高中数学大招手卡80招

高中费学大4

•【集合】摩根定律

解析

在命题逻辑中，若P、。是两命题，则P与Q的"且"与"或"关系存在下面的

逻辑：

非（P且Q）=（非P）或（非Q）

非（P或Q）=（非Q且（非Q）

第❶招

【函数】三次函数的对称性质

@9

团数/（X）=Cix+bx2+ex+J=0的对称中心横坐标X。满足/”（与）=0,其中易求■

•_■・电

出々二-----，即对称中心坐标为（--,/（-一））n

27.一

学

大

婚

于

十

第❷招

【函数】指数变种型对称性质

解析

团数/W=.的对称中心为（log/",(〃-0,〃，0)。■

中

记忆习诀:横下对，纵半分，M

学

大

»

手

士

第❷招

【函数】抽象函数周期

解析

1./（X+。）+/U+b）=C（c为常数目aHb）

T=2\b-a\

2.f（x+a）if（x+b）=c（c为常数且aHb）

T=2\b-a\

第o招

•【函数】抽象函数的对称性

解析

1./（X）满足+X）=f（b-x）则可以推出

/（X）关于直线工二号：成轴对称。

2./（X）满足/（a+%）+/（/?-x）二c则可以推出

/（X）关于点|=，：11成中心对称。

第❷招

【函数】对称变周期性质

解析

口诀)两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差。

1.如果f(x)关于x=a对称I且关于x=b对称，则f(x)有周期性，，丁

且T=2\b—a|字

X

格

2.如果f(x)关于(a,0)对称，且关于(心0)对称，则人x)有周期性,

且7=2一a|

3.如果f(x)关于x=a对称,且关于(b,0)对称，则fix)有周期性，

且T=4\h—a|第多招

【三角函数】积化和差公式

解析

记忆习诀)异性为正弦，和差+号连,同性为余弦，差和（+连。

cos(a-8)-cos(a+8)中

sina-sin。=?

cos(cr-6)+cos(cr+6)

cosa-cos。=2

sin(a+6)+sin(cr-6)

sina-cos^=2

第❼招

【三角函数】和差化积公式奇盹习诀

解析

帅）sin哥）cos

•Q••帅+帅二帅哥

sina+sin。=2sin-COS"广

帅（帅二哥帅

sina-sinB=2cos

cosa+cos/3=2cos哥+哥二哥哥

cosa-cos/3=-2sin哥（哥二负嫂嫂

【三角函数】万能公式

e

2tan-

辅助勾股定理记忆）

斜邻边（加减方。

【三角函数】配凑角的方法

解析

o=(a-。)+B=9+BLB以二（a-；）-（1-⑶

a=3+ir-a

，♦,♦。-B(a+g

2a=(a+G)+(a-/3)2

1r1I.

第⑫招

【解三角形】直角三角形的射影定理

解析

若三角形ABC为直角三角形，且“BC=

A

则AC2=ABAD

BC2=AB-BD

CD2=AO•BD

BC第。招

•【解三角形】任意三角形射影定理

解析

在三角形A8C中，。也c,分别为ZA,ZB,ZC的对边，则任意一边可由另两边及两

角余弦值表示。

a-hcosC+ccosB

h=ccosA+QCOSC

c=acos8+hcosA

第图招

,【解三角形】恒等式拓展

解析

在三角形ABC中，a,b,c分别为乙4,乙C的对边

1.s\nA+sinB+sinC=4cos-cos™cosy

**X

4I

2.cosA+cosB+cosC=1+4sin-sin-sin

3.sin2A+sin2B+sin2C=2+2cosAcosBcosC

4.cos2A+cos2B+cos2C=1-2cos4cos3cosc

5.sin2A-sin2B=sin(A-8)sin(A+B)

第⑥招

6.tanA+tanB+tanC=tanA•tanB-tanC

【解三角形】中线定理

三角形一条中线两侧对应边平方和等于底边一半的平方8该边中线平方的和的2倍。

三角形A3C中，点。为8c边中

点的，贝UAB2+AC2=2BD2+2AD2或

AD2=i{2AB'+2AC2-HC2)

