2024–2025学年九年级数学暑假提升讲义（北师大版）第04讲 矩形的判定（解析版）

第04讲矩形的判定

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模块一思维导图串知识i.理解并掌握矩形的判定定理，能有理有据的推理证明,

模块二基础知识全梳理（吃透教材）精练准确地书写表达；

模块三核心考点举一反三2.能熟练应用矩形的性质、判定等知识进行有关证明和

模块四小试牛刀过关测计算。

6模块一思维导图串知识-----------------------------

1,定义法：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；

矩形的判定<2.对角线相等的平行四边形是矩形；

3.有三个角是直角的四边形是矩形.

模块二基础知识全梳理-----------------------------

矩形的判定

矩形的判定有三种方法：

1.定义法：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；

2.对角线相等的平行四边形是矩形；

3.有三个角是直角的四边形是矩形.

要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.

6模块三核心考点举一反三----------------------------

考点一：矩形的判定定理理解

X例1.（23-24八年级下•重庆九龙坡•期中）下列说法正确的是（）

A.对•角线互相垂直的平行四边形是矩形B.有一个角是直帮的平行四边形是矩形

C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形D.对角线互相垂直且相等的四边形是矩形

【答案】B

【分析】本题考查了矩形的判定定理，掌握以上定理是解题的关键.根据矩形的判定定理逐项分析即可.

【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以A选项不符合题意；

B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以B选项符合题意；

C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以C选项不符合题意；

D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以D选项不符合题意；

故选：B.

【变式1・1】（23-24八年级下•江苏南京•期中）要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（）

A.测量两组对角是否互补B.测量对角线是否相等

C.测量对角线是否互相平分D.测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等

【答案】D

【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形;

（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形.根据矩形的判定定

理判定即可.

【详解】解：A、测量两组对角是否互补，不能判定四边形的形状，故本选项不符合题意；

B、对角线相等的四边形不一定是矩形，故本选项不符合题意；

C、测量对角线是否互相平分，能判定平行四边形，不一定是矩形，故本选项不符合题意：

D、根据对角线相等且互相平分四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可

判断是否是矩形.故本选项符合题意.

故选：D.

【变式1・2】（23-24八年级下•重庆江津•阶段练习）下列说法错误的是（）

A.对角线互相平分的四边形是矩形

B.对角线相等的平行四边形是矩形

C.对角线互相平分且相等的四边形是矩形

D.三个角是直角的四边形是矩形

【答案】A

【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟知矩形的判定定理是解题的关键.

【详解】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原说法错误，符合题意；

B、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法正确，不符合题意；

C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原说法正确，不符合题意；

D、三个角是直角的四边形是矩形，原说法正确，不符合题意；

故选：A.

【变式1・3】（23-24八年级下•广东深圳•阶段练习）已知四边形A8CO的对角线相交于点。，则下列条件中

不能判定它是矩形的是（）

A.AB=CD,AB//CD,NBAD=90。

B.AO=CO,BO=DO,AC=BD

C.^BAD="ABC=90°,/BCD+ZADC=180°

D.NBAD=NBCD,NABC=NADC=骄

【答案】C

【分析】本题考查的是矩形的判定，熟记判定方法是解本题的关键.矩形的判定定理有：（I）有一个角是

直角的平行四边形是矩形.（2）有三个角是直角的四边形是矩形.（3）对角线互相平分且相等的四边形

是矩形.据此判断即可.

【洋解】解：如图,

BC

•：AB=CD,AB〃CD,

四边形A8C"是平行四边形，

XZB/V）=90°,

・•・平行四边形A8CQ是矩形，故A不符合题意；

AO=CO、BO=DO,AC=BD,

根据“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”可以判定平行四边形A8C。是矩形,

故B不符合题意；

/BAD=ZABC=90°,NBCD+ZADC=180°,

:.AD//BC,

但/BC。不一定与一人力C相等，无法判定四边形45CD是矩形，

故C符合题意；

•・•ZBAD=NBCD,NABC=^ADC=90°,

/.ZZMD=ZA£?C=ZACD=90°,

・・・四边形48C。是矩形，故D不符合题意；

故选：C.

考点二：添一条件使四边形是矩形

例2.（23-24八年级下•山西吕梁・期中）如图，在平行四边形A8CO中，对角线AC,8。交于点。,

AC=6,若要使平行四边形A8CD为矩形，则OB的长度应为.

【答案】3

【分析】本题考查了矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可解答，熟知相关判定方法是

解题的关键.

【详解】解：,四边形48CQ为平行四边形，

2

要使平行四边形ABC。为矩形，则需要BO=AC=6,

••.。8的长度应为18口=3,

2

故答案为：3.

