北师大版九年级上册数学复习知识点及例题 (一)

数学九年级上册学问点总结

第一章特别的平行四边形复习

中考考点综述：

特别平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是历年中考的必考内容

之一，主要出现的题型多样，留意考查学生的基础证明和计算实力，以与

敏捷运用数学思想方法解决问题的实力。内容主要包括；矩形、菱形、正

方形的性质与判定，以与相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方

形之间的联系，驾驭平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。

学问目标

驾驭矩形、菱形、正方形等概念，驾驭矩形、菱形、正方形的性质和判

定，通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论动

身，找寻论证思路分析法和综合法。

重难点：

L矩形、菱形性质与判定的应用

2.相关学问的综合应用

学问点归纳

矩形菱形正方形

对边平行且相对边平行，四边相

边对边平行，四边相等

等等

性四个角都是直

角对角相等四个角都是直角

质角

对相互垂直平分，且

角相互平分且相相互垂直平分且相等，每条

每条对角线平分

线等对角线平分一组对角

一组对角

•有三个角是•四边相等的四边­是矩形，且有一组邻边相

直角；形；等；

判定•是*行四边•4菱形，且有一个角是直

•是平行四边形且

形且有一个角有一组邻边相等；角。

是直角；•是平行四边形且

•是平行四边两条对角线相互

形且两条对角垂直。

线相等.

对称

既是轴对称图形，又是中心对称图形

性

一.矩形

矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形.

【强调】矩形（1）是平行四边形；（2）—一个角是直角.

矩形的性质

性质1矩形的四个角都是直角；

性质2矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。；

矩形的判定

矩形判定方法1：对角线相等的平行四边形是矩形.

留意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等

矩形判定方法2:四个角都是直角的四边形是矩形.

矩形推断方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

例1：若矩形的对角线长为8,两条对角线的一个交角为60°,则该矩形的

面积为______

例2：菱形具有而矩形不具有的性质是（）

A.对角线相互平分；B.四条边都相等；C.对角相等；D.邻角互

补

例3：已知：如图，。各角的平分线分别相交于点E,F,G,-11,

■求证：•四边形是矩形.

二.菱形

菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做

菱形.

【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）•组邻边相等.

菱形的性质

性质1菱形的四条边都相等；

性质2菱形的对角线相互平分，并且每条对角线平分一组对角；

菱形的判定

菱形判定方法1：对角线相互垂直的平行四边形是菱形.

留意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线

相互垂直.

菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形.

例1已知：如图，四边形是菱形，F是上一点，交于E.

求证：ZZ.

a

例2已知：如图口的对角线的垂直平分线//V式与边、

口

例3、如图，在中，0是对角线的中

点，过点。作的垂线与边、分别交于E、F,求

证：四边形是菱形.

例4、已知如图，菱形中，E是上一点，、交于M,

若，Z2Z\求证：。

例5.（10湖南益阳）如图，在菱形中，Z6O0484为B

对角线的中点，过。点作，，垂足为2

⑴求线段8E的长.

AEB

例6、(2011四川自贡)如图，四边形是菱形，_L交的延长线于E,1,交

的延长线于F。请你猜想与的大小有什么关系？并证明你的猜想

例7、(2011山东烟台)

如图，菱形的边长为2,2,E、F分别是边，上的两个动点，且满意2.

(1)求证：△也△:

(2)推断△的形态，并说明理由；

(3)设△的面积为S,求S的取值范围.

三.正方形

正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思:

①有一组邻边相等的平行四边形E正方形

②有一个角是直角的平行四边形(矩形)

正方形不仅是特别的平行四边形，并且是特别的矩形，又是特别的菱

形.

正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做

正方形.

正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方

形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有

四条对称轴；

因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性

质的综合，正方形的性质总结如下：

边：对边平行，四边相等；

角：四个角都是直角；

对角线：对角线相等，相互垂直平分，每条对角线平分一组对角.

留意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，

对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰

直角三角形，这是正方形的特别性质.

正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质.

正方形的判定方法：

•(1)有一个角是直角的菱形是正方形；

•(2)有一组邻边相等的矩形是正方形.

­留意：1、正方形概念的三个要点：

•(1)是平行四边形；

•(2)有一个角是直角；

•(3)有一组邻边相等.

2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后

再加上相应的条件，确定是正方形.

Dir---------------71c

例1已知：如图，正方形中，对角线的交点为()，fv\/E是

AB

上的一点，_1_于6,交于F.

求证：.

（2）设，△的面积为y.

①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.

