2024-2025学年北京市171中学九年级（下）开学数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年北京市171中学九年级（下）开学数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．（2分）2021年我国加大农村义务教育薄弱环节建设力度，提高学生营养改善计划补助标准，约37000000学生受益．将37000000用科学记数法表示应为（）A．0.37×106 B．3.7×106 C．3.7×107 D．37×1062．（2分）下列度数的角，只借助一副三角尺不能拼出的是（）A．15° B．75° C．105° D．115°3．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．b﹣c＜0 B．b＞﹣2 C．a+c＞0 D．|b|＞|c|4．（2分）下列多边形中，内角和为720°的是（）A． B． C． D．5．（2分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A．平行四边形 B．等腰三角形 C．正五边形 D．矩形6．（2分）将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕AB的长是（）A．cm B．cm C．2cm D．4cm7．（2分）2022年2月24日晚，举世瞩目的北京第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在国家体育场隆重举行．冬奥会的项目有滑雪（如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑雪等）、滑冰（如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等），有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有高山滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的项目图案，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪图案的概率是（）A． B． C． D．8．（2分）某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm，把这个长方体表面涂满油漆时，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（）A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，则∠A＝°．11．（2分）已知关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．12．（2分）已知＜m＜，且m是整数．13．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，则∠A的度数为．14．（2分）已知点A（1，2），B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点B的坐标为．15．（2分）下表记录了甲、乙、丙三名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：甲乙丙平均数9.359.349.34方差6.66.96.7根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择．16．（2分）某市为进一步加快文明城市的建设，园林局尝试种植A、B两种树种．经过试种后发现，种植A种树苗a棵（a+5）棵，种植B种树苗b棵，种下后成活了（b﹣2），且两种树苗的成活棵树相同，则种植A种树苗棵．第二阶段，该园林局又种植A种树苗m棵，B种树苗n棵，在第一阶段的基础上进行统计，则这两个阶段种植A种树苗成活棵数种植B种树苗成活棵数（填“＞”“＜”或“＝”）．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17．（5分）计算：2cos30°﹣（）﹣2+（π﹣2）0﹣．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知m2+m﹣3＝0，求代数式的值．20．（5分）已知：如图，点M为锐角∠APB的边PA上一点．求作：∠AMD，使得点D在边PB上，且∠AMD＝2∠P．作法：①以点M为圆心，MP长为半径画圆，交PA于另一点C；②作射线MD．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵P、C、D都在⊙M上，∠P为所对的圆周角，∠CMD为，∴∠P＝∠CMD（）（填推理依据）．∴∠AMD＝2∠P．21．（6分）如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，隧道顶的跨度为4米，最高处到地面的距离为4米，距左侧墙壁1米和3米时，隧道高度均为3.75米．设距左侧墙壁水平距离为x米的地点请解决以下问题：（1））在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）请结合所画图象，写出抛物线的对称轴；（3）今有宽为2.4米的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的高度为3.2米，要求卡车从隧道中间通过时，要求卡车载物后最高点到隧道顶面对应的点的距离均不小于0.6米，结合所画图象22．（5分）如图，在▱ABCD中，过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E（1）求证：四边形BFCE是矩形；（2）连接AC，若AB＝BE＝2，tan∠FBC＝23．（6分）如图，一次函数y＝kx+4k（k≠0）的图象与x轴交于点A．（1）求出点A的坐标；（2）当x＜﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝x的值小于一次函数y＝kx+4k（k≠0），求k的取值范围．24．（6分）如图，BE是⊙O直径，点A是⊙O外一点，AP切⊙O于点P，连接BP交AO于点C．（1）求证：∠PAO＝2∠PBO；（2）若⊙O的半径为5，tan∠PAO＝，求BP的长．