八年级上册数学：75 与三角形有关的角的四大类型解答（北师大版）（解析版） (一)

专题7,5与三角形有关的角的四大类型解答

【北师大版】

考卷信息：

本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对与三角形有关的角的四大类型解

答的理解！

【类型1与三角形有关的角的计算】

1.（2023春・甘肃兰州•八年级兰州H―中校考期末）如图,△■82中,NA=35。，LB=65°,CE^^ACB,

CDDF1CE^F,求/CD/7的度数.

c

【分析1先由三角形内角和定理得到N4CB=80,再由角平分线的定义得到乙4CE=40,进而利用三角形外

角的性质得到，CED=75。，根据垂直的定义和三角形内角和定理求出NEDr=15。，进而根据垂直的定义求

出/COF的度数即可.

【详解】解：•・•在△4BC中，△4二35。，48二65。，，

：.LACB=180°-^A-Z-B=80°,

・1E平分乙4C8,

：.Z.ACE=^Z-ACB=40°,

:•乙CED=+乙ACE=75°,

'：DF1CE,EPzDFE=90°,

：.LEDF=180°-乙DEF-乙DFE=15°,

VCDLAB,即乙ADC=90。,

:•乙CDF=/.ADC-乙EDF=75°.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等等，熟知三角形内角和

为180。是解题的关键.

2.（2023春・四川达州•八年级校联考期中）如图，在△A8C中，4E为8C边上的高，点。为8C边上的一点,

连接力D.

⑴当/I。为8。边上的中线时，若zlE=6,的面积为30,求CD的长；

⑵当力。为“4。的角平分线时，若NC=66。，△8=36。，求，O4E的度数.

【答案】（1）C。=5

{2}LDAE=15°

【分析】（1）由中线平分三角形面积可得△/1/）（；的面积，再由面积公式即可求得CD的长；

（2）由三角形内角和可求得NB4C的度数，由角平分线的性质可求得乙4DE,然后在RtZk/lOE中即可求得结

果.

【详解】（1）解：・♦•AD为BC边上的中线，

S^ADC=QS^ABC=5x30=15,

•••AE为边8c上的高，AE=6,

.-.-CD-AE=15,

2

:.CD=5.

（2）解：•••乙BAC=180°一乙8一乙C=78°,

••・4。为4/L4c的角平分线，

/.BAD=-^BAC=39°,

2

Z.ADC=48+乙BAD=360+39°=75°,

vAE1BC,

.•・Z.AED=90。，

•••£DAE=90°-75°=15°.

【点睛】本题考查了三角形中线、角平分线、三角形内角和及三甭形外角的性质等知识，掌握这些知识是基

础与关键.

3.(2023春・安徽淮北•八年级校考期末)如图，在aABC中，DE1A8于点E,DF1BC于点F,且OE=DF,

CD平分4ACB,乙BDC=135°.

(1)求乙08F+乙DCF的度数;

(2)求乙4的度数.

【答案】(1)45。

(2)90°

【分析】(1)根据三角形的内角而定理，即可求解；

(2)先证明B。平分N4BC,再根据三角形的内角和即可求解.

【详解】(1)解：・.28DC=135。,

:,乙DBF+乙DCF=180°-135°=45°；

(2)解：*：DE±AB.DF±BC,DE=DF,

平，｝乙A8C,即乙ABZ)="BD.

;。。平分乙力。8,

J.Z.ACD=乙BCD.

,KA=180°-/.ABC-^ACB=180°-+乙DCB)=180°-2x45°=90°.

【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，角平分线的判定，解题的关犍是掌握三角形的内角和为180。.

4.(2023春・湖北孝感•八年级统考期中)如图，点D为aABC的边BC上一点，NB4O=：Nb4C,BP平分4ABC

交＜0于点P,乙。=70。，Z.ADB=110°.求乙BP。的度数.

【答案】45°

【分析】首先根据三角形的外角和求出=40。，由此可得=20。，再根据三角形的内角和和角平

分线的性质求出48P。的度数即可.

【详解】解：+£CAD=£ADB,

：.70°+z.CAD=110°.

:•乙CAD=40°.

•・•cBAD=-^.BAC,

3

：,£CAB=60°,/.BAD=20°.

在A48。中，ZC+/.CAB4-Z.ABC=180°,

・・・70°+60°+Z71BC=180°,

：.LABC=50°.

「BP平分乙4BC,

：.LABP=\z.ABC=25°.

•LBPD=Z.ABP+/.BAD=25°+20°=45°.

【点睛】本题主要考查了三角形的内角和、外角和和角平分线的定义，属于基础题，要熟练掌握.

5.（2023春・辽宁鞍山•八年级统考期中）如图，在四边形4BCD中，AD\\BC,乙DAB的平分线交8C的延长线

于点E,BG1AE,垂足为点F,交CO于点G.

（1）求证：8G平分N4BE.

⑵若4DCE=105°,乙DAB=60°,求NBGC的度数.

【答案】（1）证明见详解

（2）35°

【分析】（1）根据平行线的性质得出4/Mf=出再根据角平分线的性质得出乙ZME=LBAE,从而得出”=

乙BAE,最后根据等腰三角形的性质即可得出8G平分乙4BC；

（2）根据功力8=60。，ADIIBC,得出ZABE=120。，再根据角平分线的性质得出々G8E=60。，从而得出

乙DCE=105°,最后根据/BGC=乙DCE-々GBE即可得出答案.

