专题19.2 四边形（提高篇）专项练习

专题19.2四边形（提高篇）专项练习

一、单选题

1.在四边形ABC。中，AQ〃BC,下列选项中，不能判定四边形A8CD为矩形的是（）

A.AZ）=BC且AC=B£>B.AD=BC且NA=N8

C.A8=C1。且NA=NCD.A8=C。且/A=N3

2.如图，在矩形ABC。中，点£是A。的中点，NEBC的平分线交CD于点凡将△DEF

沿EF折叠，点。恰好落在8E上的M点处，延长8C,EF交于点、N,下列四个结论不正确

的是（）

A.DF=CFB.BFLEN

C.△BEN是等边三角形D.SGBEF=3S.DEF

3.如图，在。ABCO中，A8=2加，点E为4。的中点，按以下步骤作图：①以点E为圆

心，E4长为半径作弧，交AB于点凡②再分别以点A和点尸为圆心，大于!AF的长为

半径作弧，两弧相交于点M；③作直线EM交48于点N,连接CE.若N4£>C=135。，OE

=2,则CE的长为（）

C.272D.75

4.如图1,在平行四边形ABC。中，点。为对角线AC的中点，连接。。，动点P从点B

出发，沿折线54fAOfODfDC以每秒1个单位长度的速度匀速运动，连接CP.设

点P的运动时间为x（单位：s）,CP的长度为y,图2为y随x的变化而变化的函数图象，

1

则四边形ABCD的面积为（)

5.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,过点D作DH±AB于点H,连接0H,

若0A=6,S箜彩ABCO=48,则。”的长为（）

A.4B.8C.713D.6

6.如图，在矩形ABCO中，AB=3,8C=4,点E在边8C上，若E4平分NBED，则

BE=（）

7.在学习菱形时，几名同学对同一问题，给出了如下儿种解题思路，其中正确的是（）

已知：如图，四边形ABC。是菱形，E、F是直线AC上两点，AF=CE.

求证；四边形EBED是菱形.

2

D

甲：利用全等，证明四边形尸BED四条边相等，进而说明该四边形是菱形；

乙：连接8。，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形F8E。是菱形；

丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形.

A.甲、乙对，丙错B.乙、丙对，甲错C.三个人都对D.甲、丙对，乙错

8.如图，有一张矩形纸条ABCQ,AB^5cm,BC=2cm,点、M,N分别在边AB,CO上，

CN=\cm.现将四边形8CNM沿MN折叠，使点3,C分别落在点夕，。上.在点M从点

A运动到点8的过程中，若边MS与边CQ交于点E,则点E相应运动的路径长为（）

S'、

£

A.y/5----C.75

2

9.如图，已知正方形ABCD的边长为4,将正方形ABC。沿EF对折，使点。恰好落在边

AB的中点G处，点C的对应点为点H,延长EG交CB的延长线于P,连接对角线BD,交

折痕EF于。，则线段PQ的长为（）

^7F

H

A.B.277C.D.713

76

10.如图，在矩形内画了一些直线，已知△A。，，&BEF,四边形HGFC的面积分别是12、

32、96,那么图中阴影部分的面积是（）

A.48B.52C.60D.108

11.如图，菱形A8CD和菱形EFG”，NA=NE,它们的面积分别为9c机2和64cs2,CD

落在EF上，若△BCF的面积为4c”落则△BOH的面积是（）

A.8cm2B.8.5cm2C.9cm2D.9.5cm2

二、填空题

12.如图，在矩形A8CQ中，AB=6,AQ=8,E、F分别为A&CO边上的点，且EF〃BC,

G为E/上一点，且Gb=2,M、N分别为GO、EC的中点，则MN=.

13.如图，点M是用△ABC斜边48的中点，过点M作。M_LCM,交AC于点。，若AQ

=2,BC=5,则CD=

4

B

D

14.如图，如图1将矩形ABC。剪2刀得3个角，其和为360。；如图2,剪3刀得4个角,

其和为540。；如图3,剪4刀得5个角，其和为720。……按上述剪法剪〃刀得（〃+1）个

角，其和为

15.如图，在Rh/WC中，AC=BC=4,NACB=90。，正方形的边长为2,将

正方形BDEF绕点B旋转一周,连接AE,点M为AE的中点，连接，则线段用以的

最大值是.

