北师大版九年级数学上册 332 圆的综合题-圆与相似（专项练习）

专题3.32圆的综合题一圆与相似(专项练习)

♦中考动态

纵观近几年各省市中考题中，圆的综合题是必考题型，主要体现在圆与全等三角形、相

似三角形、三角函数的综合，有的设置两个小问，有的设置三个小问，类型比较多，难度比较大。

♦知识点

国的综合题涉及到的知识点比较多，主要有圆的基本性质、圆心角定理、圆周角定理及

其推论、垂径定理及其推论、圆内接三角形的性质、圆内接四边形的性质、三角形内切圆及

三角形内心的概念、全等三角形的判定定理及性质定理、相似三角形的判定定理及性质定理、

勾股定理及其逆定理、切线的判定定理及性质定理。

♦解题策略及方法

虽然圆的综合题难度比较大，但是，只要我们熟记圆的各个性质和判定定理，还有辅助线

的各种作法，这类题是可以突破的圆作为一个载体,常与三角形、四边形结合，考查切线的性质

及判定、相似三角形的性质及判定、解直角三角形、求线段长或图形面积等.解题需要先分

析题干中的条件，然后从图形中挖掘出隐含条件

常用方法:①利用垂径定理，通过在由半弦、半径、弦心距组成的直角三角形，运用勾股定

理或锐角三角函数进行计算：

②利用圆周角相等转移角的等量关系；

③利用直径构造直角三角形；

④发现并构造相似，利用全等和相似、锐角三角函数、勾股定理进行证明和计算；

⑤在计算面积时，可以利用面积的和差进行。

1.如图，已知，在中，。为A8上一点，CO平分NAC8,以O为圆心，08长为半

径作。0,。。与8C相切于点8,交CO于点。，延长C。交00于点E,连接8。，BE.

(1)求证：AC是。0的切线.

(2)若tanN8DE=2,BC=6,求。。的半径.

2.如图，8C为。的直径，AC与相切，以AO、。4为边的平行四边形交O

于点D,连AO.

(I)求证：AO是。的切线；

(2)连A8,若AE=3,4)=4,求lan/DAB的值.

3.已知：如图，四边形ABCO内接于圆，延长A。、8c相交于点E,点产是8。的延长线

上的点，且。£平分NCQP.

(1)求证：AB=AC；

(2)若AC=5cm,AD=3cm,求DE的长.

4.已知A8是圆。直径，点C为圆上一点，OD-8c于。，过。作切线，交。。延长线于E.

(1)求证：函为圆。切线；

(2)连接4力并延长交8E于尸，若。为弧AB中点，03=10,求BF.

5.如图，在△"(?中，ZACB=90°,AC=BC,。是"边上一点，作△4CO的外接圆。O,

。七是。。的直径，且C石与/W交于点G,DF〃EC交AC干点、F.

(1)求证：。尸为。。的切线：

AF)7

(2)若%=:，AC=5.求。。的半径长.

6.如图，。。是△A4C的外接圆，"7是。。的切线，切点为F,FH//BC,连结A/交4C

于E,NABC的平分线8。交A/于。，连结8F.

(1)求证：A尸平分NB4C；

(2)若EF=4,DE=3,求A。的长.

7.如图，在，48C中，AB=AC,。是.AAC的外接圆，过点A作。的直径4。，交BC

于点〃，点尸是A”上的一个动点，连结BF并延长交AC于点G,交O。于点E,连结CE,

CF,已知4)=5,BC=4.

(1)AH=,AC=；(直接写出结果)

(2)求证：AC平分/次户：

(3)当b_L6石时，求CE的长；

(4)是否存在点尸使△<7即是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的A厂的长；若不

存在，说明理由.

A

8.如图所示，A8是（O的直径，CB,CE分别切。。于点6、点D,CE与8A的延长线交

于点E,连接。C,OD.已知=AE=bfBC=c,请选用以上适当的数据，设计出

计算。的半径，•的一种方案.

（1）你选用的已知数据是.

（2）写出求解过程（结果用字母表示）.

9.如图所示，已知直线/与〈）0相离，/于点A,交。于点P,点8是。。上一点,

连接4户并延长，交直线】于点C,使得AB=4C.

（1）求证：A4是二。的切线；

（2）若PC=2右，。4=5,求。的半径和线段08的长.

10.如图，在AA8C中，ZC=90°,AO平分㈤C交8C于点。，0是A3边上一点，以点

。为圆心，长为半径的圆经过点。，作DE_LA8于点E,延长DE交。。于点尸，连接尸O

并延长交。于点G.