【详解】(1)证明：•••40||BC,

'•Z.DAE=乙E,

•••4E平，

•••Z.DAE=Z.BAE,

Z.E=Z.BAE,

:.AB=BE,

vBG1AE,

BG平分心力BE；

(2)•••Z.DAB=60°,AD||BC,

•••Z.ABE=120°,

•••8G平分4ABE,

：•乙GBE=60°,

vZ.DCE=105°,

Z.BGC=乙DCE-Z.GBE=105°-60°=35°.

【点睛】此题考查了多边形的内角与外角以及平行线的性质，熟记平行线的性质以及三角形的性质是解题的

关键.

6.(2023春・浙江温州•八年级校送考期中)已知：如图1,在三角形力BC中，Z.BAC=40°,乙C=65。，将

线段AC沿直线平移得到线段。E,连接力从

(I)当4E=65。时，请说明4EII8C.

(2)如图2,当。f在力。上方时，且/£'=2匕84£>—29。时，求乙84E与4c的度数.

(3)在整个运动中，当A/?垂直三角形力8c中的--边时，求出所有满足条件的乙E的度数.

【答案】(1)见解析

(2KBAE=23°,Z.EAC=17°

⑶25。或50。或90。

【分析】（1）由平移的性质可得ACIIDE,可得/CAE=ZF=65°=乙C,可得结论；

（2）由平行线的性质可得乙BAC=z8DE=40。，ZF=Z.EAC,力外角的性质可得4E+乙84E=40。，即可

求解;

（3）分三种情况讨论，由平行线的性质以及三角形的内角和定理即可求解.

【详解】（I）证明：•••将线段4c沿直线4B平移得到线段DE,

AC||OE,

:.Z.CAE="=65°,

:.LC—Z.CAE,

•••AE||BC；

（2）解：•••将线段4c沿直线A8平移得到线段DE,

：•DE||AC,

:•乙BAC=乙BDE=40°,zE=Z.EAC,

:.ZE+Z,BAE=40°,

vZE=2^BAE-29°,

Z.BAE=23°,乙E=17°,

AZ.EAC=17°：

图2

VZ.BAC=40°,Z.C=65°,

Z.ABC=75°,

vAE1BC,

•••Z.BAE=15°»

,:乙BDE=40°,

•••乙E=25°；

图3

VAC||DE,

Z.E=乙CAE=90°,

如图4,当NEIRB时,

VACHDE,Z.BAC=40°

.*.zF=90°-z/lD£,=50o

综上所述：=25。或50。或90。.

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了平行线的性质，平移的性质，三角形的外角性质等知识，灵活运用

这些性质解决问题是解题的关键.

7.（2023春・吉林长春•八年级长春外国语学校校考期中）将三角形纸片71BC沿直线DE折叠，使点A落在片处.

【感知】如果点大落在边48上，这时图①中的N1变为0。，那么乙V与乙2之间的关系是

【探究】如果点A落在四边形8CDE的内部（如图①），那么乙4，与21、22之间存在怎样的数量关系?并说明理

rh.

【拓展】如果点A落在四边形8CDE的外部（如图②），那么请直接写出乙4与乙1、42之间存在数量关

系

BBA'

【答案】感知：N2=2NA探究：2^Ar=zl+Z2拓展：2乙4'二42—

【分析】［感知］根据三角形外角性质得出+根据折置性质得出"40=4力，即可求出答案;

［探究］根据三角形内角和定理得出乙AED+41DE=180。一乙1,乙AED+44DE=180。一乙4',两式相加

可得4AzM+Z-A'EA=360°-（乙4+乙4'）,即44+乙4'+^A'DA+/-A'EA=360°,根据平角的定义得出

z.1+/.A'DA+Z2+^.A'EA=360°,可得出乙4'+乙4=+42,根据折叠性质得出乙4'=4A,即可得出

244=+乙2；

［拓展］根据三角形外角性质得出NDME=ZA+N1,N2=N4+NDME,推出42=+NA+21,即可得

出答案.

【详解】解：［感知］:乙2=2乙4.

理由如下：当点A落在边48上时，由折叠可得：4匕4'。=44

vZ2=Z714-Z-EA'D,

z2=2Z-A.

故答案为：乙2=2乙4；

［探究］:2乙4=41+42.

理由如下：vZ.AED+Z.ADE=180°-z/1,LA'ED+^A'DE=180°-LA!,

•••£ArDA+LA'EA=360°-(z/1+4A'),

LA+Z,Ar+AA'DA+/.A'EA=360°,

•••Z1+LA'DA+42+Z.^EA=350°,

二Z.Ar+4力=Z.1+42,

由折售可得：乙4=4/1',

•••2/.A1=zl+Z2,

故答案为：2乙4=41+42；

［拓展］:如图②，

BA1

/TK

CDA

②

Z.DME=Z.A'+zl,42=4力+(DME,

由折叠可得：/-A=Z.Ar,

:.z2=z/l+Z,A'+zl=2/.A+zl,

:.2Z.71=z2—zl,

24T=Z2-Z1

故答案为：2乙4'=42一乙1.

