2024-2025学年江苏省镇江市高二上册10月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年江苏省镇江市高二上学期10月月考数学检测试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则（）A.15 B.－15 C.－13 D.133.如果数列的前n项和满足：，那么的值为（）A.38 B.39 C.40 D.414.设各项均为正数的等比数列满足，则等于（）A. B. C.11 D.95.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）A. B.C.或 D.或6.设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为（）A. B. C. D.或7.记为数列的前n项积，已知，则（）A.23 B.24 C.25 D.268.设等比数列前n项和为，且，，则的最大值为（）A.32 B.16 C.128 D.64二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列结论正确的有（）A.直线恒过定点B.直线的倾斜角的取值范围是C.经过点，直线方程均可用表示D.直线和都经过点，则过两点，的直线方程为10.已知等差数列和的前n项和分别为和，且，，则下列结论正确的有（）A.数列是递增数列 B.C.使为整数的正整数n的个数为0 D.的最小值为11.数列an前n项和为，且满足，，则（）A. B.C. D.数列前项和为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若平面内三点，，共线，则实数______．13.已知是等差数列，是其前n项和，若，，则的值是______．14.如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）…，记为第n个图形的周长，记为第n个图形的面积，则______，______．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.设m为实数，直线在x轴、y轴上截距之和等于1，且与x轴的交点记作A．（1）求点A坐标；（2）直线过点A且倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的方程16.已知等差数列an的前项和为，且，（1）求数列an（2）设，求数列bn的前项和．17.设正项数列的前n项和为，且，当时，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求的前n项和.18已知函数，数列满足，，（1）求数列通项公式；（2）设，求；（3）对于（2）中的，若存在，使得成立，求实数k的最大值．19.记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）证明：；（3）令，数列的前n项和为，设，记为在区间中的项的个数，求数列的前50项和．2024-2025学年江苏省镇江市高二上学期10月月考数学检测试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】把直线的一般式方程化为斜截式方程，然后根据直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可.【详解】，由此可知该直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，故选：A2.等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则（）A.15 B.－15 C.－13 D.13【正确答案】C【分析】根据等比数列的定义，结合等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】设等差数列的公差为，，因为，，成等比数列，所以有，或舍去，，故选：C3.如果数列的前n项和满足：，那么的值为（）A.38 B.39 C.40 D.41【正确答案】B【分析】根据与之间的关系进行求解即可.【详解】因为，所以，故选：B4.设各项均为正数的等比数列满足，则等于（）A. B. C.11 D.9【正确答案】C【分析】由定比数列的项之间的性质求出的值，再用等比中项知道，从而计算出结果.【详解】∵，∴，∴∴故选：C5.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）A B.C.或 D.或【正确答案】D【分析】在用截距式求直线方程时需要讨论解决是否为0，截距为0则过原点；截距不为0用截距式设出方程后带点即可.【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为：，，则①，则直线过原点，则直线方程为：②则，则设直线方程为：，即，则，∴直线方程为：综上所述：该直线方程为或故选：D6.设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为（）A. B. C. D.或【正确答案】D【分析】由题意按等差数列的通项公式及求和公式列出含和的方程组，解出和，再利用求和公式写出，进而求出取最小值时的值即可.【详解】由题意知：，则，解得，所以，所以当或时，取最小值.故选：D.7.记为数列的前n项积，已知，则（）A.23 B.24 C.25 D.26【正确答案】C【分析】当时，由可得，进一步可得数列是等差数列，并求得其通项公式，即可求出；【详解】因为为数列an的前n项积，当时，，所以，∴，当时，，所以，化简可得：，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以.所以.故选：C.8.设等比数列前n项和为，且，，则的最大值为（）A.32 B.16 C.128 D.64【正确答案】D【分析】根据等比数列的通项公式、前n项和公式，结合【详解】设该等比数列的公比为，因为，所以，由，，即，显然当，或时，最大，最大值为，故选：D关键点点睛：本题的关键是要根据指数复合函数的单调性进行求解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列结论正确的有（）A.直线恒过定点B.直线的倾斜角的取值范围是C.经过点，的直线方程均可用表示D.直线和都经过点，则过两点，的直线方程为【正确答案】ACD【分析】对于A：将直线方程化为点斜式方程即可判断；对于B：首先求出斜率范围，进而得到倾斜角范围；对于C：利用两点式即可判断；对于D：将点代入两个方程分析两个方程的即可判断.