【变式2・1】（2024.云南曲靖.二模）如图，已知在四边形A8C7）中，对角线4C,3。交于点。，且

OA=OC,OB=OD,要使四边形ABCQ是矩形，可添加一个条件是.

【答案】AC=8D不唯一

【分析】根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，添加条件即可.本题考查了矩形的判定，熟练掌握

判定定理是解题的关键.

【详解】yOA=OC,OB=OD,AC=BD,

，四边形A8CO是矩形，

故答案为：AC=BD.

【变式2・2】（2024•黑龙江佳木斯•二模）如图，已知YA6CD中对角线AC,3。相交丁点O,请你添加一

个适当的条件，使YA8C。成为一个矩形.你添加的条件是（填一个即可）.

【答案】AC=BD（答案不唯一）.

【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可.此题主要考查了矩形的判定,

关键是熟练掌握矩形的判定定理，难度不大.

【详解】解：添加的条件是=（答案不唯一），

理由是：・；AC=BD,四边形ABC。是平行四边形，

二•平行四边形ABC。是矩形，

故答案为：AC=BD（答案不唯一）.

【变式2・3】（23-24八年级下.江苏泰州.期中）如图，在YA3CD中，AC.BD相交于点0,点E、F在3D

上，BE=DF,顺次连接4、F、aE,添加一个条件使得四边形AEb是矩形，则该条件可以是.

（填一个即可）

BC

【答案】/E4F=90。（答案不唯一）

【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，由矩形的判定可得出答案，熟记矩形的判定定理是

解题的关键.

【详解】解：添加NE4”=90。使得四边形AECF是矩形.

丁四边形ABCD是平行四边形，

0A=OC,OB=OD,

BE=DF,

:.OE=OF,

二.四边形是平行四边形，

ZE4F=90°,

••・四边形AEC”是矩形.

故答案为：ZE4F=90°.

考点三：证明四边形是矩形

、例3.（23-24八年级下.广东江门.期末）平行四边形A3CZ）中，过点。作A/3于点E,点尸在。。

AE,连接ER".求证：四边形8立应是矩形.

AB

【答案】见解析

【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定.根据平行四边形的性质，可得AB与C。的关系，根

据平行四边形的判定，可得3收纪是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案.

【详解】证明：四边形A8CO是平行四边形，

/.AB//CD,AB=CD,

•:CF=AE,

：.AB-AE=CD-CF,

即。尸=

,/BE〃DF,

二四边形外DE是平行四边形，

DEJ.AB,

/.ZD£K=9O°,

二•四边形3/7组是矩形.

【变式3-1］（2024.陕西榆林•三横）如图，在YASCD中，点从尸是上两点，BE-CF,连接人£DF,

AE=DF，求证：四边形A8CO是矩形.

【答案】见解析

【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定等知识.熟练掌握平行四

边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定是解题的关键.

由YAAC。，可得/W=OC,ZB+ZC=180°,证明户（SSS）,则4=NC=90°,进而结论得

证.

【详解】证明：・・・Y48C。，

：・AB=DC,NB+NC=180。.

AB=DC,BE=CF,AE=DF»

・•・zMB£^AZ>CF（SSS）,

：.Z^=ZC=90°,

••・四边形ABC。是矩形.

【变式3・2】（23-24八年级下.辽宁鞍山.期中）如图，在菱形ABCO中，对角线AC,8。交于点。，点E为

8C边上一点，连接AE,AE与BD交于点N,且/ANO=/4C石，过。作b〃AE交A。于“，求证：

四边形4EC产是矩形.

AF

D

【答案】见解析

【分析】本题考查了矩形的判定、菱形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质和

矩形的判定是解题的关键.先讦门边形A块方是平行四边形,再证/48?=90。,即可得出结论.

【详解】证明：四边形A8CO是菱形

：.ACLBDAD//BC

CFAE

••・四边形A£C尸是平行四边形.

.AC八BD

:.ZAON=90。

:.^ANO+^NAO=90°

ZANO=ACE

/.ZACE+ZC4E=90°

.\Z4EC=90°.

••・四边形AEC"是平行四边形

..•四边形4EC"是矩形.

【变式3・3】（2024.江苏无锡.二模）如图，在YA8C。中，。为对角线AC的中点，E下过点。后分别交A。、

BC于点、E、F.

4------三——,0

BFC

⑴求证：△\Oa'COF•、

（2）连接AF、CE,若CE_LA力，求证：四边形AEb是矩形.

【答案】（1）详见解析

（2）详见解析

【分析】此题考查矩形的判定，美键是根据ASA证明三角形全等解答.

（1）根据平行四边形的性质得H1AQ〃8C,进而利用全等三角形的判定解答即可;

（2）根据全等三角形的性质得出OE=O9，平行四边形的判定解答即可.

