2024-2025学年河北省石家庄市高二上册10月月考数学质量检测试题

2024-2025学年河北省石家庄市高二上学期10月月考数学质量检测试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．“”是“直线：与直线：垂直”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且的长轴长为，则的短轴长为（

）A． B． C． D．3．已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（

）A．B．（除去两点）C．（除去两点）D．（除去两点）4．已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．5．已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．6．过点作直线的垂线，垂足为M，已知点，则当变化时，的取值范围是()A． B． C． D．7．在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是（

）A． B．C． D．8．已知圆直线，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别与圆M相切于点A，B．则下列说法正确的个数是（

）（1）四边形PAMB的面积最小值为

（2）最短时，弦AB长为（3）最短时，弦AB直线方程为

（4）直线AB过定点A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．以下四个命题为真命题的是（

）A．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为B．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为C．直线与直线之间的距离是D．点P在直线上运动，，则的最大值是10．已知，圆，则以下选项正确的有（

）A．圆C上到B的距离为2的点有两个B．若过A的直线被圆C所截得的弦为，则的最小值为C．若过A的直线被圆C所截得的弦为，则弦的中点的轨迹方程是D．若点D满足过D作圆C的两条切线互相垂直，则的最小值为11．如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为，则（

）A．椭圆的长轴长等于4B．椭圆的离心率为C．椭圆的标准方程可以是D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知为任意实数，直线的倾斜角的范围是.13．已知椭圆：与圆：，若在椭圆上不存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是.14．若实数、、、，满足，，，则的最大值为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知以点A−1,2为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于(1)求圆的方程；(2)当时，求直线的方程．16．已知一条动直线，(1)求直线恒过的定点的坐标；(2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围；(3)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程.17．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，长轴长与短轴长之和为6.(1)求的方程；(2)设为上一点，.若存在实数使得，求的取值范围.18．已知中，点，边上中线所在直线的方程为，边上的高线所在直线的方程为．(1)求边所在直线方程；(2)以为圆心作一个圆，使得三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，并记该圆为圆，过直线上一点作圆的切线，切点为，当四边形面积最小时，求直线的方程.19．已知圆，点，为坐标原点.(1)若，求圆过点的切线方程；(2)若直线与圆交于，两点，且，求的值；(3)若圆上存在点，满足，求的取值范围.1．A【分析】求出两直线垂直的充要条件后再根据充分必要条件的定义判断．【详解】若，则，解得或.所以由可以得到，反之则不然，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.2．D【分析】由已知可得椭圆的半焦距，再结合椭圆的长轴可得短轴长度.【详解】由已知，，又，即，所以，解得，故的短轴长为，故选：D.3．B【分析】设点，由，可得，又点与点不重合且不共线，所以需除去两点．【详解】设点，由，得，即，又点与点不重合且不共线，所以需除去两点．故选：B．4．B【分析】根据题意，得到直线过定点，以及曲线，画出直线与曲线的图象，结合直线与圆相切和图象，即可求解.【详解】由直线过定点，又由曲线，可得，作出曲线与直线的图象，如图所示，因为直线，可得，又由，解得，若直线与曲线有公共点，则，即实数的取值范围为.故选：B.5．A【分析】结合椭圆的对称性以及椭圆的定义得到，在中结合余弦定理可得，进而结合离心率的公式可以求出结果.【详解】取椭圆的右焦点，连接，由椭圆的对称性以及直线经过原点，所以，且，所以四边形为平行四边形，故，又因为，则，而，因此，由于，则，在中结合余弦定理可得，故，即，所以，因此，故选：A.6．B【分析】化已知直线为，即有且，解方程可得定点Q，可得M在以PQ为直径的圆上运动，求得圆心和半径，由圆的性质可得最值．【详解】解：直线，即，由，求得，直线经过定点．由为直角三角形，斜边为PQ，M在以PQ为直径的圆上运动，可得圆心为PQ的中点，半径为，则与M的最大值为，则与M的最小值为，故MN的范围为：，故选B．本题考查直线恒过定点，以及圆的方程的运用，圆外一点与圆上的点的距离的最值求法，考查运算能力，属于中档题．7．B【分析】求出圆关于直线的对称圆的方程，由对称圆与圆有公共点可得答案．【详解】圆的圆心为，设关于直线的对称点为，所以，解得，关于直线的对称点为，由题意得，以为圆心，以为半径的圆与圆有公共点，所以，解得.故选：B．