实战演练：

1.对角线相互垂直平分的四边形是（）

A.平行四边形、菱形B.矩形、菱形C.矩形、正方形

D.菱形、正方形

2.顺次连接菱形各边中点所得的四边形肯定是（）

A.等腰梯形B.正方形C.平行四边形D.矩形

3.如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（）

A.当时，它是菱形B.当，时，它是菱形

C.当/90°叱；它是矩咚D.当时，它是正方踪

4.如图，在卜［、E、D,尸分别在边A8,好公式，且。石〃C4,

以〃胡B彳赢个涵中,不正确的是（X\!/\

・・・BDC

A.四边形4切不是平行四边形B.假如N8AC=90,那么四边形4反W是矩

形

C.假如AO平分Nmc,那么四边形A瓦W是菱形

D.假如AD_L3C且A8=AC,那么四边形AEDF是菱形

5.如图，四边形A8CQ为矩形纸片.把纸片A8CD折叠，使点8恰好落在CQ

边的中点E处，折痕为AA若8=6,则4/等于（）

对角线相交于。点，过点。作AC的垂线EF,分别交ADBC于E,F点、,连

结CE,则△CQE的周长为（）

A.5B.8C.9D.10

9.边长为5的菱形，一条对角线长是6,则另一条对角线的长是.

10.如图所示，菱形A5CD中，对角线AC,8。相交于点O,若再补充一个条

件能使菱形A3C3成为正方形，则这个条件是（只填一个条件即

12.如图，矩形ABC£＞中，。是AC与8力的交点，过。点的直线仃'与AB,CD

的延长线分别交于EF.

（1）求证：4BOE色ADOF、

（2）当痔与AC满意什么关系时，以A,E,C,b为顶点的四边形是菱形?

（1）四边形是平行四边形吗？说出你的结论和理由：.

⑵如图2,将△沿射线方向平移到△3G2的位置，四边形心是平行四边

形吗？说出你的结论和理由：.

（3）在△沿射线方向平移的过程中，当点B的移动距离为时，四边形a

为矩形，其理由是；当点B的移动距离为时，四边形㈤为菱形，其理由

是.（图3、图4用于探究）

应用探究:

L如图，将矩形ABCD纸片沿对角线折叠，使点。落在C处，交于

E,若NO3C=22.5。，则在不添加任何协助线的状况下，图中45。的角（虚线

也视为角的边）有（）

A.6个B.5个C.4个D.3个

4MB

c

2.如图，正方形ABC。的面积为1,M是4?的中点，则图中阴影部分的面积

是（）

A.—B.-C.-D.-

10359

3.已知AC为矩形ABCQ的对角线，则图中4与N2肯定不相等的是（）

4.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标记.将宽为3〃的红丝带交叉成

60°角重叠在一起（如图），则重叠四边形的面积沟切fD

5.如图，将矩形纸的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边

形，若=3厘米，=4厘米，则边的长是厘米.

6.如图，已知ZAQ8,04=08,点E在08边上，四边形尸是矩形.请你

只用无刻度的直尺在图中画出ZAO8的平分线（请保留画图痕迹）.

7.如图：矩形纸片，2,点后在上，且.若将纸片沿折叠，点8恰好落在上,

则的长是

其次章一元二次方程

一、一元二次方程

（一）一元二次方程定义

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二

次方程。

（二）一元二次方程的一般形式

♦+以+c=o（〃wo）,它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次

多项式，等式右边是零，其中初2叫做二次项，@叫做二次项系数；叫做一

次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

例方程（w-2）x"<+（3-⑼）-2=0是一元二次方程，则帆=.

二、一元二次方程的解法

1、干脆开平方法

干脆开平方法适用于解形如（X+〃）2=〃的一元二次方程。当人20时，

x+a=±4b,x=-a±4b;当b<0时，方程没有实数根。

例其次象限内一点A（x-1,X2-2）,关于X轴的对称点为B,且6,则.

2、配方法一般步骤：

（1）方程a?+/zr+c=0（4=0）两边同时除以a,将二次项系数化为1.

（2）将所得方程的常数项移到方程的右边。

（3）所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方

(4)配方，化成"+4)2=/,

(5)开方，当匕之()时，x=-a±4b;当b<0时，方程没有实数根。

例若方程(x-4)2有解，则。的取值范围是().