【详解】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，

..AD〃BC,

:.AEAO=ZFCO,

,.。是AC的中点，

AO=CO>

在A40E与二CO尸中，

ZAOE=NCOF

<AO=CO,

ZEAO=ZFCO

△AOEZz^CO尸(ASA)；

(2)证明：如图，

:.OE=OF,

AO=CO,

••・四边形AECr是平行四边形,

CE1AD,

.".ZAEC=90°,

.•.YAEC尸是矩形.

考点四：根据矩形的性质与判定求角度、线段长、面积

4.如图平行四边形A8CO中，对角线AC、8。相交于点O,且。4=03,ZOAD=65°,则

X例

40DC=

【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，以及矩形的性质和判定，根据题意证得四边形488

是矩形，利用矩形的性质和等腰三角形性质即可计算出NODC的度数.

【详解】解：四边形是平行四边形，

:.OA=OC,OB=OD,

()A=()B,

：.OA=OB=OC=OD,

••・四边形ABCO是矩形，

/.ZADC=90°,

NQ4O=65。，

/.ZOm=Z01D=650,

/.NODC=ZADC-ZODA=25°,

故答案为：25°.

【变式4・1】（23-24八年级下•广东广州•期中）如图，在一48C中，47=12,BC=5,AB=\3,P为边AB

上一动点，作PD_LAC于。，庄J.8c于E,则的最小值为.

【答案】n/4U

【分析】本题主要考查了矩形的性质及判定与三角形等面积法的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关

键.连接CP，首先证明四边形。C样为矩形，由此得出PC=D£,然后进一步利用三角形等面积法求出PC

的最小值，从而得出答案即可.

【详解】解：如图，连接CP,

VAC=12,BC=5,AB=\3t

22

•••122+52=132,A^+BC=ABt

・•・ABC为直角三角形，ZACB=90°,

VPD1AC,PEIBC,

・•・ZPDC=ZPEC=90°,

，四边形OCEP为矩形，

/.PC=DE,

•••点C到AB的最短距离就是点。到A3的垂线段的长，即A4边上的高,

设AB边上的高为〃，

则：=—xxBC=—xABxa,

八.*22

-x12x5=—x13x«,

22

〃60

.-.a=—,

13

即PC的最小值为三，

6（）

:.DE的最小值为万＞

故答案为：.

【变式4・2】（19-20九年级下•江苏宿迁•阶段练习）在,A8C中，AB=AC=26,8c=20,点。在乂8c内,

且BD=CD,NBDC=90。，E、F、G、H分别是/W、AC.BD、CD的中点，则四边形的面积为一.

【分析】连接A力并延长交8。于点P,得到A/）是线段8。的垂直平分线，根据勾股定理得到EF是,A8C的

中位线，四边形反HG为平行四边形，即可得到四边形砂"G为矩形，即可得到结果.

【详解】解：连接A。并延长交BC于点P,

VAB=AC=26,BD=CD,

•••AP是线段8c的垂直平分线,

5P=CP=-BC=10,APVBC,

2

在RlBDC中,N8DC=90°,BP=CP,

DP=-BC=\O,

2

在RtAPB中，AP=jAB?-BP2=24,

:.AD=z4P-DP=24-10=14,

■:E、尸分别是A4、AC的中点，

:.EF是.ABC的中位线，

AEF=-BC=\OEF//BC,

2t

同理，GH=LBC,GH〃BC,EG=-AD=1,EG//AD,

22

/.GH=EF,GHEF,

・•・四边形EFHG为平行四边形，

VAPLBC,

/.EGLGH,

，平行四边形EF”G为矩形，

，四边形EH/G的面积=G”・EG=10x7=70,

故答案为：70.

【点睛】本题主要考查了四边形综合.掌握矩形的判定定理和性质定理、勾股定理、三角形中位线定理、

等腰三角形的性质是解题的关键.

【变式4・3】（23-24八年级下.浙江杭刑期中）已知以A、B、C、。为顶点的四边形是平行四边形，且ABC

为直角三角形，AB=4,AC=3,则AD=.

【答案】5或"或用

【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理.当NBAC=90。时，根据勾股定理得

到BC=jAB2+BC?==5，①当BC为对角线时，四边形AC/犷为矩形；②当A8为对角线时；③

当AC为对角线时；当NAC6=90°时，BC=J击3=斥三二币,①当A8为对角线时，四边形

ACBR为矩形；②当AC为对角线时；③当为对角线时.分类讨论的运用是解题的关键.

