数学建模层次分析法市公开课一等奖省赛课获奖课件

层次分析法AnalyticHierarchyProcessAHPT.L.saaty第1页层次分析法建模一问题提出日常生活中有许多决议问题。决议是指在面临各种方案时需要依据一定标准选择某一个方案。例1购物买钢笔，普通要依据质量、颜色、实用性、价格、外形等方面原因选择某一支钢笔。买饭，则要依据色、香、味、价格等方面原因选择某种饭菜。例2旅游假期旅游，是去风光秀丽苏州，还是去迷人北戴河，或者是去山水甲天下桂林，普通会依据景色、费用、食宿条件、旅途等原因选择去哪个地方。第2页例3择业面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位能够去选择，普通依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等原因择业。例4科研课题选择因为经费等原因，有时不能同时开展几个课题，普通依据课题可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等原因进行选题。第3页面临各种各样方案，要进行比较、判断、评价、最终作出决议。这个过程主观原因占有相当比重给用数学方法处理问题带来不便。T.L.saaty等人20世纪在七十年代提出了一个能有效处理这类问题实用方法。层次分析法（AnalyticHierarchyProcess,AHP)这是一个定性和定量相结合、系统化、层次化分析方法。过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两种方法，前者用经典数学工具分析现象因果关系，后者以随机数学为工具，经过大量观察数据寻求统计规律。近年发展系统分析是又一个方法，而层次分析法是系统分析数学工具之一。第4页选择钢笔层次分析法基本思绪：与人们对某一复杂决议问题思维、判断过程大致一致。质量、颜色、价格、外形、实用钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4质量、颜色、价格、外形、实用进行排序将各个钢笔质量、颜色、价格、外形、实用进行排序经综合分析决定买哪支钢笔第5页二层次分析法基本步骤1建立层次结构模型

普通分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层。例1层次结构模型准则层方案层目标层第6页例2层次结构模型准则层A方案层B目标层Z若上层每个原因都支配着下一层全部原因，或被下一层所有原因影响，称为完全层次结构，不然称为不完全层次结构。第7页设某层有个原因，2结构成对比较矩阵要比较它们对上一层某一准则（或目标）影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占比重。（即把个原因对上层某一目标影响程度排序）用表示第个原因相对于第个原因比较结果，则则称为成对比较矩阵。上述比较是两两原因之间进行比较，比较时取1~9尺度。第8页１３５７９尺度第个原因与第个原因影响相同第个原因比第个原因影响稍强第个原因比第个原因影响强第个原因比第个原因影响明强第个原因比第个原因影响绝对地强含义比较尺度：（1~9尺度含义）2,4,6,8表示第个原因相对于第个原因影响介于上述两个相邻等级之间。不难定义以上各尺度倒数含义，依据。第9页

标度法

10.心理学研究表明，人们经过感觉思维比较判断两个对象相对差异是可能。20.同时比较时能区分差异心理学极限为7±2个。

第10页30.试验表明9级标度法是可行。光源四面放四个物体,距离为27,45,63,84。可算得它们相对亮度为0.607,0.219,0.111,0.063。记W：较亮，S：亮，D：很亮，A：绝对亮。由人进行相对比较,得(c1-c2):W-S,(c1-c3):S-D,(c1-c4):D,(c2-c3):W,(c2-c4):W-S,(c3-c4):W第11页由上述定义知，成对比较矩阵则称为正互反阵。比如，例2旅游问题中，第二层A各原因对目标层Z影响两两比较结果以下：满足一下性质ZA1A2A3A4A5A1A2A3A4A511/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。第12页由上表，可得成对比较矩阵旅游问题成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）。问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各原因对上层某原因影响程度排序结果呢？第13页3层次单排序及一致性检验层次单排序：确定下层各原因对上层某原因影响程度过程。用权值表示影响程度，先从一个简单例子看怎样确定权值。比如一块石头重量记为1，打坏分成各小块，各块重量分别记为：则可得成对比较矩阵由右面矩阵能够看出，第14页即，在正互反矩阵中，若,则称为一致阵。但在例2成对比较矩阵中，一致阵性质：5.任一列(行)都是对应于特征根特征向量。第15页一致性判断矩阵各列均是判断矩阵特征向量若特征向量为w=(w1,…,wn)’,则有aij=aik/

ajk=wi/wj表示wi与wj之间比值,是这二者主要性之间一个判断.w就是各对象之间一个排序.即:各列均表示被判断元素之间排序。第16页若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最大特征根归一化特征向量，且定理：阶互反阵最大特征根，当且仅当时，为一致阵。表示下层第个原因对上层某原因影响程度权值。若成对比较矩阵不是一致阵，Saaty等人提议用其最大特征根对应归一化特征向量作为权向量，则这么确定权向量方法称为特征根法.第17页因为连续依赖于，则比大越多，不一致性越严重。用最大特征值对应特征向量作为被比较原因对上层某原因影响程度权向量，其不一致程度越大，引发判断误差越大。因而能够用数值大小来衡量不一致程度。定义一致性指标其中为对角线元素之和，也为特征根之和。第18页