BD

第©招

【解三角形】角分线定理

解析

三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

A

编ABC中，4。为角NBAC的平分线

则善保

BD

第©招

【解三角形】相关圆半径

解析

设S为三角形面积，a、b、c为三角形三边长

if

内切圆半径）r

外接圆半径）R二丝=_2_=_i-

L一WaJ

欧拉不等式）若三角形外接圆半径为R,内切圆半径为r,则R>2r,当且仅当正

三角形时等号成立。

第⑥招

【解三角形】三角不等式

解析

在三角形ABC中，a,b,c分别为乙A,乙C的对边

1.a2+b2+cr>2abeosC+2accosB+2/?ccosA

2.sinA>sinB<=>cos2A>cos2B

3.在锐角三角形中

sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC

tanA+tanB+lane>------+-------+------

Mei

第

【解三角形】平行四边形中的定值

平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和。

AC2+BD1=AB2+BC2+cb2+DA2=2A加+2BC2

第❽招

【解三角形】三角形面积公式（1）

解析

公式一）5=¥%=汕=2（底乘高公式）

公式二）S=-«Z?sinC=i/csinB=^bcsinA（两边一夹角公式）

公0=^^

公式四）S二-♦•X—.★P=：（〃+8+C）（海伦（秦九部公式，三边公式）

公式五）S=言*R是三角形外接圆半径（外接圆公式）

第尊招

・【解三角形】三角形面积公式（2）

公式六）S=2R2sinAsinfisinC（另一个外接圆公式,S=号正弦定理打开版）

公式匕）S=;+/,+c）。是三角形内切圆半径（内切圆公式）

■

公式八）5二RMsiiiA+sinB+sinC）。是三角形内切圆半径，R是三角形外接圆半

径（内切圆外接圆混合版公式）

公式九）S=4R«cosWcos：cosW）是三角形内切圆半径，R是三角形外接圆半

M**

径（另一个内切圆外接圆混合版公式）第镯招

【解三角形】三角形面积公式（3）

解析

公式十）S="Jsin28+sin2。（两角对边公式）

公式十一）S=2sinBcos8+b22sinCcosQ（上式的二倍角展开式）

公式十二）S-i（6F+b2-c2）tanC（CW90°）（三边正切公式）

电

公式十三）S=p（p-a）tanV；〃=:（a+b+c）（另一个三边正切公式）

—

第金招

【解三角形】三角形面积公式（4）

解析

.|Hln,IIlM,HP'III”

公式十四）Yir-（北熊⑦（向量版公式）

■

1IIIMinM

-

公式十五）S=2A-J2*AB=（x,,y］）,AC=（x2,y2）（坐标版公式）

学

公式十六）S=2（x2-Xi）。3-M）-（x3-xt）（»-M）*A（Xjty）,35，必）C（M，）3）

■焙

（三点坐标公式）

汨y\I

公式十匕）S=，&%1*A（M,M）方（电，为），°（M，乃）*P=+b+c）

用X1

（三点坐标行列式公式）第多招

,【平面向量】两边数量积性质

：：

!!!”！!!”一+一一二

在编A8C中，角A,B,C所对的边分别是。,b,c，则CB,C4=

乙

3

第爹招

【平面向量】三角形四心〃点〃性质

解析

!!!”！！!”!!!*'

0A+OB+0C是重心(中线交点)

(1)=0=0・

!!!"!!!”!!!*'!!!"!!!”!!!”中

(2)OA:=OB-OC=Oc'oAQO是垂心(高线交点)K

学

!!!”!!!*'!!!”大

aOA+bOB+cOC=0O是内心(角分线交点)一内切圆圆心

(3)0»

第!”!!!,,!!「，手

(4)1。r=OB=OCoO是外心(中垂线交点)一外接圆圆心弋

第期招

【平面向量】三角形四心〃线〃性质

0是平面上一定点，A8C是平面上不共线的三点，动点P满足如下条件时，点P

轨迹一定通过三角形A8C的四心之一)

⑴战:俄+小黑+At)点P轨迹经过编ABC0勺重心*

点P轨迹经过编A3C的内心*

点P轨迹经过编ABC0勺垂心*

nriir!!广！!广

(4)界=为+°C+小例参8—+H!，")点尸轨迹经过编A8出外心

2八fl|cosN8“CCOS/C

iiriir

⑸物」％+4!!!”独——+!!!”'°)点尸轨迹经过编A以力勺重心第辱招

ABsinZ.BAC

M

王

开

用

・nzc

S1

rr

【平面向量】外心垂心向量关系

解析

II!•n・r•*n••・r*H•••IM

已知编A8C,O为其外心，H为其垂心，则oii

OA+OB+OC・

中

M

学

A大

»

