山东省菏泽市单县湖西高级中学（东城）2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试题（含答案）

山东省单县湖西高级中学（东城）高三第一次模拟考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={1,a}，B={0,1−a,2a−1}，若A⊆B，则a=(

)A.−1 B.1 C.12 D.2.已知平面向量a，b满足|a−b|=1，|a+b|=7，且b在a上的投影向量为32a，则a与b的夹角为(

)A.3.若n是数据3，1，2，2，3，9，10，3的第75百分位数，则二项式(2x+1A.240 B.90 C.12 D.53764.已知角α的终边经过点P(1,3)，角β为钝角，且cos(α+β)=−55，则A.22 B.23 C.5.如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是(

)

A.72π24B.73π246.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，一条渐近线被以FA.52 B.2 C.7.设n∈N∗，xn是曲线y=x2n−1−2在点(1,−1)处的切线与x轴交点的横坐标，记an=A.5100101 B.5150101 C.50001018.已知A(−3,0)，B(3,0)，O为坐标原点，点N是圆O:x2+y2=4上任意一点，点M是圆O外一点，若∠AMN=∠BMN，MN⊥BNA.y24−x25=1(x≠0)二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.设z1，z2为复数，则下列说法中正确的有(

)A.|z1|+|z2|=|z1+z2| B.z110.下列命题中正确的是(

)A.已知某个家庭先后生了两个小孩，当已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为12

B.马路上有依次编号为1，2，3，⋯，10的10盏路灯，为节约用电，某个时间段可以把其中的3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法有20种

C.已知z1，z2∈C，z1z2=0，则z1，z2中至少有一个为0

D.袋中装有8个白球,2个黑球,从中随机连续取3次,每次取一个球,取后不放回11.已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示，下列说法正确的是(

)

A.函数y=fx的最小正周期为2π

B.函数y=fx的图象关于直线x=−5π12对称

C.函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.第二届广东自由贸易试验区—联动发展区合作交流活动于2023年12月13日—14日在湛江举行，某区共有4名代表参加，每名代表是否被抽到发言相互独立，且概率均为14，记X为该区代表中被抽到发言的人数，则D(X)=

．13.若函数f(x)=2x+12x−a是奇函数，则使14.若log4(3a+4b)=log2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知ΔABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2sin(1)求角C；(2)若a=1，点D满足AD=2DB，且CD=16.(本小题15分)如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB/​/DC，DC//EF，AB=5，DC=3，EF=1，∠BAD=∠CDE=60∘，二面角F−DC−B的平面角为60∘.设M，N分别为AE，BC的中点．

(I)证明：FN⊥AD;(Ⅱ)求直线BM17.(本小题15分)某市组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数，得到下表：时间x(天)123456789每天普及的人数y8098129150203190258292310(1)从这9天的数据中任选4天的数据，以X表示4天中每天普及人数不少于240人的天数，求X的分布列和数学期望；(2)由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下的数据求出每天普及的人数y关于天数x的线性回归方程．(参考数据：y=19i=19y附：对于一组数据(x1,y1)，(x2,y218.(本小题17分)函数f(x)=e2x(1)当a=−2e时，求函数f(x)的极值和极值点;(2)若f(x)≥a−1在x∈[0,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围．19.(本小题17分)如图，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点分别为F1(−(1)求椭圆C的方程；(2)若B、D分别为椭圆C的上、下顶点，不垂直坐标轴的直线l交椭圆C于P、Q(P在上方，Q在下方，且均不与B，D点重合)两点，直线PB，QD的斜率分别为k1，k2，且k2=−3k山东省单县湖西高级中学（东城）一模考试数学试题答案D

2.A

3.A

4.D

5.B6.B解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线不妨取：bx+ay=0，

由双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被以F为圆心，2a为半径的圆截得的弦长为23a，可得F(c,0)到bx+ay=0的距离为2a2−23a22=a，