（1）求证：BC是00的切线；

(2)求证：OA2=()BOEi

(3)若A£=9,CO=3,求AACQ与ACOE的面积之比.

11.如图，A8为。。的直径，点C是。。上一点，且力。平分ND48,CDLAD于点D,

连接BC.

(1)求证：CO与。0相切；

(2)若AO=x,AC=K+2,4B=X+5,求C7)的长.

12.如图，点C在以AB为直径的。。上，8。平分NABC交OO于点。，过。作8c的垂

线，垂足为£

(1)求证：。七与。。相切；

(2)请用线段人夙BE表示CE的长，并说明理由；

(3)若AB=5,BE=4,求BD的长.

13.如图，AB是。的直径，C、。是，，。上两点，且8。=。。，过点。的直线。E_AC

交AC的延长线于点E,交48的延长线于点尸，连结4。、。£交于点G.

(I)求证：DE是。的切线；

(2)若会=［，一0的半径为2,求阴影部分的面积;

AG3

(3)连结BE,在(2)的条件下，求BE的长.

14.如图，以△A8C的边AC为直径的。。与BC相切于点C,。。与AB相交于点。，E

是的中点.

(1)求证：。E是00的切线；

(2)若。。的直径为5,缶=；,求OE的长.

15.如图，ABC内接于半圆，48是直径，过A作半圆切线MN.

(1)求证：ZMAC=ZABC；

(2)设。是弧AC的中点，连接8。交AC于G,过。作于E,交AC于尸.求证:

AC=2DE；

(3)在(2)的条件下，二DFG的面积为4.5,且QG=3,8=4,求一8CG的面积.

16.如图：已知0M经过。点，并且OM与x轴，y轴分别交于A,B两点，线段040B

(OA>OB)的长是方程尸-17x+60=0的两根.

(1)求线段。4,08的长；

(2)已知点C是劣弧。力的中点，连结8C交OA于D

①求证：OC2=CDCB-,

②求点C的坐标；

17.如图，的直径A3=13cm,。为「0上的一点，已知CO_LA8,垂足为。，并且

CD=6cnvAD<DB,求A。的长.

18.如图，A,B,C,。是。0上的四个点，AB=AC,AD交BC于点、E,AE=ZED=4,

求A8的长.

A

19.如图，在△ABC中，AI3=AC,是△ABC的外接圆，点。在。。上，连接4。，过

点8作BEZM/X交。。于点日延长DC、BE交于点F.求证：

(1)DB=DF；

(2)四边形4EFD是平行四边形.

20.如图，CO与A48C的8C边相切于点“，与AC、AB边分别交于点。、E,DE//0C,

EB是。的直径.

(1)求证：AC是O的切线：

(2)若。0的半径是AD=2,求CO的长.

21.如图，A8是©0的直径，弦C/)_LA8于点E,点厂是。上一点，且8C=C尸.连接

FA,FD,FD交AB于点、N.

(1)若BE=1,8=6,求00的半径;

(2)求证：AF=AN：

(3)连接尸C并延长，交的延长线于点?，过点D作。的切线，交AB的延长线于点

M.求证：ONOP=OEOM.

22.如图所示，以点WO)为圆心的圆与V轴，x轴分别交于点A、B、C、。直线

工尸：)，=-3x+述与相切于点H，分别交)'轴，x轴于点L、P.

-33

(1)如图1,求M半径；

FF4

(2)如图2,连接弦硝交x轴于点尸，若行=§,求cos/£7/£)的值；

(3)如图3,在射线。。上取一点G,连接4G交CM于7,连接8T交x轴于K,若KG=3,

求点了坐标.

23.如图，已知在四边形A8CO中，ZA=ZB=9O°,以C。为直径的《。交A8于点E,F

(点E在点/上方)，连结EC,ED,FD,FD与EC交干点G.

(1)求证：AADF^AEDC；

(2)若AO=1,AB=4,BC=3.

①求。歹的长；

②求EG:CG.

AD

B

24.在.ABC中，ZACB=90°,以8C为直径的.0交AA于点/).

(I)如图①,以点3为圆心，3C为半径作圆弧交A8于点M,连结CM,若NABC=66。,

求NACM；

(2)如图②,过点。作的切线。石交AC于点七，求证：AE=EC；

3

(3)如图③,在⑴(2)的条件下，若tanAj求S/'ACW的值.

②③

25.己知四边形48CD内接于O,AB=AD.

(1)如图1,求证：点A到NC两边的距离相等;

(2)如图2,已知80与AC相交于点E,8D为。。的直径.

①求证：tanZC4DDE

~BE

②若NCBD=30°,AD=3B求4E的长.