手

弋

HI

B第等招

【数列】等差数列通项与前n项和求解公式

、解析,

1.在已知等差数列通项公式。”的前提下，可将含〃项系数拆成两半，一步写出前

a=A+Bn

〃项和S,的公式。A

BB学

V22大

Sn=(4+・)〃+・n-IB

手

2.在已知等差数列前〃项和S〃的前提下，可将含〃的一次项系数先拆分出一个含

有几2项的系数，一步写出通项公式1=c〃+市

C-ADDI

att=C-D+(D+D)n第多招

【数列】等差数列通项与前n项和最值问题

解析

等差数列｛〃“｝的前〃项和S,可写成8n有关的一个二次逊数.

即S„=-tr+（0--）M=An2+Bn*则S”的最值可由An2+Bn的对称轴间接确

定,可得〃（对称轴）=;-?，即S,取最值时，〃的值一定是距离〃（对称轴）

最近的正整数。

第参招

・【数列】等差三项等比性质

解析

等差数列｛内｝中存0,若%,%%成等比数列

第晋招

【数列】一次不动点递推性质

解析

不动点)方程的JU)=x根称为团数大幻的不动点

利用递推数列fix)的不动点，可将某些递推关系o所确定的数列化为等

比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.

若/⑴=QX+伙〃声0,〃H1)，〃是/(X)的不动点,{〃”}满足递推关系4”=/(^«-|),5>1)

则an-p=a(a„-x-p),即一p｝是公比为a的等比数列.

第❿招

【数列】分式1:1不动点鞭性质

解析

不动点)方程的;U)=x根称为凶数大幻的不动点

.

利用递推数列fix)的不动点，可将某些递推关系〃“=/(—)所确定的数列化为等

比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.

设/(X)="上外工0,〃d-beH0),m〃｝满足递推关系an-/(«f),(〃>1.)

CX^rd

初值条件4工/(卬)

(1)若/(x)有两个相异的不动点P，q,则7T7=k(这里k=三")

IIK

⑵若/㈤只有唯一不动点〃，则不rj=~T7+k(这里2=:二)第♦招

【数列】分式2:1不动点明隹性质

解析

不动点)方程的JU)=x根称为团数大幻的不动点

利用递推数列fix)的不动点，可将某些递推关系〃〃=/(”“一)所确定的数列化为等

比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.

设团数/(x)=，二"■：(〃H(),eH0)有两个不同的不动点X1,©,且由〃〃+1=/(〃〃)

确定着数列{〃“},那么当且仅当〃=0,e=为时，J.'A=(

•一・~・

第卷招

【不等式】重要不等式

m+nm+n,,lnn

当mn>0时a+b>ab+0bm■

m+H,,t+nmn,lu

当加〃<0时a+b<ab+ab中

M

Q0+C+…+T学

大

»

手

当且仅当a,=a2=...=an时等号成立士

匆当n>0时〃+1一n-n-1

—JI•II

E[1当n>lR寸—一—<「<"—,

・■・•[・第.招

【不等式】排序不等式

排序不等式1(切比雪夫不等式)

顺序曰二以二^二

••

逆序"•'二1・七’1S

■・■

Q排序不等式2

・

当为<x2<x3<...《外与总£,・"〃时

X，+与)>2+・・・+XJ〃?与⑴M+%(2))‘2+…+%(2〃

EM+/J2+・・・+XJ〃

第为招

*顺序和〉乱序和〉逆序和

【导数】洛必达法则

解析

对于凶数/(x)和g(x),若/(x)和g(x)在X-。处的极限值均为0或购，则■

IMf'(x)中

g(x)在XT4处极限可以由,(X)在XT。处极限表示。tl

字

即)若T呼(%)=0且"g(x)=0大

或H*(x)=8且lini&(©=8

La

Is

于

(该条件可简记为:或二)十

则lim=lim'=lim)—=

L。g(x)L。g'(x)L"g''(x)

第既招

【导数】泰勒展开对数篇

解析

针对ln(1+X)的Taylor展开公式)ln(l+x)=x——V+-x3+...+(-1)"一x"

21*・

中

M

高中阶段针对ln(l+x)的展开拓展不等式

学

1.1-2<lax<x-1大

喊

.

