专题13机械能守恒与多物体组成的连接体模型及非质点类模型

专题13机械能守恒与多物体组成的连接体模型及非质点类模型模型一、多物体组成的系统机械能守恒问题1．当动能、势能仅在系统内相互转化或转移时，系统的机械能守恒。一般选系统为研究对象来列机械能守恒方程。含弹簧的系统，要注意与弹簧接触的物体往往机械能不守恒，而是含有弹簧和物体的整个系统机械能守恒。常见情景如图所示：2．机械能守恒定律表达式的选取技巧(1)当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp来求解。(2)当研究对象为两个物体组成的系统时：①若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解。②若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解。③从机械能的转化角度来看，系统中某一类型机械能的减少量等于系统中其他类型机械能的增加量，可用E减＝E增来列式。对于关联物体的机械能守恒问题，应注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系、位移与高度变化量Δh的关系。模型二、非质点类物体的机械能守恒问题1．在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。2．物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。【模型演练1】如图所示，水平光滑长杆上套有小物块A，细线跨过位于点的轻质光滑定滑轮，一端连接A，另一端悬挂小物块A，物块A、B质量相等。为点正下方杆上的点，滑轮到杆的距离，重力加速度为。开始时A位于点，与水平方向的夹角为，现将A、B由静止释放，下列说法正确的是（

）A．物块A运动到点过程中机械能变小B．物块A经过点时的速度大小为C．物块A在杆上长为的范围内做往复运动D．在物块A由点出发第一次到达点过程中，物块B克服细线拉力做的功等于B重力势能的减少量【答案】D【详解】A．物块A运动过程中，细线对始终做正功，其他力不做功，则物块的速度始终增大，故A错误；B．物块经过点时，细线与物块的运动方向垂直，则物块的速度为0，根据系统机械能守恒此时物块的速度为故B错误；C．由于机械能守恒，物块在水平光滑杆上往复运动，运动范围为故C错误；D．在物块由点出发第一次到达点过程中，物块的动能变化量为0，则物块克服细线拉力做的功等于重力势能的减少量，故D正确。故选D。【模型演练2】如图所示，在竖直平面内有光滑轨道ABCD，其中AB是竖直轨道，CD是水平轨道，AB与BC相切于B点，BC与CD相切于C点。一根长为的轻杆两端分别固定着两个质量均为m的相同小球P、Q（视为质点），将轻杆锁定在图示位置，并使Q与B等高。现解除锁定释放轻杆，轻杆将沿轨道下滑，重力加速度为g。求：（1）P球到达C点时，P、Q系统重力势能的减小量；（2）P球到达C点时的速度大小；（3）P球到达B点时的速度大小。

【答案】（1）4mgR；（2）；（3）【详解】（1）P球到达C点时，P球减小的重力势能Q球减小的重力势能P、Q系统重力势能的减小量（2）由机械能守恒定律得解得（3）当P球到达B点时杆与水平面的角度为解得当P球到达B点时有P、Q系统机械能守恒解得【模型演练3】如图所示，轻质动滑轮下方悬挂重物A，轻质定滑轮下方悬挂重物B，悬挂滑轮的轻质细线竖直。开始时，重物A、B处于静止状态，释放后A、B开始运动。已知A、B的质量均为m，假设摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，重力加速度为g，当A的位移为h时（）A．B的位移为2h，方向向下B．