图1图2

26.如图1,在直角坐标系MX中，直线/与工、丁轴分别交于点440）、B喈）两点，ZBAO

的角平分线交）'釉于点。.点C为直线/上一点，以AC为直径的QG经过点。，且与工轴

交于另一点

（|）求证：y轴是G的切线；

（2）请求G的半径，并直接写出点。的坐标；

（3）如图2,若点尸为G上的一点，连接A尸，且满足/和=45。，请求出石尸的长？

27.如图，矩形ABCD是。。的内接矩形，。。半径为5,4B=8,点E、尸分别是弦CD、

8c上的动点，连结ERNE4F始终保持等于45。.

（1）求AO的长度.

1Q

（2）已知OE=一,求8尸的长度.

5

（3）试探究^A方的面积是否存在最小值，若存在，请求出它的最小值；若不存在，请说

明理由.

备用回

28.如图，A48C内接于GO,ZCBG=ZA,CD为直径,OC与A8相交于点E,过点E作

EhBC,垂足为尸，延长C。交G8的延长线于点〃，连接80.

（1）求证：PG与。0相切:

FF5RF

⑵若前费,求历的值;

（3）在（2）的条件下，若：。的半径为4,PD=0D,求EC的长.

D

29.在平面直角坐标系xQv中，作OO分别交x轴》轴于点A、B,点C在第三象限且在圆

上，。是弦44的中点，。。的长为逑.

2

（1）如图1所示，求半径的长度；

（2）如图1所示，若圆心。到弦8c的距离。/26,求C点的坐标;

（3）如图2所示，C点坐标同第（2）问，〃是x轴下方的一个动点，使得N8PC：ZBOC=1：

2,四功形OBPC的面积是否存在最大俏？若存在请算出面积，并直接写出。点坐标：若不

存在，请说明理由.

30.如图，已知4B是。。的弦，OB=1,C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），

连接CO并延长CO交。。于点。，连接AD.设N8=a,N4OC=从

（1）求/8。。的度数（用含“，4的代数式表示）；

（2）若a=30。，当AC的长度为多少时，以点A、C、。为顶点的三角形与8、C、。为顶

点的三角形相似？请写出解答过程.

（3）若a=0,连接A。，记△A。。、△AOC、△C08的面积分别为Si,S,S3,如果8是

S和S3的比例中项，求OC的长.

D

备用图备用图

31.定义：若抛物线乙：了入储+法+^的图象恒过定点则称Mx。，％)为抛物线L

的“不动点”.已知：若抛物线=-2or+x+l(a<0).

(1)求抛物线L的不动点坐标；

(2)如图1,已知平面史角坐标系中A(TO)、4(1,0)、0(3,0),以点3为圆心，OB为半

径作。8,点P为。B上一点,将点。绕点P逆时针旋转90。得到点C,当点夕在。3上运

动时，求线段AC长度的最大值；

(3)在(2)的条件下，若抛物线乙的对称轴是直线4=2;

①求抛物线L的解析式；

②如图2,若直线PC交施物线L于点七(内,弘)、尸(工2，必)，交y轴于点Q,平面内一点〃

坐标为〃(4&,及)，记d=lx-Wl，当点尸在。8上运动时，求(绰尸的取值范围.

32.如图I,A6c内接丁0。，弦A石交6。丁点。，连接SO,且乙409=ND4c.

(1)求证：AE1BC；

(2)如图2,点歹在弧AC上，连接Cf\BF,BF交AE于点M,若ZACF=NOBC,求

证：MD=ED；

(3)如图3,在(2)的条件下，ZBFC=3ZEAC,若BM=J记，AM=3时，求弦。尸的

长.

A

M

图1图2图3

参考答案

1.(1)见解析；(2)4.5

【分析】

(1)作O~J_AC于尸，利用角平分线的性质证明0尸=。8即可证明AC是。。的切线.

(2)利用圆周角定理证明△CBES/XCOB,根据相似三角形的性质即可求解.

(1)证明：作。/_LAC于尸，

•・・。0与8c相切于点B,・・・OBJLBC,

〈CO平分NACB,

：・OF=OB,

又06是半径，O"_LAC于忆

•••AC是。。的切线.

(2)解：:DE是直径,

・•・NDBE=90°,

BF

乂ian/BDE=2,/.—=2,

DB

由(1),知・.・OE=OB,OBLBC,

•••NOBG90。，

・•・/DBC=/OBE,

：・/E=/OBE,

:・NE二NDBC,

又ZC=ZC,

:.ACBEs^CDB,

,BEBCCEc

••--=---=---=2,

DBCDCB

•:BC=6,

.6CE

..---=---=2,

CD6

CD=3,CE=\2

六。上=9,

V00=4.5,即。。的半径是45

【点拨】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正切函数，注意掌握辅

助线的作法，注意数形结合思想的应用.

