海南省2024-2025学年高一上学期学业水平诊断（一）（1月）数学试题【含答案解析】

海南省2024-2025学年高一年级学业水平诊断（一）数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】由特称命题的否定是“存在”改“任意”，并否定原结论，即可得答案.【详解】由特称命题的否定为全称命题，故原命题的否定为：，.故选：B.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分析可知集合为偶数集，结合交集运算求解即可.【详解】因为集合为偶数集，且，所以.故选：D.3.幂函数是（）A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.减函数【答案】C【解析】【分析】根据函数为幂函数得，进而判断幂函数奇偶性和单调性，即可得答案.【详解】由题设，则为非奇非偶函数，且在上单调递增.故选：C4.已知函数与的部分图象如图所示，则（）A. B. C.6 D.3【答案】D【解析】【分析】由图象可知：，结合周期公式运算求解即可.【详解】设函数的最小正周期分别为，由图象可知：，且，则，整理可得.故选：D.5.若函数没有零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、一次函数性质化为时恒成立求参数范围.【详解】当时，恒成立，要使没有零点，所以，时，恒成立，即恒成立，所以，即实数的取值范围是.故选：A6.已知，且角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的定义及诱导公式计算可得.【详解】因为角的终边经过点，所以，又，所以.故选：C7.已知正实数，满足，，，则的最大值是（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】由题设可得，进而可得，根据对数及二次函数性质求最值.【详解】由题设，可得，所以，当，时，的最大值是2.故选：B8.已知函数在区间上的值域为，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三角函数解析式求出函数的单调区间，分类讨论取不同值时，三角函数在上的值域，即表示出的值，通过排除或者求得到与有关等式，在由同角三角函数的关系求出.【详解】令，则，∴函数在区间上单调递增；区间，上单调递减.，①当时，则，此时，，不合题意.②当时，即，则函数在区间，上单调递增；区间，上单调递减，此时，∵，∴，即，∴，又∵，即，∴，③当时，即时，，，则此时，不合题意.∴故选：A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则下列选项中是的充分条件的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】对于A：根据不等式性质分析判断即可；对于B：举反例说明即可；对于C：根据对数函数单调性分析判断；对于D：根据指数函数单调性分析判断.【详解】对于选项A：若，则，所以，故A正确；对于选项B：例如，满足，但不成立，故B错误；对于选项C：若，且在定义域内单调递减，所以，故C正确；对于选项D：若，且在定义域内单调递增，所以，故D正确；故选：ACD.10.已知，，则下列各式的值一定为正数的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由题意可得.对于ABC：结合诱导公式分析判断；对于D：举反例说明即可.【详解】因为，，可得.对于选项A：，故A正确；对于选项B：，故B错误；对于选项C：，故C正确；对于选项D：例如，则，符合题意，但，故D错误；故选：AC.11.质数是指只有1和它自身两个因数的正整数，互质是指两个正整数的公约数只有1.对于任意的正整数，将小于且与互质的正整数的个数记为，则（）A. B.当为质数时，为增函数C.当为奇数时，为增函数 D.【答案】ABD【解析】【分析】根据题设定义，应用列举法判断A、C；由当为质数时，判断B；根据中的数从小到大，每三个连续数为一组，共有组，每组有2个数与互质，得，即可判断D.【详解】A：由题意，与4互质的正整数有1、3，与6互质的正整数有1、5，故，对；B：当为质数时，为增函数，对；C：由，，，，，显然不为增函数，错；D：由中的数从小到大，每三个连续数为一组，共有组，每组有2个数与互质，所以，则，对.故选：ABD【点睛】关键点点睛：D项，根据互质及的定义，确定中的数从小到大，每三个连续数为一组，共有组，每组有2个数与互质为关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的定义域为_____________.【答案】【解析】【分析】根据对数函数可得，再结合根式以及分析的意义分析求解.