【详解】解：如图，当NA4C=90。时，

•・•以A、8、C、。为顶点的四边形是平行四边形，AB=4,AC=3,

：•BC=dAB2+AC2="2+32=5'

①当8C为对角线时，此时四边形AC〃6为平行四边形，

VZBAC=90°,

・•・四边形AC〃〃为矩形，

/.AD{=BC=5；

②当AB为对角线时，此时四边形人CB2为平行四边形,

/.AD2=BC=5；

③当AC为对角线时，此时四边形A8C2为平行四边形,

AD3=BC=5；

如图，当/4C8=90。时，

•・•以A、B、C、。为顶点的四边形是平行四边形，AB=4,AC=3,

：•BC=ylAB2-AC2=y/42-32=币,

①当A8为对角线时，此时四边形AC8R是平行四边形，

*/ZAC/?=90°,

，四边形人c即为矩形，

:.AD\=BC=WNAQB=90。，BD】=AC=3；

②当AC为对角线时，此时四边形A4Ca为平行四边形，

・,•AD2=BC=y/l；

③当4c为对角线时，此时四边形AC28为平行四边形，

BD、=AC=3,

•・•/A.8=90。，

在RtZ\A£)Q3中，AD\=E,〃。3=8〃+82=3+3=6,

:.AD.=+=J(⑺*-6?=弧：

综上所述，4。=5或五或回.

故答案为：5或"或回.

D2A

考点五：根据矩形的性质与判定解决多结论问题

例5.（2024•福建三明•二模）如图，在以中，ZABC=90°,BA=BC,把绕点A逆时针

旋转得到VAOE,点。与点8对应，点。恰好落在AC上，过E作E”〃回交8c的延长线于点F,连接BO

并延长交律于点G,连接CE交BG于点儿下列结论：®BD=DG,②CE=4iBD;③CH=EH；

®FG=42EG.其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.I个

【答案】A

【分析】连接OR印"可证四边形ABFE是矩形，△ABCgAAOE,即可判断①③；根据①③的结论可

推出CE垂直平分。/，进而可得一〃£尸是等腰直角三角形，从而可判断②；证明4a注.：OEG,推出

CD=EG=CF,设AB=8C=m,推出EG="=（及一1）机，FG=EF-EG=（2-%m,判断④即可.

【详解】解：连接。尺HF,如图所示:

VZABC=90°,BA=BC,

:.^BAC=ZBCA=45°

由题意得：△ABC名△AOE

.•・AD=AB.ZADE=90°,NOE4=/DAE=45°

1800-45°

ZABD=ZADB=————=67.5°

2

，/BAE=90。

*/EF//AB,

/.44£F=90°

，四边形45FE是矩形，

AZGra=90°,EF=AB=AD=ED,ZDEF=90°-ZAED=45°

••・乙GBF=9On-ZABD=22.5n

ZEDC=NEFC=90°,ED=EF,EC=EC

,VEDC^VEFC

：.CD=CF

JZC/'D=ZCDF=-ZACB=22.5°=4GBF

2

/.ZGFD=90°-ZCFD=67.5°=NFGD

：.BD=FD=GD

•••点。是8G的中点

即：BD=DG,故①正确；

•・,/GDC=NADB=67.5°,,

・•・ZEDG=90°-4GDC=22.5°

■:NEDC^IEFC

/DEH=NFEC=-NDEF=22.5°=NEDG

2

・•・DH=EH

同理可证DH=CH

：・CH=EH,故③正确；

VNEDC^EFC

垂直平分。尸

・•・HD=HF

,/AHDF=ZDBF+4DFB=45°

二.〃/）下是等腰直角三角形

DF=®DH

•:CE=2DH、BD=DF

ACE=V2BD，故②正确；

,:BC=DE,/BCD=Z.DEG=45。,NFBG=EDG=22.5°,

BCD^DEG,

：.CD=EG,

••EG=CF,

设A8=BC=〃z,

则：BF=AE=AC=6m,EF=m,

JEG=CF=(V2-l)/n,

・•・FG=EF-EG=(2-塔m,

:・FG=CEG；故④正确；

故选：A.

【点睛】本题综合考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、斜中半定理等知识点，综合性较

强，需要学生具备扎实的几何基础.

【变式5・1】(23-24八年级下•湖北武汉•期中)如图，在四边形A8C。中，AC,8。相交于点。，且

OA=()B=OC=OD,动点E从点3开始，沿四边形的边曲-AD运动至点。停止，CE与4。相交于点N,

点广是线段CE的中点.连接。尸，下列结论中：

①四边形A8co是矩形；

②当CD=4O/时，点E是Ab的中点：

③当AB=3,BC=4时，线段。厂长度的最大值为2；

④当点E在边A8上，且NCO产=60。时，尸N是等边三角形，其中正确的有()个

【答案】B

【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的判定，平行线的性质等等，

由对角线互相平分且相等的四边形是矩形证明四边形A8C。是矩形，即可判断①；可证明O"是AACE中位

线，AB=CD=4OF=2AE,而点E可以在A8上，也可以在AO上，据此可判断②；根据OF=；AE,则AE

有最大值时，》有最大值，则点E与点。重合时，AE的最大值为4,则OF长度的最大值为2,据此可判

断③；CE,C4不平行，则NE/OwNCO/=60。，据此可判断④.