【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，本题主要考查运用定理进行

推理和计算的能力.解题的关键是结合图形运用外角的性质列等式求解.

8.(2023春•江西萍乡•八年级统考期末)已知点A在射线CE上，zC=^ADB.

(1)如图1,若ADII8C,求证：ACWBD；

(2)如图2,若8D1BC,垂足为8,BD交CE于点G,请探究ND4E与ZC的数量关系，写出你的探究结论，并

说明理由；

⑶如图3,在(2)的条件下，过点。作DFII8C交射线CE于点入当=ADFE=8ZD/1EM,求

△B4O的度数.

【答案】(I)证明见解析

(2)£ZME+24c=90。，理由见解析

(3)99°

【分析】(1)根据ADII8C,可得zZX4E=，C,再根据ZC=4力1)8,即可得至IJN/X4E=乙4。8,即可得证;

(2)乙/ME+2乙C=90,根据三角形外角的性质，可得至1此。68=乙4。3+乙。力£,根据直角三角形两锐角

互余，有“G8+/C=90。，再根据乙C=4ADB即可得到4ME与“的数量关系；

(3)^DAE=a,则乙Z)FE=8a,LAFD=180°-8a,根据。"II8C,即可得至l"C=iAFD=180°—8a,

再根据N/ME+24c=90。，即可得到a+2(180。—8a)=90。，求得a的值，即可运用三角形内角和定理得

到/BAD的度数.

【详解】(1)证明：•ZDIIBC,

/,Z.DAE=zC,

XVzC=Z.ADB,

：.LDAE=匕ADB,

：.AC\\BD；

(2)解：LDAE+2zC=90°

理由如下：•••4。60是4力06的外角，

:.乙CGB=Z.ADB+Z.DAE,

\'BD1BC,

：,LCBD=90°,

・••在△BCG中,Z-CGB+Z.C=90°,

：,LADB+Z.DAE+ZC=90°,

又,：(C=Z.ADB,

・・・乙04£+24c=90°；

(3)设乙。4E=a,MZDFF=8a,

：.^AFD=180°-8a,

VDFII5C,

AzC=Z-AFD=180°-8a,

又丁404E+2/C=90。，

.,.2(180°-8a)+a=90°,

Aa=18°

AzC=180°-8xl8°=36<,,

，乙AD8=£C=36°,

又=/-BAD,

：,LABC=180°一4C-LBAC=180°-LADB-LBAD=448D,

■:乙CBD=90°,

：,LABC=乙ABD=\LCBD=45%

・•・在△48。中，乙BAD=180°-45°-36°=99°,

的度数为99。.

【点睛】本题考查平行线的判定与性质，二:角形内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形两况角互余.灵

活运用三角形内角和定理是解题的关键.

9.（2023春・福建泉州•八年级统考期末）在△ABC中，乙C＞乙B,4E平分点尸为射线4E上一点（不

与点E重合），且F。18c于点》

（1）如图I,如果点尸在线段/E上，旦NC=50。，ZF=30°,^LEFD=.

⑵如果点尸在△48C的外部，分别作出NC4E和"OF的角平分线，交于点K,请在图2中补全图形，探究

2K£）、“、N8三者之间的数量关系，并说明理由：

（3）如图3,若点F与点力重合，PE、PC分别平分々1EC和△48C的外角乙ACM,连接P4过点P；乍PG上BC交

BC延长线于点G,PH_LA8交BA的延长线于点H,若乙EAD=4CAD,且乙CPG=飞（乙B+乙CPE）,求乙EPH

的度数.

【答案】（1）10°

（2）画图见解析，44（。=变片，理由见解析

4

(3)95°

【分析】（1）先求出匕氏1C=100。，进而得到N8AE=50。，Z.AEC=80°,根据FOJ.8C得到/FDE=90。，

即可求出/EAD=900-LAED=10°：

（2）根据题意先画出图形，根据三角形内角和定理和角平分线的定义得到乙CDK=：4EOF=45。，LCAK=

-ZC/1F=45°--Z^--ZC,再曰三角形内角和定理得到乙L4C+4c=4T0K+乙4K0,则45。一乙乙8—

2444

；乙。+乙。=45。+乙4长。，据此即可得到答案；

4

（3）根据匕£;4D=4。4D=2a得到N84E=2LCAE=4a,得到乙&4D=6a,从而求出乙8=90°—6a,进而

求出乙CPE=2a,结合“PG=5QB+NCPE）,得到/CPG=63。一号a.根据PG1BC,得到（45。+。）+

（63°-ya）=90%求出a=10。.从而分别求出，9=9求-6或=30。,"EM=35。,Z.BEP=145°,再

求出4PH8=90°,根据四边形内角和为360。即可求出NEP4=95°.