2.(1)见解析；⑵三

co

【分析】

(1)如图1,连接00,可证八4。*八4。0(545),得到NADO=NACO=90。即可；

(2)如图2,连接。。交A8于点”，连接C。交A0于点M，通过平行四边形和勾股定理

求HlA0的长，再根据条件和垂径定理证明点M为CD的中点，推出OM为△8CO的中位

线，再利用等面积法求出CM,再根据勾股定理求出OM,得到8D,最后根据△8/〃)sAA"O,

可求出OH,即可得到tanND48=22的值.

AD

解：(1)证明：如图1,连00,

.BC为。的直径，AC与：0相切，

.•ZCO=90。，

•・四边形AOAE为平行四边形，

..AO//BE,

NAOD=2BD0,ZAOC=/DBO,

<OB=OD,

/.NBDO=ZDBO、

"BO=NAOQ,

/.ZAOD=ZAOC,

在△ACO和△ADO中，

OC=OD

<ZAOC=^AOD,

OA=AO

AACO^AAOO(%S),

ZADO=ZACO=^°,

AZ)是00的切线;

(2)如图2,连接。。交A8于点儿连接CO交人。于点M,

图2

VAE=3,AD=4,

「•在平行四边形AO8E中，O8=4E=3,

：.OD=OB=3,

2

.••在中，AO=xlA^+OD=5,

VAOI/BE,

.•.NOMC=N8QC=90。，

:.CD1AO,

.••点M为C。的中点，

为△BCD的中位线，

•.S4OC=-^C.OC=-•AO.CM,

22、

,AC=4O=4,OC=O8=3,

/.CM=—,

5

i-----------------------------o

：.OM=yJOC2-CM2=|,

1Q

・・.BD=20M=—,

5

AO//EB,

/.△BH13/XAH0，

J8

JDH_BD_工18,

OHAO525

1Q1Q

ADH=—xOH=-(3-DH},

2525v7

"去

54

''tan/DAB==43=3Z-

AD486

【点拨】本题主要考查圆的性质综合，涉及勾股定理，全等三角形，相似三角形，锐角三角

函数，比较综合,也有一定难度，熟练掌握圆的性质是解题的关键.

3.(1)见解析:(2)-ycm

【分析】

(1)由圆内接四i力形的性质，可求得NA8C=N2：由于N1=N2=N3=N4,故NABC=

Z4,由此得证.

(2)证通过相似三角形的对应边成比例，即可求出月£及。七的值.

VZABC=Z2,Z2=Z1=Z3,Z4=Z3,

?.NA8C=N4,

：,AB=AC；

(2)解：VZ3=Z4=ZABC,ZDAB=ZBAE,

:.XABOSRNEB、

.AHAD

'~AE~~AB

AB=AC=5cm,AD=3cnif

AD3

DE=5-3=?(cm).

33

【点拨】本题综合考查了角平分线，相似三角形，圆内接四边形的性质，是中学阶段的常规

题目.

2()

4.(1)见详解；(2)y

【分析】

(1)连接OC,先证明△COEgZXBOE,可得NO8E=NOCE=90。，即可求证；

(2)过点。作DH上AB于点H,根据A8是圆。直径，08=10,可得NAC3=90。,48=206=20,

又由C为弧A8中点，可得到AABC是等腰直角三角形，进而△。08是等腰直角三角形，

从而DH=OH=g()B=5,再证明△AO〃〜△4/,'从利用相似三角形的性质，即可求解.

(1)证明：如图1，连接OC,

YCE是圆O切线，

JZOCE=90°,

*：OC=OB,OD入BC,

：.NCOE=NBOE,

'：OE=OE,

:.△COE"ABOE,

；・NOBE=/OCE=9D。,

/.%:为圆。切线；

(2)如图，过点。作。H_LA3于点儿

图2

TAB是圆0直径，04=10,

AZ4CB=90°,AB=2OB=20,

•・・C为弧A3中点，

：.AC=BC,

•••△ABC是等腰直角三角形，

:.NA8C=45。,

BC,

:•丛DOB是等腰直角三角形，

*：DH±AB,

：.DH=OH=^08=5,

：.AH=AO+OH=\5,

9JBEA.AB,

:.DH//BF,

：./\ADH-LAFB,

.AHDllHn155

ABBF20BF

解得：BF=2q0.

J

【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、圆周角定理、等腰直角

三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握切线的判

定与性质，证明aCOE且△80S,△A。"〜△AF5是解题的关键.