【详解】对于A，直线，即，直线恒过定点，故A正确；对于B，直线的斜率，设直线的倾斜角为，则,所以，故B错误；对于C，经过点，的直线方程均可用表示，故C正确；对于D，直线和都经过点，则所以点，的直线方程为上，故D正确.故选：ACD.10.已知等差数列和的前n项和分别为和，且，，则下列结论正确的有（）A.数列是递增数列 B.C.使为整数的正整数n的个数为0 D.的最小值为【正确答案】ACD【分析】化简已知等式由函数的单调性可得A正确；取反例结合等差数列的求和公式可得B错误；化简已知等式可得C正确；结合等差数列的求和公式判断为递增数列，再讨论的取值可得D正确；【详解】对于A，，所以数列是递增数列，故A正确；对于B，若，则，，所以，故B错误；对于C，由可知无整数，故C正确；对于D，因为an和bn是等差数列，且前n项和分别为和，所以为递增，所以也为递增，所以最小值为时，为，故D正确；故选：ACD.11.数列an前n项和为，且满足，，则（）A. B.C. D.数列的前项和为【正确答案】ABD【分析】A选项直接由递推关系式即可求出；B选项由即可判断；C,D选项由分组求和及等比数列求和公式即可判断.【详解】对于A：，正确；对于B:，有，两式相加，得，又，所以，为偶数由，得：，也即，为奇数，所以，正确；对于C:由B可知：，则，错误对于D：数列的前项和记为，，正确故选：ABD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若平面内三点，，共线，则实数______．【正确答案】-1或0或3【分析】由向量共线的坐标表示即可求解.【详解】，，因为三点，，共线，所以,解得：，或，或故-1或0或313.已知是等差数列，是其前n项和，若，，则的值是______．【正确答案】【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式列式求解首项和公差，然后代入通项公式求解即可.【详解】设等差数列的公差为，则由题意可得，解得，则故14.如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）…，记为第n个图形的周长，记为第n个图形的面积，则______，______．【正确答案】①.②.【分析】根据等边三角形的面积公式，结合等比数列的通项公式及前n项和公式进行求解即可.【详解】设第个图形的边长为由题意知，从第2个图形开始，每一个图形边长均为上一图形边长的，即，bn是一个以1为首项，为公比的等比数列从第2个图形开始，每一个图形的边数都是上一个图形边数的4倍，第个图形边数为：，设第个图形的周长为：；（2）设第个图形的面积为，则故第个图形的面积为.故；关键点点睛：本题的关键是从边数的关系，结合等比数列的前项和公式进行求解.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.设m为实数，直线在x轴、y轴上截距之和等于1，且与x轴的交点记作A．（1）求点A的坐标；（2）直线过点A且倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的方程【正确答案】（1）（2）【分析】（1）把直线一般式化为截距式方程，结合题意进行求解即可；（2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合二倍角的正切公式、直线的点斜式方程进行求解即可.【小问1详解】因为，所以由，由题意可知：，因为，所以点A的坐标为；【小问2详解】由（1）可知，所以有直线，设直线倾斜角为，则有，所以直线的倾斜角为，设直线的斜率为，则有，所以直线直线的方程为.16.已知等差数列an的前项和为，且，（1）求数列an（2）设，求数列bn的前项和．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由，求得，再由，得到，求得，进而求得数列an的通项公式；（2）由（1），利用等差数列的求和公式，求得,令，得到时，，时，，根据，分类讨论，即可求解.【小问1详解】解：设等差数列an的公差为，因为，可得，所以，又因为，所以，所以，所以数列an的通项公式为.【小问2详解】解：由（1）知，，可得,令，即，解得，所以，当时，；当时，，因为，且数列bn的前项和，当时，；当时，，综上可得，数列bn的前项和.17.设正项数列的前n项和为，且，当时，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求的前n项和.【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）先由题中条件，得到，推出数列是等差数列，得出，进而可求出数列的通项公式；（2）先由（1）的结果，结合（2）中条件，得到，利用等比数列的求和公式，即可求出结果.【详解】（1）当时，，则，因为为正项数列的前n项和，且，所以，，因此，所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，所以，则有，当时，，又也适合，故数列的通项公式为；（2）当时，得，所以；当时，由①，得②，①②得，则有，可得数列的通项公式为所以当时，；当时，，当时，(符合上式)，故.关键点点睛：求解本题的关键在于利用题中条件，确定是等差数列，求出，利用与之间关系，即可求解.（求解时，要注意的范围）.18.已知函数，数列满足，，（1）求数列的通项公式；（2）设，求；（3）对于（2）中的，若存在，使得成立，求实数k的最大值．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）通过取倒数法，利用构造法，结合等比数列的定义进行求解即可；（2）结合（1）的结论，利用等比数列的前项和公式进行求解即可；（3）结合（2）条件，结合作差法判断数列的单调性，利用单调性进行求解即可.【小问1详解】因为函数，所以，所以数列是以为首项，为公比等比数列，则有；【小问2详解】由（1）可知：，所以【小问3详解】由（2）可知：，所以由，因为，所以由，设，由，由二次函数性质可知：当时，函数是减函数，，，于是有时，，所以，，因此，存在，使得成立，则有，因此实数k的最大值.关键点点睛：本题的关键利用作差法判断函数的单调性进行求解.19.记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）证明：；（3）令，数列前n项和为，设，记为在区间中的项的个数，求数列的前50项和．【正确答案】（1）