【详解】（1）解：VzF=30°,zC=50°,

：,LBAC=180°-Z.B-Z-C=100°,

•・YE是ZM8c的角平分线，

：,LBAE=LCAE=\^BAC=50°,

二乙4EC=4B+皿£=80。，

•：DF1BC,

:•乙FDE=90°,

：.LEFD=90°-/.AED=10°,

故答案为：10°；

（2）解：乙4KD=军卫,理由如下：

4

在△力8c中，Z.BAC=180°-z^-zC,

•「HE平分ZBAC,

:.LBAF=Z.CAF=-£BAC=90°—248—24c,

222

VDF1BC,

：,LFDE=90°,

•••/&4E和NEDF的角平分线交于点K,

：.LCDK=-Z.EDF=45°,/.CAK=-/LCAF=45°--zF--zC,

2244

*：Z.TAC+ZC+Z.ATC=180°=LTDK+Z.AKD+乙DTK,乙DTK=Z.ATC,

：,z.TAC+=rTDK+乙4KD,

:.45°--zfi--zC+zC=45°+^.AKD,

44

.・・"=沁一沁

A

(3)解：设匕E/l。=乙CAD=2a,

•ZE平分2B4C,

*»LBAE=/.CAE=Z.EAD+Z.CAD=4a,

乙BAD—6a,

'：AD1BC

：,LADE=90°,

：,LB=90°-48力。=90°-6a,^AED=90°-2a,

：.LACM=ZF4-Z.BAC=90°4-2a,

♦：PE、PC分别平分48。的夕卜角乙4CM,

：=45°-a,乙PCG=-/.ACM=45°+a,

.LPEC=-2Z.AEC2

:.乙EPC=乙PCG-乙PEC=2a,

:.LCPG=V(28+乙CPE)=^(90°-6a4-2a)=63。-詈

■:PG1BC,

；“CG+乙CPG=90°,

即(45°+a)+(63°一=90。，

：.a=10°.

=90°-6a=30°,乙PEC=35。，

LBEP=180°-乙PEM=145°,

■:PHLAB,

・"PHB=90。,

，在四边形BfPH中，乙EPH=360°-LBEP--Z.BHP=95。（四边形内角和可以看做是两个三角形的

内角和）.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角定理，三角形角平分线，综合性较强，第（3）步难度

较大.熟知相关定理，并根据题意进行角的表示与代换是解题关键.

【类型2与三角形有关的角的证明】

1.（2023春・安徽宿州•八年级统考期末）如图，4811co，点E在4c上，求证：z/1=zCFD+ZD.

【答案】证明见解析

【分析】首先根据平行线的性质得到々力十"=180。，然后根据二角形内角和定理得到乙CZ7D十乙。十乙。=

180°,进而可证明出NA=4；ED+4D.

【详解】*：ABKD

Azzl+ZC=180°

•・•在△CED中，ZCFD4-ZD+ZC=180°

/.Z.A=Z.CED+Z.D.

【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形的内角和定理，热练掌握平行线的性质是解题的关键.

2.（2023春•湖北武汉•八年级统考期末）如图，已知ABIICD,48=60。，点G在直线“上且乙ABG=乙FGB.

（2）若=iCGB+20。，求2C的度数.

【答案】（1）证明见解析：

（2）70°.

【分析】（1）根据平行线的判定及性质即可证明;

（2）先根据平行线的性质求得ZTMG==60。，再利用三角形的内角和定理即可求解.

【详解】(1)证明：•・•乙48G="GB,

:・ABIIEF,

,：ABIICD,

：,CDII",

AzC=乙CGE；

(2)解：如图，

：.£CGB=AC-20°,

'：AB||CD,ZJ?=6O。，

：,LCMG=LB=60°,

VzC+Z.CMG+Z.CGB=180°,

AzC+ZC-20°+60°=180°,

：,LC=70°.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定及性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关

键.

3.（2023春・江苏南通•八年级统考期末）已知点。在乙4BC内，E为射线8c上一点，连接DE,CD.

（I）如图1所示，连接4E,^Z.AED=^BAE+^CDE.

①线段AB与CD有何位置关系？请说明理由；

②过点。作OMII反交直线8c于点M,求证：乙CDM=LBAEx

（2）如图2所示，^AED=^A-^D,若M为平面内一动点，MAWED,请直接写与4CDE的数量关系.

【答案】（1）①4BIICD,理由见解析；②证明见解析

=^CDE^MAB+z.CDF=180°

（分析］（1）①过点E作EFII48,则44EF=Z.BAE,由N/ED=4BAE+乙CDE,^AED=^AEF+匕FED得

至l」，COE=NFEO,则FEIICD,即可得到结论.

②由DM||/IE得至I］乙4E0=Z-MDE.乙CDE=乙FED,贝I」4Moe=Z/1EF.由N/1EF=484E即可得至U4coM=

乙BAE；

（2）分点例在直线力B的右侧和点M在直线48的左侧两种情况，分别求与乙CDE的数量关系为：

LMAB=LCDE^MAB+乙CDE=180°.

【详解】（1）解：①AOIICD.理由：

过点E作EFII4B,如图，

则4力EF=LBAE,

vZ.AED=乙BAE+Z.CDE,Z.AED=Z.AEF4-乙FED,

•••/CDE=乙FED,

•••FEIICD,

vAB||EF,

:.AB||CD.

②•••DM||AE,

Z.AED=Z.MDE.

vZ.CDE=乙FED,

Z.MDC=Z.AEF.

vZ.AEF=Z.BAE,

•••4CDM=Z.BAE.

(2)当点M在直线的右侧时，如下图，乙MAB=cCDE,理由:

设/IE与。。交丁点F,

•••Z.CFE=乙D+Z.AED,

•••Z.AED=Z.CFE-乙D.