5.（1）见解析：（2）。。的半径长为叵.

2

【分析】

（1）由乙48=90。,人0班:得N8=NA=45。，再由圆周角定理得NOOC=90。，再由DF〃EC,

即可证。尸为。。的切线；

（2）先证明NC。辰NA=45。，由NC。产=NA和NACD=N。。尸可证△ACOs/\/）c凡从而

有%二笑，再由倏=3、DF//EC、4>5得CF=3、AO5,由此求出CQ,再用勾股定

CFCDDCJ3

理求出OC即可.

（I）证明：连接OD,

A

V

VZACB=9(rtAC=BC,

，NB=/A=45。,

，NOOC=2NB=90°,

：.OD1CE,

•：DF//ECf

：・0D1DF,

・・・。尸为。。的切线；

(2)解：由(1)知，NDOC=90。，OD=OC,

：.NOCO=45。，

'JDF//EC,

・•・ZCDF=ZDCO=45°,

：.ZCDF-ZA,

*/ZACD=ZDCF,

:.△ACDsXDCF,

噌*即C5

・•・*3/口

AAF：CF=2：3,

VAC=5,

:.CF=3,AC=5,

**•CD=y/\5，

•:CG+OIy=C1》,

.・.0C=—,

2

・・・。。的半径长为叵.

2

【点拨】本题考查了相似三角形的性质和判定、切线的判定和性质，平行线的性质，圆周角

定理，勾股定理，解决本题的关键是证明△求出CD

71

6.(1)证明见详解；⑵

4

【分析】

(1)连结OF,由FH是。。的切线，可得OFA.FH,由FH/7BC,可得垂直平分BC,

根据垂径定理可得^/二尸。，根据圆周角性质可得N1=N2即可；

(2)根据NAAC的平分线可得N4=N3,可证N/T>8=NFB。，可得BF=FD,再证

BFAF49

△BFEsAAFB，根据性质可得=,再求BF=DF=7,可求/<4=一,即可求AD

FEBF4

(I)证明:连结。尸,

是00的切线，

：.OF1FH,

•:FH〃BC,

・・・0尸垂直平分,

•*-BF=FC，

AZ1=Z2,

厂平分N84C,

H

(2)解•••/48c的平分线8。交Ab于。,

:.Z4=Z3,

Z1=Z2,

/.Z1+Z4=Z2+Z3,

VZ5=Z2,

，N1+N4=N5+N3,

：.4FDB=4FBD,

：.BF=FD,

A

VZ5=Z2=Z1,NAFB=NEFB,

:.△BFESRAFB,

.BF_AF

，'~FE~~BF，

BF2=FEFA，

•乙BF?

FE

\'BF=DF=EF+DE=7,

2

・E-A749

44

4921

：,AD=AF-DF=——7=—.

44

【点拨】本题考查圆的切线性质，平行线性质，垂径定理，圆周角性质，等腰三角形判定,

三角形相似判定与性质，线段的和差，掌握圆的切线性质，平行线性质，垂径定理，圆周角

性质，等腰三角形判定，三角形相似判定与性质，线段的和差是解题关键.

7.(1)4,26；(2)见解析；(3)|>/2；(4)存在，2.5或3或5—6

【分析】

(1)连接0C，由AO=5,8C=4可求出0。和”。的长度，然后利用勾股定理即可求出

。”的长度，再加上A0的长度即4”的长，然后在△A/7C中利用勾股定理即可求出力C的

长度.

(2)根据圆周角的性质得到乙4A/=4CE,然后根据等腰三角形的性质可得

ZABF=ZACF,即可证明AC平分N£b；

(3)连接上O,并延长交圆于点G,连接CG,可证△是等腰直角二角形，然后可求出

CE的长；

(4)根据等腰三角形的概念分=CE=C尸，CE=M三种情况讨论，分别求解即可.

(I)解：如图所示，连接0C,

A

VAI3=AC,人。是：。的直径，

：.ADA.BC,

又,.,AD=5,8c=4,

OC=-AD=-,CH=-BC=2

222t

・••在△0Q。中，OH=JOC2-HC?=聆)-22=,'

53

AH=AO+OH——i—=4；

22

在△ADC中，AC=ylAH?+HC?="2+22=2«.

故答案为：4,26；.

(2)证明：AD是AABC的外接圆O的直径，AB=AC,

：.ADVBC

AO是8C的中垂线，

:,BF=CF,

/FBC=NFCB.

AB=AC，

:.ZABC=ZACB^

:.ZABF=ZACF.

-ZABF=ZACE.

ZACF=ZACE,

"C平分NEC尸.

