5.2二次函数的图形和性质苏科版初中数学九年级下册同步练习【含试卷答案】

5.2二次函数的图形和性质苏科版初中数学九年级下册同步练习第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知抛物线y=ax2(a>0)过A(−2,y1)A.y1>0>y2 B.y2>0>2.关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．

甲：函数图象经过点(−1,1)；

乙：函数图象经过第四象限；

丙：当x>0时，y随x的增大而增大．

则这个函数表达式可能是(

)A.y=−x B.y=1x C.y=x3.已知点(−3,y1)、(−1,y2)、(1,A.y=3x B.y=3x2 C.y=34.如图是二次函数y=−x2+2x+4的图像，使y≤1成立的x的取值范围是(

)

A.−1≤x≤3 B.x≤−1 C.x≥1 D.x≤−1或x≥35.把二次函数y=3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是(

)A.y=3(x+2)2+1 B.y=3(x+2)2−16.若点A−1,y1，B2,y2，C4,y3在抛物线y=x2−4x+5A.y1<y2<y3 B.7.若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A(1,2)，B(5,2)两个点，则抛物线的对称轴是

(

)A.x=1 B.x=2 C.x=3 D.x=48.抛物线y=x+12+2的顶点坐标为

(

)A.(−1,2) B.(1,2) C.(1,−2) D.(2,1)9.函数y=x2−4x−2的自变量①函数图象关于y轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当x<−2时，y随x的增大而减小；④当−6<a<−2时，关于x的方程x2−4x其中正确的结论个数是．(

)

A.1 B.2 C.3 D.410.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，其顶点坐标为(12,1)，则下列结论正确的是A.ac>0

B.a+b=1

C.a+b+c=0

11.若关于x的二次函数y=x2−ax+1，当x≤−2时，y随着x的增大而减小，且关于x的分式方程12−x=2+1−axA.6个 B.5个 C.4个 D.3个12.若A(m+1,y1)、B(m,y2)，C(m−2,y3)为抛物线A.m>2 B.2<m<52 第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12分）13.若二次函数y=x2−6x+c的图象经过A(−1,y1)，B(2,y2)，C(5,y3)三点，则y14.小明同学在用描点法画二次函数y=a(x−ℎ)2x…−1

0123…y…m3236…则m的值是

．15.下列关于二次函数y=−(x−m)2+m2+1(m为常数)的结论：①该函数的图象与函数y=−x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点(0,1)；③当x>0时，y随x的增大而减小；16.已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)过点A(m,3)，B(n,3)两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8分)

已知二次函数y=x2−2mx+3(m是常数)．

(1)若m=1，①该二次函数图象的顶点坐标为______；

②当0≤x≤4时，该二次函数的最小值为______；

③当2≤x≤5时，该二次函数的最小值为______．

(2)当−1≤x≤3时，该二次函数的最小值为1，求常数18.(本小题8分)已知二次函数y=x

(1)求出二次函数图象的对称轴和与y轴的交点坐标；(2)在平面直角坐标系中画出图象，请结合图象直接写出y<0时，x的取值范围．19.(本小题8分)

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,−4)、B(2,0)，交反比例函数y=mx(x>0)的图象于点C(3,a)，点P在反比例函数的图象上，横坐标为n(0<n<3)，PQ/​/y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)求△DPQ面积的最大值．20.(本小题8分)

在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y=−x2+2mx−2m−3的顶点为点P．

(1)顶点P的坐标为______；(用含m的式子表示)

(2)直线l：y=x−3分别与x轴和y轴交于点A和点B，点P在第四象限．

①当△PAB面积最大时，求抛物线G的解析式；

②在①的条件下，把抛物线G沿y轴向上平移t(t>0)个单位长度得到抛物线G′，若抛物线G′与△PAB的边有且只有两个交点，求实数t21.(本小题8分)已知二次函数y=1(1)若b=−1，求该二次函数图象的对称轴及最小值；(2)若对于任意的0⩽x⩽2，都有y⩾−1，求b的取值范围．22.(本小题8分)

已知二次函数y=ax2−2ax．

(1)二次函数图象的对称轴是直线x=______；

(2)当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；

(3)若a<0，对于二次函数图象上的两点P(x1,y1)，Q(x23.(本小题8分)已知：二次函数y=x(1)写出该函数图象的顶点坐标；(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标；(3)直接写出当x在什么范围内取值时，y随x的增大而增大？24.(本小题8分)