【详解】解：♦：OA=OB=OC=OD,

：・OA+OC=OB+OD,g|JAC=BD,

工四边形ABC。是矩形，故①正确；

当点E在48上时，

•••。、户分别是AC,CE的中点，

工。产是A4CE中位线，

・•・OF=-AE,

2

•・•四边形ABC。是矩形，

:,AB=CD,

工CD=40F,

AB=4OF=2AE,

，点E是48的中点；

当点E在A。上时，同理可得人£=；人8,但此时点£不是A8的中点，故②错误;

由②可知，。/=

2

•・•点七沿四边形的边84-4）运南至点。停止，且A3=3,AD=BC=4

JAE的最大值为4,此时点E与点。重合，

当点E在边48上，

•:CE,C4不平行，

/./£户OwNCO产=60°,

••・△aw不可能是等边三角形，故④错误；

・••正确的有①③，共2个，

故选;B.

【变式5・2］（20・21九年级上•福建漳州♦期中）如图，矩形43CD中,AC,8。相交于点。，过点8作加AC

交CD于点F,交AC于点M,过点、》作DE〃所交AB于点E,交AC于点N,连接FN,EM.则下列

结论：①DN二BM；®EM//FNx③AE=FC；④当AO=AZ）时,四边形O破尸是菱形.其中，正确结论的

个数是（）

A.①©B.®@®C.①③④D.①②③④

【答案】D

【分析】证.OM1M8MC（AAS）,得出DN=BM,^ADE=NCBF,判断①；证A4O岸△C8F（ASA）,

得出AE=R?,/，判断③；证四边形NEM/是平行四边形，得出EM〃尸N,判断②；证四边形OE8F

是平行四边形，证出NODV=Z/WD,则。£=4£,得出四边形。底5”是菱形；判断④；即可得出结论.

【详解】解：•,四边形A8CO是矩形，

:.AB=CD,AB//CD,/DAE=/BCF=90。,OD=OB=OA=OC,AD=BC,AD//BC,

:.ZDAN=/BCM,

HF±AC,DE〃BF,

：.DElACf

:"DNA=4BMC=9^,

在aQA入和△BMC中，

NDAN=NBCM

<NDNA=NBMC,

AD=BC

DM4"8MC（AAS）,

:.DN=BM,ZADE=NCBF,故①正确；

在V4O£和VC8r中，

ZADE=NCBF

AD=BC,

/DAE=NBCF

；AADE^.CBF（ASA）,

:.AE=FC,DE=BF,故③正确；

;.DE-DN=BF-BM,g|JNE=MF,

DE〃BF,

••・四边形NEA*是平行四边形，

:.EM〃FN,故②正确；

AB=CD,AE=CF,

:.BE=DF,

•/BE〃DF,

1•四边形是平行四边形，

AO=AD,

AO—AD—OD,

・•.AAOD是等边三角形，

：.ZADO=ZDAN=60P,

：.Z48£>=900—ZADO=30°,

\DEVAC,

Z4ON=NQ£W=30°,

:.ZODN=ZABD,

:.DE=BE,

••・四边形OEB厂是菱形；故④正确；

故选：D.

【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等

边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识：熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等

是解题的关键.

【变式5-3］（22-23八年级下•四川宜宾•期末）如图，菱形A8CQ的边长为6,对角线AC*。柱交于0,AE

垂直平分CO,垂足为E另有一动点P在上运动，过点尸作PM垂直AC交AC于点M,PN垂直BD交

BD于点N,连接MN,0E.下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）

①N3CO=12（T；

②菱形ABCD的面积为18石;

③OE=CM+PN；

④MN的最小值为地.

2

【答案】①②③④

【分析】先根据菱形48CO,得AD=CD,AD//BC,AC1BD,OA=OC,OB=OD,再根据垂直平妥

线的性质可证得.AC力是等边三角形，得NAPC=60。，从而可得出N4CO=120。，查判定①正确；根据菱

形的性质与勾股定理求得。。=38，则80=6百，根据菱形的面积公式可得

S笠&贸K力=：X6X6G=18G,或判定②正确；证明0£是.AQ的中位线，得

OE=-AD=-AC=OC,证明四边形PMCW是矩形，得PN=0M,KljOE=OC=CM++

22

可判定③正确：根据动点P在BC上运动，所以当。尸_L8C时，此时0P最小，利用面积法可求出0P最小

值是迈，再根据矩形的性质知MN=OP,所以当。户最小时，MN最小，即可求得MN的最小值为毡,

22

可判定④正确.

