2024-2025学年江西省抚州市高二上册四校第一次联考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年江西省抚州市高二上学期四校第一次联考数学检测试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.直线的倾斜角为（）A.30° B.60° C.120° D.150°2.若方程表示椭圆，则k的取值范围为（）A. B. C. D.3.已知直线，若，则（）A.或 B. C.或 D.4.若圆与轴，轴均有公共点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.5.已知椭圆的离心率为，则椭圆的焦距为（）A. B.或 C.或 D.6.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.图中曲线为圆或半圆，已知点Px,y是阴影部分（包括边界）的动点.则的最小值为（）A. B. C. D.17.（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是A. B.C. D.8.已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是（）A.截距相等的直线都可以用方程表示B.方程不能表示平行轴的直线C.经过点，倾斜角为直线方程为D.经过两点，的直线方程为10.定义：如果在一圆上恰有四个点到一直线的距离等于，那么这条直线叫做这个圆的“相关直线”.则下列直线是圆的“相关直线”的为（）A. B.C. D.11.已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，若的最小值为4，则（）A.椭圆的短轴长为B.的最大值为8C.离心率为D.椭圆上不存在点，使得第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线经过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程______．13.写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．14.已知直线l：与椭圆交于A、B两点，与圆交于C、D两点．若存在，使得，则椭圆离心率的取值范围是_____________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.根据下列条件，求直线的一般方程．（1）过点，且与直线平行；（2）与直线垂直，且与，轴的正半轴围成的三角形的面积等于4．16.如图所示图徽外框由半圆和半椭圆组成，半圆的直径为10，椭圆的离心率为，且短轴与半圆的直径重合，图徽内有一矩形区域用于绘画图案，矩形关于椭圆的长轴对称，且顶点在图徽外框上．（1）建立适当的直角坐标系，求出半圆的方程和半椭圆的方程；（2）根据美学知识，当时达到最佳美观的效果，求达到最佳美观的效果时的长．17.已知圆的圆心为，且圆与直线相切.（1）求圆的方程：（2）圆，是否存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为2，若存在，求出实数的值：若不存在，请说明理由.18.已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．（1）求椭圆的方程和离心率；（2）点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．19.已知点和非零实数，若两条不同的直线均过点，且斜率之积为，则称直线是一组“共轭线对”，如直线是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点.规定相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角.（1）已知是一组“共轭线对”，求的夹角的最小值；（2）已知点，直线是“共轭线对”，当斜率变化时，求原点O到直线的距离之积的取值范围。2024-2025学年江西省抚州市高二上学期四校第一次联考数学检测试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.直线的倾斜角为（）A.30° B.60° C.120° D.150°【正确答案】C【分析】先求出直线的斜率，进而求出倾斜角.【详解】变形为，故斜率为，设直线倾斜角为，则，因为，故.故选：C2.若方程表示椭圆，则k的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由题意可得，解方程即可得出答案.【详解】因为方程表示椭圆，所以，解得：且.故k的取值范围为.故选：D.3.已知直线，若，则（）A.或 B. C.或 D.【正确答案】B【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验.【详解】因为，，所以，所以，解得或，当时，，，直线重合，不满足要求，当时，，，直线平行，满足要求，故选：B.4.若圆与轴，轴均有公共点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】利用圆的一般方程满足的条件得到，再分别令，利用，即可求出结果.【详解】因为表示圆，所以，得到，令，得到，则，得到，令，得到，则，得到，所以，故选：A.5.已知椭圆的离心率为，则椭圆的焦距为（）A. B.或 C.或 D.【正确答案】C【分析】直接利用椭圆的离心率，列出方程求解a，然后求解c即可．【详解】椭圆的离心率为，可得或，解得m＝22，或m，所以m＝22时，椭圆的焦距为2c＝24，m时，椭圆的焦距为2c＝22．故选：C．点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基本知识的考查，是基础题．6.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.图中曲线为圆或半圆，已知点Px,y是阴影部分（包括边界）的动点.则的最小值为（）A. B. C. D.1【正确答案】C【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解.【详解】记，则为直线的斜率，故当直线与半圆相切时，斜率最小，设，则，解得或（舍去），即的最小值为.故选：C.7.（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是A. B.C. D.【正确答案】A【详解】当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得；当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得，故的取值范围为，选A．点睛:本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定的关系，求解时充分借助题设条件转化为，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．8.已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】作出线段的中点，将转化为，利用垂径定理，由图化简得，只需求的范围即可，故又转化成求过点的弦长的范围问题.