设y=(x−a1)2+(x−a2)2+…+(x−an)225.(本小题8分)已知：二次函数y=x2−mx+m+1(1)求此二次函数的表达式；(2)用配方法将其化为y=ax−ℎ2+k答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键．依据抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，解答即可．

【解答】

解：∵y=ax2(a>0)，

∴抛物线的开口向上，对称轴为y轴，A(−2,y1)在对称轴的左侧，B(1,y2)在对称轴的右侧，点A离对称轴的距离大于点2.【答案】D

【解析】解：把点(−1,1)分别代入四个选项中的函数表达式，可得，选项B不符合题意；

又函数过第四象限，而y=x2只经过第一、二象限，故选项C不符合题意；

对于函数y=−x，当x>0时，y随x的增大而减小，与丙给出的特征不符合，故选项A不符合题意．

故选：D．

结合给出的函数的特征，在四个选项中依次判断即可．3.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查一次函数的性质，反比例函数的性质及二次函数的性质，掌握相关函数的性质是解题关键，也可直接代入各个选项的函数解析中，再判断y的大小，根据所学知识可判断每个选项中对应的函数的增减性，进而判断y3，y1，y2之间的关系，再判断即可．

【解答】

解：A.y=3x，因为3>0，所以y随x的增大而增大，所以y1<y2<y3，不符合题意；

B.y=3x2，当x=1和x=−1时，y相等，即y3=y2，故不符合题意；

C.y=3x，当x<0时，y随x的增大而减小，x>0时，y随x的增大而减小，所以y2<y1<y4.【答案】D

【解析】略5.【答案】C

【解析】【分析】直接利用平移规律“左加右减，上加下减”解题．【详解】解：∵二次函数y=3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移∴y=3(x−2)故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象的平移，准确计算是解题的关键．6.【答案】D

【解析】【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据点

A

，

B

，

C

到对称轴的距离大小求解．【详解】解：

∵y=x2∴

抛物线开口向上，对称轴为直线

x=−−42×1∵2−2<4−2<2−(−1)

，∴y2故选：D．7.【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查二次函数的对称性；所以由题意可知点A、B关于二次函数的对称轴对称，进而问题可求解．【详解】解：由抛物线

y=ax2+bx+c(a≠0)

过

A(1,2)

，

B(5,2)

两个点，可知点A∴抛物线的对称轴是直线

x=1+52故选C．8.【答案】A

【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可解答．【详解】解：∵

y=x+12∴由顶点式可知该抛物线的顶点坐标为(−1,2)，故选：A．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，关键是要能根据顶点式直接写出顶点的坐标．9.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了根据函数图象判断函数的对称性、增减性以及从函数的角度解决方程问题，根据函数解析式画出函数图象，结合函数图象进行判断，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题．【详解】解：如图：①如图所示：函数图象关于y轴对称，则正确；②如图所示：函数没有最大值，只有最小值，则错误；③如图所示：当

x<−2

时，y随x的增大而减小，则正确；④如图所示：当

−6<a<−2

时，关于x的方程

x2−4x−2=a则正确的个数有3个，故选C．10.【答案】D

【解析】解：∵抛物线开口向下，交y轴的正半轴，

∴a<0，c>0，

∴ac<0，故选项A错误，不合题意；

∵顶点坐标为(12,1)，

∴对称轴为直线x=−b2a=12，

∴a+b=0，故选项B错误，不合题意；

∵x=1时，y>0，

∴a+b+c>0，故选项C错误，不合题意；

∵−b2a=12，

∴b=−a，

∵函数的最大值为1，

∴4ac−b24a=1，

∴b2−4ac=−4a，故选项D正确，符合题意．

11.【答案】B

【解析】解：∵二次函数y=x2−ax+1的对称轴为：x=−−a2=a2，当x≤−2时，y随着x的增大而减小，

∴a2≥−2，

∴a≥−4；

方程两边同时乘(x−2)得：−1=2(x−2)+1−ax，

解得：x=−2a−2，

∴−2a−2>0，且−2 a−2≠2，

∴a<2且a≠1，

∴−4≤a<2且a≠1，

∵a为整数，

∴a=−4，−3，−2，−112.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据抛物线开口方向及对称轴分类讨论y2>y3，y3>y1，可得m的取值范围．【解答】