关键点点睛：本题的关键点是求出圆关于直线的对称的圆与圆有公共点，考查了学生思维能力.8．A【分析】四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，当最短时，面积最小，当时，最短，求出面积即可得（1）错误；结合（1）和弦长公式以及几何关系可得（2）正确；当短时，由两直线平行得到斜率关系，再求出AB的直线方程，利用点到直线的距离求出，再结合几何关系确定的取值可得直线方程，最后可得（3）错误；设圆上一点，由向量的数量积为零得到关于点的两条直线方程，解方程组即可得到定点坐标，可得（4）错误；【详解】对于（1），四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，即，最短时，面积最小，故当时，最短，即，，故（1）错误；对于（2），由上述可知，时，最短，故最小，且最小值为，所以，故（2）正确；对于（3），当短时，则，又，所以，可设AB的直线方程为圆心到直线AB的距离，解得或，由于直线AB在圆心的右侧，且在直线l的左侧，所以，所以，即直线AB的方程为，故（3）错误；对于（4），设圆上一点，，易知，由于，所以，同理，，，，即，令，解得，所以直线AB过定点为，故（4）错误；故选：A．9．CD【分析】A选项，分截距为0和截距不为0两种情况，设出直线方程，代入，求出直线方程；B选项，过定点，求出，数形结合得到或，得到答案；C选项，，利用两平行线距离公式求出答案；D选项，求出点B关于的对称点为，数形结合，当A，，P三点共线时，等号成立，所以的最大值为，故D正确．【详解】对于A，当截距为0时，设直线方程为，将点代入，，解得，故直线方程为，若直线两截距不为0时，设，将点代入，，解得，即，所以满足条件的直线方程为或，故A错误；对于B，方程可化为，所以直线过定点，直线的斜率为k，因为直线和以为端点的线段相交，所以或，其中，所以实数k的取值范围为，B错误；对于C，直线，与直线之间的距离，故C正确；对于D，设点B关于的对称点为，则，解得：，即，如图，，当A，，P三点共线时，等号成立，所以的最大值为，故D正确．故选：CD．10．BCD【分析】A由定点到圆心距离及圆的半径判断；B首先判断在圆内，再根据所截弦长最短知直线与垂直，写出直线方程，进而求最小弦长；C由题意的轨迹是以为直径的圆，即可得圆的方程；D根据切线性质判断、和两个切点所成的四边形为正方形，进而可知的轨迹是以为圆心，为半径的圆，最后求定点到圆上点的最小值即可.【详解】由题设，圆心为且半径，则，故，所以圆C上到B的距离为2的点有一个，A错误；由，即在圆内，故过A的直线被圆C所截得的弦长最小，只需直线与垂直，故直线为，此时，B正确；若过A的直线被圆C所截得的弦的中点为，则，故的轨迹是以为直径的圆，所以轨迹方程为，C正确；若D满足过D作圆C的两条切线互相垂直，结合切线的性质知：、和两个切点所成的四边形为正方形，所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即，而，故该圆上点到的最小值为，D正确.故选：BCD11．BCD【分析】根据给定图形，求出椭圆长短半轴长a，b，再逐项计算、判断作答．【详解】设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，则由截面与圆柱底面成锐二面角，得，解得，A错误；显然，则，离心率，B正确；当以椭圆短轴所在直线为x轴，长轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程，C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，D正确.故选：BCD12．【分析】根据余弦函数性质求出斜率范围，然后利用正切函数性质求解可得.