2024-2025学年高中数学第2章概率章末复习课学案北师大版选修2-3

PAGE1-第2章概率条件概率【例1】在5道题中有3道理科题和2道文科题．假如不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．[解]设“第1次抽到理科题”为事务A，“第2次抽到理科题”为事务B，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事务AB.(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事务数为n(Ω)＝Aeq\o\al(2,5)＝20.依据分步乘法计数原理，n(A)＝Aeq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(1,4)＝12.于是P(A)＝eq\f(nA,nΩ)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).(2)因为n(AB)＝Aeq\o\al(2,3)＝6，所以P(AB)＝eq\f(nAB,nΩ)＝eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2).法二：因为n(AB)＝6，n(A)＝12，所以P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).条件概率的两个求解策略1定义法：计算PA，PB，PAB，利用PA|B＝eq\f(PAB,PB)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(PB|A＝\f(PAB,PA)))求解.2缩小样本空间法干脆法：利用PB|A＝eq\f(nAB,nA)求解.其中2常用于古典概型的概率计算问题.1．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是()A．eq\f(11,27)B．eq\f(11,24)C．eq\f(8,27)D．eq\f(9,24)C[设从1号箱取到红球为事务A，从2号箱取到红球为事务B.由题意，P(A)＝eq\f(4,2＋4)＝eq\f(2,3)，P(B|A)＝eq\f(3＋1,8＋1)＝eq\f(4,9)，所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝eq\f(2,3)×eq\f(4,9)＝eq\f(8,27)，所以两次都取到红球的概率为eq\f(8,27).]2．掷两颗匀称的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，问“掷出点数之和大于或等于10”的概率．[解]设“掷出的点数之和大于或等于10”为事务A，“第一颗骰子掷出6点”为事务B.法一：P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(\f(3,36),\f(6,36))＝eq\f(1,2).法二：“第一颗骰子掷出6点”的状况有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种，故n(B)＝6.“掷出的点数之和大于或等于10”且“第一颗掷出6点”的状况有(6,4)，(6,5)，(6,6)，共3种，即n(AB)＝3.从而P(A|B)＝eq\f(nAB,nB)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).超几何分布【例2】老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(2)他能及格的概率．[解](1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，则P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,6)C\o\al(3－k,4),C\o\al(3,10))(k＝0,1,2,3)．P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,6)C\o\al(3,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,30)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,2)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(0,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,6).所以X的分布列为X0123Peq\f(1,30)eq\f(3,10)eq\f(1,2)eq\f(1,6)(2)他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).超几何分布的求解步骤1辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”，“优、劣”等，或可转化为明显的两部分.具有该特征的概率模型为超几何分布模型.2算概率：可以干脆借助公式PX＝k＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))求解，也可以利用排列组合及概率的学问求解，需留意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义.3列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来.3．设10件产品中，有3件次品，7件正品，现从中抽取5件，求抽得次品件数ξ的分布列．[解]ξ的可能取值为0,1,2,3.ξ＝0表示取出的5件产品全是正品，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(5,7),C\o\al(5,10))＝eq\f(21,252)＝eq\f(1,12)；ξ＝1表示取出的5件产品中有1件次品，4件正品，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(4,7),C\o\al(5,10))＝eq\f(105,252)＝eq\f(5,12)；ξ＝2表示取出的5件产品中有2件次品，3件正品，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(3,7),C\o\al(5,10))＝eq\f(105,252)＝eq\f(5,12)；ξ＝3表示取出的5件产品中有3件次品，2件正品，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(2,7),C\o\al(5,10))＝eq\f(21,252)＝eq\f(1,12).故ξ的分布列为ξ0123Peq\f(1,12)eq\f(5,12)eq\f(5,12)eq\f(1,12)独立事务【例3】设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需运用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需运用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需运用设备的概率；(2)X表示同一工作日需运用设备的人数，求P(X＝1)．[解]记Ai表示事务：同一工作日乙、丙中恰有i人需运用设备，i＝0,1,2，B表示事务：甲需运用设备，C表示事务：丁需运用设备，D表示事务：同一工作日至少3人需运用设备．(1)D＝A1BC＋A2B＋A2eq\x\to(B)C，P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(Ai)＝Ceq\o\al(i,2)×0.52，i＝0,1,2，所以P(D)＝P(A1BC＋A2B＋A2eq\x\to(B)C)＝P(A1BC)＋P(A2B)＋P(A2eq\x\to(B)C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(eq\x\to(B))P(C)＝0.31.(2)X＝1表示在同一工作日有一人需运用设备．P(X＝1)＝P(BA0eq\x\to(C)＋eq\x\to(B)A0C＋eq\x\to(B)A1eq\x\to(C))＝P(B)P(A0)P(eq\x\to(C))＋P(eq\x\to(B))P(A0)P(C)＋P(eq\x\to(B))·P(A1)P(eq\x\to(C))＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25.