手

士

2.ln(x+1)<x<-1(A>-1)

第砂招

【导数】泰勒展开指数篇

解析

针对"的丁3丫1。「展开公式)廿二1+尤+；片+；炉

中

高中阶段针对e",的Taylor展开拓展不等式

1.e">\+x[x>0)

■

2.ex>1+x+—(x>0)

第蜀招

,【直线与圆】定点直线系问题

过平面内任意两条直线+B»+G=0与A/+8-，+G=。交点的直线方程可写

・

中

成/\(Aix+B\y+Ci)+伏AK+Biy+C2)=0,其中x,u是不全为零的实数。M

学

大

»

手

弋

第零招

【直线与圆】角分线斜率

解析

已知k\,h,k为过原点的直线/,,/2,h的斜率，其中，2是K和h的夹角平分线

中

则匕，3，自满足下述转化关系）n

_匕&JM）2+（匕+k3

攵］+々3

第强招

【直线与圆】四点共圆条件

若4、3、C、。是圆锥曲线（二次曲线）上顺次四点，则四点共圆（常用相交弦定理）

的一个充要条件是:直线AC、BD的斜率存在且不等于零,并有kAC+kB［）=0

（履c,匕分别表ZFAC和BD的斜率）.

第蜜招

【圆锥曲线】焦点弦长公式椭圆篇

解析

焦点在X轴上的椭圆

关于左焦点的焦点弦长为L=2a+«司-M

关于右焦点的焦点弦长为L=la-ex.-x,

焦点在y轴上的椭圆

关于上焦点的焦点弦长为L=2a-eyt-y2

关于下焦点的焦点弦长为£=勿+ey+必第❷招

【圆锥曲线】焦点弦长公式双曲线篇

若双曲线焦点弦端点在双曲线一支上■

E

焦点在X轴上的双曲线M

，

关于左焦点的焦点弦长为£:I。司+毛+2々|工

电

关于右焦点的焦点弦长为L=+W-2。于

十

焦点在），轴上的双曲线

关于上焦点的焦点弦长为L=+乃-2。

关于下焦点的焦点弦长为“=Ly+乃+2。第❷招

【圆推曲线】焦点弦长公式抛物线篇

解析

焦点在X轴上的抛物线

焦点弦长为L=p+x,+x2

焦点在y轴上的抛物线

焦点弦长为L=p+卜।+%

第©招

【圆锥曲线】焦点弦长角度公式

1.针对焦点在X轴上的圆锥曲线，

若0表示焦点弦所在直线倾斜角，则焦点弦L=产T.

2.针对焦点在y轴上的圆锥曲线，

Q)若0表示焦点弦所在直线倾斜角，则焦点弦L="落.

(2)若B表示焦点弦所在直线8焦点所在轴倾斜角,则焦点弦L=

•【圆锥曲线】圆锥曲线斜率定积定点性质

解析

针对焦点在根轴上的圆锥曲线，若圆锥曲线上有一定点P®，外）,过P作两条直

线8圆锥曲线交于不同两点A,B0直线AB在加•勒二4时，恒过定点。

椭圆，直线AB恒过定点坐标小晶。，-4二J।且出工）

Q双曲线，直线48恒过定点坐标三二曲，-匕《，J|且*一二

匆抛物线，直线AB恒过定点坐标1-孑，-%|।且*，0

第缈招

【圆推曲线】圆锥曲线斜率定和定点性质

解析

针对焦点在根轴上的圆锥曲线,若圆锥曲线上有一定点P3),比)，过尸作两条直

中

线8圆锥曲线交于不同两点A,B0直线AB在kpA+kpR=A(At0)时，恒过定点。

AM

椭圆，直线AB恒过定点坐标上一9，一:T*%)且。

Q双曲线，直线AB恒过定点坐标卜-羊,4d比|且/U0

匆抛物线，直线恒过定点坐标卜-三,沮)，。］且及。

第砥招

【圆锥曲线】顶点定值子弦定义

设点P是圆锥曲线的一个顶点。PA、PB是该曲线过顶点。的两条弦。

Q)当直线PA、尸8斜率之积为定值2时，称线段48为该曲线顶点户的关于定

值A的斜率等积子弦*

(2)当直线PA、PB斜率之和为定值x时，称线段AB为该曲线顶点P的关于

定值2的斜率等和子弦。

・4一♦

第每招

【圆锥曲线】顶点定值子弦性质椭圆篇

解析■

椭圆5+W=1(«>/?>0)

