专题09 竖直面内圆周运动的绳（或轨道内侧）模型

学而优·教有方PAGEPAGE242022届高三物理二轮常见模型与方法综合特训专练专题09竖直面内圆周运动的绳（或轨道内侧）模型专练目标专练内容目标1重力场中的竖直面内圆周运动的绳（或轨道内侧）模型（1T—7T）目标2电场中的竖直面内圆周运动的绳（或轨道内侧）模型（8T—15T）【典例专练】一、重力场中的竖直面内圆周运动的绳（或轨道内侧）模型1．如图甲所示，用不可伸长的轻质细绳拴着一小球，在竖直面内做圆周运动，不计一切阻力。小球运动到最高点时绳对小球的拉力F与小球速度的平方v2的图像如图乙所示，已知重力加速度g=10m/s2，下列说法正确的（）A．小球运动到最高点的最小速度为1m/sB．小球的质量为1kgC．细绳长为0.2mD．当小球在最高点的速度为m/s时，小球运动到最低点时细绳的拉力大小为7N2．如图所示，不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端栓小磁铁，小磁铁底部吸住一小铁块，两者均静止。现在让小磁铁和小铁块以的速度自最低点水平向左运动，两者恰能通过最高点。已知绳长为l，重力加速度为g，小磁铁及小铁块的大小不计，质量均为m，磁铁对铁块的吸引力大小恒等于7mg，且铁块始终未被甩落。下列说法正确的是（）A．小铁块通过最低点时，绳对小磁铁的拉力大小为12mgB．小铁块通过最低点时，绳对小磁铁的拉力大小为7mgC．小铁块通过最高点时，所受磁铁的支持力大小为7mgD．小铁块通过最高点时，所受磁铁的支持力小于mg3．如图所示，在倾角为的足够大的固定斜面上，一长度为的轻杆一端可绕斜面上的点自由转动，另一端连着一质量为的小球（视为质点）。现使小球从最低点以速率开始在斜面上做圆周运动，通过最高点。重力加速度大小为，轻杆与斜面平行，不计一切摩擦．下列说法正确的是（）A．小球通过点时的最小速度为B．小球通过点时所受轻杆的作用力大小为C．小球通过点时的速度越大，此时斜面对小球的支持力越大D．若小球以的速率通过点时突然脱落而离开轻杆，则小球到达与点等高处时与点间的距离为4．如图所示，一质量为m的小球置于半径为R的光滑竖直圆轨道最低点A处，B为轨道最高点，弹簧一端固定于圆心O点，另一端与小球拴接。已知弹簧的劲度系数，原长，弹簧始终处于弹性限度内，若给小球一水平初速度，已知重力加速度为g则有（）A．当时，小球可能会离开圆轨道B．若，则小球会在B、D间脱离圆轨道C．只要，小球就能做完整的圆周运动D．只要小球能做完整的圆周运动，则小球与轨道间最大压力与最小压力之差与无关5．某同学根据游乐园的过山车轨道，制作了如图所示的竖直放置的轨道，其中左侧为倾斜直轨道，在靠近底端处与圆轨道相切，圆轨道的最低点为a、最高点为b。小球从倾斜轨道上某处无初速释放，小球即沿轨道下滑。该同学多次改变释放点进行实验，发现有时小球能通过b点，有时在到达b点前就脱离轨道。不计阻力，小球质量为m，小球释放点到a点的竖直高度为，圆轨道半径为R，重力加速度大小为g，以下分析正确的是（）A．若，小球会脱离轨道B．若，小球不能到达b点C．若，小球运动到a、b时对两点都有压力D．若，小球运动到a、b时对两点的压力差为6．如图所示，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放有一小球C，A、B、C的质量均为m。现给小球一水平向右的瞬时速度v，小球会在环内侧做圆周运动。为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起，不计小球与环的摩擦阻力，则瞬时速度v必须满足（）A．最小值为 B．最小值为C．最大值为 D．最大值为7．