16.如图，在四边形ABCD中，NDAB=NBCD=90。,对角线AC与30相交于点E,点F,

G分别是AC,BD的中点，当/C8ZX15。，EG=EC,FG=6时，则线段4c的长为

5

DC

17.如图，已知点40,3),轴，点C为射线A8上的一个动点，连接。C，将A。4c

沿OC折叠，点A落在点。处，过点。作X轴的垂线，分别交X轴，A3于点M，N.当

DN=2DM时，点C的坐标为.

18.如图，四边形0AA片是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方形人2员，

连接得到A444；再以对角线。儿为边作第三个正方形外人为，连接44,得

到M.AA,,再以对角线。4.3，为边作第四个正方形04ABi,连接44，得到A42AA4一•.，

设A4A4,A42AA4,…，的面积分别记为S|,S],S3,…，如此下去，则

52021的值为.

19.如图“是长方形纸带，ZDEF=22°,将纸带沿E尸折叠成图6,再沿B尸折叠成图c,则

6

图c中的/CFE的度数是'

20.将一副三角板如图旋转，共中NC=30°,"=45°,点E在8C边上，M，N分

别为AB，DF上的点，G为三角板外一点.连接GW,GN,若NG=50°,则

ZGMB+/BED+4DNG=

21.己知矩形ABC£>,AB=4,AZ)=6,点E为AB边的中点，点尸为边上的动

点，点8和点B'关于比对称，则37)的最小值是.

22.如图，有一张矩形纸条ABCD,AB=5cm,BC=2cm，点M,N分别在边AB,CD上，

CN=lcm.现将四边形BCN似沿MN折叠，使点8,C分别落在点？，C'上，在点M

从点A运动到点B的过程中，若边MB’与边CD交于点E,则点E相应运动的路径长为

cm.

7

23.如图所示，在正方形ABC。中，点E为边8上一点，CE=2DE,AE交对角线BO

于点G，过点G作方GLAE交于E，连接石户、AF,A/交对角线于点〃，

HG=-y/2,将△尸G”沿GF翻折得到△FG/7'，连接硝'，则△瓦H'的周长为

2

三、解答题

24.如图，在平行四边形4BCO中，点。是边8C的中点，连接。。并延长，交A8的延长

线于点E,连接BD,EC.

(1)求证：&BOEmACOD；

(2)当/8。。=。时，四边形8ECO是菱形.

8

在平行四边形A8CQ中，AD>AB，求作菱形，使点E、点/分别在BC、AO边上.（尺规作

图，保留作图痕迹）

办法一：

以点8为圆心，A3长为半径，画弧交8C于点E，再分别以点A、E为圆心，大于‘AE的相同

2

长为半径画弧，两弧交于点P；连接并延长交AO于点F，连接瓦'，则所得四边形/WEE是

菱形.

办法二：

连接AC,分别以A、。为圆心，大于工AC的长为半径作弧，两弧交于V、N两点；连接MN,

2

分别与8C、A。、AC交于E、F、0三点；连接AE、CF.则四边形A£C£是菱形.

25.如图，是小清同学的数学笔记，任细阅读并完成任务：

任务：

（1）填空：“办法一”中，判别四边形回防是菱形的数学依据是；

（2）在图2中，根据“办法二”的作图方法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；

（3）写出“办法二”的推理过程.

9

26.（教材呈现）下面是华师版八年级下册教材第89页的部分内容.

如图，G,H是平行四边形A2CD对角线AC上的两点，且AG=CH,E,F分别是边AB和

CD的中点

求证：四边形E//FG是平行四边形

证明：连接EF交AC于点。

•.•四边形ABC。是平行四边形

：.AB=CD,AB//CD

又尸分别是AB,CD的中点

：.AE^CF

又,：ABHCD

：.ZEAO=ZFCO

XVZAOE^ZCOF

：.△AOEdC。尸

请补全上述问题的证明过程.

