点集拓扑学教案

点集拓扑学教案

为聊城大学数学科学学院数学与应用数学专业三年级本科生开设《点集拓扑》

课程。

按熊金城《点集拓扑讲义》（第三版，北京：高等教育出版社,2003）第一至七

章编写的教案。

本科生授课64学时，教学内容与进度安排如下:

本科生授课主要内容课时数备注

-W-

拓扑学的起源1

—朴素集合论2

1

集合、映射与关系1

,1

1

无限集1

,2

拓扑空间与连续映射21习题课时2

2

度量空间与连续映射3不讲附录

,1

2

拓扑空间与连续映射3

,2

2

邻域与邻域系2不讲定理2.3.3

,3

2

导集、闭集、闭包内部、边界3不讲例2.4.4,定理2.4.8

,4

2

内部、边界2

,5

2部分证明定理2.6.3,临域基

基与子基2

,6及相关内容在5.1中介绍

2

拓扑空间中的序列2

,7

—子空间、有限积空间、商空间6习题课时1

3

子空间2

,1

3

积空间2

,2

3

商空间1例3.3.3起不讲

,3

四连通性8习题课时1

4

连通空间2

,1

4

连通性的某些简单应用1

,2

4

连通分支1

,3

4

局部连通空间2

,4

4

道路连通空间1道路连通分支不讲

,5

五有关可数性的公理6习题课时1

5

第一与第二可数性公理2

,1

5

可分空间1.5定理5.2.1不讲

,2

5

LindeIoff空间1.5

,3

六分离性公理8习题课时1.5

6

、Hausdorff空间2

.1

6

正则、正规、4,，空间

1.5例6.2.2讲部分

,2

6Urysohn引理和Tietze扩张定不讲定理6.3.1,6.3.4的

1

,3理证明

6

完全正则空间，Tychonoff空间1

,4

6分离性公理与子空间、积空间和

1

,5商空间

6

可度量化空间1定理6.6.1讲部分

,6

七紧致性10习题课时1

7

紧致性3定理7.1.6讲部分

,1

7

紧致性与分离性公理1引理7.3.2用分析中的结论

,2

7

n维欧氏空间R"中的紧致子集0.5

,3

7

几种紧致性以及其间的关系1.5

,4

7

度量空间中的紧致性1

,5

7局部紧致空间，仿紧致空间1定理7.6.8不讲

6

第一章朴素集合论

点集拓扑学(Point-setTopology)现称•般拓扑学(GeneralTopology),它的起源与出发点都

是集合论.作为基木的点集拓扑学知识，所需的只是一些朴素集合论的预备知识.木章介绍木

书中要用到的一些集合论内容，主要涉及集合及集族的运算、等价关系、映射、可数集、选

择公理等.作为一教材，讲义对各部分内容均有较系统的论述，作为授课，我们只强调一些基

本内容，而对已有过了解的知识不提或少提.

记号:Z,Z+,R,Q分别表示整数集，正整数集，实数集和有理数集.

教学重点：集合的基本概念、运算，映射的概念；教学难点：选择公理

一.集合的运算

鼎集P(X),交D、并U、差一(补，余A'H).

运算律：DeMorgan律：⑴A-(BkjC)=(A-B)c(A-C).

(2)A・(BCC)=(A-B)(A-C)A-(BnC)=(A-B)U(A-C)

利用集合的包含关系证明(1).

类似可定义任意有限个集的交或并，如记

规定个集之并是

AUA25.2A,=(A]=LL,A=lX|AjAi.0

。，不用0个集之交.

二.关系

R是集合X的一个关系，即氏(=*乂*,(乂丁)€/?记为xRy,称x与y是R相关的.

R称为自反的，若VxcX,xRx;

R称为对称的，若xRy,则yRx;

R称为传递的，若xRy,yRz,则xRz.

等价关系：自反、对称、传递的关系.

如,A(X)={(x,x)|xwX},恒同关系，它是等价关系；{(x,y)|x,ywR,xvy},小于关系,

它是传递的，但不是对称的、不是自反的.

设R是X上等价关系，Vx£X,x的R等价类或等价类凶R或区为{y£X|xRy},因R

的元称为[X]R的代表元；商集X/R={[x]R|xwX}.