若4二;，椭园左右顶点的斜率等积子弦都8根轴平行

当洋0时

椭圆上下顶点的斜率等积子弦都8y轴平行

若二，椭圆左右、上下顶点的斜率等积子弦所在直线分别过定点

左I■三手。|右忏田。|上卜〜I下卜爷片I

椭圆左右、上下顶点的斜率等和子弦所在直线分别过定点

左卜，厘右上卜弓iI下停”

当丫二0时椭圆左右顶点的斜率等和子弦都8X轴垂直

椭圆上下顶点的斜率等和子弦都8)，轴垂直第超招

*

【圆锥曲线】顶点定值子弦，性质双曲线篇

王

开

解析出

双曲线J-m=\(a>0,Z?>0)

当洋。时若上-；，双曲线左右顶点的斜率等积子弦都8根轴平行

若耳g,双曲线左右顶点的斜率等积子弦所在直线分别过定点

左卜11^中I右^F

双曲线左右顶点的斜率等和子弦所在直线分别过定点

当Y=o时双曲线的左右顶点的斜率等和子弦都8#由垂直

第❿招

【圆锥曲线】顶点定值子弦性质抛物线篇

解析

抛物线y2=2PMp>0)

当洋。时顶点的斜率等积子弦所在直线过定点（-工，。）

顶点的斜率等和子弦所在直线过定点（0，义

当丫二o时顶点的斜率等和子弦8抛物线对称轴垂直

第密招

【圆锥曲线】〃留一代一〃切线技巧

解析,

若点P（xo,泗）在圆锥曲线上，则过点尸作圆锥曲线的切线方程可由原曲线方程改

写，改写方式统称为〃留T弋一”

中

学

,

1椭圆7+7=1过点pa。，光）的切线方程为十洋118

于

2.双曲线//1过点尸（的，为）的切线方程为2-e=1*

3.他物线/=2Px过点P（Xo,为）的切线方程为.y>0=P（x+的）

第翕招

注）焦点在），轴时，此技巧也成立。

•【圆锥曲线】〃留一代一〃切点弦技巧

解析

若点尸（刈，加）在圆锥曲线外，过点P做圆锥曲线的两条切线。切点分别为侬N,

则线段MN被称为切点弦,线段MN所在直线方程可由原方程改写,改写方式统

称为"留一代一"）

2x+X。,y+%

XA

22

1椭圆=1中线段所在直线方程为

2.双曲线占-1二1中线段MN所在直线方程为与-尊二1

3.抛物线/=2Px中线段所在直线方程为》。=〃（x+/）

第多招

注）焦点在），轴时，此技巧也成立。

【圆锥曲线】〃左留一右纯代〃中点弦技巧

解析

若点尸5，光）在圆锥曲线内,则以点P为中点的中点弦所在直线方程可利用”左留

-,右纯带〃技巧写出。

i.椭圆1+g=।以点为中点的弦所在直线方程为.+2=工++i

2.双曲线:-9二1以点为中点的弦所在直线方程为3-孑二芋-y+

2

3.抛物线=2px以点%）为中点的弦所在直线方程为yyo-p（x+x0）=yo-2px0

第翕招

注）焦点在y轴时，此技巧也成立。

【圆推曲线】焦点弦两焦半径倒数和性质

解析

对于椭圆，双曲线（焦点弦端点在同支）以及抛物线的情况）

焦点弦的两个焦半径的倒数和为常数&+高二洲•或焦点弦的两个焦半径的

-------------=ep

调和平均等于ep,即；+jj

注）其中，p称为焦准距，即圆锥曲线焦点到相应准线的距离。

椭圆）p=双曲线）p=抛物线）P=P

第您招

•【圆推曲线】垂直焦点弦倒数和性质

解析

圆锥曲线中相互垂直的焦点弦长度的倒数和为常数。

・

中

以焦点在x轴上的椭圆为例，AB.CD是两个互相垂直的焦点弦，K

学

大

»

手