A、B速度大小相等C．A的速度大小为D．B的机械能增加2mgh【答案】A【详解】A．设细线的拉力为T，由图示可知，A受到两细线的拉力为2T，方向向上，B受到细线的拉力为T向上，A、B所受重力大小相等，A、B释放后，A向上运动，B向下运动，若A上升的高度为h时，则连接动滑轮两侧的细线上升高度均为h，而细线固定端不移动，所以细线自由端下降的高度为2h，故B下降的高度为2h，B的位移为2h，方向向下，故A正确；B．由于B下降的位移是A上升位移的两倍，它们的运动时间相等，由可知，B的加速度是A加速度的两倍，由速度公式可知，同一时刻B的速度是A的两倍，故B错误；C．设当A的位移为h时，速度为v，则B的速度大小为2v，B下降的高度为2h，以A、B两个物体组成的系统为研究对象，由机械能守恒定律得解得故C错误；D．由上述分析可知，重物B下降的高度为，此时重物B的速度为则重物B的机械能变化量为即B的机械能减少，故D错误；故选A。【模型演练4】如图所示，有一条质量为m、长为L的均匀绳子，开始时绳子的部分在水平桌面上，而垂于桌外，当作用在绳子上水平向左的力为F时绳子恰好不下滑。（1）若桌面光滑，撤去力F，释放绳子，求当绳子刚离开桌面时的速度大小；（2）若桌面粗糙，增大F把绳子全部拉回桌面上，求F至少要对绳子做多少功。

【答案】（1）；（2）【详解】（1）若桌面光滑，撤去撤去力F，绳子下滑过程机械能守恒，有解得（2）若，绳子恰好静止，此时满足整理得绳子被拉动x时摩擦力与位移成线性关系把绳子全部拉回桌面上，根据动能定理有解得一、单选题1．如图所示，水平固定一光滑长杆，杆上P点正下方h处固定一光滑定滑轮，一质量为m的滑块a套在细杆上，下端系一不可伸长的轻质细绳，细绳绕过定滑轮悬挂一质量为0.5m的小球b，用水平外力F将滑块a缓慢拉至P点左侧的C点，此时绳与竖直方向夹角为θ，滑块a从C点由静止释放，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（）A．滑块a在C点静止时，水平外力F的大小为B．滑块a从C运动到P的过程中，小球b的机械能先增大后减小C．滑块a从C运动到P的过程中，小球b一直处于失重状态D．滑块a从C运动到P点时的速度大小为【答案】D【详解】A．根据受力平衡可得水平外力F的大小为故A错误；BC．滑块a从C向P运动的过程中，b向下先加速后减速，a到点时b的速度减小到0，a的速度增加到最大，所以b的机械能一直减小，b先处于失重后又处于超重状态，故BC错误；D．滑块a从C运动到P点的过程中，b减少的重力势能转化为a的动能，有解得速度大小故D正确。故选D。2．如图所示，挡板P固定在倾角为的斜面左下端，斜面右上端与半径为的圆弧轨道连接，其圆心在斜面的延长线上。点有一光滑轻质小滑轮，。质量均为的物块B、C由一轻质弹簧拴接（弹簧平行于斜面），其中物块C紧靠在挡板P上，物块B用跨过滑轮的轻质细绳与一质量为、大小可忽略的小球A相连，初始时刻小球A锁定在点，细绳与斜面平行，且恰好绷直而无张力，物块B、C处于静止状态。某时刻解除对小球A的锁定，当小球A沿圆弧运动到最低点时（物块B未到达点），物块C对挡板的作用力恰好为0。已知重力加速度为，不计一切摩擦，下列说法正确的是（）A．小球A到达点时，小球A与物块B的速度大小相等B．小球A沿圆弧运动到最低点的过程中，其重力的功率一直增大C．小球A到达点时的速度大小为D．小球A由点运动到点的过程中，小球A和物块B的机械能之和先减小后增大【答案】C【详解】A．小球A到达点时，速度分解如图。根据运动的合成与分解有A错误；B．小球A沿圆弧开始运动时，重力的功率增大，到最低点时，速度方向与重力方向垂直，重力的功率为0，因此在此过程中，其重力的功率先增大后减小，B错误；C．A球从解锁到最低点点过程中系统由能量守恒可得又解得故B正确，C错误；D．弹簧经历了从压缩到恢复原长，再到拉伸状态，弹性势能先减小再增大，所以小球A和物块B的机械能之和先增大再减小，故D错误。故选C。3．如图所示的轻质动滑轮下方悬挂质量为3kg的物块A、轻质定滑轮下方悬挂质量为0.5kg的物块B，悬挂滑轮和物块的轻质细线均竖直。时刻将A、B由静止释放。摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，细线足够长，取，则从时刻至A下降的过程中，下列说法正确的是（

