正弦定理和余弦定理课件

温故知新新课引入自主预习课堂典例讲练思路方法技巧建模应用引路探索延拓创新名师辨误做答课后强化作业（点此链接）

【思考】【点拨】

余弦定理的简单运用【名师指津】理解与应用余弦定理的关注点：(1)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.(2)在应用余弦定理时，因为已知三边(求角)或已知两边及夹角(求第三边)时，三角形是惟一确定的，即此时的解是惟一的.【特别提醒】在余弦定理的表达式中，含有三边和一边的对角这四个元素，可利用方程的思想，知三求一.【例1】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的三边，a2-(b-c)2=bc，(1)求A；(2)若B等于x，周长为y，求函数y=f(x)的取值范围.【审题指导】先对a2-(b-c)2=bc进行化简，再利用余弦定理求解；先写出y=f(x)的解析式，再利用三角函数知识求解.【规范解答】(1)由a2-(b-c)2=bc得:a2-b2-c2=-bc，∴又∵0<A<π,∴A=(2)故∴y的取值范围为【变式训练】△ABC中，若a∶b∶c=3∶5∶7,则这个三角形中最大内角为()(A)60°(B)90°(C)120°(D)150°【解题提示】先判断出最大边，再利用余弦定理计算最大角.【解析】选C.令a=3x,b=5x,c=7x(x>0)，则c为最大边，角C为三角形中最大内角，由余弦定理∴C=120°.

正、余弦定理的综合应用【名师指津】正、余弦定理的综合应用正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系，要解三角形，必须已知三角形的一边的长，对于两个定理，根据实际情况可以选择性地运用，也可以综合运用，要注意以下关系式的运用：【特别提醒】如何灵活地运用正弦定理、余弦定理呢？关键在于观察、分析已知条件的结构特征，并联想公式运用之.【例2】(2011·辽宁高考)△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且asinAsinB+bcos2A=(1)求(2)若求B.【审题指导】（1）利用正弦定理化简上式，从而求得的值；(2)利用余弦定理求B.【规范解答】(1)由正弦定理，得sin2AsinB+sinBcos2A

即sinB(sin2A+cos2A)故sinB所以(2)由余弦定理得又因为所以整理得又由(1)知b2=2a2，故可得cos2B=又cosB>0，故所以B=45°.【误区警示】不能正确利用余弦定理和(1)的结论，从而导致(2)无法求解.【变式训练】在△ABC中，AC=2，BC=1，(1)求AB的值；(2)求sin(2A+C)的值.【解题提示】先由余弦定理解出AB，再结合正弦定理及倍角公式等解出sin2A、cos2A、sinC的值.【解析】(1)由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC(2)由cosC=且0<C<π，得由正弦定理得解得又∵AB>BC,∴C>A，

判断三角形的形状【名师指津】判断三角形形状的方法：判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形的形状.

【例3】在△ABC中，若sinA-2sinBcosC=0，试判断△ABC的形状.【审题指导】将角化为边或将边化为角来判断三角形的形状.【规范解答】方法一：∵sinA-2sinBcosC=0,∴由正弦定理知a=2bcosC,再由余弦定理得∴b2=c2,b=c,.故△ABC为等腰三角形.方法二：由sinA=sin(B+C),∴有sinBcosC+cosBsinC-2sinBcosC=0,即sinCcosB-cosCsinB=0,sin(C-B)=0,∴C-B=0,即C=B.故△ABC为等腰三角形.【互动探究】本例中，将所给条件变为b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，则三角形的形状又如何？【解题提示】利用“角化边”或“边化角”来判断三角形的形状.【解析】方法一：由正弦定理(R为△ABC外接圆的半径），将原式化为sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC.∵sinBsinC≠0，∴sinBsinC=cosBcosC，即cos(B+C)=0，∴B+C=90°.∴A=90°.∴△ABC为直角三角形.方法二：将已知等式变为b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccosBcosC.由余弦定理，可得即∴b2+c2=a2.∴△ABC为直角三角形.【例】在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，求证：【审题指导】利用正弦定理、余弦定理，把边化为角，再利用三角函数知识化简.【规范解答】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB，∴a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB.整理得：由正弦定理得：代入上式整理得：【变式备选】在△ABC中，求证：【证明】由余弦定理得，【典例】(12分)在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC，(1)求A的大小；(2)若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状.【审题指导】应用正、余弦定理及其变形化简即可.【规范解答】(1)由已知，根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c………………2分即a2=b2+c2+bc…………3分由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA可求得cosA=………5分又∵A为△ABC内角，∴A=120°.……6分(2)由a2=b2+c2+bc得：sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC………8分又∵A=120°,sinB+sinC=1,∴sinB=sinC=……10分因为0°<B<90°,0°<C<90°,故B=C………………11分所以△ABC是等腰的钝角三角形.……12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC,则△ABC的形状是什么？【解析】方法一：acosA+bcosB=ccosC,sinAcosA+sinBcosB=sinCcosCsin2A+sin2B=sin2C,2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosCcos(A-B)=-cos(A+B),2cosAcosB=0,cosA=0或cosB=0,得所以△ABC是直角三角形.方法二：由余弦定理得：上式两边同乘以2abc得a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)=c2(a2+b2-c2)