（探究）如图①，在△ABC中，E,。分别是边48、4c的中点，。、F分别是线段AO、

CO的中点，连结DE、EF,将4DEF统点、。旋转180。得到△DGF,若四边形DEFG的面

积为8,则4ABC的面积为.

（拓展）如图②，G”是正方形ABC。对角线AC上的两点，且AG=CH,GH^AB,E、F

分别是48和CO的中点.若正方形ABCD的面积为16,则四边形EHFG的面积为.

10

27.在正方形ABCD中，E为边CD上一点（不与点C、。重合），垂直于8E的一条直

线MN分别交BC、BE、AO于点“、P、N,正方形ABC。的边长为6.

（1）如图1,当点M和点。重合时，若AN=4,求线段尸M的长度；

（2）如图2,当点M在边8C上时，判断线段AN、MB、EC之间的数量关系，并说明

理由;

（3）如图3,当垂足P在正方形ABCD的对角线AC上运动时，连接N8,将△8PN沿

着8N翻折，点P落在点尸处，A3的中点为。，直接写出P'Q的最小值.

28.如图1所示，菱形ABCD的顶点A,B在x轴上，点A在点B的左侧，点。在y轴的

正半轴上，其中点D（0,6）.

11

(1)求C点的坐标；

(2)如图2,E是AO上一点，且4E=U,尸是4c上一动点，求PD+PE的最小值；

4

(3)如图3,动点。从点8出发，以每秒°个单位长度的速度，沿折线6fCfO在菱

4

形的两边上匀速运动，设运动时间为f秒.若点。到8。的距离是|■，则/=.

12

参考答案

1.C

【分析】

根据矩形的判定条件逐项进行分析判断即可；

【详解】

解：4、■:AD//BC,AD=BC,

・・・四边形ABC。是平行四边形，

•・・AC=8。，

・・•平行四边形A3C。是矩形，故选项A不符合题意；

B、YAD//BC,AD=BC,

，四边形ABC。是平行四边形，ZA+ZB=180°,

乙4=N8,

ZA=ZB=90°,

,平行四边形A8CO是矩形，故选项3符合题意；

C、■:AD//BC,

：.ZA+ZB=ZC+ZD=\SO°f

•rZA=ZC,

:・/B=ND,

・・・四边形ABC。是平行四边形，AB=CD,故选项C不符合题意;

D、•:AD〃BC,

：.ZA+ZB=180°,

*/ZA=ZB,

,NA=N8=90。，

：.ABA.AD,AB1.BC,A8的长为AO、BC间的距离，

又・・・A3=CO,

：.CDLADf

：,NAOC=90。，

・・・四边形ABC。是矩形,

・・・选项。不符合题意；

13

故选：c.

【点拨】

本题主要考查了矩形的判定，准确分析判断是解题的关键.

2.C

【分析】

由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF=FM=O氏根据折叠性质和矩

形性质证明再根据等腰三角形三线合•可证得BFLEN；易证得△BEN是等腰三

角形，但无法判定是等边三角形；根据角平分线性质、矩形性质得BM=BC=AZ)=2OE=

2EM,即可得EB=3EM,根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求解.

【详解】

解：•••四边形ABC。是矩形，

.",Z£>=ZBCD=90°,

由折叠的性质可得：ZEMF=ZD=90°,DF=MF,

HPFMLBE,CFLBC,

■:BF平分NEBC,

：.CF=MF,

：.DF=CF,

故选项A正确；

'：AD//BN,

：.ZN=ZDEF,

由折叠性质可得NDEF=/MEF,

ZN=ZMEF,

：.BE=BN,

•:CD平分NEBC,

:.BF上EN,

故选项B正确；

,:BE=BN,

...△BEN是等腰三角形，

但NA3E度数未知，故无法求得△BEN各角的度数,

14

...△BEN不一定是等边三角形，

故选项C错误；

,JFM^BE,CF±BC,BF平分NEBC,

：.NBFM=ZBFC,

：.BM=BC=AD=2DE=2EM,

：.BE=3EM,

SASEF=3SAEMF=3SADEF，

故选项D正确.