）A．B的机械能逐渐减小 B．A的加速度大小是B的2倍C．A、B动能的增加量相等 D．A速度的增加量为3m/s【答案】D【详解】A．物块A下降过程中，物块B上升的同时速度也增大，所以重力势能和动能都增大，即B的机械能逐渐增大，故A错误；BC．细线的总长度不变，相等的时间内物块A下降的高度是B上升高度的一半，所以，A的速度大小是B的，A的加速度大小是B的，所以故B、C错误；D．从时刻至A下降的过程中，对于A、B组成的系统根据机械能守恒定律得其中求得故D正确。故选D。4．如图，小滑块P、Q的质量分别为，P、Q间通过轻质铰链用长为的刚性轻杆连接，Q套在固定的水平横杆上，P和竖直放置的轻弹簧上端相连，轻弹簧下端固定在水平横杆上。当轻杆与竖直方向的夹角时，弹簧处于原长状态，此时，将P由静止释放，P下降到最低点时。整个运动过程中P、Q始终在同一竖直平面内，滑块P始终没有离开竖直墙壁，弹簧始终在弹性限度内。忽略一切摩擦，重力加速度为，在P下降的过程中（）A．P、Q组成的系统机械能守恒B．两个滑块的速度大小始终一样C．弹簧弹性势能的最大值为D．P和弹簧组成的系统机械能最小时，Q受到水平横杆的支持力大小等于【答案】C【详解】A．由于不计一切摩擦，所以P、Q和弹簧三者组成的系统机械能守恒，但P、Q组成的系统机械能不守恒，故A错误；B．初始时P、Q的速度均为零，在P下降的过程中，Q一直沿着杆向左运动，P下降至最低点时，P的速度为零，Q速度也为零，但由速度的合成与分解可知P、Q的速度大小不是始终一样，故B错误；C．P下降至最低点时，弹簧弹性势能最大，此时P、Q的速度都为零，由于P、Q和弹簧三者组成的系统机械能守恒，故此时弹簧弹性势能等于系统减少的重力势能，即故C正确；D．经分析可知，P和弹簧组成的系统机械能最小时，Q的机械能最大，即Q的动能最大，速度最大，轻杆对Q的作用力为零，水平横杆对Q的支持力大小等于Q的重力3mg，故D错误。故选C。5．如图所示，两固定直杆相互靠近且异面相交成角，质量均为m的两个滑块A、B分别套在水平直杆和倾斜直杆上，两直杆足够长且忽略两直杆间的垂直距离，A、B通过铰链用长度为L的刚性轻杆（初始时轻杆与水平直杆垂直）连接。现使滑块B以初速度沿倾斜杆上滑，并使A沿水平直杆由静止向右滑动，不计一切摩擦，滑块A、B视为质点，重力加速度为g，A到达最右端时，B的速度为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】A、B组成的系统只发生着动能和重力势能之间的转化，A、B组成的系统机械能守恒；A到达最右端时，A的速度为零，B的速度大小为，此时A、B的连线和倾斜直杆垂直，由机械能守恒可得解得故选B。6．如图所示，长为l的匀质链条放在光滑水平桌面上，且有部分悬于桌面外，链条由静止开始释放，则它刚滑离桌面时的速度为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】链条释放之后，到离开桌面，由于桌面无摩擦，整个链条的机械能守恒，取桌面为零势能面，整个链条的质量为m，根据机械能守恒有解得故选B。7．如图，手持质量为m、长为L的匀质铁链AB静止于光滑的水平桌面上，铁链的悬于桌面外。现释放铁链至A端恰好离开桌面，此时B端还未落地（）A．