25．（5分）为庆祝中国共产党建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，从中各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩），描述和分析，下面给出了部分信息：a．八年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；b．八年级学生成绩在80≤x＜90的这一组是：80 81 82 83 83 83.583.5 84 84 85 86 86.5 87 88 89 89七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如表：年级平均数中位数众数七年级87.28591八年级85.3m90根据以上信息，回答下列问题：（1）表中m的值为；（2）在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生，在年级抽样学生中排名更靠前，理由是；（3）若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，y1），B（a+1，y2）在抛物线y＝x2﹣2ax+1上．（1）当a＝2时，求抛物线的顶点坐标，并直接写出y1和y2的大小关系；（2）抛物线经过点C（m，y3）①当m＝2时，若y1＝y3，则a的值为；②若对于任意的2≤m≤6都满足y1＞y3＞y2，求a的取值范围．27．（7分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，点E在边AC上，CE＝CD．点D关于点B的对称点为点F，P为AD的中点，连接PE，EF．（1）如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系；（2）如图2，当点D与点B，C不重合时（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，请举出反例．28．（7分）对于点P和图形G，若在图形G上存在不重合的点M和点N，使得点P关于线段MN中点的对称点在图形G上，已知点A（1，0），B（1，1），C（0，1）（1）在点，，P3（1，﹣2），P4（﹣2，2）中，是正方形OABC的“中称点”；（2）⊙T的圆心在x轴上，半径为1．①当圆心T与原点O重合时，若直线y＝x+m上存在⊙T的“中称点”，求m的取值范围；②若正方形OABC的“中称点”都是⊙T的“中称点”，直接写出圆心T的横坐标t的取值范围．

2024-2025学年北京市171中学九年级（下）开学数学试卷参考答案与试题解析题号12345678答案CDBDDBBD一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．（2分）2021年我国加大农村义务教育薄弱环节建设力度，提高学生营养改善计划补助标准，约37000000学生受益．将37000000用科学记数法表示应为（）A．0.37×106 B．3.7×106 C．3.7×107 D．37×106【解答】解：37000000＝3.7×103．故选：C．2．（2分）下列度数的角，只借助一副三角尺不能拼出的是（）A．15° B．75° C．105° D．115°【解答】解：A、15°＝45°﹣30°它可以用一副三角尺拼出；B、75°＝45°+30°；C、105°＝45°+60°；D、115°．故选：D．3．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．b﹣c＜0 B．b＞﹣2 C．a+c＞0 D．|b|＞|c|【解答】解：∵c＜b，∴b﹣c＞0，∴选项A不符合题意；∵b＞﹣2正确，∴选项B符合题意；∵c＜2＜a，|c|＞|a|，∴a+c＜0，∴选项C不符合题意；∵|c|＞|b|，∴选项D不符合题意．故选：B．4．（2分）下列多边形中，内角和为720°的是（）A． B． C． D．【解答】解：这个正多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝720°，解得：n＝6．则这个正多边形的边数是六，故选：D．5．（2分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A．平行四边形 B．等腰三角形 C．正五边形 D．矩形【解答】解：A．平行四边形是中心对称图形，故此选项不合题意；B．等腰三角形是轴对称图形，故此选项不合题意；C．正五边形是轴对称图形，故此选项不合题意；D．矩形既是中心对称图形，符合题意．故选：D．6．（2分）将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕AB的长是（）A．cm B．cm C．2cm D．4cm【解答】解：如图，作AM⊥CB，垂足为M、N，∵长方形纸条的宽为2cm，∴AM＝BN＝2cm，∴CB＝AC，∵∠ACB＝60°，∴△ACB是等边三角形，在Rt△ABN中，AB＝＝＝．故选：B．7．（2分）2022年2月24日晚，举世瞩目的北京第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在国家体育场隆重举行．冬奥会的项目有滑雪（如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑雪等）、滑冰（如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等），有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有高山滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的项目图案，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪图案的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：∵有5张形状、大小，滑雪项目图案的有高山滑雪和单板滑雪2张，∴从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪项目图案的概率是；故选：B．8．