解：∵y=ax2−4ax+2(a<0)，

∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=−−4a2a=2，

∵y2>y3，

∴m+m−22<2

解得13.【答案】y2【解析】解：y=x2−6x+c根据二次函数图象的对称性可知，C(5,y3)A(−1,y1)，B(2,y2因为−1<1故答案为：y根据函数解析式的特点，其对称轴为x=3，图象开口向上；利用对称轴左侧y随x的增大而减小，可判断y2<y1本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．14.【答案】6

【解析】解：由上表可知函数图象经过点(0,3)和点(2,3)，∴对称轴为x=1，∴当x=−1时的函数值等于当∵当x=3时，y=6，∴当x=−1故答案为：6根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用对称轴找到一个点的对称点的纵坐标即可．本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键．15.【答案】①②④

【解析】【分析】

本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

利用二次函数的性质一一判断即可．

【解答】

解：①∵函数y=−(x−m)2+m2+1(m为常数)与函数y=−x2的二次项系数相同，

∴该函数的图象与函数y=−x2的图象形状相同，故结论①正确；

②∵在函数y=−(x−m)2+m2+1中，令x=0，则y=−m2+m2+1=1，

∴该函数的图象一定经过点(0,1)，故结论②正确；

③∵y=−(x−m)2+m2+1，

∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=m，当16.【答案】74【解析】【分析】

本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出4a+1≥3是解题的关键．

根据题意得4a+1≥3，解不等式求得a≥12，根据二次函数的性质把x=12代入代数式即可求得答案．

【解答】

解：∵抛物线y=ax2+4ax+4a+1=a(x+2)2+1(a≠0)，

∴顶点坐标为(−2,1)，

∵抛物线过点A(m,3)，B(n,3)两点，

∴a>0，

∵线段AB的长不大于4，当x=0时，y=4a+1，

∴由图可知：4a+1≥3，

∴a≥12，17.【答案】解：(1)①(1,2)；②2；③3；

(2)∵对称轴为x=−b2a=−−2m2=m，

当m<−1时，且在−1≤x≤3时有最小值，

∴x=−1时，有最小值1，

∴1=(−1)2−2m×(−1)+3，解得m=−32；

当−1≤m≤3时，且在−1≤x≤3时有最小值，

∴x=m时，有最小值1，

∴1=m2−2m×m+3，

∴m=±2，

∵−1≤m≤3，

∴m=2；

当m>3时，且在−1≤x≤3时有最小值，

【解析】【分析】

本题考查的是二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质、最值公式、顶点坐标公式．

(1)①把m=1代入，得y=x2−2x+3，利用顶点坐标公式求解即可；

②y=x2−2x+3，对称轴是直线x=1，在0≤x≤4之间，故可求最小值；

③y=x2−2x+3，在2≤x≤5时，y随x增大而增大，故可求最小值；

(2)根据最小值，即可求得m值，根据范围判断即可．

【解答】

解：(1)当m=1时，y=x2−2x+3，

①y=x2−2x+3

=x2−2x+1+2，

=(x−1)2+2，

∴顶点坐标为(1,2)，

故答案为：(1,2)；

②y=x2−2x+3=(x−1)2+2，

所以最小值为2，

故答案为：2；18.【答案】(1)解：

∵y=x2∴

二次函数图象的对称轴为：

x=−1

，当

x=0

时，

y=−3

，∴

与

y

轴的交点坐标为

(0,−3)

；(2)二次函数

y=x2+2x−3

图象的顶点坐标为

(−1,−4)

，对称轴为直线

当

y=0

时，

x2+2x−3=0解得：

x1=−3

，

x∴

二次函数图象与

x

轴交点坐标为

(−3,0)

或

(1,0)

；图象如下：

∴y<0

时，自变量

x

的取值范围：

−3<x<1

．

【解析】【分析】(1)利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出对称轴；令

x=0

，可得代入抛物线解析式，解方程即可得出与

y

轴交点坐标；(2)根据图象与

x

轴的交点坐标，可确定

y<0

时，

x

的取值范围．

【点睛】本题考查了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式：

y=a(x−ℎ)2+k

，顶点坐标为

(ℎ,k)

，对称轴

19.【答案】解：(1)把A(0,−4)、B(2,0)代入一次函数y=kx+b得，

b=−42k+b=0，解得，k=2b=−4，

∴一次函数的关系式为y=2x−4，

当x=3时，y=2×3−4=2，

∴点C(3,2)，

∵点C在反比例函数的图象上，

∴k=3×2=6，

∴反比例函数的关系式为y=6x，

即一次函数的关系式为y=2x−4，反比例函数的关系式为y=6x；

(2)点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，

∴点P(n,6n)，点Q(n,2n−4)，

∴PQ=6n−(2n−4)，

∴S△PDQ=12【解析】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是求函数关系式的常用方法，将面积用函数的数学模型表示出来，利用函数的最值求解，是解决问题的基本思路．