(3)解：如图，连接E。，并延长交圆于点G,连接CG,

vCFlfiE,BF=CF,

是等腰直角三角形，

/.ZCBE=45°,

ZCGE=ZCBE=45°,ZECG=90°,

・••二CEG是等腰直角三角形，

:.CE=-GE=-yf2.

22

(4)解：当所=CF时，如图：

:.CF=EF=BF,

.•.△8CE是直角三角形,

••点0与点尸重合,

AF=2.5；

当CE=CF时,如图：

•.•AC平，｝N&b,CE=CF=BF,

ZFEC=/EFC=2ZFBH.

•・•ZFEC=ABAC=2ZCAH.

:./FBH=NCAH.

又•・/BHF=NCHA=90。,

:.FH:CH=BH:AH,

，FH:2=2:4,

\FH=1,

AF=AH-FH=3；

当CE=E/时，，过点/作尸P_LA4于点P,如图:

:4EFC=/ECF、/EFC=2/EBC,ZECF=2ZACE=2ZABE.

:.ZEBC=ZABE,

..BE平分Z4BC,

:.FP=FH.

.ZAPF=^AHB=90°,4PAF=NHAB,

：.AF:FP=AB:BH,

:.AF:FH=AB:BH,

:.AF:(4-AF)=2y/5:2,

:.AF=5-yf5.

综上所述，存在，A尸的长是2.5或3或5-6.

【点拨】此题考查了圆周角，圆心角等圆的综合性质，等腰三角形的性质，勾股定理等内容，

解题的关键是根据题意分析出边角之间的关系.

8.(1)«,b；(2)其他情况见解析：

2b

【分析】

方案一：选用的己知数据是a,b,根据题意，&EDO是直角三角形,所以在阳△功。中，

利用勾股定理得到：EO2=DE2+OD2,就可以求出半径的长度；

方案二：选用的已知数据是a,b,c,利用得到黑=铛，由此可得到半

BCEB

径的长度；

方案三：选用的已知数是mb,c,在@一E8C种，利月勾股定理得到：E0=EB?+BC?,

就可以求出半径的长度；

方案四：选用的已知数是。，b,c,根据角的关系，得到NCO8=ND4O,所以AO//OC,

n/7PA

由此推出票=与，即可求出半径的长度.

CDAO

解：方案一(I)选用的已知数据是a,b.

(2)求解过程:

•「CE分别切。于点O,

：,OD1EC.

在用△E。。中，DE=a,OD=r,七。=力+〃，且石。2=。£：2+0。2,

即(b+r)2=a2+r,

解得「=上立(舍负值).

2b

方案二(1)选用的已知数据是mb,c.

(2)求解过程:

•・・CB,CE分别切。于点B、点。，

：.OD工EC,OB1BC,

工/EDO=NEBC.

又：NDEO=/BEC,

，DEO-BEC,

.ODED

••,

BCEB

ra

即Hn一=；一丁，

cb+2r

解得y"+”2吆（舍负值）.

4

说明：在阳。匹。和肋/XBEC中，分别表示tanE,也可得到上述方程（或等价形式）.

方案三（1）选用的已知数是a,b,c.

（2）求解过程：

VCB,CE分别切O于点B、点D,

:.CB=CD=c,OBLBC.

在Rf.EBC中,EC=ED+CD=a+c,EB=EA+AB=h+2r,BC=C,REC2=ER2+RC2.

即（a+of=（A+2r）2+c2,

解得r="」+27（含负值）.

2

方案四（1）选用的已知数是。，从c.

（2）求解过程：

如图，连接4。.

1«CB,CE分别切。。丁点6、点D,

:.CB=CD=c,OBLBC,ZDCO=ZBCO.

，4coB=NCOD=90°-/BCO,ZDOA=180°-NDOB=180°-2ZCOB=2ZBCO.

'：OD=OA,

ZDAO=90°--ZDOA=90°-NBCO.

2

4COB=4DAO,

:,ADIIOC,

.DEEAb

CDAOcr

._bc

••一=--.

a

9.(1)见解析：(2)3；述

5

【分析】

(1)连接。从根据等腰三角形性质得出NABON月C&NOBP=NOPB,求出

NABC+Z04P=90°，根据切线的判定推出即可；

(2)方法1：延长A0交。。于。连接设。。半径为八则AP=5-r,0B=r,根据勾

股定理得出方程5?-r=(2石)2-(5-力，求出,•即可.求出A8=AC=4,再证明

rpAD

LDPBSQA,得出方一二7代入求出8尸即可：

方法2：同理求出厂=3,A3=4,根据三角形面积公式求出再由勾股定理求出0。得

到。P,即可求出8P的长；

方法3：同理求出r=3,AC=4,AP=AO-PO=2,然后证明二尸。二PCI,求出PO,

再利用垂径定理求出PB的长：

方法4：,同理求出r=3：AC=4,AP=AO-PO=2,PC=2^，利用面积法求出

A尸=丝14£=逑，即可利用勾股定理求出PF=产-A尸=、逐,

PC55

CF=ylAC2-AF2=1>/5,再由三线合一定理求出03即可.