•••Z.AED=乙BAE-乙D,

•••Z.BAE=乙CFE.

•••AB||CD.

•••/.ABC=Z.DCE.

vAM||DE,

二Z.AMB=乙DEC.

vZ.MAB=180°-Z-ABC-NAMB,乙CDE=180°-乙DCE-乙DEC,

Z.MAB=Z.CDE.

②当点M在直线为8的左侧时，如图，Z,MAB+LCDE=180°,理由:

由（2）①可知：Z.BAN=Z.CDE.

vZ.BAN+乙BAM=180°,

二Z.MAB+乙CDE=180°.

综上，4M/B与4CDE的数量关系为：^MAB=4CDE或4M48+乙CDE=180°.

【点睛】此题考查/平行线的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质、三角形内角和定理

灵活进行角的关系转换是解题的关键.

4.(2023春•黑龙江哈尔滨•八年级校考期中)射线OM、ON交『。点，OC平分乙MON,乙MON=60。,

B

图2

⑴如图1,PA.P8分别平分〃MB、乙。84时，直接写出乙4PB=；

(2)如图2,PA、P8分别平分4M45、4N84时，求出44PB的度数：

(3)在(2)条件下，如图2中，求证匕PA8+々0P8=90°.

【答案】(1)120。

(2)60°

(3)证明见解析

【分析】(1)由三角形内角和定理得404B+N0B4=120。，由角平分线的定义得N04B+4PB力=：4。力8+

^OBA=60。，再利用三角形内角和定理进行计算即可；

(2)由三角形内角和定理得4048+Z0/M=120。，由平角的定义得乙MA8+匕M/M=240。，由角平分线

的定义得NP/B+乙PBA=120°,再利用三角形内角和定理进行计算即可；

(3)由(2)可得/PAB=ZMAP=30°+乙4P。，/0P8=60°—乙4PO,代入乙P4B+40P8化简即可.

【详解】(1)解：HMON=60。，

•"OAB+NOBA=120°

VPA.分另I」平分Z0A8、Z.OBA,

：,LPAB=-2Z,OAB,2Z.PBA=-Z-OBA,

:.乙PAB+Z,PBA=-^OAB+-乙OBA=60°

22

：,LAPB=180°-(Z-PAB+Z.PBA)=120°,

故答案为：120°；

(2)解；LMON=60°,

：,LOABLOBA=120°,

・LM4B+/MBA=240。，

•・・P4、PB分别平分/M/1B、乙NBA,

JZ.PAB=|LMAB,4P84=34W8A,

：.LPAB+^PBA=-2z.MAB+-2^MBA=120°,

：,LAPB=180°-(Z.PAB+4P8A)=60°；

(3)证明：TOC平分NMON,乙MON=60。,

=30°,

：.z.MOC=-2^MON

yPA^Z.MAB,

：.LPAB=Z.MAP=乙MOP+乙APO=30°+Z71P。，

•・•4APB=60°

:.乙OPB=60°-乙4Po

+乙OPB=(30°+Z-APO)+(60°-/-APO)=90°

【点睛】本题考查了角的和差，角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等，准确识图是

解题的关键，难点在于要注意整体思想的利用.

5.(2023春・河南南阳•八年级统考期末)请阅读下列材料，并完成相应任务.

在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图1,锐角乙34c内部有一点。，在其两边A3和AC上各取任意一

点、E,F,连接OE,DF.

求证：匕BED+乙DFC=cBAC+乙EDF.

AA

图1图2

小丽的证法小红的证法

证明：证明：

如图2,连接4D并延长至点M,.:乙BED=80°,zDFC=60°,

4BED=/.BAD+/.EDA,=51°,NEDF=89°（量角器测量所得）,

乙DFC=/-DAC+/-ADF（依据）,:•乙BED+乙DFC=140°,

又•：乙BAD+Z.DAC=Z.BAC,Z.BAC+乙EDF=14。。（计算所得）.

/.EDA+Z.ADF=乙EDF,:•乙BED+乙DFC=LBAC+乙EDF（等量代换）.

:.乙BED+"FC=Z.BAC+乙EDF.

任务：

（1）小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：

（2）下列说法正确的是.

A.小丽的证法用严谨的推理证明了该定理

B.小丽的证法还需要改变Z84C的大小，再进行证明，该定理的证明才完整

C.小红的证法用特殊到一般的方法证明了该定理

。.小红的证法只要将点D在的内部任意移动100次，重新测量进行验证，就能证明该定理

⑶如图，若点。在锐角N8AC外剖，EO与4C相交于点G,其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成立,

请说明理由；若不成立，请探索N8ED,ZDFC,ABAC,/EOF之间的关系.

【答案】（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

⑵八

（3）不成立，Z-BED=Z.BAC+zDFC+zEDF

【分析】（1）连接力。并延长至点M,根据三角形外角的性质解答即可：

（2）按照定理的证明的一般步骤，从已知出发经过量角器测量，计算，证明，即可得答案：

（3）根据三角形外角的性质得乙AGE=乙。尸。+乙EOF,^BED=£BAC+^AGE,整理可得答案

【详解】（1）解：小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的

和；

（2）根据定理证明的一般步骤，从已知出发经过量角器测量，计算，证明，故A正确；

（3）不成立,

VLAGE^GDF•的一个夕卜角，

A/.AGE=乙DFC+乙EDF,

•••/BED为△AEG的一个外角，

:•乙BED=Z.BAC+Z.AGE,

/BED=Z-BAC+乙DFC+乙EDF（或NBED-乙DFC=乙BAC+zEDF）.