图甲为0.1kg的小球从最低点A冲入竖直放置在水平地面上、半径为0.4m半圆轨道后，小球速度的平方与其高度的关系图像。已知小球恰能到达最高点C，轨道粗糙程度处处相同，空气阻力不计。g取，B为AC轨道中点。下列说法正确的是（）A．图甲中x＝4B．小球从A运动到B与小球从B运动到C两个阶段损失的机械能相同C．小球从A运动到C的过程合外力对其做的功为–1.05JD．小球从C抛出后，落地点到A的距离为0.8m二、电场中的竖直面内圆周运动的绳（或轨道内侧）模型8．如图所示，有一长为L的绝缘细绳，一端悬挂在A点，另一端拴一质量为m、电量为q的带有负电荷的小球；悬点A处固定一正电荷，电量也为q。如果要使小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，如图所示。若已知重力加速度为g，则（）A．小球到达最高点D点速度的最小值为B．小球到达与A点等高的C点时受到绳子拉力的最小值为为C．小球到达最低点B点时速度的最小值为D．小球到达最低点B点时受到绳子拉力的最小值为9．如图所示，有一长为L的绝缘细绳，一端悬挂在A点，另一端拴一质量为m，电量为q的带有负电荷的小球；悬点A处固定一正电荷，电量也为q。同时竖直方向存在匀强电场，如果小球能在竖直平面内做匀速圆周运动，如图所示。若已知重力加速度为g，则（）A．匀强电场的方向一定竖直向下B．小球作匀速圆周运动的最小速度为C．小球到达最低点B点时速度的最小值为D．匀强电场的场强大小可能为10．用轻绳拴着一个质量为m、带正电的小球在竖直面内绕O点做圆周运动，竖直面内加有竖直向下的匀强电场，电场强度为E，如图甲所示，不计一切阻力，小球运动到最高点时的动能Ek与绳中张力F间的关系如图乙所示，当地的重力加速度为g，则（）A．小球所带电荷量为 B．轻绳的长度为C．小球在最高点时的最小速度为 D．小球在最低点时的最小速度为11．如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（）A．匀强电场的电场强度E＝B．小球动能的最小值为Ek＝C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大12．如图所示，在水平向右的匀强电场中，一内壁光滑、半径为的固定绝缘圆轨道处在竖直平面内，为圆轨道的水平直径，为竖直直径。一个质量为、电荷量为的带正电小球从轨道的最低点获得一定的初速度后，能够在轨道内做圆周运动，已知重力加速度为，匀强电场的电场强度，不计空气阻力，下列说法中正确的是（）A．小球运动到点时的动能最小B．小球运动到点时的机械能最大C．若，小球恰好能够沿着轨道做圆周运动D．若小球在点的水平初速度为，则它运动到点的速度刚好为零13．如图所示，竖直平面内有固定的半径为R的光滑绝缘圆形轨道，水平匀强电场平行于轨道平面向左，PQ分别为轨道上的最高点、最低点M、N分别是轨道上与圆心等高的点。质量为m、电荷量为q的带正电小球（可视为质点）在轨道内运动，已知重力加速度为g，场强E，要使小球能沿轨道做完整的圆周运动，则下列说法正确的是（）A．小球在轨道上运动时，动能最小的位置，电势能最大B．小球在轨道上运动时机械能最大的位置一定在M点C．小球过Q、P点受轨道弹力大小的差值为6mgD．小球过Q、P点受轨道弹力大小的差值为7.5mg14．如图所示，平行板电容器的两个极板水平，两板之间固定一个光滑绝缘的半圆形轨道ACB，A、B为半圆轨道的两个端点，且A、B紧靠电容器的上极板，在A端对应位置的极板处开有一个小孔，C是轨道的最低点，半圆轨道半径为R。现使电容器的两板分别带等量异种电荷，使两板之间存在竖直向下的匀强电场，将一个质量为m、电荷量为-q的带电小球，从A点正上方高为H处由静止释放，小球由小孔进入电容器内部并从A点沿切线进入半圆轨道。