求相互独立事务一般与互斥事务、对立事务结合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事务间的内部联系，在此基础上用基本领件之间的交、并、补运算表示出有关事务，并运用相应公式求解.4．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气精确的概率分别为eq\f(4,5)和eq\f(3,4).求：(1)甲、乙两个气象台同时预报天气精确的概率；(2)至少有一个气象台预报精确的概率．[解]记“甲气象台预报天气精确”为事务A，“乙气象台预报天气精确”为事务B.明显事务A，B相互独立且P(A)＝eq\f(4,5)，P(B)＝eq\f(3,4).(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,5).(2)至少有一个气象台预报精确的概率为P＝1－P(eq\o(\x\to(A))eq\o(\x\to(B)))＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(1,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(19,20).二项分布问题【例4】抛掷两枚骰子，取其中一枚的点数为点P的横坐标，另一枚的点数为点P的纵坐标，求连续抛掷这两枚骰子三次，点P在圆x2＋y2＝16内的次数X的分布列．[解]由题意可知，点P的坐标共有6×6＝36(种)状况，其中在圆x2＋y2＝16内的有点(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共8种，则点P在圆x2＋y2＝16内的概率为eq\f(8,36)＝eq\f(2,9).由题意可知X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,9)))，所以P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,9)))eq\s\up7(0)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)))eq\s\up7(3)＝eq\f(343,729)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,9)))eq\s\up7(1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)))eq\s\up7(2)＝eq\f(98,243)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,9)))eq\s\up7(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)))eq\s\up7(1)＝eq\f(28,243)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,9)))eq\s\up7(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)))eq\s\up7(0)＝eq\f(8,729)，故X的分布列为X0123Peq\f(343,729)eq\f(98,243)eq\f(28,243)eq\f(8,729)解决二项分布问题的两个关注点1对于公式PX＝k＝Ceq\o\al(k,n)pk1－pn－kk＝0，1，2，…，n必需在满意“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式.2推断一个随机变量是否听从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事务发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.5．某人投篮一次投进的概率为eq\f(2,3)，现在他连续投篮6次，且每次投篮相互之间没有影响，那么他投进的次数ξ听从参数为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(2,3)))的二项分布，记为ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(2,3)))，计算P(ξ＝2)＝()A．eq\f(20,243)B．eq\f(8,243)C．eq\f(4,729)D．eq\f(4,27)A[依据二项分布概率的计算公式可得，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up7(4)＝eq\f(20,243)，故选A.]离散型随机变量的均值与方差【例5】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的分布列、均值和方差．[解]由题意得，ξ的全部可能取值为0,1,2,3,4，P(ξ＝0)＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2)，P(ξ＝1)＝eq\f(1,20)，P(ξ＝2)＝eq\f(2,20)＝eq\f(1,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(3,20)，P(ξ＝4)＝eq\f(4,20)＝eq\f(1,5).故ξ的分布列为ξ01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)所以E(ξ)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝1.5，Dξ＝(0－1.5)2×eq\f(1,2)＋(1－1.5)2×eq\f(1,20)＋(2－1.5)2×eq\f(1,10)＋(3－1.5)2×eq\f(3,20)＋(4－1.5)2×eq\f(1,5)＝2.75.求离散型随机变量的均值、方差的步骤1明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果.2求出随机变量取各个值的概率.3列出分布列.4利用公式EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn求出随机变量的期望EX.5代入公式DX＝x1－EX2p1＋x2－EX2p2＋…＋xi－EX2·pi＋…＋xn－EX2pn求出方差DX.6代入公式σX＝eq\r(DX)求出随机变量的标准差σ.6．甲、乙两人进行定点投篮嬉戏，投篮者若投中，则接着投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为eq\f(1,3)，eq\f(3,4).在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、均值和方差．[解]乙投篮的次数ξ的取值为0,1,2.P(ξ＝0)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)；P(ξ＝1)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(7,18).P(ξ＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,2).故ξ的分布列为ξ012Peq\f(1,9)eq\f(7,18)eq\f(1,2)Eξ＝0×eq\f(1,9)＋1×eq\f(7,18)＋2×eq\f(1,2)＝eq\f(25,18)，Dξ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(25,18)))eq\s\up7(2)×eq\f(1,9)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(25,18)))eq\s\up7(2)×eq\f(7,18)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(25,18)))eq\s\up7(2)×eq\f(1,2)＝eq\f(149,324).正态分布【例6】假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是听从正态分布N(800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数少于900的概率为P0，求P0的值．参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(