定理141设R是非空集合X的等价关系，则

G

(1)VxeX,x[xlR;

GXR

(2)Vx,yX,或者[]=[y]R,或者因Rn[y]R=(f>

RRR

证(2).设z£[x]c[y]R,则ZRxzRy,于是[x]u[y]R且[x][y]R,于是

MR=[ylR-

三.映射

函数：fiX^Y.

像：VACX,/(A)={/(X)|XGA}；

原像：VB(Zy,(B)={xeX|f(x)GB]

满射、单射、一一映射(双射)、可逆映射、常值映射、恒同映射ix、限制工八、扩张、内

射"-X

集合笛卡儿积

X,xX2x...xXrt=n<<Xj=[[：山={(芭,々..怎)卜到第i个坐标集X,

的投射0：xfX,定义为p(x)=Xj,其中％=区,

对等价关系R,集合X到商集X/R的自然投射p:XTX/R定义为p(x)=[幻氏.

四.集族

数列{Xn}={xJk，有标集族{A/©,指标集「，与{4卜一}不同，可记有标集族

A={4}…；类似地，定义其并U.«A/l（或uA）、交「|昨/2（或nA）,不定义o个集的交.

与有限集族有相同的运算律，如DeMorgan律

A-U"=n*A-4）,A-n"=4八,

映射对应的集族性质：“Uy&）=u,/（4），/（ru为）="/⑷），

广,（U9约）=UJ（B）,广'—）="/（玛）

五.无限集

通过^映射来确定两集合的个数的多少.

有限集（。或与某{L2，…，n}有一一映射）,无限集.可数集（。或存在X到Z.的单射），不可

数集.

易验证：有限集是可数集，可数集的子集是可数集，可数集的映像是可数集.

定理1.7.3X是可数集U>X是Z+的映像.

由此,Q是可数集，两可数集的笛卡儿积集是可数集，可数个可数集之并集是可数集.

定理1.7.8R是不可数集.

利用Cantor对角线法证明开区间（0,1）中的实数不可数.

直观上，集合A中元素的个数称为该集合的基数，记为cardA,或|A|.|及|二。，|R|二c.若存

在从集合A到集合B的单射，则定义|A|W|B|.

连续统假设：不存在基数a,使得〃.

选择公理：若A是由非空集构成的集族，则VAWA,可.取定£（A）WA.

由选择公理可证明，若a,夕是基数,则下述三式中有且仅有一成立：a〈B，a=0,a>p

第二章拓扑空间与连续映射

本章是点集拓扑学基础中之基础.从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的

两个概念：拓扑空间、连续映射，分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内

部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.

教学重点：拓扑空间与连续映射，邻域与邻域系；

教学难点：基与子基；可度量化空间

2.1度量空间与连续映射

在R上,|x-y|表示点x与y之间的距离.绝对值是一非负函数，具有三条重要性质.

定义2.1.1设X是一集合，夕：XxXfH.如果满足正定性、对称性和三角不等

式，则称p是X的一个度量.（X,p）称为度量空间，p（x,y）表示两点x,y之间的距离.

例2.1.1实数空间R.

（x,y）=|x-y|,R的通常度量.

例2.l.2n维欧氏空间R”=RxRx…xR.

对于记入="）夕“定义夕"，＞）=、力（七一凶尸为Rn的通常度量,n维欧

V/=i

氏空间.R2称为欧氏平面或平面.

例2.13Hilbert空间H.

H={戈=（西，工2，式“…归X；V8},

b=i

定,义p:HxHTR

后易证0为度量则度量空间（"、夕）称为Hilbert空

（匹y）Tp（x,y）=&（看-%）~

间.

例2.1.4离散度量空间.

度量空间(X,p)称为离散的，若使得不存在X中的点ywx,满足

p(x,y)<2如对集合X,按如下方式定义夕：XxXfR是X上的离散度量:

0,x=y

定义2.1.2设(X，P)是度量空间如净)=UGX|pUy)<£}称为以*为心，£为半径

的球形邻域或£邻域,或球形邻域.对(R,|.I),B(x,£)=(X・£,X+£).