（2分）某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm，把这个长方体表面涂满油漆时，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（）A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系【解答】解：设长方体的底面边长为xcm，则高为（x+50）cm，所以总费用y＝0.0016×2×[x7+2x（x+50）]＝0.0096x5+0.32x，故选：D．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是x≠1．【解答】解：依题意得：x﹣1≠0，解得x≠4，故答案为：x≠1．10．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，则∠A＝36°．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵AB的垂直平分线MN交AC于D点．∴∠A＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠C＝2∠A＝∠ABC，设∠A为x，可得：x+x+x+2x＝180°，解得：x＝36°，故答案为：3611．（2分）已知关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a＜．【解答】解：根据题意得Δ＝（2a﹣1）6﹣4a2＞2，解得a＜，所以a的取值范围是a＜．故答案为：a＜．12．（2分）已知＜m＜，且m是整数2或3（写一个即可）．【解答】解：∵1＜＜3＜4，又，且m是整数，∴m＝7或m＝3，故答案为：2或4（写一个即可）．13．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，则∠A的度数为70°．【解答】解：∵OB＝OC，∠OCB＝20°，∴∠OBC＝∠OCB＝20°，∴∠BOC＝180°﹣20°﹣20°＝140°，∴∠A＝∠BOC＝70°．故答案为：70°．14．（2分）已知点A（1，2），B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点B的坐标为（2，1）．【解答】解：将A（1，2）代入反比例函数解析式，得k＝7×2＝2，∴反比例函数解析式，设B（m，），∵OA＝OB，∴，解得m＝±2或±2，∵x＞0，∴m＝6，∴B（2，1）．故答案为：（3，1）．15．（2分）下表记录了甲、乙、丙三名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：甲乙丙平均数9.359.349.34方差6.66.96.7根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择甲．【解答】解：∵甲的平均数较大，且甲的方差较小，∴选择甲参加比赛，故答案为：甲．16．（2分）某市为进一步加快文明城市的建设，园林局尝试种植A、B两种树种．经过试种后发现，种植A种树苗a棵（a+5）棵，种植B种树苗b棵，种下后成活了（b﹣2），且两种树苗的成活棵树相同，则种植A种树苗22棵．第二阶段，该园林局又种植A种树苗m棵，B种树苗n棵，在第一阶段的基础上进行统计，则这两个阶段种植A种树苗成活棵数＞种植B种树苗成活棵数（填“＞”“＜”或“＝”）．【解答】解：第一阶段，由题意得：，解得：，∴种植A种树苗22棵，第二阶段，∵种植A种树苗m棵，B种树苗n棵，∴A种树苗成活了m+5＝（n+5）棵，∴两个阶段A种树苗共成活了×22+5+n+2＝（n+21）棵，∵n+21＞n+14，∴这两个阶段种植A种树苗成活棵数＞种植B种树苗成活棵数，故答案为：22，＞．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17．（5分）计算：2cos30°﹣（）﹣2+（π﹣2）0﹣．【解答】解：原式＝2×﹣4+1﹣7＝﹣2+1﹣2＝﹣3﹣．18．（5分）解不等式组：．【解答】解：解不等式x﹣2≤1，得：x≤3，解不等式＜x﹣4，则不等式组的解集为＜x≤3．19．（5分）已知m2+m﹣3＝0，求代数式的值．【解答】解：＝•＝•＝m（m+1）＝m5+m，当m2+m﹣3＝4时，即m2+m＝3，原式＝6．20．（5分）已知：如图，点M为锐角∠APB的边PA上一点．求作：∠AMD，使得点D在边PB上，且∠AMD＝2∠P．作法：①以点M为圆心，MP长为半径画圆，交PA于另一点C；②作射线MD．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵P、C、D都在⊙M上，∠P为所对的圆周角，∠CMD为，∴∠P＝∠CMD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半）（填推理依据）．∴∠AMD＝2∠P．【解答】解：（1）如图，即为补全的图形，（2）证明：∵P、C、D都在⊙M上，∠P为所对的圆周角所对的圆心角，∴∠P＝∠CMD（在同圆或等圆中，∴∠AMD＝5∠P．故答案为：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．21．（6分）如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，隧道顶的跨度为4米，最高处到地面的距离为4米，距左侧墙壁1米和3米时，隧道高度均为3.75米．设距左侧墙壁水平距离为x米的地点请解决以下问题：（1））在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）请结合所画图象，写出抛物线的对称轴；（3）今有宽为2.4米的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的高度为3.2米，要求卡车从隧道中间通过时，要求卡车载物后最高点到隧道顶面对应的点的距离均不小于0.6米，结合所画图象【解答】解：（1）如图，（2）由图象可得，抛物线的对称轴为直线x＝2；（3）由图象可得顶点坐标为（2，5），所以设y＝a（x﹣2）2+8，把（0，3）代入可得a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣2）2+8，当x＝2+＝3.7时×（8.2﹣2）5+4＝3.62，8.62﹣3.2＜6.6，所以卡车不能通过隧道．22．