【洋解】解：•・•菱形A8CZ）,

AAD=CD,AD//BC,AC1BD,OA=OCfOB=ODt

,:AE垂直平分CD,

AD=AC,CE=DE,

：,AD=AC=CD,

・•・ACD是等边三角形，

JZ4DC=60°,

VAD//BC,

/.ZBC£)+ZADC=180°,

/.ZBCD=120°,故①正确；

•・•菱形ABC。的边长为6,

AC=AD=6,

：.OA=3,

在Rt/OD中，由勾股定理得O£)=，4定一042=序手=用,

/.BD=2OD=6G,

・•・S芟形八sen=；4c•KD=；X6X6G=18G，故②正确；

•・•丹石垂宜.平分CD,OA=OC

工。石是、AC£＞的中位线，

:.OE=-AD=-AC=OC,

22

••.PM垂直AC交4c于点M,PN垂直3。交3。于点MAC1BD

・•・"MO=/PNO=NMON=90°

・•・四边形PM。％是矩形，

/.PN=OM

：.OE=OC=CM+OM=CM+PN,故③正确；

•・•动点P在4c上运动，

•••当OPJ.8C时，此时0P最小，

在Rt欣(中，5H0C=-OBOC=-BCOP

I

XX3

2-=-x6OP

2

-

•・•四边形PMQV是矩形，

:・MN=OP

・•・当。。最小时，MN最小,

・・・MN的最小值为上回，故④正确.

2

综上，正确的有①®③@共4个，

故答案为①②③④.

【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定与性质，三角形中位线性质，线段垂直平分线的性质，垂线段

最短，勾股定理，此题属四边形综合题忖，熟练掌握相关判定与性质是解题的关键.

考点六：矩形的性质与判定的综合问题

例6.（23-24八年级下.江苏盐城•期中）如图，在平行四边形ABC。中，ZACB=90°,过点。作

DE上BC交BC的延长线于点E,连接AE交CD于点、F.

（1）求证：四边形ACEO是矩形；

（2）连接若N/3C=60°,CF=5,求种'的长.

【答案】（1）见解析

⑵5G

【分析】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知

识，证明AC〃OE及，48。是等边三角形是解题的关键.

（1）由AC1BC,DEA.BC,得AC〃DE,由四边形ABC。是平行四边形，点E在8C的延长线上，得

ADCE,则四边形ACE1。是平行四边形，即可由NACE=90。，根据矩形的定义证明四边形ACE。是矩形;

（2）由平行四边形的性质和矩形的性质得AE=CD=A8,AF=EF,4O=CE=C8=3,因为乙43c=60。，

所以,A8E是等边三角形，\）^AB=AE=BE=2CE=2CF=6f乙4"丁=90,所以A〃=g/1£=3,即可根据勾

股定理求得BF=ylAlf-AF2=3石•

【详解】（1）证明：ZACB=90°,

.\AC1BC,

DE1BC,

：.AC//DE,

1••四边形八88是平行四边形，点E在8c的延长线上，

AD〃CE,

••・四边形ACED是平行四边形，

ZACE=90°,

，四边形ACEO是矩形.

（2）解.：四边形ACEO是矩形，四边形ABC。是平行四边形,

\AE=CD=AB,AF=EF=CF=DF=5,

ZABC=60。，

.工ABE是等边三角形，

/.ZAEB=60°,

CEF是等边三角形，

：.BFLAEfAB=AE=BE=2CE=2CF=2x5=\0,

.\ZAFB=90°AF=-AE=-xlO=5,

t22

2

BF=JAB-A尸=X/102-52=5x/3，

.•.BQ的长是5J5.

【变式64】（2024.云南德宏.一模）如图，在菱形48CO中，对角线4C,8。相交于点。，F是CO的中

点，连接。尸并延长至点E,使所=。F，连接CE,DE.

（1）求证：四边形OOCE是矩形；

⑵若OE=4,NB4O=60。，求菱形A8CO的面积.

【答案】（1）见解析

（2）8>/3

【分析】（1）先证明四边形OOCE为平行四边形，再根据菱形的性质得到NQOC=90。，然后根据矩形的

判定可证得结论；

（2）根据矩形的性质求得Ob=2,再根据菱形的性质和勾股定理求出对角线AG8。的长，再根据菱形的

面积等于其对角线乘积的一半求解即可.