定理2.1.1度量空间(X，p)的球形邻域具有性质：

⑴VXGX,£>0,XGB(X£)

贝归，满足/€()I))

⑵VxwX,£].£2>0,£3>05X,.£3U8(JV,.£CB(x,.£2a.

⑶若yw5(x,£)*:>0使3(y,b)u5(x,£)；

⑵0<邑<min{^,£-)

证2

⑶6=£-p(x,y\则B(y,b)uB(xt£)

定义2.1.3X的子集A称为(X,p)的开集，若。使B*,£)U4.每一球形

邻域是开集.

例2.1.5R中的开区间是开集.

工£伍力)让£=min{x-〃,b-刈则BQ,£：)£(a,b)同样可■证，无限开区也是开集.

闭区间［a,b］不是开集.

定理2.1.2度量空间的开集具有以下性质:

(1)X,。是开集;(2)两开集的交是开集;(3)任意开集族之并是开集.

证(1)由定理(2),(3)由定理2.1.1(2).

定义2.1.4设X是度量空间，xwX,U±X,U称为x的邻域，若有开集V,使

xeV^U.

定理2.1.3U是X中点大的邻域存在£>0,使B(x,动uU.

定义2.1.5设X,y是两度量空间./:Xf，称/在册连续，若/(%)的

球形邻域8(/(%),£),(£>0)

存在与的球形邻域B(xo,B),使f(B(%»))uB(F(XO),£).

称/在X连续，若/在X的每一点连续.

定理2.1.4设Xd是两度量空间./:XfV,与wX,那么

⑴/在与连续若U是/(%)的邻域，则/T(U)是质的邻域；

(2)/在乂连续若u是y的开集，则/T(U)是x的开集.

证(1)利用定义2用5,2.1.4.

(2)“"f/(U)是每一点的邻域.“”证每一点连续，利用(1).

由此可见，度量空间的连续只与邻域或开集有关.它导入建立比度量空间更一般的拓扑空

间的概念及其连续性.

2.2拓扑空间与连续映射

定义2.2.1设7是集合X的子集族，若,满足：

GR

(1)X,Gr;(2)VA(3)VT,UT，UG

称汇是X的一个拓扑(X,r)是拓扑空间，r的元称为X的开集.

空间X的拓扑是X的全体开集的族.

定义2.2.2(X,p)度量空间.〜由X的所有开集构成的族.(X,金)称为由度量夕诱导出的

拓扑空间.金简称为度量拓扑.

度量空间一定是拓扑空间.

例221平庸拓扑：■=｛X,。｝平庸空间.

例222离散拓扑r=P(X).离散空间.X的每一子集是开集.由离散度量空间导出的

拓扑是离散拓扑.

例2.2.4有限补拓扑T=｛Uu是X的有限子集｝D｛。｝.

验证7是X上的拓扑.(1)显然.(2)A,BuX,讨论AGB时分两种情形，一是A,B中

有一是0,二是A,B都不是。；(3)GU7,不妨设三。。4£%利用DeMorgan律.有限

补空间.

例2.2.5可数补拓扑子=｛Uu是X的可数子弱3。｝

定义223可度量化空间.

离散空间是可度量化空间.多于一点的平庸空间不是可度量化空间.度量化问题是点集拓

扑学研究的中心问题之一.本书将在6.6中给出该问题的一个经典的解.

定义2.2.4x,y是两拓扑空间.f：Xf丫称/连续，若Y中每一开集U的原象尸(U)

是X中的开集.

定理221恒同映射连续.连续函数的复合是连续的.

定义225f：Xfy称为同胚或同胚映射，若/f是一一映射且/f及/T均连续.

定义226称两空间X与Y同胚，或X同胚于Y,若存在从X到Y的同胚.

定理2.2.2（2.23）恒同映射同胚（X与X同胚）;f同胚=>f,同胚（若X与Y同胚，则Y

与X同胚）；同胚的复合是同胚（若X与Y同胚，且Y与Z同胚，则X与Z同胚）.

空间的同胚关系是等价关系.

拓扑学的中心任务：研究拓扑不变性质.

抽象化过程：欧氏空间一度量空间一拓扑空间；点距离一度量一升集.