【点睛】本题考查了三角形的外角，解题的关键是掌握三角形外常的性质：三角形的一个外角等于和它不相

邻的两个内角的和.

6.（2023春•北京大兴•八年级统考期末）如图，在直角三角形中，Z/1CF=90°.

（1）如图I,点M在线段CB上，在线段BC的延长线上取一点N,使得NM4C=NM4C.过点8作80_L4M,

交/1M延长线丁•点。，过点N作NEIIBO,交718丁点E,交/1M『点尸.判断/ENB与4M4C之间为数量关系，

写出你的结论，并加以证明；

（2）如图2,点M在线段C8的延长线上，在线段BC的延长线上取一点N,使得乙M4c=4MAC.过点8作BD1

AM于点D,过点N作NEIIB。，交8A延长线于点£,交MA延长线于点立

①依题意补全图形；

②若4048=45。，求证：4NEA=4NAE.

【答案】（1）NENB=NM4C,理由见解析

⑵①见解析；②见解析

【分析】（1）依据乙NFD=Z.ADB=90°,Z.ACB=90°,即可得到/凡4C+Z.AMC=乙FNC+Z/1MC=90°,

进而得出乙M4C=再根据4M4C=乙M4C,即可得至Ij/ENB=々M4C；

（2）①过点B作BD1AM于点、D,过点N作NE||8。，交8A延长线于点E,交M4延长线于点F；②依据4ENB=

乙NAC,乙NEA=135°-乙ENB,LEAN=135°-4NAC,即可得至iJ4NEA=乙NAE.

【详解】（1）解：ZENB=ZM4C,

理由：'：BD1AM,

J.LADB=90°,

*：NE\\BD,

;•乙NFD=^ADB=90°,

\^ACB=90°,

：.z.FAC+Z-AMC=乙FNC+Z-A^C=90°,

：.z.MAC=乙ENB,

XVzyV/lC=匕MAC,

:.乙ENB=乙NAC；

（2）解：①补全图形如图：

②同理可证NEN8=乙NAC,

•・•在RtA/lBC中，Z,ACB=90°,LCAB=45%

/.AABC=45。，

：,LABM=135°,

：,z.NEA=4ABM-乙NEB=135°-乙ENB,

LEAN=Z.EAB-乙NAC-Z.CAB=135°-乙NAC,

：.ANEA=乙NAE.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质的综合运用，解决问题的关键是利用三角形内角

和是180。进行推算.

7.（2023春・江苏扬州•八年级校考期末）【探究结论】

（I）如图1,ABWCD,E为形内一点，连结力£、CE得到〃EC,则乙1EC、乙4、〃的关系是（直接写

出结论，不需要证明）：

【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题：

（2）如图2,4BIICD,直线MN分别交力8、CD于点E、F,EG1和E0为48£厂内满足乙1=22的两条线，分别

与4EF。的平分线交于点Gi和G2,求证：4FG1E+乙G=180。.

(3)如图3,已知A8IIC0,F为CD上一点、,Z.EFD=60°,Z.AEC=3^CEF,若8°V48AEV20。4c的度数

为整数，则NC的度数为

图1

【答案】（1），AEC=z4+iC；（2）见解析；（3）42。或41°

【分析】（1）过点E作EFIIAB,根据平行线的性质可得4力=/1,Z2=ZC,由此即可得到结论；

（2）由（1）可知：zFG2F=zl+zDFG2,由角平分线的定义结合41=42可得NEGZ/MZZ+NEFGZ，再

根据三角形的内角和定理可证明结论；

（3）由（1）知：Z-AEF=乙BAE+乙DFE,设乙CEF=%,则44EC=3x,可求得NB/E=4%-60°,结合乙84E

度数的取值范围可求解工的取值范围，再利用三角形外角的性质可求解.

【详解】解：（1）如图所示，过点E作EFIIAB,

•••AB||CD,EF||AB,

EF||CD,

•••z2=zf.

Z.AEC=Z14-Z2,

:.Z.AEC=Z.A+zC,

故答案为：^AEC=AA+^C；

（2）由（1）可知：乙EG2F=l乙DFG2，

•••PG2平分乙MF。，

•••Z.EFG2=乙DFG2，

•••zl=z2,

•••Z.EG2F=z.2+LEFG2>

Z.EG^F4-z24-Z.EFG2=180°,

:.，FG[E+ZG2=180°；

（3）由（I）知：Z-AEF=Z.BAE^-Z-DFE,

设/CEF=x,则N4EC=3x,

•••乙EFD=60°,

:.x+3x=Z.BAE+60°,

乙BAE=4x-60°,

又•:80<^BAE<20°,

•••8°<4x-60°<20°,

解得17。<%<20。，

又••・△DF'E是aCEF•的夕卜角，

:.Z.C—乙DFE—Z.CEF-Z.DFE-无,

•••”的度数为整数，

.%x=18。或19。,

•••LC=60°-18°=42。或=60°-19°=41°,

故答案为:42。或41。.