【详解】⑴证明：•・,尸是C。的中点

1•DF=CF

EF=OF,

••・四边形OOCE是平行四边形，

在菱形A86中，ACJ.BD

NDOC=90。

，四边形OOCE是矩形

:.OF=-OE=2

2

在菱形ABC。中，。是AC的中点

尸是CD的中点

「.0尸是&4c。的中位线

.•.AO=2OF=2x2=4

在菱形A8C。中，ACJ.BD,^DAO=-ZDAB=1x60°=30°

22

/.ZAOD=90°

在RtAOD中，ZAOD=90°,ZD4O=30°

0D=-AD=-x4=2

22

根据勾股定理得AO=JAD2-亦=V42-22=273

在菱形ABC。中，4c=240=2x26=4^,80=28=2x2=4

•••5菱形A8e=3AC'〃〃=gx46x4=8x/J-

【点睛】本题考查平:行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30。的直角

三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键.

【变式6・2】（23-24八年级下•陕西西安•阶段练习）如图，在“K中，AB=AC,AO是一A8C的角平分线,

AN是.48C的外角NCA何的平分线，过点C作CE_LAN,垂足为瓦

⑴求证：四边形八以才是矩形；

（2）若N4=45。，4c=2&，求四边形4XE的面积.

【答案】（1）见解析

(2)矩形ADCE的面积为2.

【分析】此题考查了矩形的判定利性质、等腰三角形的判定和性质等知识.

(1)证明NAOC=ND4E=NA£C=90。，根据矩形的判定即可得到结论；

(2)证明一84。是等腰直角三角形，再根据矩形的面积公式即可求解.

【详解】(1)证明：•・•=AO是NB4C的平分线，

AAD1BC,ZBAD=ZCAD,

JZADC=90°,

TAN是ABC外角NCAM的平分线，

:./MAN=/CAN.

：./DAE=NCAD+4CAN=-(ZBAC+ZC4A/)=|xl80°=90°,

'：CE^AN,

/.ZA£C=90°.

・•・/ADC=ZDAE=ZAEC=90°,

，四边形ADCE为矩形；

(2)解：•••A8=AC,A。是NBAC的平分线，

AAD1BC,BD=CD=-BC=>j2,

2

••"=45。，

J/BAD=NB=45。,

***AD=BD-y/l.»

・,・矩形4X石的面积为40x6=2.

【变式6・3】(2024八年级下•浙江•专题练习)在YA8CO中，E,尸为BC上的两点，且8E=CF,AF=DE.

(1)求证：△AB2ADCE；

(2)求证：YA8co是矩形；

(3)连接AE,若小是的平分线，BE=2,A£=回，求四边形A8CO的面积.

【答案】(1)见解析；

⑵见解析；

(3))5+271?.

【分析】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线定义，熟练掌握矩形的判定

和性质定理是解题的关键.

(1)首先根据平行四边形的性质得到A8=8,然后结合已知条件利用SSS判定两三角形全等即可；

(2)根据全等三角形的性质得到4=从而判定矩形；

(3)根据矩形的性质和角平分线的定义以及矩形的面积公式即可得到结论.

【详解】(1)证明：四边形ABC。是平行四边形，

/.AB=CD,

BE=CF,

:.BF=CE,

在AAB/和△OCE中，

AB=CD

AF=DE,

BF=CE

AABF^^DCE(SSS)；

(2)证明：.AABF^ADCE,

NB=NC,

在平行四边形ABC。中，AB//CD,

.,•ZB4-ZC=180°,

N8=NC=90。，

••・四边形ABC。是矩形：

(3)解：••・四边形ABC。是矩形，

:.NBAD=/B=90°,

人尸是NE4。的平分线，

ZBAF=^BAD=45°,

AB=BF，

.•AF=>/30,

AB=BF=屈,

CF=BE=2,

BC=Vl5+2,

••・四边形A8CO的面积==Ji？x(Ji5+2)=15+2jf5.

考点七：与矩形的性质与判定有关的无刻度作图

例7.（23-24九年级上•江西吉安•阶段练习）一副三角板如图放置，ZA=ZCBD=90°,乙48=45。,

N8CO=30°,点E是/3c的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹，不写作

法）.

（1）在图（1）中作一个等边三角形;

⑵在图（2）中作一个矩形.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三

角形的三条中线相交于一点，中位线的性质，矩形的判定.

（1）根据题意得A8C为等腰直角三角形，由点E是的中点，连接AE并延长交CD于点八得到4E是

8c的垂直平分线，即=8/，NBCD=NCB尸=30。,推出N尸8£>=NC8O-NC8/=60。，进而得到

NBFD=ND=600,即V3Zm为所求；

（2）由（1）知BF=CF=FD,得到点尸为CO的中点，在（1）图的基础上连接OE,交所于一点，连接

点C与这一点，边延长交BD于点G,此时点G为8。的中点，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，

推出尸G〃且FG=；8c=4E,即四边形BEFG为矩形.

