2022年上海杨思某中学高二数学文测试题含解析

2022年上海杨思高级中学高二数学文测试题含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.已知命题p：aABC所对应的三个角为4,B,C.4>3是cos2A<cos28的充要条件；

y=------------Ftanx+l(xe(0,­))

命题/函数tanx+22的最小值为1；则下列四个命题中

正确的是()

A.PMB.P八fc.D.寸八F

参考答案：

B

略

2.在aABC中，sin2A+sin2B<sin2C,则4ABC的形状是()

A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定

参考答案：

A

【考点】三角形的形状判断.

【分析】利用正弦定理将sinRsin'BVsin匕转化为aM?Vc?,再结合余弦定理作出判

断即可.

【解答】解：I•在AABC中，sin2A+sin2B<sin2C,

abc

由正弦定理sinA=sinB=sinC=2R得，

a2+b2<c2,

又由余弦定理得：cosC=2ab<0,0<C<Jt,

71

2<C<JI.

故△ABC为钝角三角形.

故选A.

3.三棱锥产-45c的高为产若三个侧面两两垂直，则H为445c的

()

A.内心B.外心C.垂心D.重

心

参考答案：

C

4.Go"+%-'可能值的个数为()

A.lB.2C.3D.4

参考答案：

B

5.已知随机变量X服从正态分布"(2标)且尸(X<4)=0.88,则P(0<X<4)=

()

A.0.88B.0.76C.0.24D.0.12

参考答案：

B

【分析】

正态曲线关于"对称，利用已知条件转化求解概率即可。

【详解】因为随机变量X服从正态分布NQ，/)，"=2,得对称轴是x=2,

P(£44)=0£8

I\X>4)=P(X<0)=1-088=0.12

.P(0<X<4)=1>4)=1-0J24=0.76故选：B

【点睛】本题在充分理解正态分布的基础上，充分利用正态分布的对称性解题，是一道基

础题。

6.如图，网格纸上的小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何

体的体积为()

A.32B.16C.3D.3

参考答案：

D

【分析】

根据三视图可知几何体为一个三棱柱期0一4易G切掉一个三棱锥G—4利，分别求

解出三棱柱和三棱锥的体积，作差即可得到结果.

【详解】由三视图可知，几何体为一个三棱柱修。一型£切掉一个三棱锥G-4监

如下图所示：

则D为"中点

---^ac-4^C1=羲x4x4x4=32--x—x4x2x4=—

=

-斯戈门何体他和VVCAV一&«»=32-y=y

--所求儿何体体积：^-^i3

本题正确选项：D

【点睛】本题考查多面体体积的求解问题，关键是能够通过割补的方式来进行求解.

7.设.=1083匹办=1°助也C=log3后，则（）

A.a>b>cB.a>c>bc_b>a>cD_b>c>a

参考答案：

A

8.某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值

如表所示，若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下

列叙述正确的是（）

工作四五

效益

机器

甲1517141715

乙2223212020

丙913141210

T7911911

戊1315141511

A.甲只能承担第四项工作B.乙不能承担第二项工作

C.丙可以不承担第三项工作D.丁可以承担第三项工作

参考答案：

B

【考点】进行简单的合情推理.

【分析】由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为17+23+14+11+15=80,但不能同

时取得，再分类讨论，得出乙若不承担第二项工作，承担第一项，甲承担第二项工作，则

戊承担第四项工作，即可得出结论.

【解答】解：由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为17+23+14+11+15=80,但不

能同时取得.

要使总和最大，甲可以承担第一或四项工作，丙只能承担第三项工作，丁则不可以承担第

三项工作，

所以丁承担第五项工作；乙若承担第四项工作；戊承担第一项工作，

此时效益值总和为17+23+14+11+13=78；

乙若不承担第二项工作，承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，

此时效益值总和为17+22+14+11+15=79,所以乙不承担第二项工作，

故选：B.

9.用反证法证明命题“若曲》仇出二^^+85，-石二瓦万=1,则-82。且

cosSNO”时，下列假设的结论正确的是（）

A.sin3<0或cose<0B.且

cos8<0

C.或cos@N0D.inO>0且

cos。>0

参考答案：

A

2-i

10.在复平面内，复数不（是虚数单位）的共挽复数对应的点位于（）.

A.第四象限B.第三象限C.第二象限

D.第一象限

参考答案：

D

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算.

2-i

【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数市的共辗复数对应的点的

坐标得答案.

2-i（2-iXl-i）l-3t13.

