固体物理 第一章 第二节专业课教材

固体物理学周健2011.02.172011-2012学年第二学期第一章晶体的结构及其对称性§1.2晶列和晶面一、晶列及其晶向标志晶列和晶向点阵中的结点是周期排列，这些结点可以看做分布在一系列相互平行的直线上，这些直线称为一族晶列。每一族的晶列定义了一个方向，称为晶向。一族晶列应该包含点阵中所有结点。一个点阵中应有无穷多族晶列。一族晶列不同平行线之间间距一样。正方形点阵中的某一族晶列其晶向就是沿着直线的方向同一个点阵中可以有很多族晶列通常用元胞的基矢来定义晶向。如果取任一格点O,到最近邻结点A的平移矢量是：那么l1,l2,l3就用来标记OA方向，即晶向。我们用[l1,l2,l3]来表示晶向指数。注意方括号！OA为最近邻，所以l1,l2,l3一定为互质整数。如果遇到l为负数，则负号放l上面：由于晶体对称性，我们用<l1,l2,l3>表示点阵中的一组对称的晶向。二维点阵的某一个晶向OA:[23]OA=2a1+3a2简单立方的几个晶向OA=a1+0+0[100]OB=a1+a2+0[110]OC=a1+a2+a3[111]a1a2a3OABCDE例：如图在立方体中，D是BC的中点，求BE,AD的晶列指数。解：晶列BE的晶列指数为：[011]AD的晶列指数为:求AD的晶列指数。注意:(1)晶列指数一定是一组互质的整数；(2)晶列指数用方括号表示[]；(3)遇到负数在该数上方加一横线。晶列(11-1)晶列[11-1]晶列(111)晶列[111]

<100>代表了以下6个晶向。分别代表了立方体的三个棱边，每个边有正负两个方向。<110>代表了立方体的6条面对角线，每条对角线2个方向，所以共12个晶向。<111>代表了立方体的4条体对角线，每条对角线2个方向，所以共8个晶向。由于立方体的对称性，所有的棱边是等效的，所有的面对角线也是等效的，所有的体对角线也是等效的。所以才可以用<100>，<110>,<111>来统一表示。二、晶面及有理指数定律晶面点阵的结点也可以看作分布在一系列平行且等间距的平面上，这些平面称作一族晶面。用垂直于晶面的方向来表示晶面的方向。一族晶面内应包含所有结点。同一点阵可以有无数族晶面。同一点阵的两种不同的晶面族晶面指数为了描述晶面，就需要在选定的坐标系内，写出该平面法线的方向余弦，或者表示出该平面在三个坐标轴上的截距。取a1,a2,a3为三个基矢的长度，晶面的面间距为d，法线为矢量en即过原点的晶面为第0个晶面，其余晶面均与切割坐标轴。考虑第μ个晶面，到原点距离为μd，设它在坐标轴上的截距为：分别求三个截距在法线方向的投影长度即为μ

d.因此很容易得到：即晶面法线方向余弦之比，等于三个截距倒数之比。两者标志晶面是等价的。晶面有理数指数定律可以证明，必定为有理数我们考虑三个基矢顶点处的结点，由于晶面包含所有结点，所以基矢端点也必然有一个晶面通过，假设分别是第h1,h2,h3个晶面通过三个基矢端点。也就是在基矢长度范围内有h1,h2,h3个晶面切过基矢，把基矢分成h1,h2,h3段，每段长度为那么第μ个晶面的截距为每段长度的μ倍。考虑到前面的我们定义的截距，则有下面等式：两个整数之比，必为有理数，这就是阿羽依的晶面有理数指数定律。晶面有理数定律：晶体中任一晶面，在基矢天然坐标系中的截距为有理数。它是点阵周期性的必然结果。对于一族晶面，通常取晶面族中的从原点算起的第一个界面截距的倒数来标记晶面族，称为该晶面的晶面指数，记作：必为互质。同样，负号放在数字上方用横线表示对于方位不同的等效晶面族，用花括号表示互质的证明：

取第一个晶面，即μ=1，根据公式1.2.2有：同样考虑该晶面上某结点，其矢量为R。对其做法线上投影，得到长度就是晶面距离d把前面的公式得到的方向余弦带入上式：如果h1,h2,h3不互质，有公因子m，m为大于1的整数。令：上式化作：由于上面式子中m大于1，括号内整数求和为非零整数，所以上式不能成立。所以h1,h2,h3必然为互质的整数。晶面指标化程序：在一族晶面中，找到任一晶面在基矢坐标轴上的以天然长度单位度量（分数坐标）的截距。(如果平面平行于某一坐标轴，那么它在该坐标轴上的截距是无穷大∞)取截距的倒数，把它们化作三个互质的整数h1,h2,h3。用圆括号标记(h1h2h3)。负号用上面横线表示，用花括号表示一组等效的对称晶面。红色三角形代表的晶面指数：很显然，红色三角形在三个轴上的截距之比为2:2:3取倒数之比为1/2:1/2:1/3化为互质整数：3:3:2即该晶面的指数为(332)立方点阵在晶体中，晶面指数整体相差一个负号，代表同一族晶面，没任何区别。只在晶体的外表面才有意义。密勒Miller指数以晶体学单胞的基矢a,b,c为坐标来表示的晶面指数，也是互质的整数，称为密勒指数，记作（hkl）。密勒指数的确定方法同前面的晶面指数，只是基矢和元胞不同。同一点阵的晶面指数和密勒指数可能不同。由密勒指数确定的晶面族可能会遗漏部分结点。密勒指数简单的晶面族中，面间距大，这种晶面容易解理。面间距大的晶面上，结点的面密度大。这样的晶面由于单位表面的能量小，容易在晶体生长过程中显露出来。例：如图所示，I和H分别为BC，EF之中点，试求晶面AEG，ABCD，DIHG的密勒指数。AEG

ABCD

DIHG111

121

rst在三个坐标轴上的截距OABCDEFGHI

AEG

ABCD

DIHG111

121

rst在三个坐标轴上的截距1:1:1(hkl)(111)(001)(120)AEG

的密勒指数是(111)；OEFG的密勒指数是(001)；DIHG的密勒指数是(120)。OABCDEFGHIABCDEFG例:在立方晶系中画出(210)、晶面。晶面在三个坐标轴上的截距分别为：1(210)11密勒指数是(210)的晶面是ABCD面；(121)密勒指数是

的晶面是EFG面；晶面间距晶面组中最邻近的两个晶面间的距离叫晶面间距dhkl对于简单立方：小结晶列：[l1l2l3];等效晶列