.总结：教师对本节课的内容进行总结，强调相似三角形的判定定理的重要性。

2.布置作业：布置课后作业，让学生巩固所学知识。

教学时间总计：45分钟教学资源拓展1.拓展资源：

-相似三角形的实际应用：介绍相似三角形在工程、建筑、物理、天文学等领域的应用，如建筑设计中的比例尺应用、摄影中的透视效果等。

-几何图形的相似性：探讨不同几何图形（如平行四边形、矩形、正方形、圆等）的相似性，以及它们与三角形相似性的关系。

-相似三角形的证明方法：介绍除了课本中的判定定理外，还可以通过构造辅助线、使用三角函数等方法来证明三角形相似。

-几何软件的使用：介绍如何利用几何软件（如Geometer'sSketchpad、GeoGebra等）来探索和验证相似三角形的性质。

2.拓展建议：

-学生可以查阅相关书籍或资料，了解相似三角形在现实世界中的应用案例。

-鼓励学生尝试自己设计实验或问题，利用相似三角形的性质来解决实际问题。

-组织学生进行小组合作，共同研究相似三角形的证明方法，比较不同方法的优缺点。

-利用几何软件，让学生动手操作，探索相似三角形的性质，如角度、边长比例等，加深对概念的理解。

-安排学生进行课堂展示，分享他们发现的相似三角形性质和证明方法，促进学生的交流与学习。

-提供一些开放性问题，如“在给定条件下，如何构造一个相似三角形？”或“如何证明两个三角形相似，但边长和角度不完全相同？”等，激发学生的创造力和逻辑思维能力。

-引导学生思考相似三角形与全等三角形的关系，以及它们在几何证明中的不同作用。

-通过网络资源或图书馆，为学生提供更多关于几何图形相似性的研究论文或报告，以拓宽他们的知识面。

-在课后作业中，设计一些综合性较强的题目，要求学生综合运用相似三角形的判定定理和性质来解决实际问题。典型例题讲解例题1：

已知三角形ABC中，∠A=45°，∠B=60°，AB=8cm，求BC的长度。

解：由三角形内角和定理知，∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-60°=75°。

在三角形ABC中，由正弦定理得，AB/sinC=BC/sinA。

代入已知数值，得8/sin75°=BC/sin45°。

解得BC=8*sin45°/sin75°≈5.66cm。

例题2：

在三角形ABC中，∠A=30°，∠B=90°，AB=6cm，AC=8cm，求BC的长度。

解：由勾股定理得，BC=√(AC^2-AB^2)=√(8^2-6^2)=√(64-36)=√28=2√7cm。

例题3：

在三角形ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AD是BC边上的高，AD=4cm，AB=6cm，求BC的长度。

解：由直角三角形的性质知，∠C=60°。

在直角三角形ABD中，由正弦定理得，AD/sinB=AB/sinA。

代入已知数值，得4/sin30°=6/sin90°。

解得AB=6*sin90°/sin30°=6*2=12cm。

在直角三角形ABC中，由勾股定理得，BC=√(AB^2+AC^2)=√(12^2+4^2)=√(144+16)=√160=4√10cm。

例题4：

在三角形ABC中，∠A=45°，∠B=45°，AB=10cm，求AC的长度。

解：由三角形内角和定理知，∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-45°=90°。

在直角三角形ABC中，由勾股定理得，AC=√(AB^2+BC^2)。

由于∠A=∠B，所以三角形ABC是等腰直角三角形，AB=BC。

因此，AC=√(10^2+10^2)=√(100+100)=√200=10√2cm。

例题5：

在三角形ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AB=8cm，求CD的长度，其中D是BC边上的高。