［解答］解：由］2~22\

2-i

在复平面内，复数币的共粗复数对应的点的坐标为慨九位于第一象限.

故选：D.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

x-j+2<0

-X+JF-6<0

11.已知变量X,y满足约束条件Ix-1-°,则2工一丁的最小值为

参考答案：

【分析】

作出满足不等式组的可行域，由z=2r—y可得y=2r—z可得-Z为该直线在y轴上的截

距，

截距越大，Z越小，结合图形可求Z的最大值

x-y+X0

-x+y—6„0

【详解】作出变量无，丁满足约束条件1》一1-0所表示的平面区域，如图所示：

由于z=2r-y可得y=2r-z,则一2表示目标函数在y轴上的截距，截距越大，z越小

作直线工=:21,然后把直线?向平域平移，由题意可得，直线平移到d时，z最小,

x=l

<

由［算+,_6=0可得他5),此时z=-3.

故答案为：・3

【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题.

a1-i

12.已知以丘氏，复数=+三是纯虚数，则“二.

参考答案：

-1;

13.抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A,B

两点，若尸（2,2）为A5的中点，则抛物线c的方程为

参考答案：

y2=4x

略

14.已知椭圆7b2~a，的左、右焦点分别为片（一C，°），F2（C，0）,若椭圆上存在

a_c

点P使s1n乙咫%sin用，则该椭圆的离心率的取值范围为.

参考答案：

（72-1,1）

略

15.已知点P在直线尸=区上，若在圆C：（x—3y+/=4上存在两点/,石，使以_1_郎，

则点P的横坐标亏的取值范围是.

参考答案：

一抖

根据题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线为切线时才是最大的角，

此时口的长度为2应，

故问题转化为在直线上找到一点，便它到点C的距离为2近.

11

设％,区）则：7C=（x1-3）+（2xIf=8t

解得/=5或1,

故点p的横坐标《的取值范围是：

16.已知随机变量纥颐6，下，则Mf=2)=(用数字作答).

参考答案：

80

243

略

17.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知《sin'-cos2C=,且a+b=5,

c=,则AABC的面积为.

参考答案：

3垂

~~2~

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.已知直线1：y=kx+l,圆C：(x-1)2+(y+1)2-12.

(1)试证明：不论k为何实数，直线1和圆C总有两个交点；

(2)求直线I被圆C截得的最短弦长.

参考答案：

【考点】直线与圆的位置关系.

【分析】(1)联立直线1与圆C方程，消去y得到关于x的一元二次方程，根据根的判别

式恒大于0,得到不论k为何实数，直线I和圆C总有两个交点；

(2)设直线与圆相交于A(xi,y,),B(X2,y2)，表示出直线1被圆C截得的弦长，设

4k+3

t=l+k”，讨论出t的最大值，即可确定出弦长的最小值.

'尸kx+1

【解答】解：(1)由1(X-1J12,消去y得到(k2+l)x4(2.4k)先7=0,

•••△=(2-4k)2+28k2+28>0,

・•・不论k为何实数，直线1和圆C总有两个交点；

(2)设直线与圆相交于A(xi，yi),B(X2，y?)，

忙4k+llk2ln_4k+3

则直线1被圆C截得的弦长|AB|=」l+k2|xrX2|=2Y1+k2=2V1+k2,

4k+3

令t=l+k,则有tk?4k+(t-3)=0,

_3

当t=0时，k=-4；

当t和时,由kWR,得至!U=164t(t.3)20,

解得：且尊0,

4k+3

则t=1+k2的最大值为4,此时|AB|最小值为2

则直线1被圆C截得的最短弦长为2

f(x)=^±^e.

19.(本小题满分12分)已知函数x,a,bGR,且a>0.

⑴若a=2,b=l,求函数f(x)的极值；

⑵设g(x)=a(x—l)ex—f(x).

①当a=l时，对任意xE(0,+8),都有g(x)2l成立，求b的最大值；

b

②设g'(X)为g(x)的导函数.若存在x>l,使晨x)+g'(x)=0成立，求［的取值范

围.