【详解】令，可得，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.13.2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射成功，执行此次飞行任务的航天员有蔡旭哲、宋令东、王浩泽.所有航天员都需要在载人离心机中进行超重耐力与适应性训练.如图所示，离心机的座舱绕离心机的中心在水平面内做匀速圆周运动，若圆周运动的半径为8m，速度为每秒圈，则座舱运动m需要的时间为_____________s.【答案】3【解析】【分析】根据已知及弧长公式求出座舱每秒运动路程，进而求座舱运动m需要的时间.【详解】由题设，每秒座舱旋转，故座舱每秒运动m，所以座舱运动m需要的时间为秒.故答案为：314.已知函数的图像关于直线对称，则_____________.【答案】2【解析】【分析】求出函数定义域，由函数图像关于直线对称得到定义域也关于直线对称，求得的值，由对称轴得到，代入函数解析式，整理求得，即可得出结果.【详解】∵函数的定义域为，即，解得或，即函数的定义域.∵函数图像关于直线对称，∴，∵则，即，即，∴，∴.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设，关于的不等式的解集为.（1）求；（2）设集合，其中，若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解二次不等式，由取值范围得到两根的大小关系，然后得到不等式解集；（2）由先求，再利用，建立不等式，即可求实数的取值范围．【小问1详解】不等式，即.因为，所以，所以由，可得，即.【小问2详解】因为，所以，所以，由（1）得，要使，则需，整理得，解得，又，所以的取值范围为.16.已知函数.（1）根据函数单调性的定义证明在上单调递增；（2）求不等式的解集.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据单调性的定义结合指数函数单调性分析证明即可；（2）方法一：分类讨论，根据函数奇偶性和单调性解不等式；方法二：换元设，代入解得或，再结合指数函数性质解不等式即可【小问1详解】设，则，因为，则，，可得，则，即，所以在上单调递增.【小问2详解】方法一：由，得，①当时，由（1）知在上单调递增，又因为，故由可得；②当时，因为，可知是偶函数，由对称性可知也符合题意；③当时，，不合题意；综上上述：原不等式的解集为方法二：设，由，得，整理可得，即，解得或，由，可得；由，可得；所以原不等式的解集为.17.已知函数.（1）化简；（2）若，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）应用同角三角函数关系化简；（2）应用诱导公式化简结合同角三角函数关系求值.【小问1详解】；【小问2详解】当时，，所以，所以于是，，所以.18.已知函数的图象关于点中心对称.（1）求的值；（2）分析在区间上的单调性；（3）设函数，若与的图象相交于，两点，为坐标原点，求的面积.【答案】（1）（2）在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减（3）【解析】【分析】（1）根据对称性可得，结合余弦函数性质运算求解即可；（2）由（1）可知，以为整体，结合余弦函数的单调性分析求解；（3）由（2）可知，，令，解方程可得，，即可得面积.【小问1详解】因为的图象关于点中心对称，则，即，可得，解得，且，所以.【小问2详解】由（1）可知，当时，则，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减.令，可得，令，可得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减.【小问3详解】由（2）可知，，令，可得，即，解得或（舍去），又因为，可得或，因为，，不妨设，，则，两点关于点对称，所以的面积.19.已知函数与，若对任意，总存在，使得成立，则称是区间上的“函数”；若对任意的，总存在，使得成立，则称是在区间上的“函数”.（1）判断是否为区间上“函数”，并说明理由；（2）若是区间上的“函数”，求实数的值；（3）若是在区间上的“函数”，求实数的取值范围.【答案】（1）不是，理由见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由函数的新定义验证取特殊值即可验证函数不是区间上的“函数”；（2）由函数新定理，得到的关系，通过关系求出的范围，由区间满足包含关系建立等式，求得的值；（3）由函数新定义得到，通过的范围得出在区间的值域包含，然后通过对分类讨论，求出二次函数的值域，建立不等式，分别求得的取值范围后取并集.【小问1详解】当时，，此时不存在，使得，故不是区间上的“函数”.【小问2详解】由题可知，对任意的，总存在，使得成立，即成立，则的取值范围包含的取值范围当时，，所以，所以解得.【小问3详解】由题可知，对任意的，总存在，使得成立，即成立.因为，所以，所以在区