【洋解】（1）解：如图，V胡万为所求；

A8C为等腰直角三角形，点£是3c的中点，连接AE并延长交C。于点匕

二•AE是的垂直平分线，

CF=BF,/BCD=ZCBF=30°,

£FBD=NCBD-ZCBF=60°,

•/ZD=90°-ZBCD=60°,

NBFD=/D=&r,

「•尸是等边三角形；

（2）解：如图，四边形6日七为所求,

由（1）知BF=CF=FD,

・・・点尸为CD的中点,

在（1）图的基础上连接OE,交所于一点，连接点C与这一点，边延长交8。于点G,

.,点/为CO的中点，点E为BC的中点，BF,DE、CG交于一点、,即三角形的三条中线相交于一点，

・・•点G为8。的中点，

/.FG//BC,FG」BC=BE,

2

二.四边形8MG为矩形.

【变式7」】（2024•江西吉安•三模）如图，在矩形48co中，AD=2AB,E是对角线AC上一点，目AC=3A£1.请

仅用无刻度的直尺分别按要求完成以下作图（保留作图痕迹）.

（1）在图1中作AO的中点尸.

（2）在图2中作点N,使得八C=3CN

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】⑴根据AC=3AE得到EC=2AE,作直线，交AD于点尸，则点P即为所求.

（2）连接8。交AC于点0,作直线P0,交BC于点G,作直线。G,交4C于点M则点N即为所求.

本题考查了矩形的性质，三角形相似的应用，尺规作图，熟练掌握性质和尺规作图是解题的关键.

【详解】（1）VAC=3AE,

:.EC=2AE,

故作直线电，交AO于点尸，

•・•矩形ABC。，

/.AP//BC,AD=BC,

:.^APE^^CBE,

.BCEC.

..==2，

APAE

，BC=2AP,

:.AD=2AP,

即P为AO的中点,

（2）连接8。交4c于点。，作直线P。，交BC于点、G,作直线OG,交AC于点、N,

APD

✓✓

/Iz/V

----------------------

o

则点N即为所求.

【变式7・2】（22-23九年级下•江西景德镇•阶段练习）如图，四边形A8CQ为菱形，请仅用无刻度的宜尺,

图⑴图⑵

（1）在图（1）中，£,尸分别是AB,AO的中点，以E尸为边作一个矩形.

（2）在图（2）中，£是对角线30二一点，（BEvOE）,以AE为边作一个菱形.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）连接AC,8。交于点。，连接E0,延长E。交CQ于点G,连接尸O,延长尸。交BC于〃，

连接GH,AG即可；

（2）连接AC交/3。于点O,延长AE交8C于点。，连接Q。，延长Q。交AO于点P,连接CP交5力于点

F,连接AF,EC即可.

【详解】（1）解：如图：连接AC,BD交于•点、0,连接EO,延长EO交。。于点G,连接尸O,延长尸。交

BC于H,连接£〃，GH,FG,四边形E/P”即为所求作的矩形，

FD

证明：四边形A8C。是菱形，

.•.A3=8C=CD=AO,点。是BI)的中点,AD//BC,AB〃CD,

又E,尸分别是4〃，AZ)的中点，

:.EG//AD,FH//AB,

二.四边形AEGD与ABHF都是平行四边形，

：.AD=EG,AB=FH,

:.EG=FH,

••.四边形瓦G〃是矩形；

(2)解：连接AC交B。于点。，延长4石交BC于点Q,连接QO,延长交AD于点P,连接CP交8。

于点尸，连接AF,出，四边形AZC1尸即为所求作的菱形，

四边形A8CO是菱形，

:.ACLI3D,OA=OC,AD//BC,

ZPAO=ZQCOt"'垂直平分AC,

又"OP=NCOQ,

\AO尸MCOQ(ASA),

:.OP=OQ,

.•・四边形AQCP是平行四边形，

\AQ//CP,

:.£0AE=40CF,

又•.•4OE=NCOF=90。，

\AOE^COF(ASA),

:.OE=OF,

.MC垂直平分E/，

二•四边形是菱形.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图、三角形中位线定理、矩形的判定、菱形的判定与性质，解决本题的关

键是综合运用以上知识.

【变式7・3】（23-24八年级下•江苏镇江•期中）如图，在矩形A8C£>中，A8=3,AO=4.

（1）请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：（不写作法，保留作图痕迹）

①在上作一点E,使

②若F是A。上一点，将△ABb沿直线8尸翻折得到“’8尸.请找出点尸的位置，使得A8落在对角线8。

上.

（2）在（1）的条件下，求出线段AF的长度.

⑶若将4c加