【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识的综合运用，灵活运用

平行线的性质求解角的关系是解题的关键.

8.（2023春・福建泉州•八年级统考期末）在△ABC在中，4B=M,点、D在边BC上.

(1)如图①，点E在线段AC上，若ZADE=UED,证明：乙BAD=2乙CDE；

(2)如图②，平分“AD,点F在线段CD上，FH1AH交力。延长线于点Q,设乙48c与乙的厂的角平分线交

于点P,求乙P与4BFQ的度数之比

【答案】(1)见解析.

(2)3:2

［分析】(I)根据三角形的外角定理，=/-BAD+乙B=Z.ADE+乙CDE,乙BAD=4ADE+UDE-乙B,

rfnz/lDE=Z.AED=zc+Z.CDE,代入上面式子有：乙BAD=KC+乙CDE+乙CDE一乙B,而乙B=",所

VXABAD=ZC+乙CDE+乙CDE-Z.C=2乙CDE,证明了结论；

(2)如图，延长QF交AC于K,设4P=x4BFQ=y；有iAQK=LAKQ,根据外角定理有，^AKQ=乙KFC+

Z.C,而z_C=241,乙KFC=y,2z2=y+2zl,Uijz.1+zP=z.2+Z.KFC,即乙l+x=z_2+y,联立可

以找到x、y的关系式，即可求解.

【详解】(1)证明：'：Z-ADC=Z-BAD+Z-B=Z-ADE+Z-CDE,

=4ADE+Z-CDE-乙B

又*ZOE=/.AED=ZC+ZCDF

/.BAD=Z.C+Z.CDE+乙CDE-Z.B

VzB=H

/./.BAD=乙C+Z.CDE+Z.CDE—Z.C=2/.CDE

BP：Z.BAD=2Z.CDE.

(2)解：如图，延长QF交AC于K,设4P=%4BFQ=y

,：AH1QK,乙HAQ=ZLHAK

：.LQAH+CAQH=90°,Z.HAK4-LAKQ=90°

：,£AQK=乙AKQ

A2z2=乙KFC+ZC=yI2zl.

Az2—zl=-y

2J

*/zl+x=z2+y

=]+y

:.2x=3y

/.Af：y=2:3

故：”与48股的度数之比为2:3.

【点睛】本题主要考查了三角形外角定理、直角三角形性质、角平分线的定义等知识，熟练运用外角定理，

找到相应的等量关系，并通过等量代换找到角之间的关系是求解的关键.

【类型3与三角形有关的角的挖空题】

1.（2023春・江苏扬州•八年级统考期末）如图，四边形48CD中，作点4C_L/1D,设8。分别与力C、CE交于

点F、G.若8。平分4A8C,且22=43,求证：乙CFG=LCGF.

完戊下面的证明过程：

证明：vAC1AD（E,^）,

AZ.CAD=90。（垂直的定义）.

•••平分Z4BC（已知）

二乙1=42（）

•:乙2=z3（已知）

•••乙1=（等量代换）

•••AD//BC（）

:•尸^CAD=90°（两宜.线平行，内错角相等）

zl="AD=90。（直角三角形的两个锐角7余）

同理由CE14B,

可得N2十Z.BGE=90°

•••LCFG=乙BGE（）

又•：乙BGE=乙CGF（对顶角相等）

-CFG=Z-CGF（等量代换）

【答案】角平分线定义：乙3：内错角相等，两直线平行；LACB,等角的余角相等

【分析】根据垂直的定义可得"4）=90。,然后根据先平分线定义可得Nl=N2,根据等量代换可得41=/3,

再根据内错角相等，两直线平行可证4V/BC,从而得出NACB_=ZC4D=9O。，再根据等角的余角相等可

得“FG=乙BGE,最后根据对顶角相等和等量代换即可证出结论.

【详解】证明：vAC1AD（B^）.

:•乙CAD=90。（垂直的定义）.

•••平分〃BC（已知）

乙1=匕2（角平分线定义）

•••z2=Z3（己知）

•••乙1=/3（等量代换）

AD〃BC（内错角相等，两直线平行）

...ZACB=Z.CAD=90。（两直线平行，内错角相等）

zl=Z.CAD=90。（直角三角形的两个锐角7余）

同理由CE14B,

可得N2+Z-BGE=90°

：・乙CFG=乙BGE（等角的余角相等）

又•；LBGE=乙CGF（对顶角相等）

:'乙CFG=乙CGF（等量代换）

故答案为：角平分线定义：43；内错角相等，两直线平行；4ACB；等角的余角相等.

【点睛】此题考查的是垂直定义、角平分线的定义、直角三角形口勺性质和平行线的判定及性质，掌握垂直定

义、角平分线的定义、直角三角形的性质和平行线的判定及性质是解题关键.

2.(2023春•黑龙江大庆•八年级统考期末)如图，ABWCD,N6MN与/QNM的平分线相交于点G,

完成下面的证明：

:/WG平分N8MN,

；・NGMN二/BMN(),

同理NGNM=：NONM.

\'AB\\CD

:.NBMN+/DNM=(_).

:.NGMN+NGNM=.

*/NGMN+ZGNM+ZG=,

：,/G=.