所以bc所以an=nxnxn+1n+1=nn+1·2n2n−18.B

解：由题意可知：圆O:x2+y2=4的圆心为O0,0，半径为2，延长BN交直线AM于点C，连接ON，

因为∠AMN=∠BMN，可知MN为∠AMB的角平分线，

又因为MN⊥BN，可知点N为BC的中点，则MC=MB，

且点O为线段AB的中点，则AC=2ON=4．

显然点M不在y轴上，若点M在y轴右侧，

则AM>BM，则点C在线段AM内，

可得AM−BM=AC=4；若点M在y轴左侧，

则AM<BM，则点C在9.BD

解：设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)，

对于A，|z1|+|z2|=a2+b2+c2+d2，

z1+z2=a+c+b+di，|z1+z2|=a+c2+c+d2，

所以|z1|+|z2|=|z1+z2|不一定成立，故A错误；

对于B、z1+z2=a+c−(b+d)i，z1+z2=a+c−(b+d)i，

所以z1+z2=z1+z2，故B正确；

对于C、取z1=1+i，z2=2i，则|z1|=|z2|=2，

但z12=(1+i)2=2i，z22=(2i)2=−2，不满足z12=z22，故选项C错误；

对于D，z12=a+bi2=a2−b2+2abi<0，

则a2−b2<0ab=0，得a=0，b≠0，故z1为纯虚数，故D正确．

10.11.BD

解：由图象得A=2，π3−π12=T4，解得T=π，

所以fx的最小正周期为π，故A错误；T=2πω=π即π6+φ=π2+2kπ，k∈Z因为φ<π2，所以φ=π3，所以fx=2sin2x+π当x∈−2π3,−π6时，所以fx在−2π3该图象向右平移π6个单位可得y=2sin212.34

解：由题意,随机变量X~B(4,14),则D(X)=np(1-p)=4×14×13.C

解：∵f(x)=2x+12x−a是奇函数，∴f(−x)=−f(x)，

即2−x+12−x−a=2x+1a−2x，整理可得，1+214.D

【解答】解：∵3a+4b>0，ab>0，∴a>0，b>0，

∵log4(3a+4b)=log2ab，∴log4(3a+4b)=log4(ab)，

∴3a+4b=ab，所以3b+4a=1，∴a+b=a+b×1=a+b(3b+4a)

=7+3ab+4ba≥7+23ab×4ba=7+43，

当且仅当3ab=4ba，即16.(I)证明：因为ABCD和CDEF都是直角梯形，AB/​/DC，DC//EF，∠BAD=∠CDE=60∘，所以CD⊥CB，CD⊥CF，二面角F−DC−B的平面角为∠FCB=60∘

因为CB∩CF=C，所以CD⊥平面CBF，因为CD⊥平面CBF，则CD⊥FN，

又CF=3(CD−EF)=23，CB=3(AB−CD)=23，∠FCB=60∘，

则ΔCBF是等边三角形，因为N为BC中点，所以FN⊥CB，

又因为FN⊥CD，CB∩CD=C，所以FN⊥平面ABCD，

故FN⊥AD．

(II)解：由于FN⊥平面ABCD，建系如图，

所以B(0,3,0)，A(5,3,0)，F(0,0,3)，E(1,0,3)，D(3,−3,0)，则M(3,32,32)，

BM=(3,−32,32)，DA=(2,23,0)，DE=(−2,3,3)，

设平面ADE的法向量n=(x,y,z)，

则DA·n=0DE·n=0，即2x+23y=0−2x+3y+3z=0，令x=X0123P51051E(X)=0×542+1×1021+2×514+3×121=43；

(2)设原来数据的样本中心点为(x,y)，去掉第5天的数据后样本中心点为(x′,y′)18.解：因为f(x)=e2x+(a−2)ex−ax，

所以f′(x)=2e2x+(a−2)ex−a=(2ex+a)(ex−1)，

(1)当x(−∞,0)0(0,1)1(1,+∞)f′(x)+0−0+f(x)增函数极大值减函数极小值增函数由上表可知，函数有极大值点x=0，此时极大值为f(x)极大值=f(0)=−2e−1，

函数有极小值点x=1，此时极小值为f(x)极小值=f(1)=−e2；

(2) ①当a≥0时，2ex+a>0，由f′(x)>0，得x>0，函数f(x)在[0,+∞)上为增函数，即当a≥0时，f(x)≥a−1在[0,+∞)恒成立，

所以f(x)≥f(0)=a−1成立，

当a<0时，由f′(x)=0，解得x1=ln(−a2)或x2=0;

 ②当x1<x2，即−2<a<0时，

由f′(x)>0，得x<ln(−a2)或x>0，

由f′(x)<0，得ln(−a2)<x<0，函数f(x)在[0,+∞)上为增函数，符合题意;