2.3邻域

定义2.3.1设(X.)是拓扑空间.xeX,UuX称为x的邻域，如果存在Ve汇使

xeVct/;若U是开的,U称为x的开邻域.

定理2.3.1设UuX.U是X的开集。U是它的每一点的邻域.

证由定义得“=”；利用开集之并为开得

x在X的所有邻域构成的族称为x的邻域系，记为Ux.

定理2.3.2Ux的性质：

(l)X€(Jx；UGUx,xeU;

(2)u,VGUXunVGUX；

(3)uw(Jx且uuvnV£(Jx；

(4)UeUx=>3VGUX使VUUKVyeV,VeUy.

证由定义2.3.1得(1);由开集的交是开集得(2);由定义2.3.1得(3);取V为满足

XGvczCZ的开集.

由邻域系出发可建立拓扑空间的理论，显得自然，但不流行.利用邻域与开集的关系(定

理231)导出开集，从Ux(WXEX)具有定理2.3.2的性质的(1)-(4)出发，定义

“{。<=用以£〃,〃£5},则«")是拓扑空间，且这空间中每一点x的邻域系恰是U、.

详见定理2.3.3.

定义232(点连续)映射):Xf丫称为在点XEX连续，如果U是f(x)在Y中的邻

域，则f」(U)是x在X中的邻域.

定理2.1.4保证了在度量空间中点的连续性与由度量导出的拓扑空间中的点的连续性的一

致.另一方面，关于点的连续性，易验证(定理2.3.4),恒等映射在每一点连续，两点连续的函

数之复合仍是点连续的.定义2.2.4与定义2.3.2所定义的“整体”连续与每一“点”连续是一致

的.

定理2.3.5设f：Xf丫则f连续=f在每一xtX连续.

证若U是f(x)的邻域，m开集V使f(x)eVuU,xxef-l(V)(zf-\U)

“U”若U是Y的开集，xe,U是f(x)的邻域，产(U)是x的邻域，所以尸(U)在

X中开.

2.4导集、闭集、闭包

定义2.4.1设AUX,x称为A的聚点(凝聚点，极限点)，如果x的每一邻域U中有A中

异于x的点，即Un(A{x})#，A的全体聚点之集称为A的导集，记为d(A).x称为人的孤

立点，若x不是A的聚点，即存在x的邻域U使Un(A-{x})=。，即UAAu{x}.

例2.4.1X是离散空间.若AuX,则.d(A)=。

VxeX,®U={x},则UnAq{x},所以x任d(A).

例2.4.2X是平庸空间，AuX若A=e，则d(4)=。；若|A|=1,则d(A)=X-A;若

则d(A)=X.

对于VxwX,,若U是X的邻域，贝|Ju=x,于是un

(A-{X})UC(A-{X})H0OA-{幻工。OA(Z{1}由此，易计算d(A).

定理2.4.1A,BuX,则

(1)4(。)=。；

⑵Au8=>d(A)ud(8);

⑶d(AuB)=4(A)uJ(B);

(4)d(d(A))qAud(A)

证由定义2.4.1得⑴和(2).

关于(3).由⑵得d(A)ud(B)ud(AD8).设x/d(A)ud(B),分别存在x的邻域

使得UcAu{冗},Vc8u{x},令O=UcV,则OC(ADB)u{x}.

关于(4).设xwAud(A),存在x的邻域U,使得UcAu{x},取x的开邻域VuU,

则=私Vy€V,Vc(A-{y})=史d(A),Vcd(A)=@,x〉d(d(A))..

定义2.4.2AuX称为X的闭集，如果d(A)uA.

定理242A闭oA，开.

证Vxe，由于〃(A)JA,存在x的邻域U使

,于是UuA!."u’WxeA',A'cA=(j),x生d(A),所以d(A)uA，

例2.4.3R的闭区间是闭集.

[〃,勿=(Y2。)。(瓦+。。)开集.(0为)不是团集，因为。是聚点.

定理2.4.3记F是空间X的全部闭集族，则

(I)X,ewF;

(2)ABwFnAUBsF;

(3)F对任意交封闭.