(1)由A(0,−4)、B(2,0)的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点C的坐标，确定反比例函数的关系式；

(2)根据题意，要使三角形PDQ的面积最大，可用点P的横坐标n，表示三角形PDQ的面积，利用二次函数的性质求最值即可．20.【答案】解：(1)(m,m2−2m−3);

(2)①∵y=x−3分别与x轴和y轴交于点A和点B，

∴当x=0时，y=−3;当y=0时，x=3;

∴A(3,0)，B(0,−3)，

过点P作PH⊥x轴于点H，与AB交于点C，如图所示：

∵由(1)得P的坐标为(m,m2−2m−3)，

∴C(m,m−3)，

∴|PC|=|m2−3m|，

∴S△PAB=12PC×(AH+OH)=32PC=32|m2−3m|，

∵△PAB面积有最大值，

∴S=−32m2+92m，

当m=−b2a=32时，S△PAB最大，m2−2m−3=−154<0，

∴点P(32,−154)在第四象限，符合题意，

此时y=−x2+3x−6;

②由①得抛物线G为y=−x2+3x−6，

∴沿y轴向上平移t(t>0)个单位长度得到抛物线G′，即y=−x2+3x−6+t，

当G′与直线AB只有一个交点时，

y=−x2+3x−6+ty=x−3

整理得−x2+2x−3+t=0，

Δ=4−4×(−1)×(−3+t)=0，

解得：t=2，

此时G′与BP有一个交点，与AP有一个交点，共三个交点，不符合题意，

∴由图象得：当0<t<2时，G′与△PAB的边BP、AP各有一个交点，共两个交点，符合题意;

当G′抛物线经过点【解析】【分析】

本题主要考查一次函数与二次函数综合问题，包括二次函数的基本性质，面积问题，交点问题等，理解题意，综合运用这些知识点结合函数图象求解是解题关键．

(1)将解析式变形为顶点式即可求解;

(2)①由一次函数解析式确定A(3,0)，B(0,−3)，过点P作PH⊥x轴于点H，与AB交于点C，得出C(m,m−3)，|PC|=|m2−3m|，结合图象表示出三角形的面积，然后根据最值情况求解即可;

②根据题意得出G′的解析式为：y=−x2+3x−6+t，分三种情况：当G′与直线AB只有一个交点时;当G′抛物线经过点B时;当G′过点A时;结合函数图象分别求解即可得出结果．

【解答】

解：(1)∵y=−x2+2mx−2m−3=−(x−m)21.【答案】解：(1)当b=−1时，y=1∴y=1∴对称轴为x=1，当x=1时，函数值最小，最小值为12(2)∵y=12x2+bx+1，

∴对称轴为直线x=−b2×12=−b，

 ①当x=−b≤0，即b≥0时，

∴当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，

∴当x=0时，y最小，最小值为1>−1，

∴b≥0;

 ②当0<−b<2时，即−2<b<0，

∴当x=−b时y有最小值，ymin=12×(−b)2+b×(−b)+1=−12b2+1，

令−12b2+1≥−1，解得−2≤b≤2，

∴−2<b<0;

 ③当x=−b≥2时，即b≤−2

【解析】本题考查二次函数图象与性质及二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．

(1)把二次函数解析式转化为顶点式即可求解；(2)求出抛物线对称轴为直线x=−b，再分−b≤0，0<−b<2，−b≥2三种情况进行讨论．22.【答案】解：(1)1；(2)当a>0时，

∵对称轴为x=1，当x=1时，y有最小值为−a，当x=3时，y有最大值为3a，∴3a−(−a)=4．∴a=1，∴二次函数的表达式为：y=x当a<0时，同理可得y有最大值为−a；y有最小值为3a，∴−a−3a=4，∴a=−1，∴二次函数的表达式为：y=−x综上所述，二次函数的表达式为：y=x2−2x(3)∵a<0，对称轴为x=1，∴x≤1时，y随x的增大而增大，x>1时，y随x的增大而减小，x=−1和x=3时的函数值相等，∵t≤x1≤t+1，x∴t≥