不计空气阻力及一切能量损失，下列说法中正确的是（）A．当匀强电场的电场强度大小时，带电小球在半圆形轨道内做匀速圆周运动B．当匀强电场的电场强度大小时，带电小球能沿轨道到达最低点C．当匀强电场的电场强度大小时，带电小球能沿轨道到达最低点D．将电容器的下极板向下移动一小段距离，则带电小球到达最低点C时的速率增大15．如图所示，两个半径相等的半圆形光滑轨道置于竖直平面内，左右两端点等高，它们分别处于竖直向下和水平向左的匀强电场中，它们的电场强度大小相同。两个相同的带正电小球同时从两轨道左端最高点由静止释放，两球均可到达轨道的最低点，M、N为轨道的最低点，则下列说法中正确的是（）A．两个小球到达轨道最低点时的速度关系是B．两个小球第一次经过轨道最低点时对轨道的压力关系是C．小球第一次到达M点的时间大于小球第一次到达N点的时间D．在左边电场中小球能到达轨道另一端最高处，在右边电场中小球不能到达轨道另一端最高处2022届高三物理二轮常见模型与方法综合特训专练专题09竖直面内圆周运动的绳（或轨道内侧）模型专练目标专练内容目标1重力场中的竖直面内圆周运动的绳（或轨道内侧）模型（1T—7T）目标2电场中的竖直面内圆周运动的绳（或轨道内侧）模型（8T—15T）【典例专练】一、重力场中的竖直面内圆周运动的绳（或轨道内侧）模型1．如图甲所示，用不可伸长的轻质细绳拴着一小球，在竖直面内做圆周运动，不计一切阻力。小球运动到最高点时绳对小球的拉力F与小球速度的平方v2的图像如图乙所示，已知重力加速度g=10m/s2，下列说法正确的（）A．小球运动到最高点的最小速度为1m/sB．小球的质量为1kgC．细绳长为0.2mD．当小球在最高点的速度为m/s时，小球运动到最低点时细绳的拉力大小为7N【答案】AD【详解】A．根据绳—球模型可知小球运动到最高点的最小速度时拉力为零，只有重力提供向心力，有解得最小速度为，A正确；BC．在最高点，根据牛顿第二定律有解得根据纵轴截距有则质量为，根据图像的斜率为可得绳长为，C错误，B正确；D．当小球在最高点的速度为m/s时，根据动能定理有最低点由牛顿第二定律有解得小球运动到最低点时细绳的拉力大小为7N，D正确；故选AD。2．如图所示，不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端栓小磁铁，小磁铁底部吸住一小铁块，两者均静止。现在让小磁铁和小铁块以的速度自最低点水平向左运动，两者恰能通过最高点。已知绳长为l，重力加速度为g，小磁铁及小铁块的大小不计，质量均为m，磁铁对铁块的吸引力大小恒等于7mg，且铁块始终未被甩落。下列说法正确的是（）A．小铁块通过最低点时，绳对小磁铁的拉力大小为12mgB．小铁块通过最低点时，绳对小磁铁的拉力大小为7mgC．小铁块通过最高点时，所受磁铁的支持力大小为7mgD．小铁块通过最高点时，所受磁铁的支持力小于mg【答案】AC【详解】AB．在最低点时，由牛顿第二定律解得T=12mg选项A正确，B错误；CD．两者恰能通过最高点，则对小铁块解得FN=7mg选项C正确，D错误。故选AC。3．如图所示，在倾角为的足够大的固定斜面上，一长度为的轻杆一端可绕斜面上的点自由转动，另一端连着一质量为的小球（视为质点）。现使小球从最低点以速率开始在斜面上做圆周运动，通过最高点。重力加速度大小为，轻杆与斜面平行，不计一切摩擦．下列说法正确的是（）A．小球通过点时的最小速度为B．小球通过点时所受轻杆的作用力大小为C．小球通过点时的速度越大，此时斜面对小球的支持力越大D．若小球以的速率通过点时突然脱落而离开轻杆，则小球到达与点等高处时与点间的距离为【答案】BD【详解】A．杆可以为小球提供支持力，所以小球经过最高点B时的速度只需要大于零即可，故A错误；B．