证利用DeMorgan定律及拓扑的定义.F=e”直接验证可得(1)、(2)、(3)

Cantor集(例2.4.4)是集合论、点集拓扑或实变函数论中是具有特别意义的例子，它说明R

中的闭集可以是很复杂的，在此不介绍.

定义2.4.3AUd(A)称为A的闭包，记为AA，

定理2.4.5对A,3uX,有

(1)。=M

(2)AuA・；

(3)(AuB)~=A~uB~；

(4)(A-)-=A-.

证(3)=AuBuB)=Aud(A)uBud(B)=A-uB-.

(4)(AT=(AoJ(A))-=A-^d(A)~=Aud(A)Ud(d(A))=A，.

上述4条确定了闭包运算，称为Kuratowski闭包公理，由此可建立拓扑空间的概念.事实

上阿记此运算为c(A),定义r={UuX|c(U')=U/},则(X,r)是拓扑空间，且这空间

中每一c(A)=>T,详见定理2.4.8.

关于闭包的几个相关结果：

(1)XEA-<=>对x的任一邻域有UcA。0.(定义2.4.3后)

⑵d(A)=(A-{x]Y；

(3)A闭u>d(A)uAoA=A.(定理2.4.4)

(4)4-是闭集.(定理2.4.6)

(5)A-是包含A的所有闭集之交,是包含A的最小闭集.(定理2.4.7:设F是包含A的所

有闭集之交，则AuEuA，/Tu尸，所以尸=4一.)

定义2.4.5(X,p)是度量空间.对非空的AuX,xeX定义夕(x,A)=inf{p(Xy)b，£A}.

定理2.4.9对度量空间(X,p)的非空子集A

(1)XGA~。p(x,A)=0；

(2)xGd(A)<=>p(x,A-{x})=0.

证明：

p(x,A)=0oVe>0,wAp(x,y)v£oB(x,£)cA。。o

定理2.4.10设7:XfY,则下述等价

(1)/连续；

(2)若8闭于y,则广1(8)闭于X;

(3)VAuXJ(A-)u/(A)-

证明；(l)n(2)B是y的闭集，夕是y的开集，/1(夕)=/7(5)，是X的开集，尸(B)

是X的闭集.

(2)n⑶/(A)u7W,Auf-(/W),AufT(f(Adu/(A)-

(3)=>(1)设"是丫的开集，U'是丫的闭集且

/("(U')-)uf(尸(。))-匚。，尸(。)-(=尸(。),尸(。)=尸。)’是闭,

广YU)是开

2.5内部、边界

定义251若A是x的邻域，则称x是A的内点.A的所有内点的集合称为A的内部，记

为A°.

定理2.5.1对AuX,A°=A'-=A/o/

证明：xwA°,由于Ac4'=在于是xcA，从而A".

反之xwA-,3x的邻域VcHAXEA°,因此，屋二A”.从而

M=A〃f=A--二

定理253对ABuX,有

(1)X=X。；

(2)A°uA；

⑶4°c8°=(AcB)°

(4)A°=A00.

证明：(1),(2)是显然的.

(AcB)°=(A'uB)-/=VcB,T=A°nB°

而婕二…：〃，"

关于内部的几个结果：

(1)4是x的邻域=xw4)；

(2)屋是开集;

(3)A是开集;

(4)A°是A所包含的所有开集之并，是含于A内的最大开集.

证明：(2)A0=4-是开集

(3)A开o闭oA=%一oA=A"=A°

(4)设。是含于4内的所有开集之并，4“<=。<=4,4"n。所以4°=0

定义252x称为A的边界点，若x的每一邻域，既含有A中的点又有4中的点.A的边界

点之集称为边界，记为朋.

定理2.5.6对4uX，有。)朋二4一c大一=d(A,);(2)A'=A"=0A;(3)A"=A--dA

证明：(2)A0u3A=u(IcA'-)=(A0uA-)c(A"uA°-)=A-;

(3)A'-dA=A~~(A~nA/-)=-A/_=A~nA/~=A°

2.6基与子基

度量空间T球形邻域f开集T拓扑.在度量空间中球形邻域的作用就是拓扑空间中

基的作用.