A.6/<0B.a>0C.a>0D.无法确定

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的

一般方法。

一元二次方程公2+/?x+c=O(〃w0)的求根公式：

-b±yjb2-4ac...、八、

x=-----------(b2-4ac>0)

2a

例已知V+4x—2=0,那么3f+12x+2012的值为

4、因式分解法

一元二次方程的一边为0,另一边易于分解成两个一次因式的乘积时运

用此方法。

例已知一个三角形的两边长是方程X2-815=0的两根，则第三边y的取值范

围是().

A.y<8B.3<y<5c.2<y<SD.无法确定

补充：一元二次方程根的判别式

根的判别式

1、定义：一元二次方程尔+法+。=0("0)中，82_4"叫做一元二次方

程ax2+bx+c=0("0)的根的判别式o

2、性质：当4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当/_4觉=

0时，方程有两个相等的实数根；当〃-4〃cV0时，方程没有实数根。

例若关于x的方程X?-2(a-1)x=(2尸有两个相等的实根，则a?”

的值

为.

例若关于X的方程x2-2x()+6=0无实根，则k可取的最小整数为()

(A)-5(B)-4(C)-3(D)-2

补充：一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)

假如方程如2+取+c=0(aw0)的两个实数根是孙占，那么%+々=-2，

a

c

X]Xo=­o

a

第三章概率的进一步相识

一、学问概括1、频率

(1)在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频・数♦；

(2)每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频•率•；即：

频率二频数二频

数据总数实验次数

(3)在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率,

而各组频率的和等于1。因此，各个小长方形的面积的和等于1。

2、概率的求法：

(1)一般地，假如在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可

能性都相等，事务A包含其中的m个结果，那么事务A发生的概率为P(A)

二'

n

(2)表格法

用列出表格的方法来分析和求解某些事务的概率的方法叫做列表法。

(3)树状图法

通过画树状图列出某事务的全部可能的结果，求出其概率的方法叫做树

状图法。

（当一次试验要涉与三个或更多的因素时，用列表法就不便利了，为了

不重不漏地列出全部可能的结果，通常采纳树状图法求概率。）

例在布袋中装有两个大小一样，质地相同的球，其中一个为红色，一个为

白色。模拟“摸出一个球是白球”的机会，可以用下列哪种替代物进行试

验（）

（A）“抛掷一枚一般骰子出现1点朝上”的机会

（B）“抛掷一枚啤酒瓶盖出现盖面朝上”的机会

（C）“抛掷一枚质地匀称的硬币出现正面朝上”的机会

（D）“抛掷一枚一般图钉出现针尖触地”的机会用〉

例如图，图中的两个转盘分别被匀称地分成5个和4个

个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指

针都落在奇数上的概率是（）

（A）（B）（C）（D）台

例如图，一个小球从力点沿制定的轨道下落，在每个交叉口

或向右两种机会均等的结果，小球最终到达〃点的概率是（

(A)-(B)-(C)-

例如图是从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃1、2、3、4和方块

1、2、3、4,将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各个至

那么摸出的两张牌的牌面数字之和等于5的概率是（）了一声

(A)-

例在图中的甲、乙两个转盘中，指针指向每一个数字

的机会是均等的,当同时转动两个转盘，停止后指针所指

的两个数字表示两条线段的长，假如第三条线段的长为/

那么这三条线段不能构成三角形的概率是（)

（A）—(C)—(D)—

252525

三、典型例题

例1.袋中有红、黄、白色球各一个，它们除颜色外其余都相同，每次

任取一个，又放回抽取两次。求下列事务的概率。

（1）全红（2）颜色全同（3）无白

解：

红黄白

红（红，红）（红，黄）（红，白）

黄（黄，红）（黄，黄）（黄，白）

白（白，红）（白，黄）（白，白）

/.P（全红）='

9

P（颜色全同）=;

4

P（无白）=A

说明：颜色全同包括都是红色或都是黄色或都是白色；无白指没有白

色球。

例2.一个密码保险柜的密码由6个数字组成，每个数字都是由0〜9

这十个数字中的一个，王叔叔遗忘了其中最终面的两个数字，那么他一次

就能打开保险柜的概率是多少？

解：他前面的4个数字都已知道只有最终两个数字遗忘了，而最终两

个数字每个数字出现的可能结果都有10种状况，那么组成两个数字的可能

结果就有100种，因此正好是密码上的最终两个数字的概率是工。

100

例3.袋中有红色、黄色、蓝色、白色球若干个，小刚又放入5个黑球

后，小颖通过多次摸球试验后，发觉摸到红球、黄球、蓝球、白球与黑球

的频率依次为25%6,30%,30%,10%,5%,试估计袋中红色球、黄色球、

蓝色球与白色球各有多少个?