小球在A点速度重力、斜面的支持力以及杆的拉力，沿斜面得方向可得故B正确；C．斜面对小球的支持力始终等于重力沿垂直于斜面方向的分量，与小球的速度无关，故C错误；D．若小球以的速率通过B点时突然脱落而离开轻杆，则小球在斜面上作类平抛运动，在平行于底边方向做匀速运动，在垂直于底边方向做初速为零的匀加速度运动，故沿斜面方向其中联立解得即到达与A点等高处时与A点间的距离为2L，故D正确；故选BD。4．如图所示，一质量为m的小球置于半径为R的光滑竖直圆轨道最低点A处，B为轨道最高点，弹簧一端固定于圆心O点，另一端与小球拴接。已知弹簧的劲度系数，原长，弹簧始终处于弹性限度内，若给小球一水平初速度，已知重力加速度为g则有（）A．当时，小球可能会离开圆轨道B．若，则小球会在B、D间脱离圆轨道C．只要，小球就能做完整的圆周运动D．只要小球能做完整的圆周运动，则小球与轨道间最大压力与最小压力之差与无关【答案】CD【详解】AB．因弹簧的劲度系数为，原长为，所以小球始终会受到弹簧的弹力作用，大小为在最高点弹簧弹力和重力的合力为0，小球也不能脱离圆轨道，如果小球速度再稍微大一些，那就更不能脱离圆轨道，在最高点不能脱离圆轨道，在其他位置肯定不能脱离圆轨道，故AB错误；C．小球在运动过程中只有重力做功，弹簧的弹力和轨道的支持力不做功，机械能守恒，当运动到最高点速度为零，在最低点的速度最小，有解得所以只要，小球就能做完整的圆周运动，故C正确；D．在最低点时，设小球受到的支持力为N，有解得运动到最高点时受到轨道的支持力最小，设为，设此时的速度为v，由机械能守恒有此时合外力提供向心力，有联立解得联立得压力差为与初速度无关，故D正确。故选CD。5．某同学根据游乐园的过山车轨道，制作了如图所示的竖直放置的轨道，其中左侧为倾斜直轨道，在靠近底端处与圆轨道相切，圆轨道的最低点为a、最高点为b。小球从倾斜轨道上某处无初速释放，小球即沿轨道下滑。该同学多次改变释放点进行实验，发现有时小球能通过b点，有时在到达b点前就脱离轨道。不计阻力，小球质量为m，小球释放点到a点的竖直高度为，圆轨道半径为R，重力加速度大小为g，以下分析正确的是（）A．若，小球会脱离轨道B．若，小球不能到达b点C．若，小球运动到a、b时对两点都有压力D．若，小球运动到a、b时对两点的压力差为【答案】BD【详解】设小球沿倾斜轨道下滑再进入圆轨道后恰好经过最高点b，据动能定理可得在b点据牛顿第二定律可得联立解得当小球沿倾斜轨道下滑再进入圆轨道后恰好运动到与圆心等高处，由动能定理可得解得A．若，小球不会脱离轨道，A错误；B．若，小球在到达b点前脱离轨道，即不能到达b点，B正确；C．若，小球恰好能到达b点，即在b点时对轨道没有压力，运动到a点时满足由于，轨道对小球有支持力，小球对轨道有压力，C错误；D．若，小球在最低点、最高点分别满足；从最低点到最高点过程，据动能定理可得联立解得由牛顿第三定律可知，小球运动到a、b时对轨道两点的压力差为，D正确。故选BD。6．如图所示，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放有一小球C，A、B、C的质量均为m。现给小球一水平向右的瞬时速度v，小球会在环内侧做圆周运动。为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起，不计小球与环的摩擦阻力，则瞬时速度v必须满足（）A．最小值为 B．最小值为C．最大值为 D．最大值为【答案】BD【详解】AB．要保证小球能通过环的最高点，在最高点最小速度满足从最低点到最高点由机械能守恒定律得可得小球在最低点瞬时速度的最小值为故A错误，B正确；CD．