【详解】如图，取线段的中点，连接，则，由，因直线经过点，考虑临界情况，当线段中点与点重合时（此时），弦长最小，此时最长，为，（但此时直线与轴平行，点不存在）；当线段中点与点重合时，点与点重合，最短为0（此时符合题意）.故的范围为.故选：D.关键点点睛：本题解题的关键在于结合圆的弦想到取其中点，将转化为，利用垂径定理，将所求式转化成，而求范围即求弦的长的范围即可.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是（）A.截距相等的直线都可以用方程表示B.方程不能表示平行轴的直线C.经过点，倾斜角为的直线方程为D.经过两点，的直线方程为【正确答案】ABC【分析】举反例判断A、B、C，根据两点式的定义判断D；【详解】解：对于，截距相等且均为0的直线都不可以用方程表示，故A错误；对于，当时，方程表示平行轴的直线，故B错误；对于，经过点，倾斜角为的直线方程不能写成，故C错误；对于，，直线的斜率存在，可写成，故D正确；故选：ABC．10.定义：如果在一圆上恰有四个点到一直线的距离等于，那么这条直线叫做这个圆的“相关直线”.则下列直线是圆的“相关直线”的为（）A. B.C. D.【正确答案】BC【分析】分析可知，圆心到“相关直线”的距离满足，然后计算出圆心到每个选项中直线的距离，即可得出合适的选项.【详解】由题意可知，圆的圆心为，半径为.设圆心到“相关直线”的距离为，由图可知，可得.对于A选项，，不合乎题意；对于B选项，，合乎题意；对于C选项，，合乎题意；对于D选项，，不合乎题意故选：BC.11.已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，若的最小值为4，则（）A.椭圆的短轴长为B.的最大值为8C.离心率为D.椭圆上不存在点，使得【正确答案】BD【分析】根据通径可得，即可求解A，根据椭圆定义结合焦点三角形的性质即可求解B，根据离心率公式即可求解C，根据余弦定理求解最大角，即可求解D.【详解】易知当轴时，即线段为通径时，AB最短，，解得，椭圆方程为，对于，椭圆的短轴长为，故A错误；对于，因为的周长为，且，故B正确；对于C，离心率，故C错误；对于，易知当点位于短轴顶点时，最大，此时，又为三角形内角，椭圆上不存在点，使得，故D正确，故选:BD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程______．【正确答案】或【分析】直线在两坐标轴上截距相等，有两种情况，斜率为，或直线过原点，结合直线过点即可求解，有两种情况【详解】因为直线与坐标轴的截距相等，则直线的斜率为，或直线过原点，当直线斜率为时，因为直线过点，根据点斜式，直线方程为：，化简得：；当直线过原点时，，所以直线方程为故或13.写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．【正确答案】或或【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】[方法一]：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，于是，故①，于是或，再结合①解得或或，所以直线方程有三条，分别为，，填一条即可[方法二]：设圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径，则，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；又由方程和相减可得方程，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，直线OC与直线的交点为，设过该点直线为，则，解得，从而该切线的方程为填一条即可[方法三]：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时，设直线方程为，其中，，由题意，解得，当切线为n时，易知切线方程为，故或或.

14.已知直线l：与椭圆交于A、B两点，与圆交于C、D两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是_____________．【正确答案】【分析】求出直线l所过的定点恰好为圆的圆心，由得到为AB的中点，利用点差法得到，结合，且，求出，从而求出离心率的取值范围.【详解】变形为，恒过点，即直线经过圆的圆心，因为，所以为AB的中点，设，则，则有，两式相减得：，即，因为，且，所以，则离心率，故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.根据下列条件，求直线的一般方程．（1）过点，且与直线平行；（2）与直线垂直，且与，轴的正半轴围成的三角形的面积等于4．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据两条平行线的关系设出直线方程，然后代入点求解即可；（2）根据两条线垂直的关系设出直线方程，再求出与坐标轴的交点列出等式解出来即可.【小问1详解】与直线平行的直线，可设为，将代入得，解得，所以直线为.【小问2详解】与直线垂直的直线可设为，当时，当时，，因为与，轴的正半轴围成的三角形的面积等于4，所以，解得，所以直线为.16.如图所示的图徽外框由半圆和半椭圆组成，半圆的直径为10，椭圆的离心率为，且短轴与半圆的直径重合，图徽内有一矩形区域用于绘画图案，矩形关于椭圆的长轴对称，且顶点在图徽外框上．（1）建立适当的直角坐标系，求出半圆的方程和半椭圆的方程；（2）根据美学知识，当时达到最佳美观的效果，求达到最佳美观的效果时的长．【正确答案】（1）直角坐标系见解析，，（2）【分析】（1）建立平面直角坐标系，依题意可得半圆的方程，求椭圆的a,b,c确定半椭圆方程.（2）当的四个顶点均在边界上时，面积最大，设第一象限内的点的横坐标为，，由得,即可求得结果.【小问1详解】以半圆的直径为轴，圆心为坐标原点，建立平面直角坐标系，由已知，圆的半径为，则半圆的方程为．椭圆的短半轴长，又，所以，所以半椭圆的方程为．【小问2详解】设第一象限内的点的横坐标为，则，．由得，解得，此时．故达到最佳美观效果时长为．17.已知圆的圆心为，且圆与直线相切.（1）求圆的方程：（2）圆，是否存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为2，若存在，求出实数的值：若不存在，请说明理由.【正确答案】（1）（2）存在，时满足题意【分析】（1）根据点到直线的距离公式结合直线与圆相切的条件求出半径即可得圆的方程；（2）根据圆与圆相交的条件和圆的弦长公式即可求解.【小问1详解】设圆的半径为，圆与直线相切，所以圆心到直线的距离是圆的半径，即，所以圆的方程为.【小问2详解】圆：的圆心为，半径为，两个圆有公共弦，则，即，解得，由得两圆公共弦所在直线方程为，又两圆的公共弦长为2，则圆心到公共弦所在直线的距离为，且，即，所以，解得或，又，所以，经检验符合题意，故存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为2.18.已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．（1）求椭圆的方程和离心率；（2）点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是