故选：C.

【点拨】

此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质等知识，熟知相关知识，证明8E=8N

是解题关键.

3.A

【分析】

由题意得，MNLAB,根据平行四边形的性质得到AB=CD=2也,延长CO交

MN于G,根据等腰直角三角形的性质得到。6=反；=¥力《=拒，根据勾股定理即可得

到结论.

【详解】

解：延长CO交MN于G,

由题意得，MN1AB,

•；四边形ABCD是平行四边形,

：.AB/7CD,AB=CD=2及,

：.MN1CG,

：.NCGN=90°,

：/CD4=135°,

15

，NEDG=45。，

•••△OEG是等腰直角三角形，

:・DG=EG,

由勾股定理得DC^+EG^DE2,

:.DG=EG=§DE=母,

：.CG=CD+DG=3ji,

CE=4CG-+GE2=43后+(何=275.

故选：A.

【点拨】

本题考查了作图-基本作图、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，正

确的识别图形是解题的关键.

4.B

【分析】

根据题意可得AB=a,AB+AO=a+5,据此可得40=5,同理可得00=4,进而得

出CD+AB=15—4—5=6,由平行四边形的性质可得A6=8=3,由勾股定理的逆定

理可得△80是直角三角形，再根据三角形的面积公式计算即可.

【详解】

解：由题意，可知当点P运动到点A时，点P运动ras,

AB=1xa=a,

当点P运动到点0时，点P运动了(a+5)s,

即AB+AO=a+5,

*'•AO=5，

同理，可得O£>=a+9—(a+5)=4,

CD+AB=15—4—5=6,

四边形ABC。是平行四边形，

AB=CD-3，

在ACDO中,

16

"CO2CD2+0D2^

，△COD是直角三角形，

S△Cr-nCznLz=-2x3x4=6,

AO=CO,

=2S.COD=12，

S°ABCD=2S«ACD=2x12=24・

故选：B.

【点拨】

本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数

形结合的思想解答问题.

5.A

【分析】

由菱形的性质得出OA=OC=6,OB=OD,ACLBD,则AC=I2,由直角三角形斜边上的中线

性质得出再由菱形的面积求出8。=8,即可得出答案.

【详解】

解：•••四边形A8C。是菱形，

：.OA=OC=6,OB=OD,AC±BD,

AAC=12,

DHLAB,

：.NBHD=90。,

：.OH=-BD,

2

•.•菱形ABC。的面积=,xACx80=^x12x50=48,

22

:.BD=8,

：.OH=>BD=4；

2

故选：A.

【点拨】

17

本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，解题的关键是根据直角三角

形斜边上的中线性质求得OH='8。.

2

6.B

【分析】

根据角平分线和平行可得勾股定理求出EC即可.

【详解】

解：在矩形A3CD中，AB=CD=3.BC=A£>=4，

E4平分NBED，

/.ZBEA=ZAED，

•/AB//CD.

:•ZBEA=ZDAE，

ZDEA=ZDAE，

AD=ED=4,

EC=VDE2-DC2=742-32=^-

BE=4-币；

故选：B.

【点拨】

本题考查了矩形的性质，角平分线性质，等腰三角形的判定和勾股定理，解题关键是通过角

平分线和平行得出等腰三角形，熟练运用勾股定理求线段长.

7.A

【分析】

先利用菱形ABCO的性质证明AFOB'FOD,可得FB=FD,再同理可得

FD=ED,ED=EB,从而判断甲正确；连接8。交AC于0,利用四边形ABCD是菱形，

可得AC_L8O,AO=CO,80=。。，再证明。尸=0E,即可判断乙正确，从而可得丙判断错

误.