a2b2+a2c2-a4+a2b2+b2c2-b4=a2c2+b2c2-c4a4+b4-2a2b2=c4(a2-b2）2=c4∴a2-b2=c2或a2-b2=-c2∴a2=b2+c2或a2+c2=b2,所以△ABC是直角三角形.1.三角形的三边分别为4、6、8，则此三角形为()(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)不存在【解析】选C.∵42+62<82，∴此三角形为钝角三角形.2.在△ABC中，若a=c=2,B=120°,则边b=()(A)(B)(C)(D)【解析】选B.由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=4+4-2×2×2×3.在△ABC中，a=12,b=13,C=60°,此三角形的解的情况是()(A)无解(B)一解(C)两解(D)不能确定【解析】选B.已知两边及其夹角的三角形惟一确定.4.在△ABC中，B=60°,b2=ac，则△ABC的形状为____.【解析】∵b2=ac,∴a2+c2-2accos60°=ac，∴(a-c)2=0.∴a=c,∴△ABC为等腰三角形.又∵B=60°，∴△ABC为正三角形.答案：正三角形5.在△ABC中，若AB=AC=5且cosC=则BC=______.【解析】由余弦定理得∴BC2-9BC+20=0,∴BC=4或5.答案：4或56.在△ABC中，已知c4-2(a2+b2)c2+a4+a2b2+b4=0，求角C.【解析】∵c4-2(a2+b2)c2+a4+a2b2+b4=0，∴［c2-(a2+b2)］2-a2b2=0，∴c2-(a2+b2)=±ab，∴C=120°或60°.附赠材料：怎样认真规划课堂上的每一分钟

假如你现在走进一位高效教师的课堂,毫无意外,你会看到学生一定正在忙着学习。这些学生虽然不一定整齐划一地干同样的事情,但他们手头一定有事做,而不会坐在课桌前发呆。相对地,假如你现在走进一位低效教师的课堂,你可能会发现并不是所有的学生都分配了学习任务,总有那么几个学生坐在椅子上无所事事。他们或许在打瞌睡,或许在做些违反课堂纪律的事情。总之,他们不是老老实实地坐在座位上听讲,而是急不可耐地挨过上课时间，显然,你已经知道,从上课铃到下课铃的整个课堂时段中,只有那些高效教师才能保持课堂不被琐事中断,并且保证学生能够集中注意力。在高效教师的课堂上,没有一分钟被浪费,没有学生无事可做。也正是因为这个原因,高效的教师很少遇到有关课堂纪律的问题。那么,高效教师是如何让整个课堂从头到尾一直保持饱满的状态呢?他们仔细规划课堂上的每一分钟,以保证没有时间被浪费;他们仔细规划讲课过程,力求简明扼要(因为他们知道长时间维持学生的注意力是件很不容易的事。)他们为领先的学生着想,他们也为后进的学生着想。是的,教学是一件很费心思的事情,世界上不可能存在一种万能的教学方法,至少我还没听说过那些低效的教师在课堂上往往只是简单地给全体学生布置一项任务(而且很可能没有仔细考虑自己布置的任务是不是学生感兴趣的或是需要的),然后要求学生用二十分钟完成。同样,不用亲历现场你也能猜到,有些学生五分钟就能完成任务,而这段时间里还有些学生甚至都没有开始,总有些学生无法在二十分钟内完成任务因此,这个二十分钟的规定会带来课堂纪律的问题。教师需要不断提醒学生集中注意力,但有的学生会抱怨自己还没听懂,而那些提前完成的学生则会感到无聊,并且着急地等着新任务。

课程在这里,我想讲几点最关键的策略,以帮助教师在课堂上合理安排学生活动。今天,我们的主题简短、明确并易于实践。目标如下:(1)帮助教师了解当学生没有事情可做时,会出现什么状况;(2)给教师提供几个规划课堂的好方法首先,以这几个问题开始●你是否曾经在给学生布置任务时,要求所有人在同样的时间里完成?你是否曾注意到,布置任务时要求的时间越长,有些学生磨蹭的时间就越长?你是否曾注意到,有些学生能够立刻着手行动,并且完成的速度也很快你是否曾注意到,有些学生再怎样努力,也无法在规定时间内完成任务。你是否曾注意到,学生做练习的时候,往往也是最容易出现课堂纪律问题的时候。比如,有些学生会在完成自己的任务之后,询问接下来要做什么,有些学生没有专心完成课堂任务,而是做些违纪动作,还有些学生不停地抱怨自己不明白要做什么？●你是否曾遇到过这种情形,离下课还有一点时间时,你对学生说:“如果你们保持安静,我就不会再布置更多的任务了。”学生会有哪些反应?