专题33-数列专题训练(文)(解析版)

专题33数列专题训练一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。1．数列的前项和为，若()，且，则的值为()。A、B、C、D、【答案】C【解析】当时，，则、，又∵，则，∴，故选C。2．下面是关于公差的等差数列的四个命题：：数列是递增数列；：数列是递增数列；：数列是递增数列；：数列是递增数列。其中的真命题为()。A、、B、、C、、D、、【答案】B【解析】∵数列中，∴是递增数列，则为真命题，而数列也是递增数列，∴为真命题，故选B。3．等差数列前项和为，若、是方程的两根，则()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由韦达定理得：，，结合等差数列的性质可得：，则，故选A。4．等差数列中，，则的值为()。A、B、C、D、【答案】B【解析】在等差数列中，∵，∴，∴，又∵，故选B。5．设等比数列的前项和为，若，则()。A、B、C、D、【答案】D【解析】、、成等比数列，设，，则，，，则，故选D。6．已知正项数列满足，设，则数列的前项和为()。A、B、C、D、【答案】C【解析】由，可得：，又，∴，∴，∴，∴数列的前项和，故选C。7．数列是公差不为零的等差数列，且、、是等比数列相邻的三项，若，则()。A、B、C、D、【答案】B【解析】设数列的公差为，由题意可得，即，解得，∴，∴，即等比数列的公比为，∴，故选B。8．已知数列、为等差数列，其前项和分别为、，，()。A、B、C、D、【答案】C【解析】设，则、，∴，，∴，故选C。9．已知数列的各项均为负数，其前项和为，且满足，则()。A、B、C、D、【答案】B【解析】由，可得，两式相减得：，即，∴，由已知，∴，∴数列为等差数列，公差为，再由，令得，即，∴或(舍去)，∴，因此，故选B。10．已知是等差数列的前项和，且，则下列命题正确的是()。A、B、C、数列中最大项为D、【答案】D【解析】∵等差数列中，且，则一定为的前项和的最大项，∴，，∵，∴，，，∴，，A选项，，错，B选项，，错，C选项，数列中最大项为，错，D选项，对，故选D。11．如图所示，某地区为了绿化环境，在区域内大面积植树造林，第棵树在点处，第棵树在点处，第棵树在点处，第棵树在点处，根据此规律按图中箭头方向每隔个单位种棵树，则()。A、第棵树所在点的坐标是，则B、第棵树所在点的坐标是，则C、第棵树所在点的坐标是D、第棵树所在点的坐标是【答案】C【解析】设为第一个正方形，种植棵树，依次下去，第二个正方形种植棵树，第三个正方形种植棵树，构成公差为的等差数列，个正方形有棵树，由第棵树所在点坐标是，则，由(1)可知正方形种植的树，它们构成一个等差数列，公差为，故前个正方形共有棵树，又，，，因此第棵树在点处，故选C。12．若数列满足：存在正整数，对于任意的正整数都有成立，则称数列为周期为的周期数列。已知数列满足()，，则以下命题中是假命题的是()。A、若，则；B、，则可以取个不同的值；C、若，则数列是周期为的数列；D、存在且，使数列是周期数列。【答案】D【解析】A选项，，则，，，，对，B选项，若时，，得符合，若时，，得符合，若时，，得符合，或时，不符合，对，C选项，，，，，…，，对，D选项，，，，，，，，错，故选D。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在数列中，，，()，则。【答案】【解析】∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴周期，则。14．在等差数列中，，其前项和为，若，则。【答案】【解析】，则。15．设各项均不为的数列满足()，是其前项和，若，则。【答案】【解析】∵且数列中各项均不为，∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∵，∴，将代入得，∴。16．已知数列满足，，，则，。(本小题第一个空2分，第二个空3分)【答案】，【解析】∵，∴，∴，且，即，∴的奇数项为首项为、公差为的等差数列，设()，则，∴的偶数项为首项为、公差为的等差数列，设()，则，∴；∵。三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知等比数列的前项和为，且()。(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和。【解析】(1)当时，，1分当时，，即，2分∴等比数列的公比是，∴，即，故，3分故数列是首项为，公比为的等比数列，；4分(2)由(1)知，，又，∴，故，∴，5分则，6分，7分两式相减得：，9分∴。10分18．（12分）已知数列满足，为的前项和，，。数列为等比数列且，，。(1)求的值；(2)记，其前项和为，求证：。【解析】(1)由得数列为等差数列，设公差为，则由，得：，解得，2分∴，∴，，4分由且得；6分(2)设的公比为，由(1)可知，∴，7分∴，9分，11分易知随着的增大而增大，∴。12分19．（12分）已知数列的前项和为，，，且(，)。(1)设，求证：数列为等比数列；(2)求数列的前项和。【解析】(1)由已知得，即()，2分∴()，3分又∵，且，故数列是首项为、公比为的等比数列；4分(2)由(1)知，则，∴，5分设，6分，7分两式相减得：，9分解得，10分∴数列的前项和。12分20．（12分）在公差不为的等差数列中，、、成等比数列。(1)已知数列的前项和为，求数列的通项公式；(2)若，且数列的前项和为，若，求数列的公差。【解析】(1)设等差数列的公差为()，由、、成等比数列可得：，1分即，即，2分由数列的前项和为得：，即，解得，，3分∴数列的通项公式为：；4分(2)∵，6分∴数列前项和，8分又由(1)可知，即，10分即，即，解得或。12分21．（12分）已知等差数列和等比数列，其中的公差不为，设是数列的前项和，若、、是数列的前项，且。(1)求数列和的通项公式；(2)若数列为等差数列，求实数。【解析】(1)设的公差为，且，设的公比为，且，∵、、是数列的前项，则，即，化简得，又∵，化简得，解得，，∴，2分∵、、是数列的前项，则，，∴，4分(2)由(1)可知，数列为等差数列，即数列为等差数列，5分设，则，，，则，6分则，化简得，解得、，7分当时，，是首项为，公差为的等差数列，可取，9分当时，，是首项为，公差为的等差数列，可取，11分综上实数可取或。12分22．（12分）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，。(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，求。【解析】(1)∵，∴，即，1分当时，，即，解得，2分当时，，3分化简得，又数列各项均为正数，∴，∴，4分∴数列是首项为、公差为的等差数列，∴；