定义261设工是空间X的拓扑，Buz•，如果r中每一元是B中某子集族之并，称3

是X的基.

所有单点集的族是离散空间的基.

定理262设Bur,B为X的基oVxcX及尢的邻域Ux,三匕使x£匕u

证“一”存在开集WN使得x^WxuUx,三口工匚口使得3VXeBi

<=13工使人£匕uU.

“<=”设Utt,VXEUJRwB使xe匕uU”，从而{VJx£t/}uB且

U=\IV

L^xwUx

在度量空间中，所有球形邻域的族是度量拓扑的基(定理2.6.1).所有开区间的族是R的

基.

定理2.6.3拓扑空间X的基B满足：

(i)uB=X；(ii)VBj,B2eB,VXGqc82T2£B,Vx£2u&C层,.

反之，若集合X的子集族B满足⑴、(2),定义r={uBjB,u3},则汇是X的以B作

为基的唯••拓扑.

证验证T是X的拓扑.(1)0=口。.(2)先设可，层£B冗£31小结"%JB使

xeWxcBxcl2,于是51cB2={Wx\xeB{r}B2]eT.如果A^A2er,^At=uBi,

A,=uBi,贝ijA}nA2=u{B]nB2IeBi,B}e82)er..⑶设

jUZ^VAE^JBAUB.使得A=UBA,那么DJ=U(D{BAIAcrJ).

较强于(ii)且易于验证的条件是(ii)V”32GB,.cB?GB.

例261实数下限拓扑空间.

令3={[a,b)[a,b£R,avb}j则B为R上一拓扑的基.这空间称为实数下限拓扑空

间，记为R/开区间是R/中的开集，因为(a,h)=U,.z蹄+；，")・

定义2.6.2设(X”)是拓扑空间,Sur.若S的元之所有有限交构成的族是7的基，则

称S是7的子基.

S的元之有限交构成的族{号cS2c...cS”ISjeS,iW〃eZ+}.显然，空间X的基

是子基.

例2.6.2S={(a,4-00)|ae/?}u{(-oo,Z?)|bw例}是R的子基.

对照定理2.6.3,集合X的子集族S要作为子基生成X上的拓扑的充要条件是uS=X.

(定理2.6.4)

映射的连续性可用基、子基来刻画或验证.

定理2.6.5设x,y是两拓扑空间，/:x—y,下述等价:

(|)/连续；

(2)y基使得B中每一元的原像在x中开；

(3)Y有子基S,使得S中每一元的原像在x中开.

证(3)=(2)设B是S的元之所有有限交构成的族，则B满足(2).

(2)=(1)设U在y中开,则U=于是=｝在*中开.

类似地，可定义点的邻域基与邻域子基的概念，同时用它们来验证映射的连续性等.在第

五章中定义第一可数性时再介绍这些概念.

2.7拓扑空间中的序列

可以与R中一样地定义序列、常值序列、子序列，见定义271,2.73.

定义2.7.2X中序列巧fx极限，收敛序列.

平庸空间中任意序列收敛于空间中的任一点.数学分析中的一些收敛性质还是保留的，如

常值序列收敛，收敛序列的子序列也收敛.(定理2.7.1)

定理2.7.2A-{x}中序列七fxnxed(A)

证Dx的邻域U,U(A—{x})三。，所以.xwd(A)

定理2.7.3/在xo连续且巧f/=>/(X,)ff(xQ)

证设。是/(%)的邻域，则广YU)是/的邻域，m〃$Z+，当〃时有天£广YU),

从而/(xJeU.

上述两定理的逆命题均不成立.

例2.7.1设X是不可数集赋予可数补拓扑，则

⑴在X中工一>xom〃wZ+，当时有x,.二x.；

(2)若4是X的不可数子集，则d(A)=X.

证(1)的必要性，令。={再|%wwZ+},则。'是x的邻域，三〃eZ+，Vi>〃时

有无GD,即x{=x

证(2)Vx的邻域—(可数集)，所以Uc(4-{x})H，,xwd(A).