铁链重力势能的减少量为 B．铁链重力势能的减少量C．铁链此时速度为 D．铁链此时速度为【答案】A【详解】AB．取桌面为零势能面，整个铁链的质量为m，重力势能减小量为故A正确；B错误；CD．释放铁链至A端恰好离开桌面，由于桌面无摩擦，整个链条的机械能守恒。取桌面为零势能面，根据机械能守恒定律得解得故CD错误。故选A。8．一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图a所示。若将一个质量为m的小球分别拴在链条左端和右端，如图b、c所示，约束链条的挡板光滑，三种情况均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，关于它们的速度关系，下列判断正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】设桌面为势能零点，图a中根据机械能守恒定律有解得图b中根据机械能守恒定律有解得图c中根据机械能守恒定律有解得则有故选C。9．如图（a）所示，一根质量为M、长度为L的均匀柔软细绳置于光滑水平桌面上，绳子右端恰好处于桌子边缘，桌面离地面足够高。由于扰动，绳从静止开始沿桌边下滑。当绳下落的长度为x时，加速度大小为a，绳转折处O点的张力大小为T，桌面剩余绳的动能为、动量为p，如图（b）所示。则从初态到绳全部离开桌面的过程中，下列说法正确的是（）A．当时，张力T有最大值 B．当时，动量P有最大值C．当时，加速度a有最大值 D．当时，动能有最大值【答案】B【详解】AC．绳子下落长度为时，对整条绳，由牛顿第二定律有解得绳上各点的加速度大小为对桌面上的绳子，由牛顿第二定律有联立解得可知，当时，加速度有最大值，当时，张力有最大值，故AC错误；B．绳子从开始运动到绳子下落长度的过程中，由机械能守恒定律可得解得则桌面剩余绳的动量为可知，当时，动量有最大值，故B正确；D．桌面剩余绳子的动能为根据数学知识可知，当即动能有最大值，故D错误。故选B。10．如图所示，总长为l、质量为m的均匀软绳对称地挂在轻小滑轮上，用细线将质量也为m的物块与软绳一端连接。现将物块由静止释放，直到软绳刚好全部离开滑轮。不计一切摩擦，重力加速度为g，下列说法正确的是（）

A．刚释放物块时，细线的拉力大小等于mgB．在软绳从静止到刚离开滑轮的过程中，软绳的机械能守恒C．在软绳从静止到刚离开滑轮的过程中，物块的机械能减少了D．在软绳从静止到刚离开滑轮的过程中，软绳的机械能增加了【答案】C【详解】A．刚释放的时候，物块是有向下的加速度的，根据牛顿第二定律有可知拉力小于mg，故A错误；B．在软绳从静止到刚离开滑轮的过程中，拉力对软绳做了功，软绳机械能不守恒，故B错误；C．设软绳刚离开滑轮的时候，物块和软绳的速度为v，根据机械能守恒定律有计算可得则物块机械能的减少量为故C正确；D．系统的机械能是守恒的，由于物块的机械能减少了，所以软绳的机械能增加了，故D错误。故选C。二、多选题11．如图所示，质量分别为和m的物体P、Q用跨过定滑轮O的轻绳连接，P穿在固定的竖直光滑杆上，Q置于倾角的光滑固定斜面上。一劲度系数的轻质弹簧的一端固定在斜面底端的挡板上，另一端连接Q。初始时，施加外力将P静置于N点，轻绳恰好伸直但无拉力，ON段水平，ON=3l，OQ段与斜面平行，现将P由静止释放，运动过程中经过M点，MN=4l。P、Q均可视为质点，运动过程中Q不会与滑轮相碰，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，不计一切阻力。则P从N点下滑到M点的过程中（）A．P、Q组成的系统机械能守恒B．经过M点时P与Q的速度大小关系C．P的机械能一直减小D．轻绳对P做的功为【答案】BCD【详解】A．由于弹簧对Q做功，所以P、Q组成的系统机械能不守恒，故A错误；C．