（5分）如图，在▱ABCD中，过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E（1）求证：四边形BFCE是矩形；（2）连接AC，若AB＝BE＝2，tan∠FBC＝【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵CF∥EB，∴四边形BFCE是平行四边形，又∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴平行四边形BFCE是矩形；（2）解：由（1）可知，四边形BFCE是矩形，∴FC＝BE＝2，∠BFC＝90°，∴tan∠FBC＝＝，∴BF＝2FC＝4，∵AB＝2，∴AF＝AB+BF＝2+4＝2，在Rt△AFC中，由勾股定理得：AC＝＝．23．（6分）如图，一次函数y＝kx+4k（k≠0）的图象与x轴交于点A．（1）求出点A的坐标；（2）当x＜﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝x的值小于一次函数y＝kx+4k（k≠0），求k的取值范围．【解答】解：（1）∵点A是一次函数y＝kx+4k（k≠0）的图象与x轴交点，∴A点的纵坐标为8，即kx+4k＝0，∴解得x＝﹣，∴x＝﹣4，∴A点坐标为（﹣4，3）；（2）∵一次函数y＝kx+4k＝k（x+4），∴一次函数y＝kx+6k过定点（﹣4，0），∵当x＞﹣3时，对于x的每一个值，∴一次函数y＝kx+4k和一次函数y＝x在x＞﹣1时，无交点，∴k≥2．24．（6分）如图，BE是⊙O直径，点A是⊙O外一点，AP切⊙O于点P，连接BP交AO于点C．（1）求证：∠PAO＝2∠PBO；（2）若⊙O的半径为5，tan∠PAO＝，求BP的长．【解答】（1）证明：连接OP，如图，∵AP切⊙O于点P，∴OP⊥AP，∴∠PAO+∠AOP＝90°，∵OA⊥OB，∴∠AOE＝90°，即∠AOP+∠POE＝90°，∴∠PAO＝∠POE，∵∠POE＝2∠PBO，∴∠PAO＝2∠PBO；（2）解：过P点作PH⊥BE于H点，如图，∵∠PAO＝∠POH，∴tan∠POH＝tan∠PAO＝，在Rt△POH中，tan∠POH＝＝，设PH＝3x，OH＝4x，∴OP＝8x，即5x＝5，解得x＝4，∴PH＝3，OH＝4，在Rt△OPH中，∵PH＝2，∴BP＝＝3．25．（5分）为庆祝中国共产党建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，从中各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩），描述和分析，下面给出了部分信息：a．八年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；b．八年级学生成绩在80≤x＜90的这一组是：80 81 82 83 83 83.583.5 84 84 85 86 86.5 87 88 89 89七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如表：年级平均数中位数众数七年级87.28591八年级85.3m90根据以上信息，回答下列问题：（1）表中m的值为83；（2）在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生，在八年级抽样学生中排名更靠前，理由是该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数；（3）若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数．【解答】解：（1）∵八年级共抽取了50名学生，测试成绩按从小到大的顺序排列，26名学生的成绩为8（3分），∴m＝＝83（分）；故答案为：83；（2）在八年级排名更靠前，理由如下：∵八年级的中位数是8（3分），七年级的中位数是7（5分），∴该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数，∴在八年级排名更靠前；故答案为：八；该学生的成绩大于八年级成绩的中位数；（3）因为八年级成绩8（8分）及以上有20人，所以×300＝120（人），答：八年级达到“优秀”的人数大约为120人．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，y1），B（a+1，y2）在抛物线y＝x2﹣2ax+1上．（1）当a＝2时，求抛物线的顶点坐标，并直接写出y1和y2的大小关系；（2）抛物线经过点C（m，y3）①当m＝2时，若y1＝y3，则a的值为﹣；②若对于任意的2≤m≤6都满足y1＞y3＞y2，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝2时，y＝x2﹣2×2x+1＝（x﹣7）2﹣3，B（3，y2），∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，﹣7），∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越大．∵2﹣（﹣3）＞8﹣2，∴y1＞y7；（2）①当m＝2时，点C（2，y4），∵y1＝y3，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a．∴a＝﹣．故答案为：﹣；②由题意，∵y＝（x﹣a）2﹣a6+1，∴抛物线的对称轴是直线x＝a，且抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．∵对于任意的2≤m≤5都满足y1＞y3＞y6，∴|a+3|＞|m﹣a|＞|a+1﹣a|．又∵8≤m≤6，∴a+3＞6﹣a＞1．∴＜a＜5．27．（7分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，点E在边AC上，CE＝CD．点D关于点B的对称点为点F，P为AD的中点，连接PE，EF．（1）如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系；（2）如图2，当点D与点B，C不重合时（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，请举出反例．【解答】解：（1）PE⊥PF，＝．理由如下：由题意知，D，B，F三点重合，∴CD＝BC，PF＝PD＝PB，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，