解：(1)证明：如图所示，连接08.

•.A8=AC,

ZACP=ZABC.

•,OP=OB,

")BP=“)PB.

-OALAC,

：.ZOAC=90°»

：.ZAPC+ZACP=W.

ZAPC=/OPB=/OBP,

NOBP+NABC=90"，即

丁点8为半径。8的外端点，

••/8是（。的切线.

（2）方法1如图所示，延长交于点。，连接BD,OB.

设OO的半径为八则由0A=5,OP=OB=r得,PA=5-r.

在用二A8O中，AB2=O^-OB2=25-r2,

在RQCAP中，AC2=PC2-PA2=(2后＞-(5-r)2.

由A8=4C,得5?-r=(2百)2—(5—rI，

解得，=3.

/.AB=AC=yj25-31=4-

JP。是直径，

/.ZPBD=9(T'=ZPAC.

Y/DPB=NCPA,

.二DPBsCPA.

，工”,即亚=2,

DPBP6BP

解得=

方法2如图所示，连接08,过点8作80_L04于点D

…、OBAB12

OA5

i----------------o

，OD=yJOB2-BD2=p

DP=OP-OD=-

5

・•・PB=yjDP2+DB2=-y/5.

5

方法3如图所示，连接08,过点。作ODJ.PB1点、D.

**-PC=y/AC2+AP2=25/5，

，NOQP=N%G90o,

又・・・NOPO=NAPC

・•・JPOD^PCA,

.PDOPPD_3

••TT正’即〒一适

:.PD=^,

5

APB=2PD=^（垂径定理）.

J

方法4如图所示,过点A作A/J_8c于点兄

B

同理求出，=3,AC=4,AP=AO-PO=2,

•*-PC=y]AC2+AP2=2>/5，

同理利用面积法可以得到，AFJPTJ逑,

PC5

APF=ylAP2-AF2=-45,CF=>JAC2-AF2=-45,

55

5L*：AC=AB,AFLBC,

・•.BF=FC=-45

5

PB=BF-PF=CF-PF=-4s.

5

10.(1)见解析；⑵见解析；⑶

【分析】

(1)连接。。，根据等腰三角形的性质得到NOD4=NOA。，根据角平分线的定义得到

NOAO=NC4D,根据平行线的性质得到OOJ_8C,于是得到结论；

⑵先证明得到舁=第，OD=OBOE,再根据半径相等即可证明求解:

OEOD

(3)连接OC,CE,i^OA=OD=r,则比=A£-QA=9—广，利用在RtAODE中，利用

。加=。炉+。七2列出方程求出半径，再根据沁=2=会即可求解.

(I)证明：如图，连接。0,

。经过。，

:.OD=OA,

:.ZODA=ZOAD,

A/)平分N8AC,

：.ZOAD=ZCAD,

：.ZODA=ZCAD,

AC//OD,

,4=90。，

ACIBC,

s.ODLBC,

.•.8C是，，。的切线；

(2)讦明：ZODB=90°,DELAB,

NODB=ZOED=90°,

乂/LBOD"DOE,

:.MOD^^DOE,

ODOB

：.——=——,

OEOD

:.OD2=OBOE,

•・OA=OD,

OA2=OBOE；

(3)连接OC,CE,

.•AD平分㈤C,DC±AC,DELAB,CD=3,

DE=CD=3,

1^,OA=OD=r»则QE=AE-CM=9-r,

在RtAODE中，OD2=OE2+DE2,

7.r2=（9-r）2+32,

.1=5,

OA=OD=5»OE=4,

.AC//OD,

S^oc=^&ACD»

.SWD_SAW_QA_5

【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，全等三角形

的判定和性质，止确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

11.（I）见解析；（2）26.

【分析】

（1）如图，连接OC,根据等腰三角形的性质可得NC4O=N4CO,根据角平分线的定义

可得NDAC=NOAC,即可得出ND4C=NACO,根据CQ_LA。可得NDAC+NOCA=9（）。,

即可得/。。0=90。，即可得结论：

（2）根据|员I周知定理可得NACB=90。，可得乙4£）C=NACB=90。，即可证明^DAC^>/^CAB,

根据相似三角形的性质可求出x的值，利用勾股定理即打得答案.