【详解】

解：；菱形A8CD,

18

AB=BC=CD=AD,AC±BD,OA=OC,OB=OD,

:.NFOB=NFOD=9U0,

\FO=FO,

:AFOBQAFOD,

FB=FD,

同理可得：FD=ED,ED=EB,

..FB=FD=DE=BE,

，四边形FBED是菱形.故甲正确;

连接BD交AC于0,

•••四边形ABCC是菱形，

：.AC±BD,AO^CO,80=。。，

'：AF=CE,

：.0F=0E,

；•四边形FBE。是菱形.故乙正确：

由甲，乙正确，可得丙的说法不正确；

故选：A.

【点拨】

本题考查的是菱形的判定与性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键.

8.A

【分析】

探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可.

19

【详解】

解：如图I中,

图1

•.•四边形A8C力是矩形,

.'.AB//CD,

由翻折的性质可知：Z1=Z2,

.*.Z2=Z3,

'­,NF=ylB'C'2+NC'2=V22+l2=右(cm),

BM=NB'=y/5(cm).

如图2中，当点M与A重合时，

同理可得：AE=EN,

设AE=EN=xcm,

图2

20

在放AAOE中，则有X?=22+(4-X)2,解得X=3,

2

53

DE=4----=—(cm),

22

如图3中，当点3运动到MB」A8时,DE的值最大，DF=5-1-2=2(cm),

图3

如图4中，当点M运动到点房落在CO时，

。9（即。E"）=5—1一番=（4一逐）（cm）,

图4

二点E的运动轨迹ETE—E",

运动路径=££+£3'=2--+2—（4—逐）=（逐）（cm）.

22

故选：A.

【点拨】

本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所

学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

9.C

【分析】

如图，过点尸作于J,过点。作。K_LBC于K.想办法求出PB,BK,QK,再利

用勾股定理即可解决问题.

21

【详解】

解：如图，过点尸作于J,过点。作QK1_8c于K.

•.•四边形48c力是正方形，

ZA=ZABC=90°,AB=AD=4,

由翻折的性质可知，EG=DE,

设EG=DE=x,

在放△AEG中，则有22+(4-x)2=乂2,

.5

.,.x=一,

2

5

：.EG=DE=~,

2

YEFLDG,

：.ZFEJ+ZADG=9Q°,ZADG+ZAGD=90°,

：.NFEJ=NAGD,

VZA=ZFJ£=90°,FJ=AB=AD,

:.AFJEqMDAG(A4S),

：.EJ^AG=2,

：.DJ=CF^—,

2

7

：.BF=BC-CF=-,

2

,:BD:垃AB=4五,DE//BF,

：.BQ-.DQ=BF：DE=7：5,

77

BQ=一BD=-y/2,

123

*NKBQ=45。,

22

7

：,BK=QK=~,

•.,/A=NGBP=90。，AG=G8,NAGE=NBGP,

...△AGEg/XBG尸(ASA),

3

：.AE=PB=~,

2

3723

:.PK=PB+BK=-+-=—,

236

PQ=W+PK?=J.+令=空-

故选：c.

【点拨】

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正

确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

10.B

【分析】

设矩形的面积为S,则5ACOE=SA"L二"S,由图形可知，S+96=SACDE+SAA8c+12+32+S口

2

彭，从而得到阴影部分的面积

【详解】

解：设矩形的面积为S,作AN1BC

SACl)E=—EM・CD,SAABC——AN・BC

22

又丁四边形为矩形

・・・AN=CD,EM=BC

则CDE=S&ABC=­S,

2

S+96=SACDF+SA4BC+12+32+5阴影

S阳%二S-SACDE-SAABC-\2-32+96

23

Su],=S-—S--S-12-32+96

22

51^=96-32-12=52.

故选：B

【点拨】

本题考查阴影部分的面积，分析整体和部分的和差关系，利用相加、相减的方法是常用的方

法

11.B

【分析】

先连接FH，求出8。//方H,再将求的面积转化为求AB/卯的面积即可.