参考答案:

⑴当a=2,b=l,时，f&)=(2+工)£，定义域为(一8,o)U(0»+«>).“

x

所以f'6)=/1),一％.令f'(幻=0,得x*=-l,&=;,列表~

x2

(0.扣1,1,\

X.(-8,-1)”-w(—1,0)，-3(；，+8)7

2

f'(x)3+20^一夕0/+3

f(x)*3/2极大值」极小值/八

由窕知f(x)的极大值是f(-l)=el.f(x)的极小值是fg)=4{.一

⑵①因为g(x)=(ax—a)e*—f(x)=(ax-2&)£,，

x

当a=l时，g(x)=(x—P—2)e'.一

x

因为g6)三1在xC(0>+°°)上恒成立，所以bWx'—2«一亍在xW(0,+8)上恒成

记h(x)=x-2x—三(x>0),则h'(x)=(X-1)(fe，+1)

ee

当OVxVl时，h'(x)VO,h(x)在(0,1)上是减函数；"

当x>l时，h'(x)>0,h(x)在(1,+8)上是增函数./

所以h(x).“=h(l)=-l-e1.所以b的最大值为一1一©/

@S为g(x)=(ax—P—2a)e'，^ITUAg*(x)=(^+ax——a)e*.~

XXX

由g(x)+g'(x)=0,得(ax—2a)e'+(2+ax—P—a)e'=O,整理得2ax‘-3ax：—2bx

XX"X

+b=0・P

存在x>l,使g(x)+g'(x)=0成立，等价于存在xAl,2ax'-3ax'-2bx+b=0成立.3

■■8x[(x--):+-1

、八Qnb_2x'一3x・、八/\_2x'一3M，、八EU,/、416

因为a>0,触纥=2L1・设u(x)=2x—i(乂>1)，则u(»)=-----⑵一1)'_>

因为x>l,u'(x)>0恒成立，所以u(x)在(1,+°°)是增函数，所以u(x)>u(l)=-L-

所以P>-1,即涌取值范围为(-1,+8).P

aa

20.已知。和b是任意非零实数.

|2g+N+|2o-W

(1)求1司的最小值.

(2)若不等式12ff+可+12ff-b^ald2+x|+|2_xD恒成立，求实数x的取值范围.

参考答案：

见解析.

解：(1)因为1加+却+1加一。目2a+A+2a-b卜41al对于任意非零实数a和8恒成立，当

且仅当(2+。)(加-。)三°时取等号，

|2g+t|+|2g-W

所以1可的最小值等于4.

„…y|2a+b|+|2a-叫

|2+x|+|2-xf5..........---------

(2)因为Ml恒成立，

|2g+b|+|2o-训

故［2+x|+|2-x］不大于|司的最小值.

|2g+b|+|2g-C|

由(1)可知1可的最小值等于4.

实数x的取值范围即为不等式|2+X1+|2-工标4的解，解不等式得—2WxW2.

21.已知二次函数f(x)的二次项数为a,且不等式f(x)>-x的解集为(1,2).

(1)若函数y=f(x)+2a有且只有一个零点，求f(x)的解析式；

(2)若对?xG［O,3］,都有f(x)2-4,求a的取值范围；

(3)解关于x的不等式f(x)20.

参考答案：

【考点】二次函数的性质.

【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用.

【分析】(1)设二次函数f(x)=ax?+bx+c,由题意可得1,2为方程ax'(b+1)x+c=0

的解，运用韦达定理，可得b=3a-l,c=2a,a<0,再由零点的求法，即可得到a的值，

进而得到函数的解析式；

x-4x-4

(2)由题意可得a2x.3x+2在［0,3］的最大值，由g(x)=x.3x+2的导数，即可判

断单调性，求得最大值，进而得到a的范围;

(3)运用判别式，判断大于0恒成立，求得方程的两根，判断大小，运用二次不等式的

解法即可得到所求解集.

【解答】解：(1)设二次函数f(x)=ax2+bx+c,

不等式f(x)>-x的解集为(1,2),

即有1,2为方程ax，(b+1)x+c=O的解,

b+1_c

即1+2=-a,1X2=a,

可得b=3a-l,c=2a,a<0,

即有函数y=f(x)+2a=ax2+(3a-1)x+4a,

由函数y=f(x)+2a有且只有一个零点，

可得判别式为O即(3a-1)2-16a2=0,

1

解得a=-1或彳(舍去)，

即有f(x)=-x2-4x-2；

(2)对?x《［0,3］,都有f(x)2-4,

即为ax'+(3a-1)x+2a+420,

x~4

即有a2x”+3x+2在［0,3］的最大值,

o

x-4―xq8x+14

由g(x)=x?+3x+2的导数为g，(X)=(X2+3X+2)2

由于-x2+8x+14>0在［0,3］上恒成立,

即有g'(x)>0,g(