解：小刚放入5个黑球后摸到的黑色球的频率为5%,则可以由此估计

出袋中共有球

3=100（个）。说明此时袋中可能有100个球（包括5个黑球），则有红色球

5%100X

25%=25个，黄色球100义30%=30个，蓝色球100X30%=30个，白色

球100义10%=10个。

例4.甲、乙两人用如图所示的两个转盘做嬉戏，转动两个转盘各1次

（1）若两次数字之差的肯定值为0,1或2,则甲胜，否则乙胜。这个

嬉戏对双方公允吗？为什么？

（2）若两次数字和是2的倍数，则甲胜，而若和是3的倍数或5的倍

数，则乙胜。这个嬉戏对双方公允吗？为什么？

解：（1）用列表的方法可看出全部可能的结果:

134568

1023457

2112346

4310124

5421013

6532102

从上表中可以看出两个数字之差的肯定值，为0的有4种可能结果，1

的有7种可能

结果，2的有6种可能结果，所以甲胜的概率为三，而乙胜的概率为二，因此口」皿

3030甲胜

的可能性比乙大，所以不公允。

(2)通过列表可知:

134568

1245679

2356781()

457891012

5689101113

67910111214

出现的两个数字之和是2的倍数有15种，出现的两个数字之和是3的

倍数有10种，5

的倍数有6种，所以甲胜的概率为工，而乙胜的概率为毛，因此甲胜的可能性、

3030比乙

小，所以不公允。

例5.小明与同学一起想知道每6个人中有两个人生肖相同的概率，他

们想设计一个模拟试验来估计6个人中恰有两个人生肖相同的概率，你能

帮他们设计这个模拟方案吗？

分析：可以用摸球、扑克牌、转盘、计算器模拟随机整数等方法。留

意“一次试验”的设计。

解：用12个完全相同的小球分别编上号码1〜12,代表12个生肖，放

入一个不透亮的袋中摇匀后，从中随机抽取一球，登记号码后放回，再摇

匀后取出一球登记号码……连续取出6个球为一次试验，重复上述试验过

程多次，统计每次试验中出现相同号码的次数除以总的试验次数，得到的

试验频率可估计每6个人中有两个人生肖相同的概率。

第四章图形相像与相像三角形学问点解读

学问点L.相像图形的含义

把形态相同的图形叫做相像图形。(即对应角相等、对应边的比也相等

的图形)

解读：（1）两个图形相像，其中一个图形可以看做由另一个图形放大

或缩小得到.

（2）全等形可以看成是一种特别的相像，即不仅形态相同，大小也相同.

（3）推断两个图形是否相像，就是看这两个图形是不是形态相同，与其他

因素无关.

例1.放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？

分析：要留意镜中的正方形与原正方形的形态没有变更.

解：是相像图形。因为它们的形态相同，大小不肯定相同.

例2.下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有

一个内角80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°

的两个等腰三角形，其中肯定是相像图形的是（填序号）.

解析：依据相像图形的定义知，相像图形的形态相同，但大小不肯定相

同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形态不唯一的图形，而圆、

正多边形、顶角为100。的等腰三角形的形态不唯一，它们都相像.答案：

②⑤⑥.

学问点2.比例线段

对于四条线段，假如其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的

比相等，即@=£（或）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.

ba

解读：（1）四条线段成比例，记作（或），不能写成其他形式，即

ba

比例线段有依次性.

（2）在比例式（或）中，比例的项为，其中为比例外项，为比例内项,

bd

d是第四比例项.

（3）假如比例内项是相同的线段，即:，或，那么线段b叫做线段和的比

bc

例中项。

（4）通常四条线段的单位应一样，但有时为了计算便利，a和b统一为一个

单位，c和d统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等.

例3.已知线段2,6,求j

b

分析：求巴即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比.

b

例4.已知成比例，且63会，求c的长度.

2

分析：由成比例，写出比例式，再把所给各线段统一单位后代入求C.

学问点3.相像多边形的性质

相像多边形的性质：相像多边形的对应角相等，对应边的比相等.

解读：（1）正确理解相像多边形的定义，明确“对应”关系.

（2）明确相像多边形的“对应”来自于书写，且要明确相像比具有依次性.

例5.若四边形的四边长分别是4,6,8,10,与四边形相像的四边形ABCD

的最大边长为30,则四边形A.B.C,D.的最小边长是多少？

分析：四边形与四边形ABCD相像，且它们的相像比为对应的最大边长的

比，即为，，再依据相像多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最

3

小边的长.

学问点4.相像三角形的概念

对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相像三角形.

