2024年全国中学生数学联赛A卷试题含解析（一试）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1.若实数m>1满足log₉(logm)=2024,则log₃(log₂m)的值为_3.设实数a,b满足：集合A={x∈R|x²-10x+a≤0}与B={x∈R|bx≤b³}的交集为[4,9],则a+b的值为4.在三棱锥P-ABC中，若PA⊥底面ABC,且棱AB,BP,BC,CP的长分别为1,2,3,4,则该三棱锥的体积为先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a,b.若事件“a+为,则事件“a=b”发生的6.设f(x)是定义域为R、最小正周期为5的函数.若函数g(x)=f(2")在区7.设F,F₂为椭圆Ω的焦点，在Ω上取一点P(异于长轴端点),记0为8.若三个正整数a,b,c的位数之和为8,且组成a,b,c的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8,则称(a,b,c)为“幸运数组”,例如(9,8,202400)是一个幸运数组.满足10<a<b<c的幸运数组(a,b,c)的个数为二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(本题满分16分)在△ABC中，已求cosC的值.10.(本题满分20分)在平面直角坐标系中，双曲线T:x²-y²=1的右顶点为A.将圆心在y轴上，且与T的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”.若两个好圆外切于点P,圆心距为d,求的所有可能的值.11.(本题满分20分)设复数z,w满足z+w=2,求S=|z²-2wl+|w²-22的最小可能值.1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次.一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1.若实数m>1满足log,(log₈m)=2答案：4049.解：log;(log₂m)=log;(3log₈m)=1+2log,(log2.设无穷等比数列{a}的公比q满足0<19|<1.若{a,)的各项和等于{a}各答案：J(0,2).解：因为数列{a}的各项和为,注意到{a}各项的平方依次构成首项3.设实数a,b满足：集合A={x∈R|x²-10x+a≤0}与B={x∈R|bx≤b³}答案：7.进一步可知B只能为[4,+x],故b<0且4b=b³,得b=-2.4.在三棱锥P-ABC中，若PA⊥底面ABC,且棱AB,BP,BC,CP的长分解：由条件知PALAB,PA⊥AC.因此PA=√BP²-AB²=√3,进而AC=√CP²-PA²=√13.1数列，且p₁+P₂+…+p₆=1,于是6.设f(x)是定义域为R、最小正周期为5的函数.若函数g(x)=f(2)在区答案：11.解：记2²=t,则当x∈(0,5)时，t∈(1,32),且t随x增大而严格增大.因此，注意到f(1)有最小正周期5,设f()在一个最小正周期上有m个零点，则且0≤n≤m,因此m=4,n=1.7.设F,F₂为椭圆Ω的焦点，在2上取一点P(异于长轴端点),记0为△PFF₂的外心，若PO·FF₂=2PF·PF₂,则Ω的离心率的最小值为解：取FF₂的中点M,有MO⊥FF₂,故MO·FF₂=0.2PF·PF₂=2uv.cos∠FPF₂=u²2当u:v:d=1:3:√68.若三个正整数a,b,c的位数之和为8,且组成a,b,c的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8,则称(a,b,c)为“幸运数组”,例如(9,8,202400)是一个幸运数组.满足10<a<b<c的幸运数组(a,b,c)的个数为_答案：591.解：对于幸运数组(a,b,c),当10<a<b<c时，分两类情形讨论.情形1:a是两位数，b,c是三位数.暂不考虑b,c的大小关系，先在a,b,c的非最高位(五个位置)中选三个位置填0,剩下五个位置还未填，任选其中两个填2,最后三个位置填写4,8,9,这样的填法数为C³×C²×3!=600.再考虑其中b,c的大小关系，由于不可能有b=c,因此b<c与b>c的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组.情形2:a,b是两位数，c是四位数.暂不考虑a,b的大小关系，类似于情形1,先在a,b,c的非最高位(五个位置)中选三个位置填0,剩下五个位置填2,2,4,8,9,这样的填法数为600.再考虑其中a,b的大小关系.若a=b,则必有a=b=20,c的排列，且0不在首位，有3×3!=18种填法，除这些填法外，a<b与a>b的填综上，所求幸运数组的个数为300+291=591.二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(本题满分16分)在△ABC中，已知求cosC的值.…………8分3件得=-2-52cosc.(-v1-(√2co又cosC>0,化简得8(1-10.(本题满分20分)在平面直角坐标系中，双曲线T:x²-y²=1的右顶点为A.将圆心在y轴上，且与T的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”.若两个好圆外切于点P,圆心距为d,求的所有可能的值.解：考虑以(0,y₀)为圆心的好圆&:x²+(y-y。)²=启(%>0).由8。与T的方程消去x,得关于y的二次方程2y²-2y₀y+y²+1-²=0.根据条件，该方程的判别式△=4y²-8(y²+1-²)=0,因此y²=2r²-2.对于外切于点P的两个好圆Ω,Q₂,显然P在y轴上.设P(0,h),Ω,Q₂的半径分别为r,r₂,不妨设Ω,,2₂的圆心分别为(0,h+r),(0,h-r₂),则有两式相减得2h(i+r)=r²-,而r+r₂>0,故化简得r²-6r;r₂+r²+8=0.由于d=r+r₂,A(1,0),,而①可等价地写为11.(本题满分20分)设复数z,w满足z+w=2,的最小可能值.故S=|a²+2a-4-b²+2b(a+Di|+|a²-6a+4≥|a²+2a-4-b¹+|a²-6a=|(a+1²-5-bl|+|a-3)²-5-b²|.①记t=a+1.对固定的b,记B=5+b²≥5,求f0=|t²-B|+|t-4)²-B|的最小值.4由f(0)=f(4-t),不妨设t≥2.我们证明f(1)≥f(%),其中t₀=√B.f()-f(₀)=(B-t²)+(B-(t-4)²)-=t²+(₀-4)²-(t²+(t-4)²)=(2r²-8/)-(≥0(用到2≤t≤t及y=2x²-8x在(2,+α)上单调增).…………10分f(1)-f()=²-B+|(-4)²-B|-|≥P²-B-|a-4)²-(%-4|=(t-6o)(+6-k+≥0(用到t+t₀≥4).……15分所以S≥f(t)=B-(t₀-4)²=8√B-16≥8√5当b=0(①取到等号),a=t₀-1=√5-1时，S取到最小值8√5-16.解法2:设z=1+x+yi,w=1-x-yi(x,y∈R),不妨设其中x≥0.z²-2w=(x²+4x-1-y²)+(2xw²-2z=(x²-4x-1-y²)+(2x-4s≥|Re(z²-2w)|+|Re(w²-22)|=k²+4x-1-v¹|…………5分S≥2kx²-1-y²|=2(1-x²+y²)≥2(1-x²).当0≤x<√5-2时，由②得S≥201-x²)>21-(√解法3:因为w=2-z,所以我们有lz²-2(2-2)|=lk²+