【详解】

解：如图，连接尸”，

:菱形A8CQ和菱形EFG”，ZA^ZE,

•••/ADC=/EFG，

r.ZBDC=ZEFH,

二BD//FH,

，NBDH和M3DF同底等高，

••^\BDH=^\BDF，

菱形ABCD面积为9cm2,△BCF的面积为4cm2,

S.DF=S^DC+Sg=gx9+4=8.5(™2),

••SABDH—8.5(.

故选：B.

【点拨】

本题考查了菱形性质及其应用，解决本题的关键是利用同底等高将求她力”的面积转化为

24

求Afi。尸的面积，考查了学生的分析和推理的能力，运用了转化的思想方法.

12.372

【分析】

取。F的中点〃，CF的中点。，连接用”，NQ,过点“作MKLN。于K,由三角形中位

线定理可得NQ=^EF=4,M”=gGF=l,MH〃EF,NQ//EF,HQ=gcD=3,由勾

股定理可求解.

【详解】

解：如图，取Q尸的中点H,CF的中点0,连接M",NQ,过点M作MKJ_N。于K,

'：EF〃BC,AB//CD,

四边形8CFE是平行四边形，

又•..NBC£>=90°,

•••四边形BCFE是矩形，

：.EF=BC=AD=S,

•••何、N分别为GD、EC的中点，，是。尸的中点，。是C厂的中点，

:.NQ=；EF=4,GF^1,MH〃EF,NQ〃EF,HQ=—CD=3,

:.MH〃NQ,

■:KM1NQ,NNQD=90。,

:.MK〃HQ,

•••四边形MHQK是平行四边形，

:.MK=3,KQ=MH=1,

:.NK=3,

:.MN=6MK=3O,

故答案为3万.

25

【点拨】

本题考查了矩形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形

是本题的关键.

13.晒.

【分析】

延长CM,使CD=MN,连接AM证明AAMN/ABMCXSAS),由全等三角形的性质得出

BC=AN=5,ZNAM=NB,山勾股定理求出DN=回，由中垂线的性质得出答案.

【详解】

解：延长CM,使C£>=MM连接AN,

如图所示:

,/点M是Rt^ABC斜边AB的中点,

/•AM=BM,

在AAAW和ABMC中,

AM=BM

<4AMN=NBMC,

MN=CM

^AMN^^BMC(SAS),

ABC=AN=5,ZNAM^AB.

：.AN//BC,

'：ZBCA=90°.

ZA64£>=90°,

DN=JAN?+AD?=>/52+22=晒-

VDMVCM,CM=MN

26

；•CD=DN=晒，

故答案为：V29.

【点拨】

本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，中垂线的性质，直角三角形的性质，熟练

掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

14.180°〃

【分析】

根据多边形的内角和公式即可得.

【详解】

•••四边形ABC。是矩形，

.-.ZC=Z£>=90°,

设剪n刀得(〃+1)个角的和为x，则所得多边形的角的个数为“+1+2=〃+3个，

由多边形的内角和公式得：》+90。+90。=180。(〃+3—2),

解得x=180°〃，

故答案为：180°n.

【点拨】

本题考查了多边形的内角和公式，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键.

15.372

【分析】

延长E尸到G,使FG=ER连接8G,FG,可得△8FG是等腰直角三角形，得到8G=

05F=2&，根据三角形中位线定理得AG=2FM,由勾股定理求出48,再根据三角形

三边关系可求出AG的最大值，从而可得结论.

【详解】

解：延长E/到G,使/G=E/,连接BG,FG,如图，

27

A

G

•.•四边形BDE尸是正方形，

:.BF=EF,NBFE=90。

：.ZBFG=90°

...△8FG是等腰直角三角形，

:.BG=6BF=也义2=26,

在RmABC中，ZC=90°,AC=BC=4

2

AB=VAC+sc2=4V2

,/AB-BG<AG<AB+BG

­■•2拒WAGW6加

y/2<FM<3直

线段RW的最大值是3亚

故答案为：3^2

【点拨】

此题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质，三角形中位线定理，银河股

定理等知识，能正确作出相关的辅助线是解决本题的关键.