绳子拉力一直对P做负功，P的机械能一直减少，故C正确；BD．开始运动时，对Q根据平衡条件，有弹簧的压缩量为则P经过M点时，弹簧的伸长量为可知P从N点下滑到M点的过程，弹簧的弹性势能变化量为0，根据能量守恒可得根据速度关联关系可得其中解得联立以上解得经过M点时P的速度大小为对P根据动能定理可得解得轻绳对P做的功为故BD正确。故选BCD。12．如图，跨过两个定滑轮的细绳两端分别连接小球P和Q，质量分别为3m和m。轻杆可在竖直面内绕O点无摩擦转动，轻杆右端与小球P相连，杆长为L。对Q施加一竖直向下的拉力F，使轻杆保持水平，此时PM间距离是，重力加速度大小为g，绳足够长，绳及滑轮的质量、滑轮与绳间的摩擦均不计。下列说法正确的是（）A．杆对P球的作用力一定竖直向上B．撤去拉力F后，小球P从图示位置运动到O点正下方的过程，小球P的机械能一直减小C．撤去拉力F后，小球P从图示位置运动到O点正下方的过程，细绳对小球Q做的功为D．撤去拉力F后，小球P从图示位置运动到O点正下方的过程，细绳对小球Q做的功为【答案】BC【详解】A．由于轻杆可在竖直面内绕O点无摩擦转动，所以杆的力只能沿杆方向，根据受力分析可知，静止时杆不给P球作用力，故A错误；B．小球P和Q组成的系统机械能守恒，小球P从图示位置运动到O点正下方的过程，绳对Q一直做正功，小球Q的机械能一直增加，所以小球P的机械能一直减小，故B正确；CD．小球P运动到O点正下方时，PM的距离设此时绳与水平方向的夹角为，则有小球P从图示位置运动到O点正下方的过程，小球P和Q整体机械能守恒由速度关联可知在这个过程中，对小球Q根据动能定理联立解得故C正确，D错误。故选BC。13．如图所示，一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O1，O2和质量为m的小球连接，另一端与套在光滑直杆上质量也为m的小物块连接，已知直杆两端固定，与两定滑轮在同一竖直平面内，直杆与水平面的夹角θ=60°，直杆上C点与两定滑轮均在同一高度，C点到定滑轮O1的距离为L，重力加速度为g，设直杆足够长，小球运动过程中不会与其他物体相碰。现将小物块从C点由静止释放，当小物块沿杆下滑距离也为L时（图中D处），下列说法正确的是（）A．小物块刚释放时，轻绳对小球的拉力大于mgB．小球下降最大距离为C．小物块在D处的速度与小球速度大小之比为2：1D．物块第一次经过D处后将沿直杆向上运动【答案】BC【详解】A．小物块刚释放时，小物块开始加速下滑，左侧绳长缩短，右侧绳长伸长，小球要加速下降，加速度向下，处于失重状态，则轻绳对小球的拉力小于球的重力，A错误；B．当拉小物块的绳子与直杆垂直时，小球下降的距离最大，根据几何关系知小球下降的最大距离为B正确；C．将小物块的速度分解为沿绳子方向和垂直绳子方向，沿绳子方向的分速度等于小球的速度，根据平行四边形定则知小物块在D处的速度与小球的速度之比为C正确；D．设小物块下滑距离为时的速度大小为，此时小球的速度大小为，如图所示则对滑块和小球组成的系统根据机械能守恒定律，有整理解得D错误。故选BC。14．如图，两端固定有小球A、B的竖直轻杆，A球紧贴竖直光滑墙面，B球位于光滑水平地面上，小球C紧贴小球B，小球A受到轻微扰动后顺着墙面下滑，此后的运动过程中，三球始终在同一竖直面上，小球A落地后不反弹，已知小球C的最大速度为v，三球质量均为m，轻杆长为L，重力加速度为g，下列说法正确的是（）A．B、C两球分离时，A球恰好离开墙面B．竖直墙对小球A的冲量大小为2mvC．小球A落地前瞬间，小球C的速度是小球A速度的2倍D．小球A落地前瞬间，动能大小为【答案】ABD【详解】A．B、C两球分离时，两球速度相等但两球之间无弹力，即此时两球的速度达到最大值，对于三个小球组成的系统，在水平方向上，根据动量定理可知，墙面对小球A的冲量此时达到最大，即此时A球恰好离开墙面，故A正确；B．