定理272的逆命题不真.如例271,取定与eX,让A=X-{x。},则将^或可，但

A中没有序列收敛于

定理2.7.3的逆命题不真.取X是实数集赋予可数补拓扑，让i:XfR是恒等映射，若

在X中项fx,则在R中/(七)1/@),但i在x不连续，因为xx在RR的开邻域

(x-l,x+l)的原像/-'((X-1,x+1))=*—1,x+1)在X中不是开的.

定理274设｛8｝是度量空间(X")中的序列，则占fx=0(a，x)f0.

证Xj—>xOVx的邻域U,3n6Z+,当i>n时有为£U<=>Vc>0,筋£当i>n时

有％G8(X,£)0V£>0.3neZ,当i时有p(x^x)->0.

第三章子空间、积空间、商空间

介绍三种从原有的拓扑空间或拓扑空间族构造新空间的经典方法,引入遗传性、可积性、可

商性等概念，这些是研究拓扑性质的基本构架.

教学重点：子空间与积空间；教学难点：子空间、（有限）积空间和商空间

3.1子空间

对于空间X的子集族A及YuX,A在y上的限制A|Y={AcYIAEA}.（定义

3.1.2）

引理3.1.2设y是空间（X,T）的子集，则是y上的拓扑.

证按拓扑的三个条件逐一验证.如，设％£7,使得A=8ACY,于

是DT]=D{8ACY|AC%}=（={BA|Ae））nKer|r

定义3.1.3对YuX,（R切）称为（X/）的子空间，%,称为相对拓扑.

“子空间”=“子集”+“相对拓扑

易验证，若z是y的子空间，且丫是x的子空间，则z是x的子空间.（定理3.1.4）,

定理3.1.5（3.1.7）设y是X的子空间，ywy,则

（I）若分别为x,y的拓扑，则r*=5；

（2）若F.F*分别为x,y的全体闭集族，则F*=FIY；

⑶若Uy,Uy*分别为y在X,y中的邻域系，则（Jy*=Uvir；

（4）若B是x的基，则BIY是丫的基.

证（2）F*EF*0y—尸"£仃。丫一尸*=UcY,

U£7<=>尸*=(X—U)Cy,U£T<=>产.£卬.

(4)u开于y,存在x的开集v,使得u=vcy,Bi<=B,满足v=uBi,则

u=<J(13IIY).

在R的子空间(0,+8)中(0刀是闭集.

定理3.1.6设y是X的子空间,AuY,则

⑴%(A)=dx(A)n丫;(2)j(A)=%(A)nY

证(1)yedx(A)在X中的邻域U,Uc(A-{y})n(Ucy)c(A-{y})、A所以

yedx(A)nY.反之，设ycdx(A)cY,y在丫中的邻域匕力在X中的邻域

于是Vn(A—{y})=(Un(A—{y}))cy=Uc(A-{y})H。，所以

yed(A)..

(2)Cy(A)=Addy(A)=Au(dx(A)r>Y)=(A^)dx(A))n(AoK)=cx(A)nK-

3.2有限积空间

就平面的球形邻域此而言,我们知道球形邻域内含有方形邻域，方形邻域内含有球

形邻域.从基的角度而言，形如4(M，£])X82(X2，£2)的集合就是平面拓扑的基了.对于两个

拓扑空间X,Y,在笛卡儿积集XxY中可考虑形如UxV的集合之全体，其中U,V分别是X,

Y的开集.对于有限个空间可考虑形如。|乂。2乂...、。〃的集合.

定理3.2.2设(X”孙)是n个拓扑空间，则X=X,xX2x...xXn有唯一的拓扑，以X的

子集族B=｛qx%x…x|qe盯,i«〃为它的一个基.

证验证B满足定理2.6.3的条件(i),(ii).(1)X=X1xX2x...xXnGB,U

B=x；(2)若UixU2x...xUn^KV2x...xVne13,则

((/,Xf/2X...xu,,)n(V,XV2X...XV；)=((7,nVI)x(t/2nV2)x...x((/MnVJeB.

定义3.2.2以定理3.2.2中B为基生成X=X1xX2x...xX/j上的唯一拓扑，称为拓

扑f62，・F的积拓扑.(X")称为(X[，G),(X2,T2)，•••(Xn，G的(有限:积空间.