16.6

【分析】

连接AG,CG,利用“斜中半”定理推出AACG为等腰三角形，并根据题意求出NECG=30。,

ZGFC=90°,从而在RdCGF中求解CF,即可得出结论.

28

【详解】

如图所示，连接4G,CG,

由题意，△A8D与△C8O均是8。为斜边的直角三角形,

：.AG=—BD,CG=—BD,

22

即：AG=CG,4ACG为等腰三角形，

VZCBD=15°,CG=BG,

：.NCGE=2NC8O=30°,

•:EC=EG,

：.NECG=NCGE=3。。,

又•.♦尸为AC的中点，

；.G尸为△ACG的中线，AF=CF,

，由“三线合一''知，GF±AC,ZGFC=900,

,:FG=5

:.CF=^FG=3,

：.AC=2CF=6,

故答案为：6.

【点拨】

本题考查了直角三角形的“斜中半”定理，以及等腰三角形的判定与性质等，灵活运用直角三

角形的相关性质是解题关键.

17.

【分析】

29

由题意可证四边形AOMN是矩形，可得04=MN=3,AN=OM,由折叠的性质可得£>M=1,

DN=2,由勾股定理可求0M的长，可得AN=2&，由勾股定理可求AC的长，即可求解.

【详解】

解：:MNL轴，A8〃x轴，

：.MN±AB,

XVZAOM=90°,

四边形AOMN是矩形，

：.0A=MN=3,AN=OM,

,:DN=2DM,

：.DM=\,DN=2,

..•将△04C沿0c折叠，

：.0D=0A=3,AC=CD,

0M=y]OD2-DM2=^/9^T=2应-

:.AN=2近,

■:CD^CbP+DN1,

（20FC）2+4,

•••心逑，

2

2

故答案为：（逑，3）.

2

【点拨】

本题考查了翻折变换，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，求出0M的长是本题的关键.

18.22019

【分析】

首先求出Si、S2、珀，然后归纳命题中隐含的数学规律，即可解决问题.

【详解】

30

解：•・•四边形OA4B是正方形，

：.OA=AAi=A\Bi=\t

.*.5i=—xlxl=—=2"2,

22

TN044=90。，

.'.OAi2=l2+l2=2,

**•OA]—,

So=gx5/2x5/2=1=22",

'.'ZOAiA2=90°f

OA2=A2A3=血。4=2,

12

/.5s=—x2x2=2=2：

2

同理可得：54=24-2,…，Sn=2n-2,

.'.S2021=22021-2=22019.

故答案为：2刈%

【点拨】

本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算、规律型等知识；熟

练掌握正方形的性质与三角形面积的计算，找出规律是解题的关键.

19.114°

【分析】

根据两直线平行，内错角相等可得NEF8=ND再根据翻折的性质，图c中NEF8处重

叠3层，然后根据/仃七二180。・3/石尸8代入数据行计算即可得解

【详解】

,/ZDEF=22°

长方形ABCD的对边AD//BC

：.ZEFB=ZDEF=22°

由折叠，NEFB处折叠了3层

：.ZCFE=]S00-3ZEFB

=180°—3x22°

=114°

31

故答案为：114。

【点拨】

本题考查折叠问题，熟知折叠中蕴含着全等，有相等的角与边进行分析是关键.

20.55

【分析】

延长EB交MG于H,延长ED交NG于Q,根据三角形的外角的性质得出

NGHE=NGMB+120，NGQE=NDNG+135,再根据四边形的内角和定理即可得

出答案；

【详解】

解：延长EB交MG于H,延长ED交NG于Q,

•••一副三角板如图旋转，共中NC=30°，N0=45。，

ZMBH=120。，NNDQ=135。，

ZGHE=NGMB+120，NGQE=NDNG+135。，

在四边形GHEQ中，ZGHE+ABED+ZGQE+NMGN=360,

ZGMB+120°+ZBED+4DNG+135°+乙MGN=360°

VZMGN=50。，

NGMB+120。+/BED+ZDNG+1350+50。=360

ZGMB+ZBED+NDNG=55；

32

【点拨】

本题考查了三角形的外角的性质以及四边形的内角和定理，熟练掌握相关的知识是解题的关

键.