（1）如图，连接OC,

*：OA=OC,

：.ZCAO=ZACO.

••FC平分ND48,

：.ZDAC=ZOAC,

，ND4C=N4CO,

•「COJLA。，

/.ZDAC+ZDCA=90°,

・•・ZACO+ZDCA=90°,艮［ZDCO=90°,

：.OC±CDf

・・・C£>是。。的切线.

D

C

一

(2)YAB为。。的直径，

，NACB=90。,

・•・ZADC=ZACB=90°,

VZDAC=ZBAC,

:.XDACsXCAB,

.ACADHnx+2x

ABACx+5x+2

解得：x=4,

经检验x=4是原方程的根，

/MD=4,AC=x+2=6,

在RsADC+，CD=S]AC2-AD-=<62-4?=2逐.

【点拨】本题考查切线的判定、圆周角定理及相似三角形的判定与性质，经过半径的外端并

且垂直于这条半径的直线是圆的切线；直径所对的圆周角是90。；如果一个三角形的两个角

与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相关判定定理是解题

关键.

12.(1)见解析；(2)CE=AB-BE,理由见解析；(3)2逐

【分析】

(1)连接O。，先证。。〃88,再根据可得0O_LOE,即可得证结论；

(2)过点。作。H_LAB于”,根据“心证BED=Rt^8H。,再根据AA^iEaADH=LCDE,

再利用等量代换即可得出CE=AB-BE；

(3)证△A/3Ds△。/^,根据线段比例关系即可求出的长度.

解：(1)连接。。，

•：OD=OB,

：.ZODB=ZOBD,

•••8。平分NA8C,

:.ZOBD=NCBD,

:・NODB=/CBD,

：,OD〃BE,

,：BEA.DE,

：・0D上DE,

・・・。七与相切；

(2)CE=AB-BE,理由如下：

过。作于，，

YBD平分/ABC,DEA.BE,

:.DH=DE,

在心△BED%Rd8”。中，

DE=DH

BD=BD'

:.RmBED三RmBHD(HL),

'：ZDCE=NA,ZDGA=ZD£C=90°,

:、CDE(A4S),

:.AH=CE,

•:AB=AH+BH,

:・AB=BE+CE,

：.CE=AB-BE；

(2)・・・A8是。。的直径,

Z.NAOB=90。，

*：BELDE,

・••NADB=NBED=90。,

:8。平分NA8C,

JNABD=NDBE,

:.AABDsADBE,

.ABBD

••=9

BDBE

5BD

BD4

:・BD=2亚.

【点拨】本题主要考查了切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等

三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性

质是解题的关键.

13.(1)见解析；(2)2币-?(3)713

【分析】

(I)根据同圆中等弧所对的圆周角相等得到NCA庆NDA8,根据等边对等角得到

NDAB=NODA,则/C4D=NOD4,即可判定OQ〃AE,进而得至lj0/)_1_。石，据此即可得

解；

(2)连接BD,根据相似三角形的性质求出AE=3,AD=2y!3,解直角三角形得到/。八8二30。，

则/£4片60。，ZDOB=60°,DF=20,再根据S4二SA。。六5施nos即可得解；

3&n

(3)过点E作EM_LA8于点M,连接8E,解直角三角形得到,EM=士,则M8:

22

再根据勾股定理求解即可.

解：(1)证明：如图，连接00,

BD=CD，

：.ZCAD=ZDAI3,

•：OA=OD,

：.ZDAB=ZODA,

..ZCAD=ZODA,

：.ODf/AE,

­.DEA.AC,

：.ODA.DE,

•.。。是。的半径，

:.DE是。的切线；

(2)解：OD//AE,

:.AOGD^A£GA,

.DGOD

"'AG='AE'

・・•会=10的半径为2,

AG3

・・一2=--2-,

3AE

:.AE=3,

如图，连接BZ)，

Q/仍是的直径，DEly\E,

：.ZAED=ZADB=9Q0,

•/ZCAD=ZDAB,

，凶EL3MDB,

.AEAD

"~AD~~AB'

即工也

AD4

/.AD=26,

在RtAADB中,cosZD-A«=—=—,

AB2

.\ZDAB=30°,

.\ZE4F=60o,ZZX)B=60°,

.♦.4=30°，

0/)=2,

:.DF=—^~厂专=26

(an30'

3

2

c_cc_1、/、」G60,TX22乃

影=dADOF一~X-=川一--：

(3)如图，过点E作石MJ■人B十点M,连接的,

35

:.MB=AB-AM=4——=-

22

BE