为了使环不会在竖直方向上跳起，则在最高点球有最大速度时，对环的压力为，由牛顿第二定律可得从最低点到最高点由机械能守恒定律得可得小球在最低点瞬时速度的最大值为故C错误，D正确。故选BD。7．图甲为0.1kg的小球从最低点A冲入竖直放置在水平地面上、半径为0.4m半圆轨道后，小球速度的平方与其高度的关系图像。已知小球恰能到达最高点C，轨道粗糙程度处处相同，空气阻力不计。g取，B为AC轨道中点。下列说法正确的是（）A．图甲中x＝4B．小球从A运动到B与小球从B运动到C两个阶段损失的机械能相同C．小球从A运动到C的过程合外力对其做的功为–1.05JD．小球从C抛出后，落地点到A的距离为0.8m【答案】ACD【详解】A．当h=0.8m时，小球运动到最高点，因为小球恰能到达最高点C，则在最高点解得则故A正确；B．小球从A运动到B对轨道的压力大于小球从B运动到C对轨道的压力，则小球从A运动到B受到的摩擦力大于小球从B运动到C受到的摩擦力，小球从B运动到C克服摩擦力做的功较小，损失的机械能较小，胡B错误；C．小球从A运动到C的过程动能的变化为根据动能定理W合=Ek可知，小球从A运动到C的过程合外力对其做的功为–1.05J，故C正确；D．小球在C点的速度v=2m/s，小球下落的时间；则落地点到A点的距离故D正确。故选ACD。二、电场中的竖直面内圆周运动的绳（或轨道内侧）模型8．如图所示，有一长为L的绝缘细绳，一端悬挂在A点，另一端拴一质量为m、电量为q的带有负电荷的小球；悬点A处固定一正电荷，电量也为q。如果要使小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，如图所示。若已知重力加速度为g，则（）A．小球到达最高点D点速度的最小值为B．小球到达与A点等高的C点时受到绳子拉力的最小值为为C．小球到达最低点B点时速度的最小值为D．小球到达最低点B点时受到绳子拉力的最小值为【答案】BD【详解】如果要使小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，当小球到达最高点D点速度为最小值时，绳子的拉力为0，重力和库仑力的合力提供向心力，由向心力公式可知解得，小球到达最高点D点速度的最小值为小球在竖直面做圆周运动只有重力做功，机械能守恒，从最高点D点到与A点等高的C点过程中，由机械能守恒定律可知解得小球到达与A点等高的C点的最小速度为在C点时，绳子的拉力和库仑力提供向心力，由向心力公式可知解得，小球到达与Ａ点等高的C点受到绳子拉力的最小值为从最高点D点到最低点B点的过程中，由机械能守恒定律可知解得，小球到达最低点B点速度的最小值为在最低点B时，绳子的拉力、重力和库仑力提供向心力，由向心力公式可知解得，小球到达最低点B点时受到绳子拉力的最小值为故选BD。9．如图所示，有一长为L的绝缘细绳，一端悬挂在A点，另一端拴一质量为m，电量为q的带有负电荷的小球；悬点A处固定一正电荷，电量也为q。同时竖直方向存在匀强电场，如果小球能在竖直平面内做匀速圆周运动，如图所示。若已知重力加速度为g，则（）A．匀强电场的方向一定竖直向下B．小球作匀速圆周运动的最小速度为C．小球到达最低点B点时速度的最小值为D．匀强电场的场强大小可能为【答案】AC【详解】AD．带电小球要在竖直平面内作匀速圆周运动，则必有重力和电场力平衡，且电场力的方向向上，匀强电场的方向一定竖直向下，A正确，D错误；BC．由牛顿第二定律得而所以所以B错误，C正确。故选AC。10．用轻绳拴着一个质量为m、带正电的小球在竖直面内绕O点做圆周运动，竖直面内加有竖直向下的匀强电场，电场强度为E，如图甲所示，不计一切阻力，小球运动到最高点时的动能Ek与绳中张力F间的关系如图乙所示，当地的重力加速度为g，则（）A．小球所带电荷量为 B．轻绳的长度为C．