【答案】角分线的定义；180。；两直线平行,同旁内角互补;90、180。：90。

【分析】根据角平分线的定义，可得NGMN=g/BMN,ZGNM=^ZDNM.再由AB||C。，可得N4MN+

ZZ)MW=180°,从而得到NGMN+/GNM=90。.然后根据三角形的内角和定理，即可求解.

【详解】证明：・・・MG平分N8MM

・・・NGMN=：N8MN(角分线的定义)，

同理NGNM=；NONM.

...N3MN+NONM=18()。(两直线平行，同旁内角互补).

:.ZGMN+NGNM=90。.

*/NGMN+/GNM+ZG=180°,

/.ZG=90°.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解

题的关键.

3.（2023春•江苏盐城•八年级校考期中）互动学生课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究.

小亮：已知，如图，三角形A8C,点。是三角形ABC内一点，连接8。，CD,试探究N8QC与N4、N1、

N2之间的关系.

小明：可以用三角形内角和定理去解决.

小丽：用外角的相关结论也能解决.

（1）请你在横线上补全小明的探究过程：

ZBDC+ZDBC+ZBCD=180°,（）

NBDC=180°-Z.DBC-NBCD,（等式性质）

：NA+N1++ZDBC+ZBCD=180°,

AZ^+Zl+Z2=180°--NBCD,

：.ZBDC=ZA+Z1+Z2.（）

（2）请你按照小丽的思路完成探究过程.

【答案】（1）三角形内角和定理：Z2；ZDBC-,等量代换；（2）见解析.

【分析】（1）根据三角形内角和定理、等式的性质解答；

（2）延长8。交AC于E,根据三角形的外角性质证明结论.

【详解】（I）VZBDC+ZDBC+ZBCD=180°,（三角形内角和定理）

/./BDC=180°-Z1DBC~/BCD,（等式性质）

ZA+Z1+Z2+ZDBC+ZBCD=180°,

AZ/1+Zl+Z2=180°-NDBC-/BCD,

：.ZBDC=ZA+Z1+Z2（等量代换），

故答案为：三角形内角和定理；Z2；ZBDC-,等量代换：

（2）如图，延长8。交AC于E,

由三角形的外角性质可知，NBEC=NA+N1,

ZBDC=N8EC+N2=NA+N1+N2.

【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于它不相邻的两个

内角和是解题的关键.

4.（2023春・河北衡水•八年级校考期末）如图，已知Nl+N2=180。，且N3=N5.

（I）求证：NAFE=NACB,完成下面的证明.

证明：VZ2+ZA£C=180°.Nl+N2=180（已知），

・・・NAEC=N1（等量代换），

；・A训FD（_）,

・・・N3=_（两直线平行，内错角相等）.

又7N3=N8（已知），

・・・_=/8（等量代换），

・•・_（同位角相等，两直线平行），

AZAFE=ZACB（_）；

（2）若CE平分NAC8,且N2=U0。，Z3=50°,求NA产石的度数.

【答案】⑴同位角相等，两直线平行；NAEF；NAEF；FE||CB：两直线平行，同位角相等

（2）40°

【分析】（1）由题意可得NAEC=N1,从而可判断A8|尸。，求出NAEF=N8,得到/E||CB,即得NA/E

=NACB；

（2）利用三角形的内角和可求得/3CE的度数，再利用角平分线的定义得NAC8=2NBC£,从而得解.

【详解】（I）解：VZ2+ZAEC=180°,Nl+N2=180。（已知），

•••N4EC=N1（等量代换），

,"加尸。（同位角相等,两直线平行），

・・.N3=NAE尸（两直线平行，内错角相等），

又・：/3=NB（已知），

AZAEF=ZB（等量代换），

AFEHCB（同位角相等，两直线平行），

AZAFE=ZACB（两直线平行，同位角相等），

故答案为：同位角相等，两直线平行：NAEF；NAEF；FEWCB-,两直线平行，同位角相等；

（2）VZ3=ZZ?,23=50。，

•••NB=50。，

VZ2=H0°,

AZBCE=180°-NB-Z2=20°,

TCE平分NACB,

・•・NAC8=2N3CE=40。，

VFEIICB,

ZAFE=ZACB=40°.

【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性

质并灵活运用.

5.（2023春M西晋城•八年级统考期末）综合与实践问题情境：在数学活动课上，全班同学分组进行了一

副三角尺上角的探究活动，如图所示，放置一副三角尺，两个三角尺的顶点O重合，边CD与边重合，试

求，40c的度数.

（1）探究展示勤奋小组展示了如下的解决方法（请结合图形I,完成填空）

解：•:乙OCD=45°,乙0BC=60。

:.乙BOC=（）

又1Z08=90。,

Z.AOC=.

D

B

A

OSi

（2）反思交流：创新小组受勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2所示，绕顶点。逆时针旅转

当。。〃力。时，求得乙4E。的度数.（请你写出解答过程）

图2

（3）探索发现：小明受到旋转的启发，继续进行探究（如图3）,继续绕顶点0逆时针旋转ADOC,使点B

落在边0C上，此时发现41与N2之间的数量关系.

以下是他的解答过程，请补充完整解：在△力与△8CE中,

'：LAEO+Z.1+Z