【详解】记直线的倾斜角为，则，因为，所以，则，所以.故13．【分析】设过点的两条直线与圆分别切于点，由两条切线相互垂直，可知，由题知，解得，又即可得出结果.【详解】设过的两条直线与圆分别切于点，由两条切线相互垂直，知：，又在椭圆C1上不存在点P，使得由P所作的圆C2的两条切线互相垂直，所以，即得，所以，所以椭圆C1的离心率，又，所以.故答案为.关键点点睛：首先假设过P所作的圆C2的两条切线互相垂直求出，再由椭圆的有界性构造含椭圆参数的不等关系，即可求离心率范围.14．【分析】设，两点在圆上，，可得到直线的距离，由此利用两平行线的距离，即可求解的最大值。【详解】设,因为实数，所以两点在圆上，且,所以，所以是等边三角形，，点到直线的距离为，点到直线的距离为，在第三象限，所在直线与直线平行，可设，由圆心到直线的距离为，可得，解得，即有两平行线之间的距离为，所以，所以，所以的最大值为。故。本题主要考查了代数式的最大值的求法，以及圆的性质和点到直线的距离公式等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。15．(1)(2)或【分析】(1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A半径，带入到圆的标准方程可求得圆的方程；(2)过A做，由垂径定理可知圆心到直线，设出直线，可分为斜率存在和斜率不存在两种情况，解之可得直线方程【详解】（1）易知A−1,2到直线的距离为圆A半径r，所以，则圆A方程为（2）过A做,由垂径定理可知，且，在中由勾股定理易知当动直线斜率不存在时，设直线的方程为，经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知，显然合题意，当动直线斜率存在时，过点，设方程为：，由A−1,2到距离为知得，代入解之可得，所以或为所求方程．16．(1)(2)(3)【分析】（1）将直线整理成直线系方程，求出定点坐标即可；（2）由直线不经过第二象限，分类整合求出m的取值范围即可.（3）由题意设出直线的截距式方程，代入定点，解出方程再化成一般式即可.【详解】（1）由题意，整理得，所以不管取何值时，直线恒过定点的坐标满足方程组，解得，即（2）由上问可知直线恒过定点，当，直线斜率不存在时，此时直线是，显然满足题意；当时，由直线不经过第二象限，直线与轴有交点时，则纵截距小于或等于零即可，令，则，即，解得；综上所述：（3）设直线方程为，则，由直线恒过定点，得，由整理得：，解得或，所以直线方程为：或，即或，又直线的斜率，所以不合题意，则直线方程为.17．(1)(2)【分析】（1）根据题意结合离心率列式解得，即可得椭圆方程；（2）根据椭圆定义可得，根据两点间距离公式结合椭圆方程列式求解即可.【详解】（1）因为椭圆的长轴长与短轴长之和为6，则，即①，又因为，结合可得②，联立①②解得，所以的方程为.（2）设Px,y，则，因为存在实数使得，即，可得，又因为，则，可得，所以的取值范围为.18．(1)(2)【分析】（1）借助中线的性质与高的性质计算可得、两点坐标，即可得直线方程；（2）借助切线的性质与面积公式计算可得时，四边形面积最小，结合两圆公共弦的求法可得直线的方程.【详解】（1）因为边上的高线所在直线的方程为，且直线的斜率为，则，故直线的方程为，即，联立直线和直线的方程可得，解得，即点，设点，则线段的中点为，由题意可得，解得，即点，则，即；（2）因为，，，则，故圆的半径为，所以，圆的方程为，由与圆相切，故,又，故取最小值，四边形面积最小，则当为点到直线的距离时，即时，四边形面积最小，设，有，解得，故，由与圆相切，故、、、四点共圆，切该圆以为直径，圆心为，即，半径为，即该圆方程为，即，又圆的方程为，即，两圆方程作差得，