小球在最高点时的最小速度为 D．小球在最低点时的最小速度为【答案】AC【详解】当由解得当，时，可解得当时，重力和电场力提供向心力，此时为最高点的最小速度，解得从最高点到最低点，由得小球在最低点的最小速度为故AC正确，BD错误。故选AC。11．如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（）A．匀强电场的电场强度E＝B．小球动能的最小值为Ek＝C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大【答案】AB【详解】A．小球静止时悬线与竖直方向成θ角，对小球受力分析，小球受重力、拉力和电场力，三力平衡，根据平衡条件，有解得选项A正确；B．小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，在等效最高点A速度最小，根据牛顿第二定律，有则最小动能选项B正确；C．小球的机械能和电势能之和守恒，则小球运动至电势能最大的位置机械能最小，小球带负电，则小球运动到圆周轨迹的最左端点时机械能最小，选项C错误；D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，电场力先做正功，后做负功，再做正功，则其电势能先减小后增大，再减小，选项D错误。故选AB。12．如图所示，在水平向右的匀强电场中，一内壁光滑、半径为的固定绝缘圆轨道处在竖直平面内，为圆轨道的水平直径，为竖直直径。一个质量为、电荷量为的带正电小球从轨道的最低点获得一定的初速度后，能够在轨道内做圆周运动，已知重力加速度为，匀强电场的电场强度，不计空气阻力，下列说法中正确的是（）A．小球运动到点时的动能最小B．小球运动到点时的机械能最大C．若，小球恰好能够沿着轨道做圆周运动D．若小球在点的水平初速度为，则它运动到点的速度刚好为零【答案】BC【详解】A．粒子除受重力外，还受到水平向右的电场力，根据等效重力场的思想，D点并非等效最高点，因此A错误；B．小球具有机械能和电势能，根据能量守恒定律，B点电势最低，小球带正电，电势能也就最小，因此B点机械能最大，B正确；C．小球所受电场力为则重力与电场力的合力方向，即等效重力方向为竖直偏右，且为使小球能够恰好做圆周运动，需要小球恰好经过等效最高点M点，如图所示对M点，根据牛顿第二定律得对CM过程，根据动能定理得联立得故C正确；D．CD过程根据动能定理得解得若小球在D点速度为0，则不能做圆周运动，故小球运动不到D点，故D错误。故选BC。13．如图所示，竖直平面内有固定的半径为R的光滑绝缘圆形轨道，水平匀强电场平行于轨道平面向左，PQ分别为轨道上的最高点、最低点M、N分别是轨道上与圆心等高的点。质量为m、电荷量为q的带正电小球（可视为质点）在轨道内运动，已知重力加速度为g，场强E，要使小球能沿轨道做完整的圆周运动，则下列说法正确的是（）A．小球在轨道上运动时，动能最小的位置，电势能最大B．小球在轨道上运动时机械能最大的位置一定在M点C．小球过Q、P点受轨道弹力大小的差值为6mgD．小球过Q、P点受轨道弹力大小的差值为7.5mg【答案】BC【详解】A．根据等效场知识可得，电场力与重力的合力大小为则如图所示：，即θ＝37°当小球刚好通过C点关于O点对称的D点时，就能完成完整的圆周运动，小球在D点时的动能最小，但并不是电势能的最大位置，小球电势能的最大位置在N电，故A错误；B．小球在轨道上运动过程中，能量守恒，小球在M点的位置电势能最小，所以小球在M点的机械能最大，故B正确；CD．在PQ点根据牛顿第二定律得；从Q到P点，由动能定理得联立解得FQ﹣FP＝6mg故C正确，D错误；故选BC。14．如图所示，平行板电容器的两个极板水平，两板之间固