小球A顺着墙面下滑直到与墙面分离的过程中，对于三个小球组成的系统，在水平方向上，根据动量定理可知，竖直墙对小球A的冲量等于B、C两球动量的变化量，即故B正确；C．B、C两球分离后，小球C的速度为并保持不变，此后A、B两球组成的系统水平方向动量守恒，小球A落地前瞬间，小球A和小球B水平方向速度相同，设为，有求得但此时小球A竖直方向有速度，故C错误；D．小球A开始沿竖直墙下滑到落地前过程，对于三小球组成的系统，根据机械能守恒定律，有求得故D正确。故选ABD。15．一种机械传动装置可简化为如图所示的情景，a、b两质量相同的小球（均可视为质点），分别套在水平和竖直的光滑杆（两杆不接触，且两杆间距离忽略不计）上，其间通过一轻质细杆相连（杆可绕小球无摩擦地自由活动），初始时两小球均静止，其中小球a距O点x0=0.8m，小球b距O点y0=0.6m。现将a、b两小球同时由静止释放，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s2。下列说法正确的是（）A．小球a运动过程中处于O点右侧时，距离O点的最大距离为0.6mB．小球b运动的过程中，某时刻其加速度可能等于零C．小球a运动过程中的最大速度为2m/sD．小球b运动至距O点0.8m时，小球a的速度大小为1.6m/s【答案】BD【详解】A．小球a和b组成的系统机械能守恒，小球a处于O点右侧最远时，小球b必处于出发位置，即小球a在O点右侧最远距离应为0.8m，故A错误；B．初始时小球b的速度为零，当小球a运动到O点时，小球b的速度也为零，表明小球b从开始到运动到最低点的过程中，某时刻速度有最大值，此时其加速度为零，故B正确；C．杆长对a、b组成的系统从开始到小球a第一次经过O点，有解得故C错误；D．小球b运动至距O点0.8m时的情况如图所示，可求出图中θ=37°，α=53°，则有且有联立方程代入数据可解得故D正确。故选BD。16．如图所示，用光滑硬杆制成的轨道由水平杆和位于竖直平面内半径为R的半圆弧轨道组成，两部分平滑连接。质量均为m的a、b两小球用长度为的轻质细杆连接，杆与小球连接处有固定在小球上的转动轴，杆可绕转动轴转动。a、b两小球穿在轨道上可沿轨道滑动，将两小球推到杆与竖直方向夹角为处由静止释放，重力加速度为g，取，两小球均可视为质点，不计一切摩擦，下列说法正确的是（）A．从开始运动到的过程中，杆对小球a不做功B．从开始运动到的过程中，杆对小球b做的功为C．从开始运动到两小球都沿水平杆运动的过程中，杆对小球a做的功为D．两小球沿水平杆运动时，两小球的速度大小为【答案】BC【详解】A．、组成的系统机械能守恒，从静止开始释放，可知小球b动能增加，所以杆对小球做正功，则杆对小球做负功，故A错误。B．当运动到时，据几何关系可知小球位于与圆弧圆心等高处。从开始运动到的过程中，据机械能守恒定律可得杆对小球做的功解得故B正确；CD．从开始运动到两小球都沿水平杆运动的过程中解得对据动能定理可得解得故C正确，D错误。故选BC。17．长度为2L的轻杆左端连接光滑水平转轴O，中点和右端分别固定质量均为m的小球A和B，小球可视为质点，重力加速度为g，如图所示，当轻杆从水平位置由静止释放，在轻杆摆至竖直位置的过程中，下列结论正确的是（）A．A、B两小球组成的系统机械能守恒 B．A、B两小球的速度始终相等C．在最低点，小球B的速度大小为 D．轻杆对小球B做功0.4mgL【答案】ACD【详解】A．A、B两球组成的系统只有重力做功，系统机械能守恒，故A正确；BC．杆从水平位置摆至竖直位置，A、B球的角速度相等，设在竖直位置A球的速度为vA，B球的速度为vB，根据圆周运动的角速度与线速度的关系可得根据机械能守恒定律有联立解得