解读；（1）相像三角形是相像多边形中的一种；

（2）应结合相像多边形的性质来理解相像三角形；

（3）相像三角形应满意形态一样，但大小可以不同；

（4）相像用“s”表示，读作“相像于"；

（5）相像三角形的对应边之比叫做相像比.

留意：①相像比是有依次的，比如△s^ABC”相像比为k,若△ABG

则相像比为?。②若两个三角形的相像比为1,则这两个三角形全等,

全等三角形是相像三角形的特别状况。若两个三角形全等，则这两个三角

形相像；若两个三角形相像，则这两个三角形不肯定全等.

例6.如图，已知△s4,2,4,则和的相像比是多少？点D,E分别

是，的中点吗？

留意：解决此类问题应留意两方面：（1）相像比的依次性，（2）图形

的识别.

解：因为asA所以匹=四=丝，因为匹二」，

BCABACBC42

所以®二任」，所以口，E分别是，的中点.

ABAC2

学问点5.相像三角的判定方法

（1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相像；

（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成

的三角形与原三角形相像.

（3）假如一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那

么这两个三角形相像.

（4）假如一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹

角相等，那么这两个三角形相像.

（5）假如一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，

那么这两个三角形相像.

（6）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相像.

经过归纳和总结，相像三角形有以下几种基本类型：

①平行线型

常见的有如下两种，〃，则

②相交线型

常见的有如下四种情形，如图，已知N1=/B,则由公共角NA得，2*

如下左图，已知N1=NB,则由公共角NA得，

如下右图，已知N/D,则由对顶角N1=N2得，…匕

③旋转型

已知NN,NND,则△sZ\,下图为常见的基本图形.

④母子型

已知N90°,1,则

解决相像三角形问题，关键是要擅长从困难的图形中分解出（构造出）

上述基本图形.

例7.如图，点D在△的边上，满意怎样的条件时，△与△相像？试分

别加以列举.

分析：此题属于探究性问题，由相像三角形的判别方法可知，△与△

已有公共角NA,要使此两个三角形相像，可依据相像三角形的判别方法找

寻一个条件即可.

解：当满意以下三个条件之一时，

条件一：Z1=ZB；条件二：N2=N；条件三：—,即2。

ACAB

学问点6.相像三角形的性质

（1）对应角相等，对应边的比相等；

（2）对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相像比;

（3）相像三角形周长之比等于相像比；面积之比等于相像比的平方.

例8.如图，已知8,4,15,7

（1）求、的长；

（2）你还能发觉哪些线段成比例.

分析：此题重点考查由两个三角形相像，可得到对应边成例，即

DEAD_AE

解:(1)VA^A,,DEAD_AE

・正一罚一下

-8,%15,7设，则*亭•••128X15,10;

设,则a二8A14.⑵端嘿

。+712

例9.已知△s^ABCh,—I，△的周长为20,面积为402.

AA

求（1）△ABG的周长；（2）△ABG的面积.

分析：依据相像三角形周长之比等于相像比；面积之比等于相像比的

平方求解.

易求出△ABG的周长为30;△ABG的面积902

五、视图与投影

1、视图

三视图包括：主视图、俯视图和左视图。

在画视图时.，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分轮廓

线通常画成虚线。

例如图，一几何体的三视图如右:

那么这个几何体是.

主视图左视图

俯视图

例假如用口表示1个立方体，用口表示两个立方体叠加，用■表示三个立

方体叠加，那么下面右图由7个立方体叠成的几何体，从正前方视察，可

画出的平面图形是（：）

:辱山坤川曲

（1A投影：物体在光线的照耀下，衽地面上或墙壁上留下它的影子，这就

是投影现象。

（2）平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影

称为平行投影。

（3）中心投影：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发

出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影。

（4）区分平行投影和中心投影：①视察光源；②视察影子。

（5）从正面、上面、侧面看到的图形就是常见的正投影，是当光线与投影

垂直时的投影。①点在一个平面上的投影仍是一个点；

②线段在一个面上的投影可分为三种状况：

线段垂直于投影面时，投影为一点；

线段平行于投影面时，投影长度等于线段的实际长度；

线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段的实际长度。

③平面图形在某一平面上的投影可分为三种状况：

平面图形和投影面平行的状况下，其投影为实际形态;

平面图形和投影面垂直的状况下，其投影为一线段；

平面图形和投影面倾斜的状况下，其投影小于实际的形态。

例小明在操场上练习双杠时，在练习的过程中他发觉在地上双杠的舞横杠

A/

的影子（）/吊