21.2M-2

【分析】

根据矩形的性质和轴对称的性质，可以得到B'E的值，然后根据勾股定理可以得到。石的

值，从而可以得到点3'在匕时，取得最小值.

【详解】

解：连接DE,则

•••四边形ABCD是矩形，AB=4,AT>=6,点七为AB边的中点，点3和点8'关于Ef

对称，

:.AE=BE=BE=2,ZA=90°,

DE=y/AE2+AD2=《2。+62=2M>

,/DE-EB'<B'D,

二当点8'在线段DE上时，取得最小值，此时=—8后=2加一2，

故答案为：2M-2.

【点拨】

本题主要考查了线段最小值求法，涉及了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理，解答本题

的关键是明确当点3'在线段DE上时，B'D取得最小值.

l3

22.(J5——)

2

【分析】

探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可.

33

【详解】

解：如图I中,

图1

•..四边形A8C£＞是矩形，

J.AB//CD,

.\Z1=Z3,

由翻折的性质可知：Z1=Z2,BM=MB'，

；./2=/3,

:.MB'=NB'，

。N&=+NC，2=J12+22=&■(cm),

Z.BM=MB'=NB'=-j5(cm),DB'=4-75：

如图2中，当点例与A重合时，AE=EN,设AE=EN=xcm,

图2

在RSADE中，则有/=22+(4-x)2,解得尸之，

2

34

53

•*.DE=4----=—(cm),

22

如图3中，当点M运动到用时，OE的值最大，DE'=5-1-2=2（cm）,

图3

如图4中，当点M运动到点B'落在CO时，OB'（即DE"）=4-正（cm）,

图4

3

.•.点E的运动轨迹ETE'-E",运动路径=七七'+后〃&=2-5+2-（4-5/5）=（6-

3

—）（cm）.

2

故答案是：（、后）

2

【点拨】

本题考查翻折变换，矩形的性质，利用勾股定理解直角三角形等知识，解题的关键是理解题

意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

23.5+75+710

【分析】

35

建立平面直角坐标系，通过函数的方法求出〃'、E、R三点的坐标，从而结合两点的距离

公式分别求出AEFH'的三边长，从而得出结论

【详解】

如图所示，以8为原点建立直角坐标系，连接"'与GF交于尸点，

由四边形ABCD为正方形，则设A（0,3a）,C（3a,0）,D（3a,3a）,

：CE=2DE.

E（3a,2a）,

•••直线BO的解析式为：yBD=x,

设直线AE的解析式为：yAE=ktx+bt,

将A（0,3a）,£（3a,2a）代入得:

解得卜T,

/7,=3a

3ak\+b\=2Q

b、二3〃

・,•直线川石的解析式为：丫4£=—§x+3a，

联立直线AE与宜线BD的解析式得:

9

y二xx=­a

4

1。解得：《；，即:

y=——X+3Q

3

・・,FG-LAE,

,,^GF=一1，^GF=3，

则设直线GF的解析式为：>GF=3X+4,

（99、9

将G二名7“代入得：历=--a,

<44J2

9

・•・直线GF的解析式为：为/=3X-/Q,

令丁=0,解得：工二一二。，即：F\-a^

2\2

36

设直线AF的解析式为：yAF=k3x+b3,

将A（0,3a）,尸仁兄。卜入得：

h3=3a

4

直线AF的解析式为：y.=-2x+3a,

联立直线AF与直线BD的解析式得：

=一21+3。x=a

,即：

":H、H'为对称点，AE±GF,

：・HH」GF,AE//HHr,

设直线”“'的解析式为：％y/r=—gx+2，

将”（a,a）代入得：

14

xa

•••直线的解析式为：yHH---+-'

联立直线HH'与直线GF的解析式得：

147

y=—x4—ax=—a—

,334（73