解：由直角三角形的性质知，∠C=60°。

在直角三角形ABD中，由正弦定理得，AD/sinB=AB/sinA。

代入已知数值，得AD/sin30°=8/sin90°。

解得AD=8*sin90°/sin30°=8*2=16cm。

在直角三角形ACD中，由勾股定理得，CD=√(AC^2-AD^2)。

由于∠B=30°，所以AC=2*AD=2*16cm=32cm。

因此，CD=√(32^2-16^2)=√(1024-256)=√768=16√3cm。板书设计①本文重点知识点：

-相似三角形的定义

-相似三角形的判定定理（AAA、SAS、SSS、AAS、HL）

-正弦定理和余弦定理的应用

②关键词句：

-对应角相等，对应边成比例

-AAA判定定理：两个三角形两个角对应相等，则第三个角也相等，且对应边成比例

-SAS判定定理：两个三角形两边对应成比例，夹角相等，则两个三角形相似

-SSS判定定理：两个三角形三边对应成比例，则两个三角形相似

-AAS判定定理：两个三角形两个角对应相等，且其中一个角的对边与另一个角的对边成比例，则两个三角形相似

-HL判定定理：两个直角三角形斜边和一条直角边对应成比例，则两个直角三角形相似

③板书布局：

-标题：相似三角形的判定

-定义：相似三角形是对应角相等，对应边成比例的三角形

-判定定理：

-AAA判定定理：两个三角形两个角对应相等，则第三个角也相等，且对应边成比例

-SAS判定定理：两个三角形两边对应成比例，夹角相等，则两个三角形相似

-SSS判定定理：两个三角形三边对应成比例，则两个三角形相似

-AAS判定定理：两个三角形两个角对应相等，且其中一个角的对边与另一个角的对边成比例，则两个三角形相似

-HL判定定理：两个直角三角形斜边和一条直角边对应成比例，则两个直角三角形相似

-应用：

-正弦定理和余弦定理的应用

-练习题：

-判断两个三角形是否相似，并说明理由

-利用相似三角形的性质解决实际问题课堂小结，当堂检测课堂小结：

1.本节课我们学习了相似三角形的判定定理，包括AAA、SAS、SSS、AAS、HL五种方法。

2.通过实例讲解，我们了解到相似三角形在几何证明和实际问题中的应用。

3.学生们学会了如何运用这些定理来判断两个三角形是否相似，以及如何解决相关问题。

当堂检测：

1.判断题：

-判断以下说法是否正确：

a)两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形一定相似。（）

b)如果两个三角形的两边对应成比例，那么这两个三角形一定相似。（）

c)如果两个三角形的两角分别相等，那么这两个三角形一定相似。（）

d)如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形一定相似。（）

2.选择题：

-在下列各组三角形中，哪一组三角形一定相似？

a)∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°；∠D=30°，∠E=60°，∠F=90°

b)∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°；∠D=45°，∠E=45°，∠F=90°

c)∠A=90°，∠B=30°，∠C=60°；∠D=90°，∠E=30°，∠F=60°

d)∠A=90°，∠B=45°，∠C=45°；∠D=90°，∠E=45°，∠F=45°

3.实际应用题：

-一辆火车通过一座桥时，火车头到桥尾的距离是300米，火车通过桥的时间是20秒。已知火车的速度是每秒10米，求桥的长度。

4.综合题：

-在直角三角形ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AB=8cm，求AC和BC的长度。

检测结束后，教师对学生的答案进行点评和讲解，帮助学生巩固所学知识，并针对学生的错误进行个别指导。同时，教师可以根据学生的表现，调整后续的教学内容和进度。教学反思与总结今天这节课，我们学习了相似三角形的判定定理，我觉得整体上教学效果还是不错的。下面我就从几个方面来谈谈我的教学反思和总结。

首先，我觉得在教学方法上，我尝试了多种方式来激发学生的学习兴趣。比如，我通过展示生活中的相似图形来导入新课，让学生们感受到数学与生活的紧密联系。同时，我也注意到了学生的反应，看到他们对于这种直观的教学方式比较感兴趣，这让我感到很欣慰。

在讲授新课的过程中，我尽量用简洁明了的语言来讲解相似三角形的判定定理，并结合具体的例子来帮助学生理解。我发现，当我在黑板上画出图形，用尺子和三角板演示时，学生的注意力会更加集中。不过，我也注意到有些学生对于公式的推导过程理解起来比较吃力，这说明我在讲解时可能需要更加细致，或者采用不同的教学方法来帮助他们。

在巩固练习环节