2023届高考数学特训营热难点(三)-中的立体几何热点问题

第七单元高考热难点(三)高考中的立体几何热点问题2023届1《高考特训营》·数学01考法102考法203考法3把一个平面图形按某种要求折起，转化为空间图形，进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化，这类问题被称为平面图形的翻折问题，在高考中图形的翻折常与空间中的平行垂直及空间角相结合命题．考法1翻折问题典例1

(2022·山东泰安模拟)条件③：图(2)中三棱锥A­BCD的体积最大．从以上三个条件中任选一个，补充在问题(2)中的横线上，并加以解答．如图(1)所示，在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝3，过点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上，沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°(如图(2))，点E，M分别为棱BC，AC的中点．(1)求证：CD⊥ME.(2)已知________，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求锐二面角M­BN­C的余弦值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：(1)∵CD⊥AD，CD⊥BD，AD∩BD＝D，∴CD⊥平面ABD，∵AB⊂平面ABD，∴CD⊥AB.又∵M，E分别为AC，BC的中点，∴ME∥AB，∴CD⊥ME.

(1)求证：BC⊥平面ACD.(2)若点F在棱CD上，且满足AD∥平面BEF，求几何体F­BCE的体积．∠BAC＝∠ACD＝45°，AB＝4，∴在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2AC×AB×cos45°＝8，∴AB2＝AC2＋BC2＝16，∴AC⊥BC.∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC＝AC，∴BC⊥平面ACD.(2)∵AD∥平面BEF，AD⊂平面ACD，平面ACD∩平面BEF＝EF，∴AD∥EF，∵E为AC的中点，∴EF为△ACD的中位线，典例2

(2019·新课标全国Ⅲ卷)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°，将其沿AB，BC折起，使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE.(2)求图2中的二面角B­CG­A的大小．解：(1)由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.

翻折问题的两个解题策略确定翻折前后变与不变的关系画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决

确定翻折后关键点的位置所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算(1)求证：平面A1CP⊥平面A1BE.(2)求二面角B­A1P­D的正弦值．

∵A1P＝AP＝2，A1C＝4，∴A1P2＋PC2＝A1C2，∴PC⊥A1P.∵BP∩A1P＝P，∴PC⊥平面A1BE.∵PC⊂平面A1CP，∴平面A1CP⊥平面A1BE.(2)如图4，以P为坐标原点，PB所在直线为x轴，PC所在直线为y轴，过P垂直于平面BCDE的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

对于存在判断型问题，解题的一般策略为先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求解判断，若不出现矛盾，则肯定存在，若出现矛盾，则否定存在．考法2立体几何中的探索性问题

解：(1)证明：由题设知平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，所以BC⊥DM.所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.因为DM⊂平面AMD，所以平面AMD⊥平面BMC.(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.证明如下：连接AC，交BD于O.因为四边形ABCD为矩形，所以O为AC的中点．连接OP，因为P为AM的中点，所以MC∥OP.又MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD.解决线面关系中存在性问题的策略对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足，则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设．

(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．解：(1)证明：如图所示，连接BD，设AC交BD于点O，则AC⊥BD.连接SO，则由题意知SO⊥平面ABCD.

解：(1)证明：因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，DE⊥AD，DE⊂平面ADEF，所以DE⊥平面ABCD.因为AC⊂平面ABCD，所以DE⊥AC.又因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.因为DE∩BD＝D，DE⊂平面BED，BD⊂平面BED，所以AC⊥平面BED.又因为AC⊂平面ACE，所以平面ACE⊥平面BED.(2)因为DA，DC，DE两两垂直，所以以D为坐标原点，射线DA，DC，DE分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系D­xyz，

空间角存在性问题的解题策略借助于空间直角坐标系，把几何对象上动态点的坐标用参数(变量)表示，将几何对象坐标化，这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组．若方程或方程组在题设范围内有解，则通过参数的值反过来确定几何对象的位置；若方程或方程组在题设范围内无解，则表示满足题设要求的几何对象不存在．◎跟踪训练◎如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2.(1)求证：当点E在棱AB上移动时，D1E⊥A1D.(2)在棱AB上是否存在点E，使二面角D1­EC­D的平面角为30°？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，C(0，2，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)．设E(1，y0，0)(0≤y0≤2)．

空间几何体中的某些对象，如点、线、面，在约束条件下运动，带动相关的线段长度、体积等发生变化，进而就有了面积与体积的最值问题．考法3有关最值问题(1)证明：BC⊥平面ABD.(2)设E为棱AC的中点，当四面体ABCD的体积取得最大值时，求平面BCD与平面BDE夹角的余弦值．解：(1)证明：因为

AD⊥AB，平面ABD⊥平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，AD⊂平面ABD，所以AD⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以AD⊥BC.所以AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC，因为AD∩AB＝A，所以BC⊥平面ABD.

与体积、面积有关的最值问题的解题策略定性分析在空间几何体的变化过程中，通过观察运动点的位置变化，确定其相关量的变化规律，进而发现相关面积或体积的变化规律，求得其最大值或最小值定量分析将所求问题转化为某一个相关量的问题，即转化为关于其中一个量的函数，求其最大值或最小值的问题．根据具体情况，有函数法、不等式法、三角函数法等多种方法可供选择◎跟踪训练◎现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P­A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD­A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．(1)若AB＝6m，PO1＝2m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，