随机一致性指标

固定n,令A上三角从{1/9,…,1,2,…,9}中随机取值,组成正互反矩阵。计算它CI。对每个n=1,2,…,9分别随机地抽取n=100~500个样本,得到Ank

和CInk(不一致判断矩阵指标)。取

则CI>RI时,判断矩阵显著不含有一致性。取α<1,则当CI<α

RI时,A在水准α下有满意一致性.

第19页则可得一致性指标随机结构500个成对比较矩阵随机一致性指标RI数值：n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51第20页一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1及随机一致性指标数值表，对进行检验过程。普通，当一致性比率不一致程度在允许范围之内，可用其归一化特征向量作为权向量，不然要重新结构成对比较矩阵，对加以调整。时，认为第21页4层次总排序及其一致性检验

确定某层全部原因对于总目标相对主要性排序权值过程，称为层次总排序

从最高层到最低层逐层进行。设：对总目标Z排序为层次单排序为第22页即层第个原因对总目标权值为：层层次总排序为：B层层次总排序AB第23页层次总排序一致性检验设层对上层(层)中原因层次单排序一致性指标为，随机一致性指为，则层次总排序一致性比率为：当时，认为层次总排序经过一致性检验。到此，依据最下层（决议层）层次总排序做出最终决议。第24页1.建立层次结构模型该结构图包含目标层，准则层，方案层。层次分析法基本步骤归纳以下3.计算单排序权向量并做一致性检验2.结构成对比较矩阵从第二层开始用成对比较矩阵和1~9尺度。对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验经过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不经过，需要重新结构成对比较矩阵。第25页计算最下层对最上层总排序权向量。4.计算总排序权向量并做一致性检验进行检验。若经过，则可按照总排序权向量表示结果进行决议，不然需要重新考虑模型或重新结构那些一致性比率较大成对比较矩阵。利用总排序一致性比率第26页三层次分析法建模举例旅游问题(1)建模分别分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。分别表示苏杭、北戴河、桂林。第27页（2）结构成对比较矩阵第28页(3)计算层次单排序权向量和一致性检验成对比较矩阵最大特征值表明经过了一致性验证。故则该特征值对应归一化特征向量第29页

对成对比较矩阵能够求层次总排序权向量并进行一致性检验，结果以下：计算可知经过一致性检验。第30页对总目标权值为：（4）计算层次总排序权值和一致性检验又决议层对总目标权向量为：同理得，对总目标权值分别为：故，层次总排序经过一致性检验。第31页可作为最终决议依据。故最终决议应为去桂林。又分别表示苏杭、北戴河、桂林，即各方案权重排序为第32页四层次分析法优点和不足1系统性

层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合思维方式进行决议，成为继机理分析、统计分析之后发展起来系统分析主要工具。2实用性层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统最优化技术无法着手实际问题，应用范围很广，同时，这种方法使得决议者与决议分析者能够相互沟通，决议者甚至能够直接应用它，这就增加了决议有效性。第33页3简练性含有中等文化程度人即能够了解层次分析法基本原理并掌握该法基本步骤，计算也非常简便，而且所得结果简单明确，轻易被决议者了解和掌握。以上三点表达了层次分析法优点，该法局限性主要表现在以下几个方面：第一只能从原有方案中优选一个出来，没有方法得出更加好新方案。第34页第二该法中比较、判断以及结果计算过程都是粗糙，不适合用于精度较高问题。第三从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观原因对整个过程影响很大，这就使得结果难以让全部决议者接收。当然采取教授群体判断方法是克服这个缺点一个路径。思索：多名教授综合决议问题第35页五正互反阵最大特征值和特征向量实用算法用定义计算矩阵特征值和特征向量相当困难，尤其是阶数较高时；成对比较矩阵是经过定性比较得到比较粗糙结果，对它准确计算是没有必要。寻找简便近似方法。第36页定理对于正矩阵A（A全部元素为正）1）A最大特征根为正单根；2）对应正特征向量w（w全部分量为正）；3）其中是对应归一化特征向量。第37页1幂法步骤以下a)任取n维归一化