定理3.2.4设X=X1义X?x…义X.是积空间，Bi是X1的基，则

B=｛用x82x...x8“|qEBLY〃｝是积拓扑7的基.

证利用定理2.6.2.设xwUer.BUi£勺使xwqxU2(=U,3Bie13i使

XiGBiuUj,那么%w3]x邑x...xBnuqx心x…义UnuU..

例3.2.1形如(q,仇)x(生也)x...x(4“也)的集合构成R”的基.

X

设（X1,Pl）,（X2,02）是两个度量空间.令。（乂y）=（X［，K）2+P2（2，%）2，则P

是X1XX2上的度量，导出X上的度量拓扑r.对于〃个度量空间之积可类似地定义.（定义

3.2.1）

定理3.2.1度量空间的有限积：积拓扑与度量拓扑一致.

验证〃=2的情形.易验证.（再,£/2）x与（乙，£/2）uB（x,£）u耳（再9S）XB2（X2,8）

于是每一B（x,£）是积拓扑的开集，且每一旦（项,£”居（巧，£）是度量拓扑的开集，所以导出

相同的拓扑.

定理3.2.5有限积空间S={p7（Ujq£%云川为子

基，其中却是元的拓扑，亿：XfX,.是投射.

［

仅证n=2的情形.p；（^,）=UixX2,p-\U2）=X}xU2f所以

ll

p［（Ul）r>p-（U2）=UlxU2eB.

定义3.2.3/：x-丫称为开（用）映射，若u开（闭）于x,则f（u）开（闭）于y.

定理3.2.62：XfX,是满、连续、开映射，未必是闭映射.

［

由于p~（Ui）=XxxX2x...xXM,所以Pj连续.由于

pi（UlxU2x...xUix...xUn）=Uif所以是开的.但是0】：&fK不是闭的.

定理3.2.7设映射了：yfX其中X是积空间X|KX2X..XX..则/连续

oV，w。/：yfXj连续.

证充分性.对x的子基S={pr（q）|q”,云〃}jT（p>（a））=（PjO/）T（q）

开于y.

多元函数连续当且仅当它的每一分量连续.

定理3.2.8积拓扑是使每一投射都连续的最小拓扑.即设工是积空间

X=X|XX2X...xX〃的积拓扑，若集合X的拓扑d满足：每一投射Pj：（X,d）fXj连

续,则TUT*.

证由于{p丁(Ujq£马」工〃}三，，所以fUT".

3.3商空间

回忆，商集X/R,及自然投射p:XfX/R定义为p（x）=［幻心问题：设X是拓扑空

间，要在X/A上定义拓扑，使p连续的最大的拓扑.

讨论更一般的情形，设（X/）是拓扑空间且/：x7丫是满射.赋予集合y什么拓扑，

使了连续的最大的拓扑.若/连续，且u是y的开集，则f-（u）是x的开集.让

7={Uuy"T（u）ur},易验证/是y上的拓扑.

定义3.3.1（3.3.2）称々是y的相对于/满射而言的商拓扑，/：（X/）f（y，G）称为商

映射.这时，（/在丫中开=/T（U）在x中开;尸在y中闭在x中闭.

定理3.3.1商拓扑是使/连续的最大拓扑.

证设/：（X/）—（匕々）是商映射.显然，/是连续的.如果々是丫的拓扑使

（y,q）连续，则VU£々，/7（。）£仁于是。£丁”即々uq,,所以々是

使f连续的最大拓扑.

定理3.3.2设/：x-丫是商映射.对于空间z,映射g：yfz连续。映射

gof:XfZ连续.

证设g。/:XfZ连续,VW开于Z,（g。/）-'（W）=（底（W））开于X,由于/是

商映射，所以g-Yw）开于丫，故g连续.

定理3.3.3连续，满开（闭）映射=＞商映射.

证设f：（x，G）一（匕㈢）是连续的满开（闭）映射，々是y的相对于/而言的商拓扑,

要证由定理3.3.1,々n6.反之，对于开映射的情形

,i

V=/（/-（V））€rr,；对于闭映射的情形，V=Y-f（X-f-（V））eTyt所以总有

Gu%.

定义3.3.3设R是空间（X